Základní poznatky o funkcích

Základní poznatky o funkcích (Definice funkce, základní pojmy)

Tajemství černé skříňky 

01 c, d, g, h 02 a) ANO; b) NE 03 D(f ) = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}; H (f ) = {1; 4 ; 7} 04 a) D(f ) = {−2 ; −1; 0 ; 2 ; 5}; b) H (f ) = {−18 ; −9 ; −3 ; 0 ; 3}; 

( ) 4 ; 9 ) ∪ ( 9 ; ∞); g) D(f ) = (−∞ ; −4 ∪ (4 ; ∞); h) D(f ) = (−∞ ; − 3 ∪ 1; ∞)  2 2

c) f (0) = −3 ; f (2) = −9 ; f (−1) = 0 ; f (−2) = 3  05 f (2) =−4 ; f (−1) = 5 ; f 1 = 7 ; f (−0 ,15) = 2 , 45 06 a) D(f ) = R − {2}; b) D(f ) = R;  12 4

)

(

(

) a) D(f ) = R; f (−5) = −1; b) D(f ) = R; f (0) = 1 ; f ( 4 ) = 1 ; c) D(f ) = R − {4}; f (7 , 5) = 3 ; d) D(f ) = R − {−4}; f (2) = 0 ; f (3) = 0 2 3 2

c) D(f ) = 3 ; ∞ ; d) D(f ) = −∞ ; 5 ; e) D(f ) = − 2 ; ∞ ; f) D(f ) = 7 6 3 07

08 Funkce f a g

se sobě nerovnají, protože D(f ) ≠ D( g ); D(f ) = R ; D( g ) = R − {−1}. 09 tabulka: první řádek 6; druhý řádek 5; 1 10 a) D(f ) = 0 ; 24 ; H (f ) = 99 002 ; 101 355 ;  b) D(f ) = {1; 2 ; 3 ; …; 119 ; 120}; H (f ) = {36 ; 72 ; …; 4 320} 11 a) např.  y = x −2 ; b) např.  y = 1 ; c) např.  y = 1 ; d) např.  y = x −2 x −2 x −2

(Graf funkce)

Pozor na hlavu, vyrážíme do minulosti! 

01 c,  d,  f 02 a) A[ 2 ; 3]; B[−1; 3];  C [−3 ; 1] 03 a 05 a) D(f ) = (−2 ; 2 ; H (f ) = (−3 ; 3 ; b) D(f ) = −1; 0 ∪ (1; 2); H (f ) = {1}; c) D(f ) = (−∞ ; 1);  H (f ) = −1; ∞); d) D(f ) = −2; ∞); H (f ) = (−∞ ; 2

06 a) D(f1 ) = R; H (f1 ) = −1; ∞); D(f2 ) = (−1; 2); H (f2 ) = (0 ; 3); D(f3 ) = (−∞ ; 0) ∪ (0 ; ∞); 

H (f3 ) = (−∞ ; 0) ∪ (0 ; ∞); D(f4 ) = R; H (f4 ) = −1; 1 ; b) doplněné věty po sloupcích: 0 ; f3 ; f1, f4  ; f2 , f3 ; f1, f2 , f4  ; f4 07 a) Px [−4 ; 0 ] ; Py [ 0 ; 2] ; b) Px 1[−1; 0 ] ;  Px 2 [ 2 ; 0 ] ; Py [ 0 ; 2] ; c) Funkce f nemá průsečík s osou x. Py [ 0 ; −3] 08 a) Px [−3 ; 0 ] ; Py [ 0 ; 3] ; b) Funkce f nemá průsečík s osou x. Py [ 0 ; 12] ; c) Px 1[1; 0 ] ; Px 2 [−5 ; 0 ] ;  Py [ 0 ; −5] ; d) Px 1[1; 0 ]; Py [ 0 ; −2] 09 a) Grafu funkce náleží body A, D.; b) Grafu funkce náleží bod D.; c) Grafu funkce náleží bod A.; d) Grafu funkce náleží bod C. 11 a) 02. 06. 2013; b) Stav ohrožení nebylo potřeba vyhlásit.; c) 02. 06. 2013; d) 3 200 m3 ⋅ s−1; e) 04. 06. 2013 12 např. [ 0 ; 0 ], [ 0 ; 10 ], [10 ; 10 ], [ 30 ; 10 ], [ 30 ; 30 ], [ 50 ; 30 ]

Nejedu moc rychle? 

(Vlastnosti funkcí)

01 tabulka po řádcích: f1: NE, NE, NE, NE, ANO, NE, NE, NE, ANO, NE, ANO; f2: NE, NE, NE, NE, NE, NE, ANO, ANO, ANO, ANO, ANO; f3: NE, NE, NE, NE, NE, ANO, NE, NE, NE, NE, NE;  f4: ANO, NE, ANO, ANO, NE, ANO, NE, NE, NE, NE, NE 02 a) klesají; b) maximum; c) zdola; d) sudá; e) různé 03 a) NE; b) ANO; c) NE; d) ANO; e) ANO; f) ANO; g) ANO; h) ANO;  i) NE; j) NE 04 a) 12; 0; 4; 8; b) -80; -17; 10; 4 05 Definiční obor: D(f ) = R ; D( g ) = R ; D( h) = −4 ; 2 .; Obor hodnot: H (f ) = R; H ( g ) = 1; 3); H ( h) = −3 ; 0 .;  Rostoucí na intervalu: Funkce f je rostoucí na  0 ; 1 , funkce g je rostoucí na  0; ∞), funkce h je rostoucí na  -1; 0 , 1; 2 .; Klesající na intervalu: Funkce f je klesající na (−∞ ; 0 , 1; ∞), funkce g je klesající na (−∞ ; 0 , funkce h je klesající na  -4 ; -3 , 0 ; 1 .; Konstantní na intervalu: Funkce f a g nejsou konstantní na žádném intervalu, funkce h je konstantní na  -3 ; -1 .; Lichá/sudá: Funkce f a h nejsou ani sudé ani liché, funkce g je sudá.; Omezená shora: Funkce f není shora omezená, funkce g je shora omezená číslem 3, funkce h je shora omezená číslem 0.; Omezená zdola: Funkce f není zdola omezená, funkce g je zdola omezená číslem 1, funkce h je zdola omezená číslem -3.; Omezená: Funkce f není omezená, funkce g a h jsou omezené.; Maximum: Funkce f a g nemají maximum, funkce h má maximum v bodech -4 a 2.; Minimum: Funkce f nemá minimum, funkce g má minimum v bodě 0, funkce h má minimum v každém bodě intervalu x ∈ −3 ; −1 ; x = 1. 07 a) D(f ) = (−3 ; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 3);  b) D(f ) = (−3 ; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 3) 08 a) sudá; b) lichá; c) ani sudá ani lichá; d) ani sudá ani lichá 10 Obor hodnot: -6 ; 10 . Naměřené hodnoty teploty po dobu měření.; Rostoucí na intervalu: 4 ; 14 . Teplota rostla v době od 4 h do 14 h.; Klesající na intervalu: 0 ; 4 , 14 ; 24 . Teplota klesala v době od 0 h do 4 h a potom od 14 h do 24 h.;  Konstantní na intervalu: není. Nebyla doba, kdy by se teplota neměnila.; Omezená shora: ano; h = 10. Nejvyšší naměřená teplota.; Omezená zdola: ano; d = -6. Nejnižší naměřená teplota.; Omezená: ano. Měřené teploty se pohybovaly v rozmezí od -6°C do +10°C.; Maximum v bodě: x = 14. Nejvyšší naměřená teplota byla ve 14 h.; Minimum v bodě: ano; x 1 = 4 ; x 2 = 24 . Nejnižší naměřená teplota byla ve 4 h a ve 24 h. 

Lineární funkce Čím víc, tím víc 

(Lineární funkce)

01 a) ANO; b) NE; c) ANO; d) NE; e) ANO; f) ANO 02 a) ANO; b) NE; c) NE; d) ANO 03 a) a < 0, b > 0; b) a < 0, b < 0; c) a > 0, b > 0; d) a > 0, b < 0; e) a > 0, b = 0;  f) a < 0, b = 0; g) a = 0, b < 0; h) a = 0, b > 0 04 a) a = 2, b = -3, rostoucí; b) a = 0, b = 3, konstantní; c) a = 2, b = 3, rostoucí; d) a = -2, b = 3, klesající;  e) a = -2, b = -3, klesající; f) a = 0, b = 0, konstantní 05 d 06 a) ANO; b) ANO; c) ANO; d) NE 07 c 08 c 09 a) A6; b) B3; c) C4; d) D1 10 a) přímka procházející bodem A rovnoběžná s osou x; b) přímka procházející bodem A a počátkem soustavy souřadnic 12 Pokud jsou u předpisů lineárních funkcí koeficienty a různé a koeficienty b stejné, pak jsou grafy různoběžné přímky, které mají společný průsečík s osou y. 13 Pokud jsou u předpisů lineárních funkcí koeficienty a stejné a koeficienty b Klíč k úlohám v pracovním sešitě Matematika pro střední školy – 4. díl: Funkce I © Nakladatelství Didaktis spol. s r. o.

1

různé, pak jsou grafy rovnoběžné přímky, které mají různé průsečíky s osou y. 14 a) a = -2; b) nemá řešení 15 a) A3; b) B4; c) C1; d) D2 16 a) A2; b) B3; c) C4; d) D1 17 a) y = -1; b) y = x - 1; c) y = -4 x + 1; d) y = 0,5 x + 2; e) y = -3 x; f) y = 0,25 x 18 a) Bod A leží na grafu funkce f.; b) Bod B neleží na grafu funkce f (x-ová   souřadnice bodu B nepatří do definičního oboru funkce). 19 b) f : y = 2 x + 1; c) P ∈ f ; Q ∉ f ; d) Px = − 1 ; 0 ; Py = [ 0 ; 1]  20 A = [ 0 ; −6 ], B = [ 4 ; 0 ], S = 12 j2  2  21 a) D(f ) = (−3 ; 4); H (f ) = {−3}, NE, NE, ANO, ANO, minimum v bodě x ∈ (−3 ; 4), maximum v bodě x ∈ (−3 ; 4); b) D(f ) = 0 ; 1 ; H (f ) = −4 ; 0 ,  NE, ANO, NE, ANO, minimum v bodě x = 1, maximum v bodě x = 0; c) D(f ) = (−∞ ; 2); H (f ) = {4}, NE, NE, ANO, ANO, minimum v bodě x ∈ (−∞ ; 2), maximum v bodě x ∈ (−∞ ; 2); d) D(f ) = (−∞ ; 3 ; H (f ) = (−∞ ; 6 , ANO, NE, NE, NE, minimum nemá, maximum v bodě x = 3; e) D(f ) = −2 ; 2 ; H (f ) = −3 ; 5 ,  ANO, NE, NE, ANO, minimum v bodě x = -2, maximum v bodě x = 2; f) D(f ) = −2 ; ∞); H (f ) = (−∞ ; −2 , NE, ANO, NE, NE, minimum nemá, maximum v bodě x = -2 22 f : y = 1, 8 x + 32 23 a) f : y = 0 , 7 x + 3 , 5; c) D(f ) = 0 ; 5 ; H (f ) = 3 , 5 ; 7 , rostoucí ANO, klesající NE, konstantní NE, omezená ANO, minimum v bodě x = 0, maximum v bodě x = 5 24 b) D(f ) = 0 ; 4 ; H (f ) = 0 ; 18 000 , rostoucí NE, klesající NE, konstantní NE, rostoucí na žádném intervalu, klesající na intervalech 0 ; 1, 5 , 2 ; 4 , konstantní na intervalu 1, 5 ; 2 , omezená shora ANO, omezená zdola ANO, omezená ANO, minimum v bodě x = 4 , maximum v bodě x = 0 25 b) f1: y = −5 ; f2 : y = 5 x + 5 ; f3 : y =− x + 5 27 Grafy jsou přímky rovnoběžné s grafem funkce g. 28 d 29 b 30 a) x ∈ (2; ∞); b) f1: y = 2 x + b ; b ∈ R;  2 c) f2 : y = −2 x − 4; d) f3 : y =−2 x + 4 31 a) NE; b) NE; c) NE; d) ANO; e) ANO; f) ANO 32 B = [ 5 , 6 ; 7], C = [10 ; 12 , 5] 33 a = 0,5 34 b = -2

Jaký je kurz? 

(Grafické řešení lineárních rovnic, nerovnic a jejich soustav)

01 a, b, d 02 c 03 a) NE; b) ANO; c) ANO; d) ANO 04 a) jedno řešení, f : y = 2 x + 1; b) žádné řešení, f : y =−2; c) nekonečně mnoho řešení, f : y = 0; d) žádné řešení,  f : y = 2 x + 1, g : y = 2 x + 3; e) nekonečně mnoho řešení, f : y = 2 x + 1, g : y = 2 x + 1; f) jedno řešení, f : y = 2 x + 1, g : y =−2 05 b) NE, ANO, NE, ANO

{}

06 a) K = 1 ; b) K = {−2}; c) K = 0 ; d) K = R 07 f : y =− x + 1, g : y ==−4 x − 2 , K = {[−1; 2]} 08 a) K = {[−2 ; −7]};  2  1  b) K =  x ; x + 2 ; x ∈ R; c) K = 0 09 U prvních tří zadaných funkcí existuje více možných řešení: f1: y =− x + 2 , g1: y = x, K 1 = {[1;1]};   2  x f2 : y = − 2 , g2 : y = x + 1, K 2 = 0 ; f3 : y = x + 3 , g3 : y =− x , K 3 = {[−1; 1]}; f4 : y =−5 x − 3 , g 4 : y =−5 x − 3 , K 4 = R 10 a) A3; b) B6; c) C7; d) D2 2 2 2 2 12 y ≤ 5 x + 5 13 a) A7; b) B8; c) C1; d) D5 14 c 16 a)  y ≤ 1, 2 x − 0 , 6 a y <−0 , 25 x + 2; b) správné odpovědi po řádcích: NE, ANO, NE, ANO, NE, NE 3 3 17 b) x = 1, x ∈ (1; ∞), x ∈ (−∞ ; 1 , x ∈ (−∞ ; 1), x ∈ 1; ∞) 18 b) x = 3 , x ∈ (−∞ ; 2 , x ∈ 3 ; ∞ , x ∈ −∞ ; 5 , x ∈ (1; ∞), x ∈ 1 ; 3 2 2 2 2

{

}

) (

)

19 a) 0 řešení; b) 1 řešení; c) 1 řešení; d) nekonečně mnoho řešení 21 Čas dojezdu k tonoucímu je 8 minut. 22 Osobní vlak musí pustit rychlík ve stanici Svitavy. 25 y ≥ 1, y >− 1 x + 2 , y ≥− x + 1 3

Kino, nebo televize? 

(Funkce s absolutní hodnotou)

01 a) x = 0; b) x = 3; c) x = -2,5; d) x = 5 02 a) f : y = x ; D(f ) = R ; H (f ) = 0 ; ∞); b) f : y =− x ; D(f ) = R ; H (f ) = (−∞ ; 0 ;  c) f : y = x + 1; D(f ) = R ; H (f ) = 1; ∞); d) f : y = x − 1; D(f ) = R ; H (f ) = −1; ∞); e) f : y = x − 1 ; D(f ) = R ; H (f ) = 0 ; ∞);  f) f : y = x + 1 ; D(f ) = R ; H (f ) = 0 ; ∞) 03 a) f : y = 2 x − 1, nulový bod x = 0; D(f ) = R; H (f ) = −1; ∞), rostoucí na intervalu 0; ∞), klesající na intervalu

(−∞ ; 0 , maximum nemá, minimum v bodě x = 0, omezená shora není, omezená zdola d = -1; b) f : y = 2 x − 1 , nulový bod x = 0,5; D(f ) = R; H (f ) = 0 ; ∞), rostoucí na intervalu 0 , 5 ; ∞), klesající na intervalu (−∞ ; 0 , 5 , maximum nemá, minimum v bodě x = 0,5, omezená shora není, omezená zdola d = 0; c) f : y = − x −1 , nulový bod x = 1; D(f ) = R; H (f ) = (−∞ ; 0 , rostoucí na intervalu (−∞ ; 1 , klesající na intervalu 1; ∞), maximum v bodě x = 1, minimum nemá, omezená shora h = 0, omezená zdola není; d) f : y = x −2 , nulový bod x = 2; D(f ) = R; H (f ) = 0 ; ∞), rostoucí na intervalu 2; ∞), klesající na intervalu (−∞ ; 2 , maximum nemá, minimum v bodě x = 2, omezená shora není, omezená zdola d = 0 05 a) D(f ) = R; H (f ) = −5 ; ∞), prostá NE, sudá ANO, lichá NE, konstantní na intervalu žádném, rostoucí na intervalu 0; ∞), klesající na intervalu (−∞ ; 0 , maximum nemá, minimum v bodě x = 0, omezená shora není, omezená zdola d = -5;  b) D(f ) = R; H (f ) = −2 ; ∞), prostá NE, sudá NE, lichá NE, konstantní na intervalu žádném, rostoucí na intervalu 4; ∞), klesající na intervalu (−∞ ; 4 , maximum nemá, minimum v bodě x = 4, omezená shora není, omezená zdola d = -2; c) D(f ) = R; H (f ) = (−∞ ; 1 , prostá NE, sudá NE, lichá NE, konstantní na intervalu 2; ∞), rostoucí na intervalu (−∞ ; 2 , klesající na intervalu žádném, maximum v bodě x ∈ 2; ∞), minimum nemá, omezená shora h = 1, omezená zdola není

2

Klíč k úlohám v pracovním sešitě Matematika pro střední školy – 4. díl: Funkce I © Nakladatelství Didaktis spol. s r. o.

Kvadratická funkce (Kvadratická funkce)

Oblouk zvaný parabola 

01 a) ANO; b) NE; c) ANO; d) ANO; e) NE; f) NE; g) ANO; h) ANO; i) NE; j) NE 02 a) 5, -4, 1; b) -3, 2, 6; c) 6, -11, -2; d) 9, -24, 17; e) 2, 0, -7; f) -2, 6, 0; g) -3, 6, 0;  h) -6, 11, 2; i)  1 , 0, 0; j) - 2 , 1 , 0 03 a) NE; b) ANO; c) ANO; d) NE 04 a) ANO; b) NE 05 a) C; b) E; c) A; d) D 06 a) b =−9; b) b = 2 , 5; c) b ∈R; d) Vhodné b 2 5 3 9 1 neexistuje. 07 4 ; ; 1; ; 0 ; 1 ; 1; 9 ; 4 10 a) A1; b) B6; c) C5; d) D3 11 a) Px1 [−2 ; 0 ]; Px 2 [ 2 ; 0 ]; V [ 0 ; −4 ]; b) Px1 [−3 ; 0 ]; Px 2 [1; 0 ]; V [−1; −4 ];  4 4 4 4 c) Px1 [−5 ; 0 ]; Px 2 [−1; 0 ]; V [−3 ; −4 ]; d) Px1 [−1; 0 ]; Px 2 [1; 0 ]; V [ 0 ; 2] 12 a) přiřazení v pořadí zleva doprava: f5, f1 , f4 , f6 ; b) průsečíky grafu funkce f5 s osami x, y: P5 x1 1+ 2 ; 0 ; P5 x 2 1− 2 ; 0 ; P5 y [ 0 ; −1], průsečíky grafu funkce f1 s osami x, y: průsečík s osou x neexistuje, P1 y [ 0 ; 3], průsečíky grafu funkce f4 s osami x, y: průsečík s osou x neexistuje, P4 y [ 0 ; 3], průsečíky grafu funkce f6 s osami x, y: průsečík s osou x neexistuje, P6 y [ 0 ; −3]; c) V5 [1; −2]; V1 [−1; 2]; V4 [1; 2]; V6 [1; −2]; d) D(f5 ) = R; H (f5 ) = −2 ; ∞); D(f1 ) = R; H (f1 ) = 2 ; ∞); D(f4 ) = R; H (f4 ) = 2 ; ∞); D(f6 ) = R; H (f6 ) = (−∞ ; −2

13 a) V [ 0 ; −10 ]; b) V [−3 ; 0 ]; c) V [−6 ; −7]; 

d) V [ 3 ; −1]; e) V [−4 ; −17]; f) V [ 2 ; −7] 14 a) A6; b) B1; c) C4; d) D2 15 a) ANO; b) NE; c) ANO; d) NE 16 a) Minimum v bodě x = 1 .;  2  1  3  b) Px1 =  ; 0 ; Px 2 = − ; 0 ; Py = [ 0 ; −3] 17 a) D(f ) = −2 ; 2 ; H (f ) = −1; 3 , rostoucí na intervalu -2 ; 0 , klesající na intervalu 0 ; 2 , maximum v bodě 2   2  x = 0, minimum v bodě x = -2, x = 2, omezená shora ANO, omezená zdola ANO, omezená ANO, prostá NE, sudá ANO, lichá NE; b) D(f ) = (−2 ; 1); H (f ) = −1; 3), rostoucí na intervalu −1; 1), klesající na intervalu (−2 ; −1 , maximum nemá, minimum v bodě x = -1, omezená shora ANO, omezená zdola ANO, omezená ANO, prostá NE, sudá NE, lichá NE 18 a) NE; b) ANO; c) ANO; d) NE 19 f : y = 1 x 2 − x − 3 20 b) f : y = 0 , 5 x 2 − x − 1; c) f : y = x 2 + 2 x − 2 21 12 22 a) f : y = x 2 − 4 x ;  2 2 b)  P ∉ f , Q ∈ f ; c) Px1 [ 0 ; 0 ]; Px 2 [ 4 ; 0 ]; Py [ 0 ; 0 ]; e) D(f ) = R ; H (f ) = −4 ; ∞); f) V [ 2 ; −4 ] 23 c 24 a) V [1; −4 ]; Px1 [ 3 ; 0 ]; Px 2 [−1; 0 ]; Py [ 0 ; −3];  c) f2 : y = x 2 + 2 x − 3; d) f3 : y =− x 2 + 2 x + 3 25 f : y =− x 2 + 6 x 26 f : y = x 2 − 4 27 f : y = x 2 − 4 x + 3 28 s = 1 t 2 + 10 t + 5 2 29 a) f : y = 1 x 2 − 1 x ; b) K seřazení čísel je potřeba 105 výpočetních kroků. 2 2

Musel se potopit? 

(Grafické řešení kvadratických rovnic, nerovnic a jejich soustav)

2 01 a) jedno řešení, K = {−1}; b) dvě řešení, K = {−1; 1}; c) žádné řešení, K = 0 ; d) dvě řešení, K = {0 ; 2} 02 a) ( x + 1) − 1> 0 , K = (−∞ ; −2) ∪ (0 ; ∞);  2

2

b) 2 ⋅( x + 1, 5) − 0 , 5 < 0 , K = (−2 ; −1); c) −4 x 2 + 4 ≥ 0 , K = −1; 1 ; d) −2 ⋅( x + 1) ≤ 0 , K = R 03 a) jedno řešení, K = {[ 0 ; −2]}; b) dvě řešení,  K = {[−1; −1]; [ 0 ; 1]}; c) žádné řešení, K = 0 ; d) dvě řešení, K = {[1; −1]; [−1; −1]} 04 b) K = {−2 ; 3}; c) K = {−2 ; 2}; d) K = 0 05 d 06 K = (−∞ ; −1) ∪ (5 ; ∞) 07 a) K = R − {1}; K = R ; K = 0 ; K = {1}; b) K = 0 ; K = 0 ; K = R ; K = R 08 c 09 a) D(f ) = (−∞ ; −2 ∪ 2 ; ∞);  b) D(f ) = (1; 3)  10 a) K = {[1; 1]; [ 4 ; 4 ]}; b) K = {[1; 1]}; c) K = {[ 4 ; −2]}; d) K = 0 11 a) NE; b) NE; c) ANO; d) NE 12 K = {[ 3 ; 9 ]; [ 8 ; 4 ]} 13 a) Maximální teplota byla dosažena ve 12 hodin.; b) Teplota vystoupila nad bod mrazu v 6 hodin ráno.; c) f : y =− 1 ⋅( x − 12) + 9; e) t max = 9° C ;  4 f) Teplota vyšší než 8°C byla celkem 4 hodiny. 2

Lineární lomená funkce Chcete být milionářem? 

(Nepřímá úměrnost)

01 a) NE; b) ANO; c) ANO; d) NE 02 a) ANO; b) NE; c) NE; d) NE; e) ANO; f) ANO 03 a) k = 4 ; b) k =− 1 ; c) k = 2; d) k = 1 04 a) ANO; b) NE; c) ANO; d) NE; e) NE 3 2 2 05 a) A5; b) B1; c) C6; d) D4 06 a) ANO; b) ANO; c) ANO; d) NE; e) NE; f) ANO; g) ANO 07 a) NE; b) NE; c) ANO; d) ANO; e) NE; f) ANO; g) NE; h) NE; i) ANO; j) ANO 08 a) f : y = − 12 ; b) P ∈ f ; Q ∉ f ; c) doplněná tabulka řádek y : 3, 4, 6, 12, není definováno, -12, -6, -4, -3 09 doplněná tabulka řádek x : -1, 2, 4, doplněná tabulka x 1 1 řádek y : , - , - 1 , k = − 1 11 a) f : y =− 8 ; D(f ) = R − {0}; H (f ) = R − {0}, rostoucí na intervalech (−∞ ; 0), (0 ; ∞), klesající na intervalech není, prostá 6 3 9 x 3 0,5 ANO, omezená NE, maximum NE, minimum NE, sudá NE, lichá ANO; b) g : y = ; D( g ) = R − {0}; H ( g ) = R − {0}, rostoucí na intervalech není, klesající na intervalech x Klíč k úlohám v pracovním sešitě Matematika pro střední školy – 4. díl: Funkce I © Nakladatelství Didaktis spol. s r. o.

3

(−∞ ; 0), (0 ; ∞), prostá ANO, omezená NE, maximum NE, minimum NE, sudá NE, lichá ANO; c) h : y = 0 , 4 ; D( h) = (0; ∞); H ( h) = (0; ∞), rostoucí na intervalech x není, klesající na intervalech (0; ∞), prostá ANO, omezená NE, maximum NE, minimum NE, sudá NE, lichá NE 12 b 13 b) f (−2) = 1; f (0 , 5) =−4 ; d) g : y = 2 ;  x e) g(−2) = −1; g(0 , 5) = 4 ; f) ANO 14 D(f ) = R − {0}; H (f ) = (0; ∞), rostoucí na intervalu (−∞ ; 0), klesající na intervalu (0; ∞), prostá NE, omezená NE, maximum NE, minimum NE, sudá ANO, lichá NE 15 b 16 a) f : y = 1 400 ; c) Pronájem se Patrikovi a jeho kamarádům vyplatí při počtu více než 20 plavců. 17 a) V ovocném x 60 sadu je 60 stromů.; b) f : y = ; d) Při účasti čtyř brigádníků otrhá každý v průměru 15 stromů, při účasti šesti brigádníků otrhá každý v průměru 10 stromů a při účasti dvanácti x brigádníků otrhá každý v průměru 5 stromů.

(Lineární lomená funkce)

Bohatství, nebo nic! 

01 a) ANO; b) NE; c) NE; d) ANO; e) ANO; f) ANO 02 a) NE; b) ANO; c) ANO; d) NE 03 a) k = 3 , m =−1, n =−2 ; x =−1, y =−2 ;  b) k = −1, m = 2 , n = 3 ; x = 2 , y = 3; c) k =− 1 , m = 5 , n = 0 ; x = 5 , y = 0; d) k = 10 , m = 0 , n =−6 ; x = 0 , y = −6 ;  2 e) k = −2 , m = 0 , n = 3 ; x = 0 , y = 3 ; f) k =−2 , m = 1, n = 3 ; x = 1, y = 3 04 a) klesající na intervalech; b) rostoucí na intervalech; c) rostoucí na intervalech; d) klesající na intervalech 05 c 06 a) A4; b) B1; c) C2; d) D7 07 a) x = 1, y = 3; b) doplněná tabulka řádek y: 4, 5, nedí definováno, -1, 1, 5 , 2 , 7 , 5 3 3 2 1, 5  1  1  2    4 2 4 08 a) Py 0 ;  ; b) Px − ; 0 ; c) Px [−2 ; 0 ]; Py 0 ; −  ; d) Py 0 ;  09 a)  y = + 1; b)  y = + 1 ; c)  y = + 0,5 x x −1 x −2 3  2  2  3   10 a)  y = 1 + 1; Px [ 0 ; 0 ]; x = 1, y = 1; b)  y = 6 + 1; Px [−4 ; 0 ]; Py [ 0 ; − 2]; x = 2 , y = 1; c)  y = −3 + 2 ; Px [ 2 , 5 ; 0 ]; Py [ 0 ; 5]; x = 1, y = 2 ;  x −1 x −2 x −1   d)  y = 2 − 1; Px [ 5 ; 0 ]; Py 0 ; − 5  ; x = 3 , y = −1 11 a) D(f ) = R − {3}; H (f ) = R − {2}, rostoucí na intervalech není, klesající na intervalech x −3 3  (−∞ ; 3), (3 ; ∞), prostá ANO, omezená NE, maximum v bodě nemá, minimum v bodě nemá; b) f : y = 5 − 1, x =−1, y =−1;  x +1 D(f ) = R − {−1}; H (f ) = R − {−1}, rostoucí na intervalech není, klesající na intervalech (−∞ ; −1), (−1; ∞), prostá ANO, omezená NE, maximum v bodě nemá,  minimum v bodě nemá; c) f : y =

(

(

)

0,5 , x =−2 , y = 0 ; D(f ) = −3 ; −2) ∪ (−2 ; 2); H (f ) = −∞ ; − 1 ∪ 1 ; ∞ , rostoucí na intervalech není, klesající na interva2 8 x +2

lech  −3 ; −2), (−2 ; 2), prostá ANO, omezená NE, maximum v bodě nemá, minimum v bodě nemá 13 a) ANO; b) ANO; c) NE; d) NE; e) ANO; f) NE; g) ANO; h) ANO 14 a) D(f ) = R − {−0 , 5 ; 0}; b)  y =

−0 , 5 + 1 ; c) x =−0 , 5 ; y = 1 15 c 16  f : y = −12 + 1 x +2 x + 0,5

Mocninná funkce (Mocninná funkce s celočíselným exponentem)

(Ne)patrná odměna 

01 a) ANO; b) NE; c) ANO; d) ANO; e) ANO; f) NE; g) NE; h) ANO 02 a) D(f ) = R; b) D(f ) = R; c) D(f ) = R; d) D(f ) = R − {2}; e) D(f ) = R − {0}; f) D(f ) = R − {1} 03 a) ANO; b) NE; c) NE; d) ANO 04 a) LICHÉ; k ∈ Z −; b) SUDÉ; k ∈ N ; c) LICHÉ; k ∈ N ; d) SUDÉ; k ∈ Z − 05 a) A2; b) B1; c) C1; d) D3 06 a) m = -1, n = -2;  D(f ) = R; H (f ) = −2; ∞), rostoucí na intervalu −1; ∞), klesající na intervalu (−∞ ; −1 , prostá NE, omezená shora NE, omezená zdola ANO, omezená NE, maximum nemá, minimum v bodě x = -1, sudá NE, lichá NE; b) m = 1, n = -3; D(f ) = R; H (f ) = R, rostoucí na intervalu (−∞ ; ∞), klesající na intervalu není, prostá ANO, omezená shora NE, omezená zdola NE, omezená NE, maximum nemá, minimum nemá, sudá NE, lichá NE; c) m = -1, n = 1; D(f ) = R − {−1}; H (f ) = R − {1}, rostoucí na intervalech (−∞ ; −1), (−1; ∞), klesající na intervalu není, prostá ANO, omezená shora NE, omezená zdola NE, omezená NE, maximum nemá, minimum nemá, sudá NE, lichá NE; d) m = 0, n = 0; D(f ) = R − {0}; H (f ) = (0; ∞), rostoucí na intervalu (−∞ ; 0), klesající na intervalu (0; ∞), prostá NE, omezená shora NE, omezená zdola ANO, omezená NE, maximum nemá, minimum nemá, sudá ANO, lichá NE 07 a) lichá; b) sudá; c) je pouze rostoucí; d) je omezená zdola; e) 6; f) R − {0}; g) 3; h) -8

()

8

( ) <(−0 ,2) <( 51)

8 8 09 a)  2 < (−0 , 6) < (−7) < 8 8; b)  − 1 5 4

11

11

11

( )

< 0 , 2511; c) 10−6 < (−4) < (−2) < 1−6 ; d)  − 1 2 −6

−6

−13

−13

< (−0 , 8)

< 18−13 < 2−13

10 c 12 a) je; b) je; c) nemůže; d) může; e) má 13 a) -4; b) 6; c) -5; d) 3

Jak rychle padá kámen?

(Inverzní funkce a funkce s odmocninou)

01 a) je; b) nejsou; c) existuje; d) rostoucí; e) je 02 b 03 a) ANO; b) NE; c) NE; d) ANO 04 a) ANO; b) NE; c) NE; d) NE; e) ANO; f) ANO; g) ANO; h) NE 05 a) ANO; b) NE; c) ANO; d) NE 06 a) NE; b) ANO; c) NE; d) ANO; e) NE; f) NE; g) ANO; h) NE; i) ANO; j) NE 07 a) NE; b) ANO; c) ANO; d) NE 08 a) A3; b) B3 09 c

4

Klíč k úlohám v pracovním sešitě Matematika pro střední školy – 4. díl: Funkce I © Nakladatelství Didaktis spol. s r. o.

10 a) A2; b) B4; c) C1; d) D3 11  f : y =−2 x + 2; D(f ) = −1; 3 ; H (f ) = −4 ; 4 ; f −1 : y =− x + 1; D(f −1 ) = −4 ; 4 ; H (f −1 ) = −1; 3 , doplněná tabulka 2   řádek f (x): 4; 3; 2; 1; 0; -1; -2; -3; -4, doplněná tabulka řádek f −1 ( x ): 3; 2,5; 2; 1,5; 1; 0,5; 0; -0,5; -1 12  D(f ) = R ; H (f ) = R; Px  1 ; 0 ; Py [ 0 ; −1], rostoucí 3  ANO, klesající NE, prostá ANO, omezená shora NE, omezená zdola NE, omezená NE, maximum v bodě nemá, minimum v bodě nemá; f −1 : y = x + 1; D(f −1 ) = R ; H (f −1 ) = R ;  3 3   1 Px [−1; 0 ]; Py 0 ;  , rostoucí ANO, klesající NE, prostá ANO, omezená shora NE, omezená zdola NE, omezená NE, maximum v bodě nemá, minimum v bodě nemá  3 2 13 a) f −1 : y = x + 2 ; D(f −1 ) = R; b) f −1 : y = x − 1 + 4 ; D(f −1 ) = 1; ∞); c) f −1 : y = ( x + 2) ; D(f −1 ) = −2 ; ∞) 14 a) H (f ) = (−3 , 5 ; −1);  2

f −1 : y = 2 x + 4 ; D(f −1 ) = (−3 , 5 ; −1); H (f −1 ) = (−3 ; 2); b) D(f ) = −1; ∞); H (f ) = 0; ∞), f −1 : y = x − 1; D(f −1 ) = 0; ∞) 15 f : y =− x 2 + 4;  D(f ) = 0; ∞); H (f ) = (−∞ ; 4 ; Px [ 2 ; 0 ]; Py [ 0 ; 4 ], rostoucí NE, klesající ANO, prostá ANO, omezená shora ANO, omezená zdola NE, omezená NE, maximum v bodě x = 0, minimum nemá; f −1 : y = 4 − x ; D(f −1 ) = (−∞ ; 4 ; H (f −1 ) = 0; ∞); Px [ 4 ; 0 ]; Py [ 0 ; 2], rostoucí NE, klesající ANO, prostá ANO, omezená shora NE,  omezená zdola ANO, omezená NE, maximum nemá, minimum v bodě x = 4 18 D(f ) = R − {−2}; H (f ) = R − {1} 19 a) D(f ) = (0 ; ∞ ; H (f ) = 2 ; ∞);  b) D(f ) = 1; ∞); H (f ) = 0 ; ∞); c) D(f ) = (−∞ ; 3 ; H (f ) = 0 ; ∞); d) D(f ) = 0 ; ∞); H (f ) = −1; ∞); e) D(f ) = 1; ∞); H (f ) = 0 ; ∞);  f) D(f ) = 0 ; ∞); H (f ) = (−∞ ; 0

20 OP = 4 ⋅ 2

Klíč k úlohám v pracovním sešitě Matematika pro střední školy – 4. díl: Funkce I © Nakladatelství Didaktis spol. s r. o.

5