Komplex számok Komplex számok bevezetése A valós számok körét a következőképpen építettük fel. Először a természetes számokat vezettük be. Itt két művelet volt, az összeadás és a szorzás (ismételt összeadás)1 Az összeadás inverzeként értelmezett kivonás már kivezetett a természetes számok köréből. Az egész számokat éppen úgy kaptuk, hogy a természetes számokat úgy bővítettük, hogy az összeadás invertálható legyen. Hasonló törekvés a szorzás esetében a racionális számokat eredményezi, ugyanis a szorzás inverzének a keresése a törtekkel való bővítéshez vezetett. Az osztás „kivezetett” az egész számok köréből. Így jutunk a racionális számokhoz, melyek mindegyike felírható két egész szám hányadosaként. (ratio=arány, hányados). Már az ókorban is ismeretes volt azonban, hogy vannak olyan számok, amelyek megszerkeszthetők, és így rá lehet rajzolni őket a számegyenesre, de nem tudták őket mégsem definiálni. Ilyen szám pl. a 2 Ezt a számot könnyen meg tudták szerkeszteni, hiszen ez az egységnyi oldalú négyzet átlójának hossza. Tehát, ezeknek a számoknak megvan a helye a számegyenesen, noha nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Vagyis a gyökvonás művelete „kivezet” a racionális számok köréből, ezek az irracionális számok. Ha a számkör bővítésének eddigi menetét nézzük, a recept egyszerű: azokat az objektumokat, „valamiket”, amiket valamilyen művelet (illetve „inverz ” művelet) végrehajtásakor kapunk, azokat számokként kezeljük, és hozzávesszük a már meglévő számainkhoz. Az analízis fejlődésével kiderült, hogy minden (irracionális) szám értelmezhető valamely sorozat határértékeként. Ennek egyik példája az e szám, amely szintén irracionális. Bebizonyítható az is, hogy nincs üres hely a számegyenesen, a racionális és irracionális számok azt teljesen lefedik. Ha azonban a gyökvonás „műveleténél” maradunk, e számkörünk még mindig nem teljes: negatív számokból nem tudunk négyzetgyököt vonni. Ráadásul, a másodfokú egyenlet gyökeinek keresésekor kiderült, hogy van létjogosultsága azoknak a számoknak, aminknek a négyzete negatív szám. De ha vannak ilyen számok, azok nem lehetnek a fentiek értelmében a számegyenesen. Ezért a további bővítéskor kilépünk az ún. számsíkra, vagy másképpen az R2 lineáris tér geometriai interpretációjába. Mivel ezen új számkörben várhatóan a számpároknak a bevezetendő szorzás újszerű volta miatt más tulajdonságai is lesznek, nem R2-vel, hanem C-vel jelöljük és komplex (Complex) számoknak nevezzük az új számhalmazt. Kiterjesztés Úgy terjesztjük ki a számfogalmunkat, hogy legyen az Egy megoldást jelöljünk i-vel. Vagyis
x 2 = −1 egyenletnek megoldása.
i = −1
E két művelet asszociatív, kommutatív, de egységeleme csak a szorzásnak van, az 1, inverz elem pedig egyik műveletre sem létezik. 1
Komplex szám megadása A komplex számmező a C (sík összes pontja) minden elemét megadhatjuk egy (x,y) valós számpárral, melyhez a x + iy komplex számot rendeljük, ahol i a komplex egység
Algebrai alak A komplex szám algebrai (másképpen kanonikus) alakja
z = x + iy , ahol x és y valós számok. x-t a z szám valós részének nevezzük és Re z - vel jelöljük, y-t a z szám immaginárius részének nevezzük és Im z - vel jelöljük. Tehát:
z = Re z + i ⋅ Im z A komplex számok halmazán abszolútértéket is bevezetünk,
x 2 + y 2 , jelben z = x 2 + y 2
ha z = x + yi, akkor z abszolút értéke
Az ábrázolás már sugallja, hogy a komplex számhoz helyvektort rendelhetünk. A vektor koordinátái a komplex szám valós- és képzetes részeiA vektor geometriai adatait könnyen felírhatjuk a komplex szám algebrai alakjának segítségével, ha felhasználjuk a Pitagorasz tételt.
Im
P
y r
pozitív
negatív φ O
x
Re
Komplex szám trigonometrikus alakja A komplex szám algebrai alakja ( z=x+iy ) és a sík pontjainak megfeleltetéséből adódik, hogy egy komplex számnak van abszolútértéke[1] és irányszöge vagy arkusza, mely a valós tengellyel bezárt irányszöge. Könnyen látható, hogy
x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = r cos ϕ + r sin ϕ ⋅ i = r ( cos ϕ + i ⋅ sinϕ ) A komplex szám trigonometrikus alakja: z = r ( cos ϕ + i sin ϕ )
z = r ( cos ϕ + i sin ϕ )
y ⎧ ⎫ arctg y , 0 ≥ ⎪⎪ ⎪⎪ x ϕ =⎨ ⎬ y ⎪π + arctg , y < 0 ⎪ x ⎩⎪ ⎭⎪ és
r = x2 + y2 Nevezetes komplex számok algebrai és trigonometrikus alakban Az alábbi táblázat tartalmazza a nevezetes irányszögű, egység hosszú komplex számok irányszögét, algebrai és trigonometrikus alakját
Abszolút érték (r)
Komplex szám algebrai alakban
Komplex szám trigonometrikus alakban
0
1
cos 0 + i sin 0
π
3 1 + i 2 2
cos
2 2 + i 2 2
cos
1 3 + i 2 2
cos
i
cos
ϕ fokban ϕ radiánban
1
0o
1
30o
1
45o
1
60o
1
90o
1
120o
2
1
135o
3
1
150o
5
1
180o
1
210o
7
1
225o
5
1
240o
4
1
270o
3
1
300o
5
1
315o
7
1
330o
11
1
360o
6
π 4
π 3
π 2
π 3
π 4
π 6
1 3 − + i 2 2 2 2 + i 2 2
− −
π π 6
π 4
π 3
π 2
π 3
π 4
π 6
2π
−
6
π 4
π 3
π 2
+ i sin + sin + sin
π 6
π 4
π
+ i sin
3
π 2
⎛ π⎞ ⎛ π⎞ cos ⎜ 2 ⎟ + sin ⎜ 2 ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ cos ⎜ 3 ⎟ + sin ⎜ 3 ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠
3 1 + i 2 2 -1
−
π
3 1 − i 2 2 2 2 − i 2 2
1 3 − − i 2 2 -i
1 3 − i 2 2 2 2 − i 2 2 3 1 − i 2 2 1
cos π + i sin π
Műveletek a komplex számok körében A komplex számok közötti műveleteket úgy definiáljuk, hogy minden valós számokra érvényes műveleti szabály érvényben maradjon. 2 Minden a, b esetén összegük is komplex szám a+b=c Az összeadás asszociatív: (a+b)+c=a+(b+c) Az összeadás kommutatív: a+b=b+a Minden a, b esetén egy és csak egy x van, amelyre a+x=b Minden a, b esetén szorzatuk is komplex szám: a b=c A szorzat asszociatív: (a b) c=a (b c) A szorzás kommutatív: a b=b a Minden a, b esetén, ha a≠0 egy és csak egy x van, amelyre a x=b Minden a, b és c esetén igaz a disztributivitás: a (b+c)=a b+a c
Komplex számok összeadása A geometriai interpretáció - a sík pontjai és a komplex számok megfeleltetése - alapján a komplex számok összeadását a nekik megfelelő pontba mutató helyvektorok összege alapján definiáljuk. Azaz ha:
akkor:
2
Absztrakt algebrai fogalommal számtestet alkossanak.
Szorzás algebrai alakban A szorzás definíciója algebrai alakban megadott komplex számra Azt szeretnénk, hogy a szorzás disztributív legyen az összeadásra nézve, ezért z1.z2 -t úgy definiáljuk, ahogy az algebrai alakjukból, minden tagot minden taggal megszorozva adódik. Felhasználjuk még, hogy i2 = -1 Legyen: z1= a+bi; z2 = c+di; z3 = z1.z2 =? z3 = (a+bi).(c+di) = ac + adi + (bi).c + bd.(i2) = ac + (ad+bc)i+bd(-1)z1.z2 = z1z2=(ac-bd) + (ad+bc)i Szorzás trigonometrikus alakban Az abszolút értékek összeszorzódnak, a szögek össze adódnak
z1 = r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) z2 = r2 ( cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) z1 z2 = r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) r2 ( cos ϕ2 + i sin ϕ 2 )
z1 z2 = r1r2 ( cos ϕ1 cos ϕ 2 + i sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1i sin ϕ 2 + sin ϕ1 sin ϕ 2 (i ) 2 ) z1 z2 = r1r2 ( (cos ϕ1 cos ϕ 2 − sin ϕ1 sin ϕ 2 ) + (sin ϕ1 cos ϕ 2 + cos ϕ1 sin ϕ 2 )i ) z1 z2 = r1r2 ( cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + sin(ϕ1 + ϕ2 ) )
ϕ = arg z1 z 2 = arg z1 + arg z 2 = ϕ1 + ϕ 2 A szorzás geometriai jelentése Im z1·z2 a r φ
φ φ
r2 r1 z1 a
1 φ 2
1. Minden z komplex számra
3.
Minden z és w komplex számra
Re 1
1
Az abszolút érték tulajdonságai
2. Minden z és w komplex számra
z2
,
háromszög egyenlőtlenség
A komplex szám konjugáltja Definíció: z konjugáltja z
z
x − iy
x − iy A z komplex szám konjugáltja is
értelmezhető geometriailag: az eredeti komplex szám valós tengelyre vonatkozó tükörképe. A konjugált tulajdonságai
, ha w nem nulla akkor és csakis akkor, ha z valós
ha
z ≠ 0,
Az osztás definíciója Definíció: Az osztást a szorzás inverzeként definiáljuk. Azaz
z1 definíció szerint az a komplex szám, mellyel z2 -t megszorozva z1 - et kapunk. z2
Osztás algebrai alakban Felhasználva azt, hogy z és a konjugáltjának a szorzata valós szám (az abszolút 2
értékének négyzete azaz: z ⋅ z = z ) az algebrai alakban megadott komplex számok
osztását vissza lehet vezetni szorzásra. Ha mind a számlálót, mind a nevezőt megszorozzuk a nevező konjugáltjával, akkor a nevezőben valós szám lesz.
Felhasználtuk, hogy:
Bizonyítás:
Osztás trigonometrikus alakban Az osztást a szorzás inverzeként vezettük be, könnyű látni, hogy
olyan szám, melyet -t
z2 -vel megszorozva z1 - et kapjuk.
Az osztás egyértelműsége a szorzás egyértelműségéből következik, tehát:
Szavakban az "az abszolút értékeket osztjuk, a szögeket kivonjuk" Az osztás geometriai jelentése
Im z1
φ2 φ1
φ
z1/z2 α
α φ2
z2
Re 1
Hatványozás algebrai alakban Az algebrai alakban megadott komplex szám szorzására vonatkozó tételt és a binomiális tételt alkalmazva kapjuk:
Gyakorlatban a használata nehézkes.
Hatványozás trigonometrikus alakban A trigonometrikus alakban adott komplex szám szorzására szorzásra vonatkozó tételt általánosítjuk tetszőleges számú szorzó tényezőre.
Bizonyítás teljes indukcióval: n=1 re igaz az állítás, hiszen z1 = r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) Tegyük fel, hogy n=k ra is igaz:
z1 ⋅ z2 ⋅⋅⋅ zk = r1 ⋅ r2 ⋅⋅⋅ rn ( cos (ϕ1 + ϕ 2 + ... + ϕ k ) + i sin (ϕ1 + ϕ 2 + ... + ϕ k ) ) , és szorozzuk meg
mindkét oldalt
zk +1 -el, ekkor
(
)
z1 ⋅ z2 ⋅⋅⋅ zk ⋅ zk +1 = r1 ⋅ r2 ⋅⋅⋅ rn ( cos (ϕ1 + ϕ 2 + ... + ϕ k ) + i sin (ϕ1 + ϕ 2 + ... + ϕ k ) ) ⋅ rk +1 ( cos ϕ k +1 + i sin ϕ k +1 ) = = r1 ⋅ r2 ⋅⋅⋅ rk +1 ( cos (ϕ1 + .. + ϕ k +1 ) + i sin (ϕ1 + .. + ϕ k +1 ) ) ami bizonyítandó volt.
A fenti összefüggést a
z = z1 = z2 = ... = zn speciális esetre alkalmazva kapjuk a következő
azonosságot (Moivre tétele):
Nevezetes azonosságok Azonosság
Bizonyítás
a,
z = 0, ⇒ z = 0
b,
z = z⋅z
z =
c,
z=z
z = a2 + b2 ;
d,
(z1 ⋅ z 2 ) = z1 ⋅ z 2
(z1 ⋅ z 2 ) = (a + bj )(c + dj ) = (ac − bd ) + (ad + bc ) j = (ac − bd ) − (ad + bc ) j z1 ⋅ z 2 = (a − bj )(c − dj ) = (ac − bd ) + (− ad − bc ) j = (ac − bd ) − (ad + bc ) j
e,
z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2
2
a2 + b2 = 0 ⇒ a2 + b2 = 0 ⇒ a = b = 0 ⇒ z = 0 2
(a
z1 ⋅ z 2 =
2
+ b2
) =a 2
2
z ⋅ z = (a + bj )(a − bj ) = a 2 + b 2
+ b2 ;
z = a 2 + (− b ) = a 2 + b 2 2
( z1 ⋅ z 2 )( z1 ⋅ z 2 ) =
z1 ⋅ z 2 ⋅ z1 ⋅ z 2 =
(z ⋅ z )(z 1
1
2
)
⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2
b, illetve d, felhasználásával e, általánosítható: f,
teljes indukcióval bizonyítható
z1 ⋅ z 2 ⋅ … ⋅ z n = z1 ⋅ z 2 ⋅… ⋅ z n
g,
zn = z
h,
z z1 = 1 ; z2 ≠ 0 z2 z2
n
f, alapján, ha minden zi azonos (i=1,2,…,n)
z1 z z ⋅ z 2 = 1 ⋅ z 2 , de 1 ⋅ z 2 = z1 z2 z2 z2
a jobboldalakból az állítás adódik
Im b i,
− arg z = arg z O -b
z φ -φ
arg z = ϕ arg z = −ϕ
a
Re z
Definíció: A gyökvonás műveletét a hatványozás inverzeként definiáljuk. Az szerint olyan komplex szám, melynek az n-edik hatványa z.
n
z definíció
Gyökvonás trigonometrikus alakban Legyen z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , mivel a szinusz és a koszinusz függvények
2π szerint
periodikusak,
ahol,
k ∈Z
és mivel a gyökvonást a hatványozás inverzeként vezettük be, könnyű látni, hogy a
k = 0,1,2,...n-1 n különböző komplex szám, melyek mindegyikének az n-edik hatványa z. Megvizsgálva a gyököket látjuk, hogy mindegyikük abszolút értéke azonos 2π egymással bezárt szögük többszöröse. n Ez azt jelenti, hogy a komplex számsíkon egy origó középpontú
n
n
r , és
r sugarú körön
egyenletesen helyezkednek el. Ha ezen pontokat összekötjük, akkor egy n oldalú szabályos sokszöget kapunk. Pl:
3
z
Az n-edik gyökvonás n értékű művelet,
Kidolgozott feladatok Adja meg algebrai alakban a következő komplex számokat!
(1 + i ) 2 (1 − i )
4
3 3
=?
1=? 0 + 2π ⋅ k 0 + 2π ⋅ k ⎞ ⎛ 1 = 3 1( cos 0 + i sin 0 ) = 3 1 ⎜ cos + i sin ⎟ , ahol k=0,1,2 3 3 ⎝ ⎠
0 + 2π ⋅ 0 0 + 2π ⋅ 0 ⎞ ⎛ k = 0 ⇒ z1 = 1⎜ cos + i sin ⎟ = 1( cos 0 + i sin 0 ) = 1(1 + i ⋅ 0 ) = 1 3 3 ⎝ ⎠
0 + 2π ⋅1 0 + 2π ⋅1 ⎞ ⎛ 2π 2π ⎛ k = 1 ⇒ z2 = 1⎜ cos + i sin + i sin ⎟ = 1⎜ cos 3 3 3 3 ⎝ ⎠ ⎝
1 3 ⎞ ⎟ = − +i 2 2 ⎠
0 + 2π ⋅ 2 0 + 2π ⋅ 2 ⎞ ⎛ 4π 4π ⎛ k = 2 ⇒ z3 = 1⎜ cos + i sin + i sin ⎟ = 1⎜ cos 3 3 3 3 ⎝ ⎠ ⎝
1 3 ⎞ ⎟ = − −i 2 2 ⎠
Házi feladatok