LIEÁRIS ALGEBRA
VEKTORTÉR
Vektortér A vektortér (lineáris tér, lineáris vektortér) két, már tanult algebrai struktúrát kapcsol össze. Def.: Legyen V nemüres halmaz, amelyben egy összeadásnak nevezett művelet van definiálva, és amelyre nézve kommutatív csoportot alkot. T legyen tetszőleges kommutatív test. A V (nemüres) halmazt vektortérnek nevezzük a T test felett, ha definiálható olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya T x V, értékkészlete V, és a következő tulajdonságokkal rendelkezik: - Bármely λ, µ ∈T és v∈V esetén: (λ+µ)v=λv+µv - Bármely λ∈T és v, u∈V esetén: λ(u+v)=λu+λv - Bármely λ, µ ∈T és v∈V esetén: (λµ)v=λ(µv) - Bármely v∈V esetén: 1v=v, ahol 1 a T test (szorzásra vonatkozó) egységeleme (azaz amellyel minden λ∈T-re 1λ=λ1=λ).
A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet). Megjegyzés: Ebben a fejezetben aláhúzással jelöljük a vektorokat. Példák valós számok fölötti vektorterekre: - sík vektorai: geometriai és rendezett pár értelemben is, a szokásos összeadásra és számmal való szorzásra nézve vektorteret alkotnak a valós (racionális) számok teste felett. - tér vektorai: geometriai és rendezett hármas értelemben is, a szokásos összeadásra és számmal való szorzásra nézve vektorteret alkotnak a valós (racionális) számok teste felett. - n×m-es mátrixok, speciálisan: 1 x n –es sorvektorok, n x 1-es oszlopvektorok a szokásos mátrix összeadásra és számmal való szorzásra nézve vektorteret alkotnak a valós (racionális) számok teste felett.
©Bércesné Novák Ágnes
1
LIEÁRIS ALGEBRA
VEKTORTÉR
a 0 - az alakú 2 x 2-es mátrixok, ahol a∈R, a szokásos mátrix összeadásra és számmal való szorzásra nézve vektorteret alkotnak a valós a a (racionális) számok teste felett. - az egyetlen elemet, a 0 vektort tartalmazó halmaz a szokásos mátrix összeadásra és számmal való szorzásra nézve vektorteret alkot a valós (racionális) számok teste felett. -
Minden test tekinthető önmaga feletti vektortérnek.
- legfeljebb n-edfokú polinomok R felett A definíció következményei: 1. Bármely λ ∈T –re λ0=0, ahol 0 a V halmazbeli összeadás inverze Biz.: Freud 4.1.2 tétel (99. old.) v+0=v /λ λ(v+0)= λv, baloldal felbontva: λv+λ0=λv Mindkét oldalhoz (λv) inverz elemét, (λv)-1-et hozzáadva: λv+(λv)-1+λ0=λv+(λv)-1 0 +λ0=0 λ0=0 2. Bármely v∈V-re 0v=0, ahol 0 a T testbeli összeadás egységeleme. Biz.: λ v=(λ+0)v=λv+0v Először a testbeli + egységelem definícióját, aztán a vektortér definíciójában megkövetelt vegyes disztributív szabályt alkalmaztuk. Mindkét oldalhoz (λv) inverz elemét, (λv)-1-et hozzáadva: λv+(λv)-1 = λv+(λv)-1+0v 0 = 0 + 0v=0v
©Bércesné Novák Ágnes
2
LIEÁRIS ALGEBRA
VEKTORTÉR
3. Bármely v∈V-re, (-1)v=v-1, ahol (-1) a T testbeli szorzás egységelemének az összeadásra vonatkozó inverze, v-1 pedig a vektortérben a v vektor összeadásra vonatkozó inverze. Biz.: 0=((-1)+1)v a 2. állítás miatt 0= (-1)v+1v=(-1)v+v a vektortér vegyes disztributivitási szabálya miatt, valamint az 1v=v kikötése miatt. Másrészt 0=v-1+v a 0 definíciója miatt. Mindkét oldalhoz v inverz elemét, v-1-et hozzáadva: v-1 =(-1)v+v +v-1 v-1 =(-1)v+0 v-1 =(-1)v 4. Ha λ v=0, , λ∈T, v∈V akkor vagy λ =0, vagy v=0 Biz.: Ha λ≠0, akkor λ-nak létezik a szorzásra vonatkozó inverze a T testben, legyen ez λ-1. λ v=0 mindkét beszorozva λ-1-gyel, λ-1λv=λ-10 Baloldal=1v=v, ahol 1 a tesbeli szorzás egységeleme Jobboldal=0 az 1. következmény miatt. Def.: A T test feletti V vektortér egy nemüres W⊆V részhalmazát altérnek nevezzük a V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon T test felett ugyanazokra a V-beli vektorműveletekre (pontosabban ezeknek a műveleteknek a W-re történő megszorításaira) nézve. Példák altérre: 1. síkvektorok halmaza⊆térvektorok halmaza 2. Előbbi példában, ha a síkvektorokat (x, y, 0) számhármasokkal (x, y ∈R), a térvektorokat (x, y, z) számhármasokkal (x, y, z ∈R) pedig reprezentáljuk, akkor a 0 harmadik elemmel rendelkező rendezett számhármasok vektortere altere az általános alakú számhármasoknak. 3. λ(a, b, c), ahol λ, a, b, c∈R, alakú számhármasok a valós számtest felett, ha az összeadást megfelelő elemenként definiáljuk, a számmal való szorzást pedig elemenkénti szorzással (biz. később).
©Bércesné Novák Ágnes
3
LIEÁRIS ALGEBRA
a 0 alakú valós elemű mátrixok alteret alkotnak az a a
4. Az
VEKTORTÉR
a 0 b c alakú valós elemű mátrixok vektorterében, amelyek alteret alkotnak
a b az alakú valós elemű mátrixok vektorterében a valós (racionális) számok teste felett. c d
5. Minden vektortérben a {0} altér. Jelölés: R x R x….x R=Rn, spec.: R x R=R2, R x R x R=R3 Megjegyzés: R2 és R3 lényegében azonos (pontosabban izomorf, ld. később) a sík illetve a tér vektoraival. Feladatok: 1. Általánosítsa a 2. példát rendezett szám n-esekre! 2. Milyen általánosítás tehető a 3. példával kapcsolatban?
©Bércesné Novák Ágnes
4
LIEÁRIS ALGEBRA
VEKTORTÉR
Tétel: Egy T test feletti V vektortérben egy W nemüres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha: (i) u, v∈W⇒u+v∈W (ii) v∈W, λ∈T⇒λv∈W teljesül. Megjegyzés: Ha a vektortér egy részhalmazáról be akarjuk látni, hogy egyben altér is, elegendő azt bizonyítani, hogy a vektorok összeadása és a skalárral való szorzás nem vezet ki a részhalmazból. Biz.: A kommutativitás, asszociativitás, disztributív szabályok általános érvényűek, így azokat nem kell bizonyítani. Kérdéses lehet az egység (vektor) és az inverz(vektor) létezése. Ezeket a tétel feltételei biztosítják, hiszen 0 ∈T esetén bármely v∈W-re 0v=0, ami (ii) miatt W-beli. Hasonlóan, -1∈T-re a (ii) feltétel miatt, és a fent bizonyított 3. következmény miatt (–1)v=v-1 , vagyis minden W-beli elem +-ra vonatkozó inverze is W-beli. Igazoljuk a fenti, altérre vonatkozó példák helyességét!
©Bércesné Novák Ágnes
5
