VARIABEL KOMPLEKS
SUMANANG MUHTAR GOZALI
KBK ALJABAR & ANALISIS
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2009
2
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI
2
1 Sistem Bilangan Kompleks (C) 1.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sifat-sifat Aljabar Bilangan Kompleks . 1.3 Interpretasi Geometris . . . . . . . . . 1.4 Ketaksamaan Segitiga . . . . . . . . . 1.5 Bentuk Polar . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Bentuk Eksponensial . . . . . . . . . . 1.7 Pangkat dan Akar . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
1 1 2 3 3 3 3 3
2 Fungsi Analitik 2.1 Fungsi dengan variabel kompleks 2.2 Limit . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Kekontinuan . . . . . . . . . . . . 2.4 Turunan . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Persamaan Cauchy-Riemann . . . 2.6 Fungsi Analitik . . . . . . . . . . 2.7 Fungsi Harmonik . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
5 5 5 5 5 6 6 6
3 Fungsi Elementer 3.1 Fungsi Eksponen . . 3.2 Fungsi Trigonometri 3.3 Fungsi Logaritma . . 3.4 Eksponen Kompleks
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
7 7 7 7 8
4 Integral di R 4.1 Fungsi Bernilai Kompleks 4.2 Integral Lintasan . . . . . 4.3 Anti-Turunan . . . . . . . 4.4 Formula Cauchy . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
9 9 9 9 9
dan Deret . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
11 11 11 11 12
. . . .
5 Deret di C 5.1 Kekonvergenan Barisan 5.2 Deret Taylor . . . . . . 5.3 Deret Laurent . . . . . 5.4 Kekonvergenan Mutlak
. . . .
6 Teori Residu 13 6.1 Residu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6.2 Teorema Residu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 DAFTAR PUSTAKA
15
3
BAB 1 Sistem Bilangan Kompleks (C) Pada bab pertama ini kita akan mempelajari struktur bilangan kompleks, dimulai dengan definisi dan sifat-sifat aljabar kemudian ...
1.1
Pendahuluan
Pada sistem bilangan real kita tidak mengenal konsep akar dari suatu bilangan √ negatif. Sekarang kita mendefinisikan bilangan i = −1, atau i2 = −1. Selanjutnya, kita mendefinisikan himpunan bilangan kompleks sebagai C = {x + yi : x, y ∈ R}. Untuk kemudahan penulisan notasi, kita akan sering menggunakan notasi z = (x, y) untuk z = x + yi. Misalkan z = x + yi ∈ C, kita menyebut x sebagai bagian real dari z, dinotasikan dengan Re z, dan y kita sebut bagian imajiner dari z, dinotasikan dengan Im z. Jika bagian imajiner suatu bilangan kompleks adalah nol, maka kita peroleh suatu bilangan real. Dengan demikian kita memandang sistem bilangan real sebagai subhimpunan di sistem bilangan kompleks. Sebagaimana pada sistem bilangan real, pada sistem bilangan kompleks C kita dapat mendefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian. Misalkan z1 = x1 + y1 i, z2 = x2 + y2 i keduanya di C. Kita mendefinisikan penjumlahan dan perkalian dari z1 dan z2 melalui z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i 1
2
BAB 1. SISTEM BILANGAN KOMPLEKS (C) z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 )i.
Selanjutnya, kita mendefinisikan invers penjumlahan dari z, sebagai −z = (−x) + (−y)i. Dengan mudah kita dapat memeriksa kesamaan z + (−z) = 0. Jika z = x + yi 6= 0, kita mendefinisikan invers z terhadap perkalian sebagai z −1 =
1.2
x2
x −y + 2 i 2 +y x + y2
Sifat-sifat Aljabar Bilangan Kompleks
Untuk semua a, b, c ∈ C, operasi penjumlahan dan perkalian memenuhi semua sifat berikut: Sifat Ketertutupan a + b dan a.b keduanya adalah elemen di R SifatKomutatif a + b = b + a, a.b = b.a Sifat Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c), (a.b).c = a.(b.c) Sifat Distributif a.(b + c) = a.b + a.c dan (b + c).a = b.a + c.a Eksistensi Identitas Penjumlahan Terdapat 0 ∈ C sehingga 0 + a = a. Eksistensi Identitas Perkalian Terdapat elemen 0 6= 1 ∈ C sehingga 1.a = a untuk semua a ∈ C Eksistensi Invers Penjumlahan Untuk setiap a ∈ C terdapat −a ∈ C sehingga a + (−a) = 0. Eksistensi Invers Perkalian Untuk setiap x 6= 0 di C terdapat satu elemen x−1 ∈ C sehingga x. x1 = 1. Latihan
1.
2.
3.
4.
1.3. INTERPRETASI GEOMETRIS
1.3
Interpretasi Geometris
1.4
Ketaksamaan Segitiga
1.5
Bentuk Polar
Latihan 1. 2. 3.
1.6
Bentuk Eksponensial
1.7
Pangkat dan Akar
3
4
BAB 1. SISTEM BILANGAN KOMPLEKS (C)
BAB 2 Fungsi Analitik 2.1
Fungsi dengan variabel kompleks
2.2
Limit
2.3
Kekontinuan
2.4
Turunan
Latihan
2.5
Persamaan Cauchy-Riemann
Latihan 1. 2. 3.
2.6
Fungsi Analitik
Latihan 5
6
BAB 2. FUNGSI ANALITIK 1. 2. 3.
2.7
Fungsi Harmonik
BAB 3 Fungsi Elementer Pada bab ini ...
3.1
Fungsi Eksponen
Latihan 1. 2. 3.
3.2
Fungsi Trigonometri
Latihan 1. 2. 3.
3.3
Fungsi Logaritma
Latihan 7
8
BAB 3. FUNGSI ELEMENTER 1. 2. 3.
3.4
Eksponen Kompleks
BAB 4 Integral di C 4.1
Fungsi Bernilai Kompleks
4.2
Integral Lintasan
Latihan 1. 2. 3.
4.3
Anti-Turunan
Latihan 1. 2. 3.
4.4
Formula Cauchy
Latihan 9
10
BAB 4. INTEGRAL DI C 1. 2. 3.
BAB 5 Deret di C 5.1
Kekonvergenan Barisan dan Deret
Latihan 1. 2. 3.
5.2
Deret Taylor
Latihan 1. 2. 3.
5.3
Deret Laurent
Latihan 1. 11
12
BAB 5. DERET DI C 2. 3.
5.4
Kekonvergenan Mutlak
Latihan 1. 2. 3.
BAB 6 Teori Residu 6.1
Residu
Latihan 1. 2. 3.
6.2
Teorema Residu
Latihan 1. 2. 3.
13
14
BAB 6. TEORI RESIDU
DAFTAR PUSTAKA
[1] Bartle, R.G. (1985), Introduction to Real Analysis, John Wiley & Sons. Inc. [2] Churchill, Ruel V. (1978), Compleks Variables and Applications, McGRAWHILL. [3] Wade, W.R. (2000), An Introduction to Analysis, Prentice Hall. [4] Zeidler, Eberhard (1995), Applied Functional Analysis, Springer-Verlag New York, Inc.
15
