V. FUNGSI TRIGONOMETRI DAN FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI 5.1 Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat: 1. menyebutkan definisi sinus, cosinus dan tangen dalam segitiga siku-siku; 2. menghitung nilai sinus, cosinus dan tangen suatu sudut; 3. menggambar grafik fungsi sinus; 4. menentukan perioda fungsi sinus; 5. menentukan maksimum dan minimum fungsi sinus; 6. menggambar grafik fungsi cosinus; 7. menentukan perioda fungsi cosinus; 8. menentukan maksimum dan minimum fungsi cosinus; 9. menggambar grafik fungsi tangen; 10. menentukan perioda fungsi tangen; 11. menentukan maksimum dan minimum fungsi tangen 12. menggambar grafik fungsi arc sinus; 13. menggambar grafik fungsi arc cosinus; 14. menggambar grafik fungsi arc tangen.
B. Deskripsi Singkat Isi Bab Bab ini berisi tentang: 1. definisi sinus, cosinus, dan tangen dalam segitiga siku-siku; 2. fungsi sinus; 3. fungsi cosinus; 4. fungsi tangen.
5. fungsi arc sinus; 6. fungsi arc cosinus; 7. fungsi arc tangen.
Kata kunci: fungsi, trigonometri, invers trigonometri
5.2 Fungsi Trigonometri A. Definisi sinus, cosinus, dan tangen (sine, cosine, and tangent)
C
A
B
Segitiga ABC siku-siku di B
Sinus A =
BC AC
Cosinus A =
AB AC
Tangen A =
BC AB
Contoh 1. Hitunglah nilai sinus, kosinus dan tangen dari sudut A dan C dalam segitiga di bawah ini. C Panjang sisi AB = 1 m Panjang sisi BC =
3 m
Panjang sisi AC = 2 m
A
B
Penyelesaian: Sinus A =
BC = AC
3 2
1 2
3
Cosinus A =
AB 1 = AC 2
Tangen A =
3 BC = 3 AB 1
2. Diketahui rangka batang (kuda-kuda) seperti gambar di bawah ini. Jika diketahui sudut A = 30o, tentukanlah panjang kaki kuda-kuda (sisi AD) dan tinggi tiang kuda-kuda (sisi BD). D
A
B
C
3m
Penyelesaian: Dari daftar trigonometri atau dari kalkulator dapat diperoleh, sinus 30o = 0,5
cosinus 30o = 0,8660
tangen 30o = 0,5774
Salah satu dari nilai-nilai tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan soal ini. Tangen A = tangen 30o = 0,5774 =
BD AB
BD AB
BD = 0,5774.AB = 0,5774(1 12 ) = 0,8661 Jadi tinggi kaki kuda-kuda (sisi BD) = 0,8661 m
Cosinus A = cosinus 30o = 0,8660 =
AB AD
AB AD
AB 1 21 AD = 1,7321 0,8660 0,8660 Jadi panjang kaki kuda-kuda (sisi AD) = 1,7321 m.
Catatan: sisi AD juga dapat dihitung dengan menggunakan sinus atau tangen.
B. Fungsi-Fungsi Trigonometri dan Grafiknya 1. Fungsi Sinus Bentuk Umum
Bentuk umum fungsi sinus adalah f(x) = sin x, dengan x adalah satuan ukuran sudut.
Grafik fungsi sinus dapat diperoleh dengan membuat tabel nilai sinus dari sudut-sudut yang berada dalam daerah definisi. Dibawah ini fungsi sinus digambarkan grafiknya untuk daerah definisi [0o, 360o] xo
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
sinx
0
0,5
0,8660
1
0,8660
0,5
0
-0,5
-0,8660
-1
300
330
360
-0,8660
-0,5
0
Jika daerah definisi diperluas untuk x R maka dapat diamati bahwa f(x) = sin x adalah fungsi periodik dengan periode 360o atau 2 radian seperti gambar dibawah ini.
2. Fungsi Cosinus Bentuk Umum
Bentuk umum fungsi sinus adalah f(x) = cos x, dengan x adalah satuan ukuran sudut.
Grafik fungsi cosinus dapat diperoleh dengan membuat tabel nilai cosinus dari sudut-sudut yang berada dalam daerah definisi. Dibawah ini fungsi cosinus digambarkan grafiknya untuk daerah definisi [0o, 360o]
xo
0
30
60
90
120
150
180
210
240
1
0,8660
0,5
0
-0,5
-0,8660
-1
-0,8660
-0,5
300
330
360
0,5
0,8660
1
270 cosx
Jika daerah definisi diperluas untuk x R maka dapat diamati bahwa f(x) = cos x adalah fungsi periodik dengan periode 360o atau 2 radian seperti gambar dibawah ini.
3. Fungsi Tangen Bentuk Umum Bentuk umum fungsi sinus adalah f(x) = tan x, dengan x adalah satuan ukuran sudut.
0
Grafik fungsi tangen dapat diperoleh dengan membuat tabel nilai tangen dari sudutsudut yang berada dalam daerah definisi. Dibawah ini fungsi tangen digambarkan grafiknya untuk daerah definisi [0o, 360o] xo
0
30
60
90
tanx
0
0,5774
1,7321
120
150
-1,7321 -0,5774
270
300
330
360
-1,7321
-0,5774
0
180
210
240
0
0,5774
1.7321
Jika daerah definisi diperluas untuk x R maka dapat diamati bahwa f(x) = tan x adalah fungsi periodik dengan periode 180o atau radian seperti gambar dibawah ini.
2.4 Fungsi Invers Trigonometri Definisi
Jika x = sin y, maka fungsi invers dari sinus didefinisikan dengan y = arc sin x. Dengan cara yang sama, jika: x = cos y maka inversnya adalah y = arc sin x; x = tan y maka inversnya adalah y = arc tan x.
Contoh: 1. Jika sin y = 0,5, hitunglah y, jika y < 90o!
Penyelesaian: sin y = 0,5 y = arc sin 0,5 y = 30o Catatan : ingat bahwa sin 30o = 0,5
2. Jika cos y = 0,7071, hitunglah y jika y < 90o!
Penyelesaian: cos y = 0,7071 y = arc cos 0,7071 y = 45o Catatan : ingat bahwa cos 45o = 0,7071 3. Jika tan y = 1,7321, hitunglah y, jika y < 90o!
Penyelesaian: tan y = 1,7321 y = arc tan 1,7321 y = 60o Catatan : ingat bahwa tan 60o = 1,7321
Daerah definisi dan grafik fungsi invers trigonometri adalah sebagai berikut: 1. Grafik fungsi y = arc sin x
Fungsi:
y = arc sin x
Daerah definisi: 1 x 1 Bagian utama : 90 y 90o
2. Grafik fungsi y = arc cos x
Fungsi
: y = arc cos x
Daerah definisi: 1 x 1 Bagian utama : 0o y 180o
3. Grafik fungsi y = arc tan x
Fungsi
: y = arc tan x
Daerah definisi: x R Bagian utama : 90o y 90o
Rangkuman
1. Definisi sinus, cosinus, dan tangen (sine, cosine, and tangent)
C
A
B
Segitiga ABC siku-siku di B Sinus A =
BC AC
Cosinus A =
AB AC
Tangen A =
BC AB
2. Bentuk umum fungsi sinus adalah f(x) = sin x, dengan x adalah satuan ukuran sudut.
3. Bentuk umum fungsi cosinus adalah f(x) = cos x, dengan x adalah satuan ukuran sudut. 4. Bentuk umum fungsi tangen adalah f(x) = tan x, dengan x adalah satuan ukuran sudut. 5. Jika x = sin y, maka fungsi invers dari sinus didefinisikan dengan y = arc sin x. Dengan cara yang sama, jika x = cos y maka inversnya adalah y = arc sin x; x = tan y maka inversnya adalah y = arc tan x.
Latihan
1. Perhatikan gambar struktur kuda-kuda di bawah ini.
1,2m
A
B
C
4m
Dengan menggunakan definisi-definisi dalam trigonometri, hitunglah panjang tiap-tiap elemen kuda-kuda tersebut.
2. Gambarkan grafik fungsi-fungsi di bawah ini. Tentukan perioda dan titik-titik ekstrimnya. a) y = sin 2x
k) y = sin x + cos x
b) y = 3 sin x
l) y = arc sin 2x
c) y = 3 sin 2x
m) y = 2 arc sin x
d) y = cos 3x
n) y = 2 arc sin 2x
e) y = 4 cos x
o) y = arc cos 3x
f) y = 4 cos 3x
p) y = 3 arc cos x
g) y = tan 2x
q) y = 3 arc cos 3x
h) y = 2 tan x
r) y = arc tan 2x
i) y = 2 tan 2x
s) y = 2 arc tan x
t) y = 2 arc tan 2x
