Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové číslo, které splňuje výše uvedenou podmínku, nazýváme ho řešením neboli kořenem rovnice. Rovnice, v nichž se neznámá vyskytuje pouze v první mocnině, nazýváme lineární. Představme si rovnost jako váhy, na jejichž miskách leží oba výrazy:
Jaké číslo musíme dosadit za neznámou x, aby byla rovnost zachována a misky zůstaly ve stejné výšce? Zpaměti snadno určíme, že hledaným číslem je 10. Jak jinak můžeme k tomuto číslu dospět? Řešení vidíme na obrázku. Přidáme-li na obě misky číslo 1, rovnováha (rovnost) se nezmění. Na levé misce zůstane pouze neznámá x, na pravé straně číslo 10. A nyní si celou situaci popišme matematickým jazykem: levá miska vah
...
levá strana rovnice
pravá miska vah
...
pravá strana rovnice
přidání čísla 1
...
přičtení čísla 1 k oběma stranám rovnice 1
a také matematickým zápisem: 𝑥−1=9
/ +1
𝑥−1+1= 9+1 𝒙 = 𝟏𝟎
U každé rovnice je možno provést zkoušku tak, že za neznámou dosadíme spočtený výsledek, a to zvlášť do každé strany rovnice. V našem konkrétním příkladě to bude vypadat následovně: L(10) = 10 – 1 = 9 P(10) = 9
L(10) = P(10)
Číslo 10 je řešením neboli kořenem rovnice. Množinu všech kořenů rovnice zapisujeme takto: K = {10}.
Ekvivalentní 1 úpravy Jedná se o úpravy, po jejichž provedení mají původní i nově vytvořená rovnice stejné kořeny. Ekvivalentní úpravy sice změní matematický zápis rovnice, nezmění však rovnost ani řešení (kořeny) rovnice. Proč je vůbec provádíme? Důvod je jednoduchý: pomocí ekvivalentních úprav se snažíme vyjádřit (osamostatnit) neznámou. Jaké ekvivalentní úpravy známe? 1. Přičtení nebo odečtení stejného čísla (výrazu) k oběma stranám rovnice. 2. Vynásobení nebo vydělení obou stran rovnice libovolným nenulovým číslem (výrazem). Pro úplnost dodejme, že kořen rovnice se nezmění ani v případě, že zaměníme pravou a levou stranu rovnice. Ekvivalentní úpravu zapisujeme obvykle za lomítko v řádku, kde jsme ji zahájili.
1
Význam slova ekvivalentní: rovnocenný, stejný.
2
Příklad: 2. 𝑥+3 =5
2.𝑥 + 3–𝟑 = 5 –𝟑 2. 𝑥 =2
2. 𝑥 ∶𝟐=2
/ −𝟑 / :𝟐
𝑥=1
𝑲 = {1}
Pomocí ekvivalentních úprav můžeme "převádět" neznámou z jedné strany rovnice na druhou. Násobení obou stran rovnice nenulovým číslem nám také umožňuje zbavit se zlomků. Příklad: 𝑥 2 𝑥 3 + = − /. 12 2 3 4 2 12 . 𝑥 12 . 2 12 . 𝑥 12 . 3 + = − 2 3 4 2 6𝑥 + 8 = 3𝑥 − 18
/– 3𝑥
/–8
6𝑥 + 8 − 3𝑥 − 8 = 3𝑥 − 3𝑥 − 18 − 8 3𝑥 = −26 𝑥=−
26 3
/:3
𝑲 = �−
𝟐𝟔 � 𝟑
Obor řešení rovnice Množinu, ve které hledáme všechny kořeny rovnice, nazýváme oborem řešení rovnice. Rovnici nejčastěji řešíme v oboru reálných čísel, ale existují i výjimky. Například při řešení slovních úloh pomocí rovnic může nastat situace, kdy budeme požadovat, aby oborem řešení byla pouze přirozená čísla – s ohledem počty lidí, zvířat apod.
3
Příklad: V N řešte rovnici: 4𝑥 − 6 = 2𝑥 + 5
/−2𝑥 /+6
4𝑥 − 2𝑥 − 6 + 6 = 2𝑥 – 2𝑥 + 5 2𝑥 = 5 𝑥=
5 2
𝑲=∅
/: 2
(Prázdná množina. Řešení není z oboru přirozených čísel.)
Počet řešení Rovnice může mít nekonečně mnoho řešení nebo žádné řešení. Ukažme si to na konkrétních příkladech.
Řešte v R: 3𝑥 + 2𝑥 + 1 = 5𝑥 + 7 − 6 5𝑥 + 1 = 5𝑥 + 1
/–5x
/–1
0=0
𝑲=𝑹
Pokud je výsledkem pravdivá rovnost, která neobsahuje neznámou, existuje nekonečně mnoho řešení rovnice. Jinak řečeno, množina všech kořenů je rovna oboru řešení rovnice. Řešte v R: 3𝑥 + 2𝑥 − 1 = 5𝑥 + 7 − 6 5𝑥 − 1 = 5𝑥 + 1 −1 ≠ 1
𝑲=∅ 4
Pokud je výsledkem nepravdivá rovnost, která neobsahuje neznámou, neexistuje žádné řešení rovnice. Jinak řečeno, množina všech kořenů je množinou prázdnou.
Rovnice s neznámou ve jmenovateli Jedná se o náročnější typ rovnic, ve kterých se neznámá vyskytuje ve jmenovateli aspoň jednoho zlomku. Neznámou odstraníme vhodným vynásobením celé rovnice. Při řešení těchto rovnic bychom měli v úvodu stanovit podmínky řešení. Příklad: Řešte v R: 3 10 + 𝑥 − =0 2 2𝑥 3𝑥 − (10 + 𝑥) = 0
/.2𝑥
𝒙≠𝟎
3𝑥 − 10 − 𝑥 = 0
2𝑥 − 10 = 0
2𝑥 = 10 𝒙=𝟓
𝑲 = {𝟓} Příklad: Řešte v R:
3 5−𝑥 = 3𝑥 − 12 𝑥−4 3 5−𝑥 5+ = 3(𝑥 – 4) 𝑥 − 4
5+
5+
1 5−𝑥 = 𝑥−4 𝑥−4
5(𝑥 − 4) + 1 = 5 − 𝑥
𝑥−4≠0⇒𝒙≠𝟒
/(𝑥 − 4)
5𝑥 − 20 + 1 = 5 − 𝑥 6𝑥 = 24 𝒙=𝟒
/:6
𝑲=∅
5
Poznámka: Pokud bychom provedli zkoušku, zjistili bychom, že číslo 4 není kořenem dané rovnice. Zkouška tedy může nahradit podmínky řešení, ale někdy bývá časově náročnější.
Příklad: Řešte v R: 12 1 − 3𝑥 1 + 3𝑥 = + 2 1 − 9𝑥 1 + 3𝑥 3𝑥 − 1
12 1 − 3𝑥 1 + 3𝑥 = − (1 − 3𝑥)(1 + 3𝑥) 1 + 3𝑥 (1 − 3𝑥)
1 + 3𝑥 ≠ 0, 1 – 3𝑥 ≠ 0 ⇒ 𝒙 ≠ ±
/(1 – 3x)(1 + 3x)
12 = (1 − 3𝑥)2 − (1 + 3𝑥)2
vytknutí čísla − 𝟏
12 = (1 − 6𝑥 + 9𝑥 2 ) − (1 + 6𝑥 + 9𝑥 2 ) 12 = 1 − 6𝑥 + 9𝑥 2 − 1 − 6𝑥 − 9𝑥 2
12 = −12𝑥
𝑲 = {– 𝟏}
−1 = 𝑥
Poznámka: V průběhu řešení jsme použili obrat vytýkání čísla – 1 před závorku: 3𝑥 − 1 = −𝟏(1 − 3𝑥) = −(1 − 3𝑥)
6
𝟏 𝟑
Řešení soustav 2 rovnic o 2 neznámých Řešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých znamená najít takovou uspořádanou dvojici čísel x, y (zapisujeme [x, y]), která jsou řešením obou rovnic.
Způsoby řešení Různé způsoby řešení si ukažme na konkrétní soustavě rovnic. 1. Dosazovací metoda Při řešení soustavy dosazovací metodou vyjádříme nejprve jednu z neznámých z první rovnice a pak tento výsledek vložíme do druhé rovnice. Příklad: V reálných číslech řešte soustavu rovnic dosazovací metodou: 4𝑥 + 2𝑦 = 14
7𝑥 − 3𝑦 = 5__
2𝑦 = 14 − 4𝑥 𝒚 = 𝟕 − 𝟐𝒙
/: 2 (z první rovnice vyjádříme např. neznámou 𝒚)
vyjádřenou proměnnou 𝒚 dosadíme do druhé rovnice 7𝑥 − 3(𝟕 − 𝟐𝒙) = 5
a vypočteme proměnnou 𝒙 :
7𝑥 − 21 + 6𝑥 = 5
13𝑥 = 26
/+21
𝒙=𝟐
výsledek dosadíme zpět do neznámé 𝒚: 𝑦 = 7 −2 .2 𝑦 = 7−4 𝒚=𝟑
Zkoušku provedeme tak, že výsledky dosadíme do obou rovnic. L1 = 4 . 2 + 2 . 3 = 8 + 6 = 14
7
P1 = 14 L 1 = P1
L2 = 7 . 2 − 3 . 3 = 14 − 9 = 5 P2 = 5
L 2 = P2 Řešením soustavy rovnic je uspořádaná dvojice [𝟐, 𝟑]. Množinu výsledků můžeme zapsat takto: 𝑲 = {[𝟐, 𝟑]} 2. Sčítací metoda Při řešení soustavy rovnic sčítací metodou vynásobíme jednu z rovnic (nebo obě) vhodným číslem (nebo čísly) tak, aby po sečtení obou rovnic zůstala nejvýše jedna neznámá. Příklad: V reálných číslech řešte soustavu rovnic sčítací metodou: 4𝑥 + 2𝑦 = 14
/.3
7𝑥 − 3𝑦 = 5__ /.2 12𝑥 + 6𝑦 = 42
14𝑥 − 6𝑦 = 10__
+
26𝑥 = 52 /:26
Sečtením obou rovnic se pokusíme odstranit neznámou 𝒚.
𝒙 =𝟐
výsledek dosadíme za proměnnou 𝒙 do libovolné z rovnic, například do první rovnice:
12 . 2 + 6𝑦 = 42 24 + 6𝑦 = 42
/–24 8
6𝑦 = 42 − 24 6𝑦 = 18
/: 6
𝒚=𝟑
𝑲 = {[𝟐, 𝟑]}
Další informace o řešení lineárních rovnic a jejich soustav - viz látka 1. ročníku (kapitola: Lineární funkce, rovnice, nerovnice a jejich soustavy). Odkaz na další studijní materiály: http://www.szscb.wz.cz/info/projekty/sablony/ma2.htm
Použitá literatura a ostatní zdroje CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU - 1. díl. 1. vydání. Prometheus, 2008. ISBN 978-80-7196-020-1. Obrázky - zdroj: vlastní tvorba
9
