UKURAN SIMPANGAN DAN UKURAN VARIASI Ukuran simpangan: ‐ Rentang ‐ Rentang antar kuartil ‐ Simpangan kuartil ‐ Rata‐rata simpangan Ukuran Variasi: ‐ Varians ‐ Simpangan baku ‐ Angka Baku ‐ Koefisien Variasi Ukuran Simpangan a. Rentang , data terbesar ‐ data terkecil Semakin kecil simpangan semakin homogen datanya b. Rentang Antar Kuartil, Contoh: Kelas f K 67.64 dan K 86.5 31‐40 2 Maka 86.5 67.64 18.86 41‐50 3 51‐60 5 61‐70 14 71‐80 24 81‐90 20 91‐100 12 Jumlah 80 c. Simpangan Kuartil, d. Rata‐rata Simpangan, RS Untuk data tunggal ∑ | | Contoh: 8, 7, 10, 11 Jawab: untuk data tersebut memiliki rata‐rata: | | 1 2 1 2 8 ‐1 1 4 7 ‐2 2 10 1 1 11 2 2 Untuk Data Kelompok | ∑
9 1.5
|
Dengan ∑ = nilai tengah kelas = rata‐rata
KED
Contoh: | | | | Kelas f 75.875 31‐40 2 35.5 40.375 80.75 41‐50 3 45.5 30.375 91.125 51‐60 5 55.5 20.375 101.875 61‐70 14 65.5 10.375 145.25 71‐80 24 75.5 0.375 9 81‐90 20 85.5 9.625 192.5 91‐100 12 95.5 19.625 235.5 Jumlah 80 856 | | 856 dan Berdasarkan tabel di atas didapat: ∑ 80 . Maka 856 10.7 80 Ukuran Variasi a. Varians Untuk populasi berukuran N dan rata‐ratanya μ maka variansnya ∑ Ukuran‐ukuran yang diperoleh dari populasi disebut parameter. Untuk sampel berukuran n dan rata‐ratanya maka variansnya ∑ 1 Ukuran‐ukuran yang diperoleh dari sampel disebut statistik. Contoh:Berapakah varians dari 5, 7, 1, 2, 4 dengan rata‐rata 3.8 ?
3.8 5 1.2 1.44 7 3.2 10.24 1 ‐2.8 7.84 2 ‐1.8 3.24 4 0.2 0.04 Berdasarkan tabel di atas didapat: ∑ 22.8 dan n = 5 . Maka 5.7 Jika data sampel tidak diketahui rata‐ratanya maka formula varians: ∑ ∑ 1 Contoh: Berapakah varians dari 5, 7, 1, 2, 4? Berdasarkan tabel di samping diperoleh: n = 5, ∑ 95 dan 5 25 ∑ 19. Maka variansnya 7 49 5 95 19 114 5.7 1 1 5 4 20 2 4 4 16 19 95
KED
Data Kelompok ∑ 1
Dengan = nilai tengah kelas ke‐i = rata‐rata hitung ∑ Contoh: Kelas f 75.875 31‐40 2 35.5 ‐40.375 3260.28 41‐50 3 45.5 ‐30.375 2767.92 51‐60 5 55.5 ‐20.375 2075.7 61‐70 14 65.5 ‐10.375 1506.97 71‐80 24 75.5 ‐0.375 3.38 81‐90 20 85.5 9.625 1852.81 91‐100 12 95.5 19.625 4621.69 Jumlah 80 16088.75 Berdasarkan tabel di atas diperoleh: n = 80 dan ∑ 16088.75 . Maka diperoleh: 203.66 Untuk data kelompok yang rata‐ratanya belum diketahui formula varians dapat menggunakan ∑ ∑ 1 Dengan = nilai tengah kelas ke‐i ∑ Contoh: Kelas f 31‐40 2 35.5 71 2520.5 41‐50 3 45.5 136.5 6210.75 51‐60 5 55.5 277.5 15401.25 61‐70 14 65.5 917 60063.5 71‐80 24 75.5 1812 136806 81‐90 20 85.5 1710 146205 91‐100 12 95.5 1146 109443 Jumlah 80 6070 476650 Berdasarkan tabel di atas diperoleh: n = 80, ∑ 476650dan ∑ 6070. Maka diperoleh:
203.66
Untuk data kelompok yang panjang kelasnya sama untuk formula variansnya menjadi: ∑ ∑ 1 Dengan = kode kelas ke‐i (pengkodean sama sewaktu menentukan rata‐rata hitung) ∑
KED
= panjang kelas Contoh: Kelas f 31‐40 2 ‐4 ‐8 32 41‐50 3 ‐3 ‐9 27 51‐60 5 ‐2 ‐10 20 61‐70 14 ‐1 ‐14 14 71‐80 24 0 0 0 81‐90 20 +1 20 20 91‐100 12 +2 24 48 Jumlah 80 3 161 Berdasarkan tabel di atas diperoleh: p = 10, n = 80, ∑ Maka diperoleh:
10
161 dan ∑
3
203.66
Untuk data yang terdiri dari jumlah sampel ( , maka varians gabungannya: ∑
,…,
) dan simpangan bakunya ( , 1
∑
,…,
)
Contoh: Misal 45 dengan 10, 48 dengan 18, dan 50 dengan Berapakah varians gabungannya? Jawab: 26684 48 1 18 50 1 12 45 1 10 190.6 45 48 50 3 140 b. Simpangan Baku, s, (akar positif dari varians)
12.
∑
1 Contoh: Untuk data kelompok di atas dengan varians 203.66, maka simpangan bakunya √203.66 14.27 c. Angka Baku (z), mengukur perbedaan nilai observasi dengan per simpangannya baku) Contoh: A mendapat nilai 86 pada ujian akhir Matematika, di mana rata‐rata dan simpangan baku kelompok masing‐masing 78 dan 10. Padas ujian akhir Statistika di mana rata‐rata kelompok 84, dan simpangan baku kelompok 18, A mendapat nilai 92. Dalam mata ujian manakah A mencapai kedudukan yang lebih baik? Jawab: 0.8 0.44 Harga z ini menunjukkan bahwa, A mendapatkan 0,8 s di atas rata‐rata nilai Matematika dan 0,44 s di atas rata‐rata nilai Statistika. Berarti kedudukan A lebih tinggi dalam Matematika.
KED
Untuk rata‐rata = , simpangan baku didapat angka baku dengan rumus: d. Koefisen Variasi Definisi: Jika dari sebuah sampel dihitung dan s, maka koefisien variasi didefinisikan sebagai formula berikut: 100% Kategori tafsiran KV: No Kategori (%) Interpretasi KV 1 45 atau lebih Sangat heterogen 2 40 – 44 Heterogen 3 30 – 39 Normal 4 25 – 29 Homogen 5 Kurang dari 25 Sangat homogen Contoh: Menurut sensus pendapatan perbulan di Malaysia setara dengan Rp. 5000000,00 dengan simpangan baku Rp. 3000000,00. Di Indonesia rata‐rata Rp. 4000000,00 dengan simpangan baku Rp. 2000000,00. Tunjukkanlah secara statistik negara mana yang lebih merata pendapatannya. Jawab: 100% 60% Malaysia: 100% 50% Indonesia : Jadi yang lebih merata adalah Indonesia, sebab makin kecil koefisien variasi makin seragam/homogen pendapatan. KED
Tambahan Teorema Tchebysheff Misal 1 dan sebuah himpunan sampel berukuran n, setidaknya ada 1 percobaan yang akan berada diantara dari rata‐rata. Misal 1 k 1
1
hasil
1 1‐1=0 1 1 ⁄4 3 ⁄ 4 2 1 1 ⁄9 8 ⁄ 9 3 Artinya o Setidaknya tidak ada data yang berada di interval sampai o Setidaknya 3⁄4 data berada interval 2 sampai 2 o Setidaknya 8⁄9 data berada interval 3 sampai 3 Contoh: Rata‐rata dan varians dari sebuah sampel dengan n = 25 secara berturut‐turut adalah 75 dan 100. Gunakan Teorema Tchebysheff untuk mendefiniskan data tersebut Jawab 100. Maka simpangan bakunya = 10. Distribusi data dipusat sekitar Diketahui 75 dan 75 dan menurut teorema Tchebysheff: o Setidaknya 3⁄4 data berada interval 2 75 2 10 yaitu antara 55 sampai 95 o Setidaknya 8⁄9 data berada interval 3 75 3 10 yaitu antara 45 sampai 105 Daftar Pustaka Mendenhall, W., Beaver, R., Beaver, B. 2006. Introduction to Probability and Statistics. USA: Thomson Brooks/Cole Panggabean, Luhut. 2000. Statistika Dasar. Bandung: UPI Sudjana. 2005. Metode Statistika. Bandung: Tarsito
KED