UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 9 April 2001 Waktu : 2,5 jam
1. Tentukan
dy jika dx
(a) y =
5x2 2 (x + 1)
(b) y = cos2
x2 .
2. Dengan menggunakan de…nisi turunan, tentukan f 0 (x) untuk fungsi f berikut f (x) = x2 3x + 4:
3. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva 4x2 + di titik
2
4
y 2 + sin (xy) =
2
;0 :
4. Tentukan turunan ke n dari fungsi f dengan f (x) =
1 (2x
2.
5)
5. Diketahui f dan g adalah fungsi dari R ke R yang memenuhi f 0 (x) =
1 ; x
dan
(f
Tunjukkan bahwa g 0 (x) = g (x) :
1
g) (x) = f (g(x)) = x:
6. Diketahui fungsi f dengan f (x) =
p px ; x 0 x ; x<0
(a) Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata (TNR) berlaku untuk f pada : i. selang [0; 4] ; ii. selang [ 1; 4] : (b) Jika TNR ada yang dapat diterapkan pada bagian (a) di atas maka tentukan nilai c pada selang yang dimaksud.
7. Sebuah tangki berbentuk kotak dengan alas bujursangkar dengan sisi 60 cm dan tinggi tangki 100 cm diletakkan di atas drum berbentuk silinder dengan jari-jari 30 cm dan tinggi 100 cm. Mula-mula tangki tersebut penuh dengan air sedangkan drum dalam keadaan kosong. Kemudian air di tangki dialirkan ke dalam drum dengan laju tertentu sehingga laju turunnya tinggi air di tangki adalah 10 cm/menit. Tentukan laju naiknya tinggi air di dalam drum pada saat tinggi air di drum 40 cm. 8. Diketahui fungsi f dengan 8 ; 4 x<0 < 0 1=4 f (x) = x ; 0 x 4 : 2 x 2x + 2 ; 4 < x < 6 Lakukan analisis untuk menentukan : (a) semua titik kritis, (b) nilai maksimum global dan nilai minimum global.
9. Diketahui fungsi f dengan f (x) = 16x x2 (x2
4 4
4)
x x2
4
; f 0 (x) =
x2 (x2
4
2;f
4)
00
(x) =
: Tentukan (jika ada) :
(a) selang-selang di mana f naik dan di mana f turun. (b) selang-selang di mana f cekung ke atas, selang di mana f cekung ke bawah, dan titik balik. (c) garis-garis asimtot dari kurva f: (d) gra…k fungsi f:
2
10. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3; 4), memotong sumbu-x positif di A dan memotong sumbu-y positif di B, sehingga luas segitiga OAB minimum.
3
JAWABAN UTS KALKULUS I TANGGAL 9/4/2001 1. (a)
dy 10x (2x + 2) 5x2 (2) = 2 dx 4 (x + 1)
(b) Misalkan y = u2 ; dengan u = cos (v) ; dan v = x2 : dy du dv Maka = 2u; = sin (v) ; = 2 x; sehingga du dv dx dy dx
= =
dy du dv du dv dx 2 cos x2
x2
sin
2 x=
x2 cos
4 x sin
x2 :
2. Cara 1 f 0 (x)
f (x + h) f (x) h 2 (x + h) 3 (x + h) + 4 (x2 3x + 4) = lim h!0 h 2 2 x + 2xh + h 3x 3h + 4 x2 + 3x 4 = lim h!0 h 2xh 3h = lim (2x 3) = 2x 3: = lim h!0 h!0 h =
lim
h!0
Cara 2
=
f (t) f (x) t x t2 3t + 4 x2 3x + 4 lim t!x t x t2 x2 3t + 3x lim t!x t x (t x) (t + x) 3 (t x) lim t!x t x lim (t + x 3)
=
2x
f 0 (x) = = = =
lim
t!x
t!x
3:
3. Dengan teknik penurunan implisit diperoleh : 8x +
dy dy y + [cos (xy)] y + x 2 dx dx dy y + x cos (xy) 2 dx dy dx
= = =
0 8x
y cos (xy)
8x
y cos (xy)
2 4
y + x cos (xy)
:
Kemiringan garis singgung di titik yaitu : 8
2 2
; 0 adalah nilai
=
dy di titik dx
2
;0 ;
8:
2 Jadi persamaan garis singgungnya adalah y
0=
8 x
2
,y=
8x + 4 :
4. 1
f (x)
=
f 0 (x)
= ( 2) (2x
00
f (x) f
000
(x)
f (n) (x)
(2x
2
5)
= (2x 5)
= ( 2) ( 3) (2x
3
5)
2
:
(2) 5)
4
22 5
= ( 2) ( 3) ( 4) (2x 5) 23 .. . n (n+2) n = ( 1) (n + 1)! (2x 5) 2 :
5. dd
UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS Senin, 9 April 2001 Waktu : 2,5 jam
1. Diketahui fungsi f dengan f (x) = 2x2
2x:
(a) Dengan menggunakan de…nisi turunan, tentukan f 0 (2) : (b) Tentukan persamaan garis singgung gra…k fungsi f di titik (2; 4) :
2. Tentukan turunan pertama dari fungsi g dengan g (x) = x3 sin x2 : 3. Diketahui fungsi f dengan f (x) = x4
4x3 di R:
Tentukan nilai ekstrim lokal fungsi f dan jenisnya. 4. Diketahui y = x ln(x): Tentukan 5
(a) Turunan pertama, turunan kedua, turunan ketiga, turunan keempat dan turunan kelima. (b) Turunan ke-n, untuk n > 1: 5. Diketahui persamaan lingkaran x2 +y 2 = 16: Dengan menggunakan teknik d2 y 16 penurunan implisit, tunjukkan bahwa = 3 : dx2 y 6. Periksalah apakah Teorema Nilai Rata-rata dapat diterapkan pada fungsi dan selang [a; b] yang diberikan berikut ini. Bila dapat, tentukan semua f (b) f (a) : nilai c sehingga f 0 (c) = b a (a) f (x) = x2=3 , pada selang [0; 2] : (b) g (x) = x +
1 , pada selang x
1;
1 : 2
7. Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut ini BENAR ataukah SALAH. (Jawaban tepat: nilai 2 21 ; jawaban tidak tepat: nilai 1, tidak menjawab: nilai 0): Misalkan a; b; c 2 R dan a < b < c . (a) Jika f kontinu di c; pastilah f terturunkan di c: (b) Jika f turun pada [a; b) dan f turun pada [b; c]; pastilah f turun pada [a; c]:
6
(c) Jika f naik pada [a; b] dan turun pada (b; c]; pastilah f (b) maksimum lokal. (d) Jika f kontinu pada [a; c] dan terturunkan pada (a; c); pastilah ada b 2 (a; c) sehingga f (c) = f (a) + f 0 (b)(c a): 8. Diberikan fungsi f dengan f (x) = 4 + 16x2 (1
3:
x2 )
5 3x2 4x 00 ; f 0 (x) = 2 ; f (x) = 2 1 x (1 x2 )
Tentukan (jika ada)
(a) (b) (c) (d)
daerah asal fungsi f: titik-titik potong dengan sumbu koordinat. titik-titik kritis. selang di mana f naik, selang di mana f turun, dan nilai-nilai ekstrim. (e) selang di mana f cekung ke atas, selang di mana f cekung ke bawah, dan titik balik. (f) garis-garis asimtot fungsi f. (g) sketsa gra…k fungsi f.
9. Sebuah tabung pejal berbentuk silinder tegak mendapat tekanan mendatar dari semua arah sedemikian sehingga jari-jari tabung mengecil dengan laju tetap 1 cm/menit, namun volume tabung tetap 200 cm3 : (a) Tentukan laju perubahan luas permukaannya pada saat jari-jari tabung 5 cm. (b) Tentukan jari-jari dan tinggi tabung pada saat laju perubahan luas permukaan sama dengan nol. 10. Sebuah kerucut harus dibuat dari selembar logam berbentuk lingkaran dengan jari-jari 10 meter dengan cara memotong satu sektor (juring).Lihat gambar, juring yang diarsir dibuang. Tentukan (sudut pusat dari juring yang dibuang) supaya volume kerucut maksimum. J E EJ E J E J J r1 E J E J E J E J E r2 E E
'$ r J1 J &%
7
Petunjuk 1 2 r 2 1 (b) Luas kulit kerucut = r1 r2 1 2 (c) Volume kerucut = r h 3 2 (a) Luas juring =
8