UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 5 Maret 1999 Waktu : 2,5 jam
SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT 10 1. Misalkan diketahui fungsi f dengan x2 x3
f (x) =
; x 0 ; x<0
Gunakan de…nisi turunan untuk memeriksa apakah f 0 (0) ada. 2. Diketahui fungsi f yang dide…nisikan f (x) = x3 + 4x. Tentukan nilai maksimum dan minimum global fungsi f pada [ 2; 2]. 3. Tentukan
dy dari fungsi implisit berikut dx x2 + sin(xy) + 3 = 0
4. Tentukan konstanta a dan b agar fungsi f (x) =
a(x + 3) x2 bx
; 0<x ; x>1
1
mempunyai turunan di x = 1. 5. Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada selang buka I yang memuat 1. Jika g(x) = xf (x2 ) untuk setiap x pada I dan f (1) = f 0 (1) = 1 maka tentukan (a) g 0 (x) (b) g 0 (1) 6. Diketahui fungsi f dengan f (x) =
2x2 (x
1)2 + 1
Tanpa menggunakan gambar, tentukan 1
; 0 ; 1
x<1 x<3
(a) titik-titik kritisnya (b) selang di mana gra…k f cekung ke atas dan selang di mana gra…k f cekung ke bawah (c) titik balik (jika ada). Jika tidak ada berikan alasannya. 7. Suatu tabung lingkaran tegak (silinder) dipanaskan sehingga tinggi tabung dan jari-jari lingkaran berubah dengan laju masing-masing sebesar 2 cm/detik. Hitunglah laju perubahan volume tabung tersebut pada saat tinggi tabung 10 cm dan jari-jari lingkaran 5 cm. 8. Berikut ini gambar sebuah talang air dengan kedua ujungnya tertutup. Talang air tersebut memiliki dua penampang berbentuk segitiga sama sisi dan dua penampang lainnya berbentuk empat persegi panjang dengan panjang p cm dan lebar l cm. ! T !! p ! ! T ! T !! !! ! S S ! !! l S !! S! Talang air tersebut harus mempunyai volume 120 cm3 . Tentukan l dan p agar bahan yang digunakan minimum. p (Petunjuk : sin 60 = 21 3) 9. Misalkan diketahui fungsi f dengan f (x) =
x2
5x + 4 . Tentukan x
(a) titik-titik kritis fungsi f , selang di mana gra…k f naik dan selang di mana gra…k f turun, serta ekstrim lokal (b) selang di mana gra…k f cekung ke atas dan selang di mana gra…k f cekung ke bawah (c) asimtot-asimtot gra…k (jika ada) (d) sketsa gra…k f . 10. Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata, tunjukkan bahwa p 1 3 < 3 28 < 3 + 27 1 (Petunjuk : Pilih fungsi f dengan f (x) = x 3 )
**************Selamat Bekerja**************
2
Jurusan Matematika FMIPA IPB JAWABAN UTS KALKULUS 1 1998/1999 SENIN, 5 MARET 1999 1. f (x) =
x2 ; jika x 0 : x3 ; jika x < 0 f (x) x x!0 f (x) lim x x!0+
f (0) 0 f (0) 0
lim
Karena lim x!0
f (x) x
= =
x3
lim
x
x!0
lim
02
x2
x!0
02 x
x!0+
f (0) f (x) = lim + 0 x x!0
= lim x2 = 0; = lim+ x = 0: x!0
f (0) ; maka f 0 (0) ada. 0
2. f (x) = x3 + 4x; maka f 0 (x) = 3x2 + 4: f 0 (x) = 0 , 3x2 = 0
4 ) tidak ada nilai x yang memenuhi.
f (x) selalu ada untuk setiap x 2 ( 2; 2) :
Jadi f tidak mempunyai titik kritis. Nilai maksimum dan nilai minimum global (mutlak) diberikan oleh titik ujung selang: x 2 2
f (x) 3 ( 2) + 4 ( 2) = 23 + 4 (2) = 16
Keterangan 16 adalah nilai minimum global 16 adalah nilai maksimum global
16
3. x2 + sin (xy) + 3 = 0: Jika kedua ruas persamaan ini diturunkan secara implisit terhadap x diperoleh d x2 + sin (xy) + 3 dx dy 2x + (cos (xy)) y + x dx dy 2x + y cos (xy) + x (cos (xy)) dx dy dx 4. f (x) =
a (x + 3) ; jika 0 x x2 bx; jika x > 1
=
d (0) dx
=
0
= 0 (2x + y cos (xy)) x cos (xy)
=
1
Jika f tidak kontinu di x = 1; maka f 0 (1) tidak ada. Jadi haruslah f kontinu di x = 1: Ini berarti lim f (x)
x!1
,
,
lim (a (x + 3))
x!1
4a
= lim+ f (x) x!1
= lim
x!1+
=1 3
b
2
x
= bx
f (1)
= a (1 + 3) =
4a
Jadi 4a = 1
b:
Turunan dari arah kiri: f (x) x
lim
x!1
f (1) 1
a (x + 3) 4a ax + 3a 4a = lim x 1 x 1 x!1 a (x 1) ax a = lim = lim = lim a = a x 1 x 1 x!1 x!1 x!1
=
lim
x!1
Turunan dari arah kanan: lim+
x!1
f (x) x
f (1) 1
=
lim
x2
bx x
x!1+
4a 1
x2
1 = lim+ x x!1 = lim (x + 1 x!1+
x2
= lim
bx x
x!1
bx + b (x = lim+ 1 x!1 b) = 2 b:
(1 b) 1 1) (x + 1) b (x x 1
0
Agar f (1) ada maka haruslah lim
x!1
f (x) x
Ini mengakibatkan a = 2 4a = 1
f (1) f (x) = lim+ 1 x x!1
f (1) : 1
b: Jadi diperoleh
b; dan a = 2
7 1 dan b = : 3 3
b; sehingga a =
5. g (x) = xf x2 dan f (1) = f 0 (1) = 1: (a) g 0 (x) = 1 f x2 + x f 0 x2 (b)
2x = f x2 + 2x2 f 0 x2
g 0 (1) = f 12 + 2 12 f 0 12 = f (1) + 2f 0 (1) = 1 + 2 (1) = 3: 2x2 ; jika 0 2 (x 1) + 1; jika 1
6. f (x) =
x<1 : x<3
(a) f 0 (x) =
4x; jika 0 < x < 1 2 (x 1) ; jika 1 < x < 3
Karena lim f (x)
=
lim f (x)
=
x!1
x!1+
lim
2x2 = 2;
lim
1
x!1
x!1+
(x
2
1)
=1
maka lim f (x) tidak ada, sehingga f tidak kontinu di x = 1: Akix!1
batnya f 0 (1) tidak ada. Jadi x = 1 titik kritis dari f: Titik ujung selang x = 0; dan x = 3: 4
1)
(b) 4; jika 0 < x < 1 2; jika 1 < x < 3
f 00 (x) =
Jadi f cekung ke atas pada selang (0; 1) dan f cekung ke bawah pada selang (1; 3) : (c) Terjadi perubahan kecekungan hanya di x = 1; tetapi f tidak kontinu di x = 1: Jadi f tidak mempunyai titik balik. 7. Misalkan h adalah tinggi tabung pada saat t; r adalah jari-jari tabung pada saat t; V adalah volume tabung pada saat t: dr dh = = 2 cm/detik Diketahui: dt dt dV Ditanyakan pada saat h = 10 cm dan r = 5 cm. dt Persamaan yang menghubungkan laju yang ditanyakan dengan laju yang diketahui: V = r2 h: Jika kedua ruas persamaan ini diturunkan secara implisit terhadap t; diperoleh dr dh dV = 2r h + r2 : dt dt dt Pada saat h = 10 dan r = 5 : dV = [2 (5) (2) (10) + 52 (2)] dt = 250 Jai laju perubahan volume pada saat tinggi tabung 10 cm dan jari-jari tabung 5 cm adalah 250 cm/detik. 8. Misalkan p adalah panjang talang, ` adalah lebar talang, dan B adalah fungsi luas bahan yang digunakan. Karena penampang talang yang dibuat adalah segitiga p sama sisi, maka luas segitiga sama sisi dengan panjang sisi 3 1 ` adalah ` `, sehingga luas bahan yang digunakan adalah 2 2 p p 3 2 1 3 ` : B = 2p` + 2 ` = 2p` + ` 2 2 2 Fungsi B terdiri dari 2 variabel, yaitu p dan `: Substitusi salah satu variabel melalui batasan yang diketahui: yaitu volume talang 120 cm3 : Jadi: p p ! 3 2 120 480 3 1 ` p = 120 ) p = p = p ` 2: ` p= V = ` 4 2 2 3 2 3 ` 4 5
Fungsi B menjadi: 480 p ` 3
B=2 960 B 0 (`) = ( 1) p ` 3 B 0 (`)
2
+
p
2
p
3 2 960 `+ ` = p ` 2 3
1
+
p
3 2 ` : 2
3 `3 320 960 + 3`3 p p = 3`2 3`2
960 p + 3` = 3` = p 3`2
0 , `3 320 = 0 p 480 3 ) `= 320; dan p = p 3 =
p
3
1 320
2
: 9. f (x) =
x2
5x + 4 =x x
(a) f 0 (x) = 1
5+
4 ; maka Df = fxjx 6= 0g : x
4 x2 4 (x = = 2 x x2
Tanda f 0 (x)
+++
2) (x + 2) : x2
(0) 2
( ) 0
(0) 2
+++
Fungsi f naik pada selang ( 1; 2] dan selang [2; 1); fungsi f turun pada selang [ 2; 0); dan (0,2]: 4 = 9; nilai Nilai maksimum lokal adalah f ( 2) = ( 2) 5 + 2 minimum lokal adalah f (2) = 1: 8 (b) f 00 (x) = 3 x Tanda f 00 (x)
( ) 0
+++
Fungsi f cekung ke bawah pada selang ( 1; 0) dan cekung ke atas pada selang (0; 1) : 4 (c) Karena lim [f (x) (x 5)] = lim = 0; maka garis y = x 5 x!+1 x!+1 x adalah asimtot miring dari fungsi f: Karena lim f (x) = lim
x!0
x!0
x
5+
4 x
=
1; atau lim+ f (x) = +1 x!0
maka garis x = 0 merupakan asimtot tegak dari f: Karena lim f (x) = +1 dan lim f (x) = 1; x! 1
x!1
maka f tidak mempunyai asimtot datar. 6
(d) Gra…k fungsi f :
10. Dengan menggunakan TNR dan memilih fungsi f (x) = x1=3 , akan ditunp 1 jukkan bahwa 3 < 3 28 < 3 + : 27 Misalkan f (x) = x1=3 ; dan misalkan a = 27; b = 28: Maka f kontinu pada 1 1 selang [27; 28]. Karena f 0 (x) = x 2=3 = maka f 0 (x) selalu 3 3x2=3 ada untuk setiap x 2 (27; 28) : Jadi menurut Teorema Nilai Rata-rata, terdapat c 2 (27; 28) sehingga f 0 (c) =
f (28) 28
f (27) : 27
Jadi f (28) = f (27) + f 0 (c) p 1 1 1=3 3 28 = 33 + = :3 + 3 c2=3 3 c2=3 Karena: c 2 (27; 28) ; maka
1 > 0 sehingga berlaku 3c2=3 p 3 28 > 3
(1)
Karena c 2 (27; 28) maka c > 27 sehingga 1 1 1 1 < = = : 2=3 2=3 3 (9) 27 3c 3 27 Akibatnya
p 3
28 = 3 +
1 1 <3+ : 27 3 c2=3
Jadi dari (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa 3<
p 3
28 < 3 +
7
1 : 27
(2)
