Mengenang Jejak Sebagian Kecil Bangsa Indonesia Yang Pernah Mengikuti Ujian Sekolah Pada Awal Masa Kemerdekaan
UJIAN PENGHABISAN SEKOLAH MENENGAH TINGKAT ATAS TAHUN 1948
ALJABAR 1.
SMA 1948 Ditentukan persamaan tingkat dua: mx2 7m 1 x 6m 3 0 . a. Berapakah harga m supaya persamaan itu mempunyai dua akar positif yang sama? b. Berapakah harga m supaya akar-akar persamaan itu berbalikan? Pandanglah sekarang fungsi y mx2 7m 1 x 6m 3 .... (1) c. Gantilah m dengan harga-harga yang terdapat pada pertanyaan a dan b, lalu gambarkan grafik kedua fungsi itu bersama-sama pada satu pasang salib sumbu. d. Tentukanlah dengan perhitungan di mana kedua garis lengkung itu berpotongan. e. Buktikan bahwa grafik fungsi (1) untuk sebarang harga m, melalui titik-titik yang telah ditentukan pada d. Solusi: a.
mx2 7m 1 x 6m 3 0 Syarat akar-akarnya positif dan sama adalah x1 x2 0 , x1 x2 0 , dan D b2 4ac 0 .
x1 x2 0
7 m 1
m 7m 1 0 m
0
m 0atau m
1 .... (1) 7
x1 x2 0 6m 3 0 m 1 m atau m 0 .... (2) 2
D b2 4ac 0
7 m 1 4 m 6m 3 0 2
49m2 14m 1 24m2 12m 0 25m2 26m 1 0
25m 1 m 1 0 1 atau m 1 .... (3) 25 Dari (1) (2) (3), diperoleh m 1 . m
1 2
0
1 25
1 7
1
1 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015
b.
x2
1 x1
x1 x2 1 6m 3 1 m 6m 3 m 5m 3 3 m 5
c.
m 1 y mx2 7m 1 x 6m 3 y x2 7 1 1 x 6 1 3 y x2 6 x 9
y x 3
Y
2
y x2 6 x 9
x3
3 m y mx 2 7m 1 x 6m 3 5
3 21 18 y x 2 1 x 3 5 5 5 3 26 3 y x2 x 5 5 5 1 y 3x 2 26 x 3 5 1 y x 2 6 x 9 dan y 3x 2 26 x 3 5 1 x 2 6 x 9 3x 2 26 x 3 5
d.
3 26 3 y x2 x 5 5 5
4
6,9
9
O 1 3
2 1 4 ,10 3 3
x
6
9
X
13 3
5x2 30 x 45 3x2 26 x 3 8x2 56 x 48 0 x2 7 x 6 0 x 1 x 6 0
x 1atau x 6 x 1 y x2 6x 9
y 12 6 1 9 4 1,4 x 6 y x2 6x 9
y 62 6 6 9 4 6,9 2.
HBS (Hogere Burger School)-AMS (Algemeene Middelbare School) 1948 Ditentukan sebuah fungsi: y x2 m 5 x 3m 3 , di mana y ditentukan sebagai fungsi dari x buat setiap harga m. Kita tinjau hanya harga-harga m yang nyata, dan andaikan grafik-grafik semua fungsi-fungsi itu terlukis pada sebuah salib sumbu. a. Gambarkan grafik itu, kalau ditentukan bahwa grafik itu melalui titik 1,5 . b. Buktikan bahwa buat segala harga m, grafik itu motong sumbu X di dua titik yang berlainan. c. Buat harga m yang mana jarak kedua titik ini sebesar-besarnya.
2 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015
Solusi: a.
1,5 y x2 m 5 x 3m 3 5 12 m 5 1 3m 3 5 1 m 5 3m 3 2m 6 m3
Y
m 3 y x2 m 5 x 3m 3 12
y x 2 8 x 12
x4
y x 2 x 6
y x 2 8 x 12
O 2 4 b.
X
6
4, 4
x m 5 x 3m 3 0 2
D m 5 4 1 3m 3 m 2 10m 25 12m 12 m2 2m 13 m 1 12 2
2
Karena untuk setiap m real, maka D 0 , sehingga jelas bahwa grafik itu motong sumbu X di dua titik yang berlainan. c. Ambillah titik-titik potong grafik fungsi y x2 m 5 x 3m 3 dengan sumbu X adalah
x1 ,0 dan x2 ,0 . d
x2 x1 2 0 0 2
x12 x22 2 x1 x2
x1 x2 2 4 x1 x2
m 52 4 3m 3
m2 10m 25 12m 12 m2 2m 13 b 2 m 1 2a 2 1 d maks 12 2 1 13 12 2 3
3.
AMS (Algemeene Middelbare School)-HBS (Hogere Burger School) 1948 Ditentukan y x2 m 5 x 3m 3 . Ditanyakan a. Gambarkan grafik fungsi ini, apabila ditentukan bahwa grafik itu melalui titik 1,5 . b. Buat setiap harga m fungsi itu digambarkan oleh sebuah parabola, sehingga tak terhingga banyaknya parabola-parabola itu. Buktikan bahwa semua parabola-parabola itu terpotong oleh sumbu X di dua titik yang berlainan. c. Buat harga m yang mana jarak kedua titik itu sekecil-kecilnya? Solusi: Y x=4 2 a. 1,5 y x m 5 x 3m 3
5 12 m 5 1 3m 3
12
5 1 m 5 3m 3 2m 6 m3 Jadi, fungsi kuadratnya adalah y x 2 8 x 12 .
y x 2 8 x 12
O 2 4
68
X
3 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015
b. Grafik fungsi kuadrat y x2 m 5 x 3m 3 akan memotong sumbu X di dua titik berlainan, jika D b2 4ac 0 , sehingga
m 5 4 1 3m 3 0 2
m2 10m 25 12m 12 0 m2 2m 13 0
m 12 12 0 Karenanya grafik fungsi kuadrat tersebut selalu memotong sumbu X di dua titik yang berlainan. c. Agar jarak dua titik potong grafik fungsi y x2 m 5 x 3m 3 sekecil-kecilnya, maka 4.
haruslah nilai m 1 . SMA 1948 Suatu deret ukur mempunyai 4 suku t1 , t2 , t3 ,dan t4 . Jumlahnya 255. Di antara t1 dan t2 disisipkan 2 suku sehingga 4 suku ini menjadi deret hitung. Di antara t2 dan t3 disisipkan 2 suku pula sehingga 4 suku ini menjadi deret hitung. Demikian juga dengan t3 dan t4 . Jumlah suku-suku baru dan lama 975. Carilah deret ukur itu. Solusi:
t1 a, t2 ar , t3 ar 2 ,dan t4 ar 3 Sn
a rn 1 r 1
255
a r4 1 r 1
255 a r r
255 a r 2 1 r 1 3
2
r 1
255 ar 3 ar 2 ar a .... (1) n' Sn ' a tn 975 2 10 t1 t4 975 2 t1 t4 195 a ar 3 195 195 .... (2) a 3 r 1 Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
255 ar 3 a ar 2 ar
255 195 ar 2 ar 60 ar r 1
60
195r r 1 r3 1
4 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015
60
195r r r 1 2
60r 2 60r 60 195r
60r 2 255r 60 0 4r 2 17r 4 0
4r 1 r 4 0 1 (diterima) atau r 4 (ditolak) 4 1 195 r a 192 3 4 1 1 4
r
r 4a
195 3 43 1
Jadi, deret ukur tersebut adalah 192, 48, 12, 3 atau 3, 12, 48, 192. 5. SMA 1948 a
Ditentukan: a
log y
a
a
log 2 2 log 2 5 log 0, 4
log log x
y
2
x
1
b log
x
log b
log 4 x
2
log x
0
a. Katakan dalam kedua persamaan itu y sebagi fungsi dari x. Hitunglah selanjutnya x dan y dari kedua persamaan itu. b. Jelaskan pendapatan-pendapatan itu dengan grafik. Solusi: a.
a
a
log y
y
log 2 2 log 2 5 log 0, 4
x
2
x
log 4 x
2
log x
log 2 log5 log 2 log5 x
2
log 4 x 2 log x
1 2 2
log 5
2 log log10 2 2 5 y x log 4 x log x 1 2 log 2 5
y2 x
2
log4
y x 2 2 .... (1) a
a
log log x
b log
1 y
log b
log x log b b log
log x log
0
1 0 y
1 0 y
log xy 0
5 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015
xy 1 1 .... (2) x Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: 1 x2 2 x y
x3 2 x 1 0
x 1 x 2 x 1 0
x 1 x
1 5 1 5 x 0 2 2
1 5 1 5 x 2 2 1 x 1 y 1 1 x 1 x
1 5 1 2 1 y 1 5 2 2 1 5 1 5 2
1 5 1 2 1 y 1 5 2 2 1 5 1 5 2 1 b. Sketsa grafik y x 2 2 dan y x Y
x
x
3 y x2 2
2 1 2 1 O 3 1 2 3
6.
1
X
2 y
1 x
HBS (Hogere Burger School)-AMS (Algemeene Middelbare School), 1948 Ditentukan persamaan:
32 x 8 3x a 8 0 .... (1) a. Hitunglah akar-akar persamaan itu buat a 1 dan a 17 . b. Buat harga-harga a yang mana persamaan (1) ini mempunyai satu akar berserikat dengan persamaan: 32 x 3x 2a 2 0 c. Buat harga-harga a yang mana jumlah akar-akar persamaan (1) itu sama dengan nol. Solusi: 6 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015
a.
a 1 32 x 8 3x a 8 0 32 x 8 3x 7 0
3
x
1 3x 7 0
3x 1 3x 7 x 0 x 3 log 7
a 17 32 x 8 3x a 8 0 32 x 8 3x 9 0
3
x
9 3x 1 0
3x 9(diterima) 3x 1(ditolak) x2 b. Ambillah akar berserikat itu adalah x1 , sehingga
32 x1 8 3x1 a 8 0 .... (2) 32 x1 3x1 2a 2 0 .... (3) Persamaan (2) – Persamaan (3) menghasilkan: 9 3x1 3a 6 0 3a 6 a 2 3x1 9 3 Selanjutnya, 2
a2 a2 3 8 3 a 8 0
a 2 4a 4 24a 48 9a 72 0 a 2 11a 28 0
a 4 a 7 0 a 4 a 7 c. Ambillah x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan (1) dengan x1 x2 0 , sehingga
3x1 3x2
a 8 1
3x1 x2 a 8 30 a 8 1 a 8 a 7 Bersambung
7 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015