UJIAN AKHIR SEMESTER STATISTIKA DAN PROBABILITAS

UJIAN AKHIR SEMESTER STATISTIKA DAN PROBABILITAS AMN – IST – ISI Rabu, 15 Juni 2016 | 100 menit [ Boleh membuka buku | Tidak boleh memakai komputer ]

SOAL 1 [30%]

Istiarto Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan FT UGM http://istiarto.staff.ugm.ac.id/

Hasil sigi (survei) lalu lintas di suatu kawasan, yang dibagi menjadi delapan zona, menghasilkan data jumlah perjalanan dan jumlah mobil setiap hari seperti disajikan pada tabel di bawah ini. zona

jumlah mobil

jumlah perjalanan

1 2 3 4 5 6 7 8

240 200 90 500 440 120 400 330

780 420 100 1340 1100 440 1000 900

(a) Temukanlah hubungan antara kedua variabel (jumlah perjalanan sebagai fungsi jumlah mobil) dengan teknik regresi linear, metode kuadrat terkecil. [Bobot 15%] Catatan: kedua variabel adalah variabel diskrit, jumlah perjalanan dan jumlah mobil adalah bilangan bulat positif. (b) Berapakah koefisien korelasi hubungan linear kedua variabel tersebut? [Bobot 15%]

P ENYELESAIAN (a) Regresi linear [bobot 15%] Jika jumlah perjalanan dinyatakan sebagai variabel Y dan jumlah mobil dalam perjalanan tersebut dinyatakan sebagai variabel X, maka hubungan antara kedua variabel, yang diperoleh dari regresi linear, dapat dinyatakan dalam persamaan di bawah ini: 𝑌 = 𝑎! + 𝑎! 𝑋 Variabel 𝑌 atau sering pula disimbolkan dengan 𝑌! adalah jumlah perjalanan sebagai fungsi jumlah mobil. Nilai a0 dan a1 dalam persamaan regresi dicari dengan persamaan berikut: 𝑎! =

𝑛

! ! ! !!! 𝑥! 𝑦! − !!! 𝑥! !!! 𝑦! 𝑛 !!!! 𝑥! ! − !!!! 𝑥! !

dan 𝑎! = 𝑌 − 𝑎! 𝑋

Dalam persamaan di atas, n adalah ukuran sampel atau jumlah data, 𝑌 dan 𝑋 adalah jumlah perjalanan rata-rata dan jumlah mobil rata-rata. Hitungan regresi linear dengan metode kuadrat terkecil disajikan pada Tabel 1 pada halaman setelah halaman ini. Dari Tabel 1, diperoleh informasi sebagai berikut: § § §

jumlah data, n = 8; jumlah perjalanan rata-rata, 𝑌 = !!!! 𝑦! 𝑛 = 6.080 8 = 760; jumlah mobil rata-rata, 𝑋 = !!!! 𝑥! 𝑛 = 2.320 8 = 290.

Koefisien 𝑎! dan 𝑎! pada persamaan garis regresi dihitung sebagai berikut:

Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 2016.docx

hlm 1 dari 6

𝑎! =

𝑛

! ! ! !!! 𝑥! 𝑦! − !!! 𝑥! !!! 𝑦! ! ! ! 𝑛 !!! 𝑥! − !!! 𝑥! !

=

8×2.184.000 − 2.320×6.080 = 2.6333. 8×832.600 − 2.320!

𝑎! = 𝑌 − 𝑎! 𝑋 = 760 − 2.6333×290 = −3.6546. Dengan demikian, hubungan antara jumlah perjalanan dan jumlah mobil yang diperoleh dari regresi linear antara kedua variabel adalah: 𝑌 = −3.6546 + 2.6333 𝑋 atau 𝑦! = 2.6333 𝑥! − 3.6446.


TABEL 1 HITUNGAN REGRESI LINEAR HUBUNGAN ANTARA JUMLAH PERJALANAN DAN JUMLAH MOBIL DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL

i 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ

𝒙𝒊 240 200 90 500 440 120 400 330 2.320

𝒚𝒊 780 420 100 1.340 1.100 440 1.000 900 6.080

𝒙𝒊 𝟐 57.600 40.000 8.100 250.000 193.600 14.400 160.000 108.900 832.600

𝒙𝒊 𝒚𝒊 187.200 84.000 9.000 670.000 484.000 52.800 400.000 297.000 2.184.000

(b) Koefisien korelasi [bobot 15%} Koefisien korelasi, r, dinyatakan dalam persamaan berikut: 𝑟=

𝑟=

! !!!

𝑆! − 𝑆! = 𝑆!

𝑦! − 𝑌

!

! !!!

− !!!! 𝑦! − 𝑌 𝑦! − 𝑌 !

! ! ! !!! 𝑥! 𝑦! − !!! 𝑥! !!! 𝑦! ! ! ! ! ! 𝑛 !!! 𝑦! ! − !!! 𝑥! − !!! 𝑥!

!

atau

𝑛

𝑛

! ! !!! 𝑦!

Hitungan untuk mendapatkan nilai St dan nilai Sr dilakukan secara tabulasi dalam Tabel 2 bawah ini. Hitungan mengacu kepada persamaan r di atas yang di sebelah kiri. TABEL 2 HITUNGAN KOEFISIEN KORELASI ANTARA JUMLAH PERJALANAN DAN JUMLAH MOBIL

i

𝒙𝒊

𝒚𝒊

𝒚𝒊 − 𝒀 𝟐

𝒚𝒊

𝒚𝒊 − 𝒚𝒊 𝟐

1 2 3 4 5 6 7 8

240 780 400 628 23.104 200 420 115.600 523 10.609 90 100 435.600 233 17.689 500 1.340 336.400 1.313 729 440 1.100 115.600 1.155 3.025 120 440 102.400 312 16.384 400 1.000 57.600 1.050 2.500 330 900 19.600 865 1.225 𝑺𝒕 = 1.183.200 𝑺𝒓 = 75.265 Catatan: 𝑦! adalah jumlah perjalanan, variabel diskrit, bilangan bulat. Koefisien korelasi: 𝑟=

𝑆! − 𝑆! = 𝑆!

1.183.200 − 75.265 = 0.9677. 1.183.200

Akar kuadrat dapat bernilai positif atau negatif. Koefisien korelasi dapat bernilai positif atau negatif. Karena gradien garis regresi, 𝑎! , bernilai positif, atau dengan kata lain jumlah perjalanan


hlm 2 dari 6

berbanding lurus dengan jumlah mobil, maka koefisien korelasi pun bernilai positif, r = 0.9677. Gambar 1 menyajikan data secara grafis. Gambar ini tidak wajib dibuat karena soal tidak memintanya.

1600

Jumlah perjalanan, Y


1400

y = 2.6333x - 3.6546 r² = 0.93652

1200 1000 800 600 400 200 0 0

100

200

300

400

500

600

Jumlah mobil, X

GAMBAR 1 HUBUNGAN LINEAR ANTARA JUMLAH PERJALANAN DAN JUMLAH MOBIL

SOAL 2 [70%] Angka-angka di bawah ini adalah kuat desak beton dalam satuan MPa yang diperoleh dari uji laboratorium terhadap 36 buah sampel. 28

26

30

28

29

32

34

26

28

34

31

28

33

32

30

30

30

32

26

28

30

30

26

24

34

28

32

32

28

30

34

32

37

30

30

32

(a) Buatlah tabel frekuensi dengan rentang kelas 2 MPa, batas bawah rentang kelas pertama adalah 23 MPa (rentang kelas pertama 23-25 MPa). [Bobot 15%] (b) Hitunglah nilai rata-rata, median, dan modus (mode) kuat desak beton dengan memakai tabel frekuensi. [Bobot 15%] (c) Hitunglah nilai simpangan baku kuat desak beton dengan memakai tabel frekuensi. [Bobot 10%] (d) Hitunglah rentang keyakinan kuat desak rata-rata dengan tingkat keyakinan 90%. [Bobot 15%] (e) Ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kuat desak rata-rata beton tersebut adalah 32 MPa dengan tingkat keyakinan 95%. [Bobot 15%]


hlm 3 dari 6

P ENYELESAIAN (a) Tabel frekuensi [bobot 15%] Tabel frekuensi adalah salah satu cara penyajian data. Kuat desak beton adalah variabel random kontinu. Data di atas diperoleh dari uji laboratorium. Data kuat desak tersebut adalah data sampel, bukan data populasi. Tabel frekuensi disajikan pada Tabel 3 di bawah ini. TABEL 3 KUAT DESAK BETON HASIL UJI LABORATORIUM

Kuat desak, X [MPa] Kelas 𝒙𝒊 23 - 25 24 25 - 27 26 27 - 29 28 29 - 31 30 31 - 33 32 33 - 35 34 35 - 37 36 Σ =

1 2 3 4 5 6 7

Frekuensi 𝒇𝒊 1 4 8 10 8 4 1 36

𝒇𝒊 𝒙𝒊

𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝟐

24 104 224 300 256 136 36 1080

576 2704 6272 9000 8192 4624 1296 32664

Ukuran sampel atau jumlah data dalam sampel uji kuat desak beton adalah 𝑓! = 36. Operator penjumlahan 𝑓! dibaca !!!! 𝑓! . Indeks pada operator penjumlahan tidak dituliskan untuk menyederhanakan penulisan. Data dapat pula disajikan dalam bentuk grafik batang atau histogram seperti disajikan pada Gambar 2. Grafik ini tidak wajib dibuat karena soal tidak memintanya. Perhatikan bentuk kurva pada gambar tersebut. Tampak jelas bahwa bentuk kurva mengindikasikan bahwa sampel kuat desak beton berdistribusi normal.

12 10

Frekuensi


i

8 6 4 2 0 23-25

25-27

27-29

29-31

31-33

33-35

35-37

Kuat desak beton dalam satuan MPa

GAMBAR 2 KUAT DESAK BETON HASIL UJI LABORATORIUM

(b) Nilai rata-rata, median, modus [bobot 15%] Nilai rata-rata dihitung dengan bantuan tabel frekuensi, yaitu dengan menambahkan satu kolom yang berisi nilai frekuensi dikalikan dengan nilai data, 𝑓! 𝑥! . Kuat desak rata-rata adalah:


hlm 4 dari 6

𝑓! 𝑥! 1080 = = 30 MPa. 𝑓! 36

𝑋=

Nilai median dan nilai modus dapat dilihat langsung pada tabel frekuensi di atas: median kuat desak adalah 30 MPa atau 29-31 MPa, modus kuat desak adalah 30 MPa atau 29-31 MPa.

§ §

(c) Simpangan baku [bobot 10%]


Simpangan baku kuat desak beton dihitung dengan bantuan tabel frekuensi, yaitu dengan menambahkan kolom yang berisi 𝑓! 𝑥! ! . Nilai simpangan baku adalah: 𝑓! 𝑥! ! − 𝑓! 𝑋 𝑓! − 1

𝑥! − 𝑋 ! = 𝑓! − 1

𝑠! =

!

=

32664 − 36×30! = 2.7464 MPa. 36 − 1

(d) Rentang keyakinan kuat desak rata-rata [bobot 15%] Rentang keyakinan kuat desak rata-rata, dengan asumsi bahwa kuat desak beton tersebut berdistribusi normal, dinyatakan dengan persamaan berikut: prob 𝑙 ≤ 𝜇! ≤ 𝑢 = 1 − 𝛼 Dalam persamaan di atas, l adalah batas bawah rentang keyakinan, u adalah batas atas rentang keyakinan, dan 1 − 𝛼 adalah tingkat keyakinan. Batas bawah dan batas atas rentang keyakinan kuat desak beton rata-rata dinyatakan dengan persamaan berikut: 𝑙=𝑋−

𝑠! 𝑛

𝑡!!!

!,!!! dan 𝑢

=𝑋+

𝑠! 𝑛

𝑡!!!

!,!!!

Nilai 𝑡!!! !,!!! adalah nilai t pada pdf distribusi t sedemikian hingga prob 𝑇 < 𝑡 = 1 − 𝛼 2 pada nilai derajat kebebasan 𝜈 = 𝑛 − 1, n ukuran sampel (jumlah data). Karena tingkat keyakinan telah ditetapkan, yaitu 1 − 𝛼 = 90%, maka 1 − 𝛼 2 = 95%. Nilai 𝑡!!! !,!!! = 𝑡!.!",!" dibaca pada tabel distribusi t. Bacaan tabel menjadi mudah dilakukan dengan cara membuat sketsa pdf distribusi t. Dari tabel distribusi t, diperoleh: 𝑡!.!",!" = 1.6896 1 − 𝛼 = 0.90 𝛼 ⁄2 = 0.05

𝛼 ⁄2 = 0.05

𝑡!.!",!" = −𝑡!.!",!" 𝑢 = 30 + 1.6896

2.7464 36

𝑡!.!",!"

Dengan demikian, batas bawah dan batas atas rentang adalah: 𝑙 = 30 − 1.6896

2.7464 36

= 29.23 MPa.

= 30.77 MPa.

Dengan demikian, rentang keyakinan 90% kuat desak rata-rata adalah: prob 29.33 MPa ≤ 𝜇! ≤ 30.77 MPa = 0.90.

(e) Uji hipotesis kuat desak rata-rata [bobot 15%] H0 : 𝜇! = 32 MPa H1 : 𝜇! ≠ 32 MPa Karena varians populasi tidak diketahui (𝜎! ! tidak diketahui), maka statistika uji adalah:


hlm 5 dari 6

𝑇=

𝑛 𝑠!

𝑋 − 𝜇! =

36 30 − 32 = −4.3693. 2.7464

Batas-batas penerimaan atau penolakan statistika uji dengan tingkat keyakinan 1 − 𝛼 = 95% dan jumlah sampel n = 36 adalah: 𝑡! !,!!! = 𝑡!.!"#,!" dan 𝑡!!! !,!!! = 𝑡!.!"#,!" . Dari tabel distribusi t, diperoleh: 𝑡!.!"#,!" = 2.0301 𝑡!.!"#,!" = −2.0301 1 − 𝛼 = 0.95


𝛼 ⁄2 = 0.025

𝑡!.!"#,!" = −2.0301

𝛼 ⁄2 = 0.025

𝑡!.!"#,!" = 2.0301

Dengan demikian, statistika uji 𝑇 = −4.3693 berada di luar rentang penerimaan hipotesis H0 ( 𝑇 > 𝑡!.!"#,!" ), sehingga hipotesis yang menyatakan bahwa kuat desak rata-

rata adalah 32 MPa tidak diterima atau ditolak. -o0o-


hlm 6 dari 6

UJIAN AKHIR SEMESTER STATISTIKA DAN PROBABILITAS

Recommend Documents