Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi

8 Turunan Fungsi Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi

;

Model Matematika dari Masalah yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Penyelesaian Model Matematika dari Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya

;

Dengan bertambahnya jumlah penduduk, maka kebutuhan akan adanya perumahan juga bertambah. Peristiwa ini dikatakan bahwa laju jumlah penduduk sejalan dengan bertambahnya perumahan. Dalam kehidupan sehari-hari, kamu dapat menjumpai istilah-istilah laju penyebaran penyakit, laju kecepatan kendaraan, dan sebagainya. Kejadian-kejadian seperti ini dapat diselesaikan dengan turunan fungsi yang merupakan tahapan awal dari kalkulus diferensial. Dalam bab ini kamu akan mempelajari mengenai konsep turunan fungsi dalam pemecahan masalah. Dengan mempelajarinya, kamu akan dapat menggunakan konsep dan aturan turunan fungsi untuk menghitung dan menentukan karakteristik turunan fungsi, merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi, sekaligus menyelesaikan dan memberikan penafsirannya. Turunan Fungsi

221

Turunan Fungsi

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi

Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi

Turunan fungsi aljabar

Limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan

Turunan fungsi trigonometri

Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam interval tertutup

Menghitung fungsi sederhana

Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan pemecahan masalah

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya

Penggunaan nilai maksimum dan minimum

Turunan kedua suatu fungsi

Menentukan nilai kecepatan dan percepatan

Teorema L'Hopital

Persamaan garis singgung pada kurva

• diferensial • turunan fungsi aljabar • turunan fungsi trigonometri dy • turunan pertama ( dx ) ⎛ d 2 f ( x) ⎞ • turunan kedua ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ dx2 ⎠

222

Menggambar grafik fungsi aljabar

Fungsi naik dan fungsi turun

• • • • • • • •

gradien garis singgung fungsi naik fungsi turun nilai stasioner nilai maksimum nilai minimum titik balik minimum titik balik maksimum

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

A.

Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan

1. Turunan Fungsi Aljabar a. Menghitung Limit Fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan

Dari grafik di bawah ini, diketahui fungsi y = f(x) pada interval k < x < k + h, sehingga nilai fungsi berubah dari f(k) sampai dengan f(k + h). Y

y = f(x)

f(k + h) f(k + h) – f(k) f(k) h k

k+h

X

Perubahan rata-rata nilai fungsi f terhadap x dalam interval k < x < k + h adalah

f ( k + h) − f ( k ) f ( k + h) − f ( k ) = . Jika nilai k makin kecil maka nilai (k + h) − k h f (k + h ) − f ( k ) disebut laju perubahan nilai fungsi f pada x = k. Limit ini h →0 h disebut turunan atau derivatif fungsi f pada x = k. lim

f ( x + h) − f ( x ) disebut turunan fungsi f di x yang ditulis dengan notasi f ′(x), h sehingga kita peroleh rumus sebagai berikut: lim h →0

f ′(x) = lim h →0

f ( x + h) − f ( x ) h

Jika nilai limitnya ada, fungsi f dikatakan diferensiabel di x dan f ′ disebut fungsi turunan dari f. Turunan dari y = f(x) seringkali ditulis dengan y' = f ′(x). Notasi dari dy d f ( x) y' = f ′(x) juga dapat ditulis: dx dan . dx Untuk lebih memahami tentang turunan, perhatikan contoh soal berikut. Contoh soal Tentukan turunan pertama dari: a.

f(x) = 8

c. f(x) = x3 + 5

b.

f(x) = x – 2

d. f(x) = 2x

Turunan Fungsi

223

Penyelesaian a. f(x) = 8

f ( x + h) − f ( x ) h →0 h 8−8 = lim = 0 h →0 h Jadi, turunan fungsi konstan adalah nol. f ′(x)

b.

= lim

f(x) = x – 2 f(x + h) = x + h – 2

f ( x + h) − f ( x ) h x + h − 2 − ( x − 2) = lim h →0 h x+h−2−x+2 = lim h →0 h h = lim = lim 1 = 1 h →0 h h→ 0

f ′(x) = lim h →0

c.

f(x) = x3 + 5 f(x + h) = (x + h)3 + 5 = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 5 f ′(x) = lim h →0

= = =

lim h →0

f ( x + h) − f ( x ) h x 3 + 3x 2 h + 3xh 2 + h3 + 5 − ( x 3 + 5) h

x 3 + 3x 2 h + 3xh 2 + h3 + 5 − x 3 − 5 h →0 h 2 2 3 3 x h + 3 xh + h lim h →0 h lim

h(3x 2 + 3xh + h2 ) h →0 h

=

lim

=

lim (3x 2 + 3xh + h 2 ) h →0

= 3x2 + 3x ⋅ 0 + 02 = 3x2 + 0 + 0 = 3x2 d.

f(x) = 2x f ′(x) = lim h →0

224

f ( x + h) − f ( x ) h


lim

=

2 −2 x+h x

h

h →0

lim

=

2 x − 2 ( x + h) ( x + h) x

h 2 x − 2 x − 2h lim h →0 h x ( x + h) h →0

= =

lim

−2h h x ( x + h)

=

lim

−2 x ( x + h)

=

−2 x ( x + 0)

h →0

h →0

−2 x2

=

f ( x + h) − f ( x ) , lengkapilah tabel berikut. h

Dengan menggunakan rumus f ′(x) = lim h →0

f(x)

1

x

x2

x3

x4

x5

…

xn

f’(x)

0

1

2x

3x2

…

…

…

n xn – 1

Dari tabel dapat dilihat bahwa jika f(x) = xn, maka f ′(x) = nxn – 1, atau: jika f(x) = axn, maka f ′(x) = anxn – 1 Contoh soal Carilah f ′(x) jika diketahui fungsi berikut. a.

f(x) =

3

a.

f(x) =

3

c. f(x) = 4x3 2 x2 d. f(x) = 3 x

x2 5 b. f(x) = 2 x Penyelesaian

f ′(x)

2

c.

x2 = x 3

f ′(x) = 4 ⋅ 3x3 – 1 = 12x2

2

−1 = 2 x3 3 1

− = 2x 3 3

= b.

2 3x

1 3

=

2 3

3 x

f(x) =

1 2 x2 2x2 2 x1 2 = = 1 3 3 x 3x 2 1

1

–2 – 1

= –10 x–3 =

d.

1 −1 ⋅1 1 ⋅ x 2 f ′(x) = 2 3 2

5 f(x) = 2 = 5 ⋅ x –2 x f ′(x) = 5 (–2) x

f(x) = 4x3

−10 x3

⋅ 3 ⋅ x2 = 2 3 2 1

= x2 =

x

Turunan Fungsi

225

8.1 Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar. 1. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan menggunakan rumus f ′(x) = f ( x + h) − f ( x) lim . h →0 h a. f(x) = 2 d. f(x) = x52

2.

b.

f(x) = 2x – 5

c.

f(x) = 3x

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan menggunakan rumus f(x) = xn mempunyai turunan f ′(x) = n xn – 1. a.

f(x) = –5x6

d. f(x) = –9

b.

f(x) = x64 5 f(x) = 5 x

e. f(x) =

c. 3.

4.

e. f(x) = 2 x

3

x

2 x x3

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar. a.

Jika f(x) = 4x3, tentukan f ′(–1)

c.

Jika f(x) = x32 , tentukan f ′(–2)

b.

Jika f(x) = 5 5 x 2 , tentukan f ′(1) 2

d.

Jika f(x) =

x2 , tentukan f ′(4) x

Carilah f ′(x) kemudian nilai fungsi turunan untuk nilai x yang diberikan. a.

f(x) = 5x2, untuk x = –3 dan x = 1

b. c.

f(x) = 2x3, untuk x = –1 dan x = 2 f(x) = x62 , untuk x = –1 dan x = 1

d.

f(x) = 2 x , untuk x = 4 dan x = 9

b. Menghitung Turunan Fungsi yang Sederhana dengan Menggunakan Definisi Turunan 1) Turunan fungsi yang berbentuk y = u ± v

Bila y = f(x) = u(x) + v(x) di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = u'(x) + v'(x).

226


Bukti: f(x) = u(x) + v(x) f ′(x) = lim h →0

f ( x + h) − f ( x ) h

= lim

u ( x + h) + v ( x + h) − {u ( x ) + v( x)} h

= lim

u ( x + h) − u ( x ) + v( x + h) − v ( x) h

= lim

u ( x + h) − u ( x ) v ( x + h ) − v( x ) + lim h → 0 h h

h →0

h →0

h →0

f ′(x) = u'(x) + v'(x)

Dengan cara yang sama, bisa dibuktikan bahwa bila f(x) = u(x) – v(x), maka f ′(x) = u'(x) + v'(x). Jadi jika y = u ±v, maka y' = u' ± v'. Agar lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut. Contoh soal Carilah f ′(x) jika: a.

f(x) = 3x2 + 7x

b.

f(x) = –x3 – 8x2

c. f(x) = 4x3 – 5x + x32 d. f(x) = 6x – 3 x 2 + 3

Penyelesaian a.

f(x) = 3x2 + 7x Misal:

u = 3x2 → u' = 3 ⋅ 2 ⋅ x2 – 1 = 6x1 = 6x v = 7x → v' = 7 ⋅ 1 ⋅ x1 – 1 = 7x0 = 7 ⋅ 1 = 7

Jadi jika f(x) = u + v, maka f ′(x) = u' + v' = 6x + 7 b.

f(x) = –x3 – 8x2 Misal:

u = –x3 →

u' = –3x3 – 1 = –3x2

v = 8x2 → v' = 8 ⋅ 2 ⋅ x2 – 1 = 16 x1 = 16x Jadi jika f(x) = u – v, maka f ′(x) = u' – v' = –3x2 – 16x c.

f(x) = 4x3 – 5x + x32 Misal: u = 4x3 → u' = 4 ⋅ 3 x3 – 1 = 12x2 v = 5x → v' = 5 ⋅ 1 x1 – 1 = 5x0 = 5 ⋅ 1 = 5 3 −6 w = 2 = 3x-2 → w' = 3 ⋅ (–2) ⋅ x – 2 – 1 = –6x–3 = 3 x x

Turunan Fungsi

227

Jadi jika f(x) = u – v + w, maka f ′(x) = u' – v' + w' = 12x2 – 5 + ( −x63 ) = 12x2 – 5 – x63 e.

f(x) = 6x – Misal:

x2 + 3 u = 6x → u' = 6 ⋅ 1x1 – 1 = 6 x0 = 6 3

v=

3

2

x2 = x 3

1

2

−1 2 − x3 = 3 x 3 = → v' = 2 3

2

1 3x 3

=

2 3

3 x

w = 3 → w' = 0 Jadi jika f(x) = u – v + w, maka f ′(x) = u' – v' + w' = 6– = 6–

2 3

3 x

+0

2 3

3 x

2) Turunan fungsi yang berbentuk y = u ⋅ v

Jika y = f(x) = u(x) ⋅ v(x), di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = u'(x) ⋅ v(x) + u(x) ⋅ v'(x). Bukti: f(x) = u(x) ⋅ v(x) f ′(x) = lim h →0

f ( x + h) − f ( x ) h

= lim

u ( x + h) ⋅ v ( x + h) − u ( x ) ⋅ v ( x ) h

= lim

u ( x + h) ⋅ v ( x + h) − u ( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x + h) ⋅ v ( x ) − u ( x + h) ⋅ v ( x ) h

= lim

u ( x + h) ⋅ v ( x + h) − u ( x + h ) ⋅ v( x ) + u ( x + h) ⋅ v ( x ) − u ( x ) ⋅ v ( x ) h

h →0

h →0

h →0

u ( x + h) ⋅ {v( x + h) − v( x)} + v( x) ⋅ {u ( x + h) − u ( x)} h →0 h

= lim

= lim u ( x + h) lim h →0

h →0

v ( x + h) − v ( x ) u ( x + h) − u ( x) + lim v ( x) lim h → 0 h → 0 h h

f ′(x) = u'(x) ⋅ v'(x) + v(x) ⋅ u'(x)

Jadi jika y = u ⋅ v, maka y' = u' v + u v'.

228


Agar lebih jelas, pelajarilah contoh soal berikut. Contoh soal dy Carilah dx jika: a. y = x(5x + 3)

c.

y = (2x + 1)(x – 5)

b.

d.

y = (x2 – 7)(2x – 3)

y = 3(2x + 1) x2

Penyelesaian a.

b.

y = x(5x + 3) Cara 1: y = x (5x + 3) y = 5x2 + 3x; maka y' = 5 ⋅ 2x2 – 1 + 3 ⋅ 1 x1 – 1 y' = 10x1 + 3 ⋅ x0 y' = 10x + 3 ⋅ 1 dy y' = 10x + 3 atau dx = 10x + 3 Cara 2: y = x (5x + 3) misal: u = x → u' = 1 v = 5x + 3 → v' = 5 + 0 = 5 Jadi jika y = u ⋅ v, maka y' = u' v + u v' y' = 1 (5x + 3) + x (5) y' = 5x + 3 + 5x dy y' = 10x + 3 atau dx = 10x + 3 y = 3(2x + 1) x2 Cara 1: y = 3(2x + 1) x2 y = 6x3 + 3x2, maka y' = 6 ⋅ 3x3 – 1 + 3 ⋅ 2 x2 – 1 = 18x2 + 6x Cara 2: y = 3(2x + 1) x2 = (2x + 1) 3x2 misal:

u = 2x + 1 → u' = 2 v = 3x2 → v' = 3 ⋅ 2 x2 – 1 = 6x

Jadi jika y = u ⋅ v,

c.

maka y' = u' v + u v' y' = 2 ⋅ 3x2 + (2x + 1) 6x y' = 6x2 + 12x2 + 6x y' = 18x2 + 6x

y = (2x + 1) (x – 5) misal: u = 2x + 1 → u' = 2 v = x – 5 → v' = 1 Jadi jika y = u ⋅ v, maka y' = u' v + u v' = 2(x – 5) + (2x + 1)1 = 2x – 10 + 2x + 1 = 4x – 9 Turunan Fungsi

229

d.

y = (x2 – 7)(2x – 3) u = x2 + 7 → u' = 2x v = 2x – 3 → v' = 2 Jadi jika y = u ⋅ v, maka y' = = = =

u' v + u v' 2x (2x – 3) + (x2 + 7)2 4x2 – 6x + 2x2 + 14 6x2 – 6x + 14

Dengan cara yang sama didapat rumus: Untuk u dan v masing-masing fungsi x, u' turunan dari u dan v' turunan dari v dan k bilangan konstan maka berlaku sebagai berikut. y = u ± v, maka y' = u' ± v' y = k u, maka y' = k u' y = u v, maka y' = u'v + uv' u ′v − uv′ y = uv , maka y' = v2 y = un, maka y' = n ⋅ un – 1 u' Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh soal 1.

Carilah turunan pertama dari: a.

2.

y=

3x − 2 5x + 6

b.

y=

x2 + 2x x −3

Carilah turunan pertama dari: a.

y = (x3 – 3x)2

b.

y = (2 + 5x2)5

Penyelesaian 3x − 2 1. a. y = 5x + 6 misal: u = 3x – 2 → u' = 3 v = 5x + 6 → v' = 5

3(5 x + 6) − (3 x − 2)5 u ′v − uv′ Jika y = uv , maka y' = = 2 (5 x + 6) 2 v

230

=

15 x + 18 − 15 x + 10 (5 x + 6)2

=

28 (5 x + 6) 2


b.

x2 + 2 x x−3 misal: u = x2 + 2x → u' = 2x + 2 v = x – 3 → v' = 1 y=

Jika y = uv , maka y' =

2.

(2 x + 2)( x − 3) − ( x 2 + 2 x) ⋅ 1 u ′v − uv′ = ( x − 3) 2 v2

=

2x2 − 6x + 2x − 6 − x2 − 2x ( x − 3)2

=

x2 − 6x − 6 ( x − 3)2

a. y = (x3 – 3x)2 misal: u = x3 – 3x → u' = 3x2 – 3 Jika y = un, maka y' = = = = = = b. y = (2 + 5x2)5 misal : u = 2 + 5x2 → Jika y = un, maka y' = = =

n ⋅ un – 1 u' 2(x3 – 3x)2 – 1 ⋅ (3x2 – 3) 2(x3 – 3x) (3x2 – 3) 2(3x5 – 3x3 – 9x3 + 9x) 2(3x5 – 12x3 + 9x) 6x5 – 24x3 + 18x u' = 10x n un – 1 u' 5(2 + 5x2)5 – 1 ⋅ 10x 50x(2 + 5x2)4

Coba kamu diskusikan dan buktikan teorema berikut dengan kelompokmu. u ' v − uv ' u Jika y = maka y' = v v2

Aturan Rantai untuk Mencari Turunan Fungsi

Untuk mencari turunan dari y = (2x – 5)2, lebih dahulu harus menjabarkan (2x – 5)2 menjadi 4x2 – 20x + 25 kemudian menurunkannya satu persatu. Tetapi kamu belum bisa mencari turunan fungsi yang berbentuk y = 2 + x 2 . Untuk itu perlu dikembangkan teknik yang erat hubungannya dengan fungsi-fungsi majemuk yang telah kita pelajari. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah uraian berikut.

Turunan Fungsi

231

Jika y = f D g sedemikian hingga y = f(g(x)) di mana f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan, maka y juga mempunyai turunan sehingga: y' = f ′(g(x)) ⋅ g'(x) Dalam bentuk lain dapat diuraikan sebagai berikut. dz dan ′. g(x)) = ′(z) = dy Misalnya z = g(x), maka g'(x) = dx f f dz sehingga y' = f ′(g(x)) ⋅ g'(x)

dy dy dz dx = dz ⋅ dx Jadi:

dy dy dz dx = dz ⋅ dx

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh soal Tentukan turunan pertama dari y = (2 x 2 + 4 x − 3)10 . Penyelesaian Misal:

dz z = 2x2 + 4 – 3 → = 4x + 4 dx dy y = z10 → = 10z9 dz y'

=

dy dz ⋅ = 10z9 ⋅ (4x + 4) dz dx

= 10(2x2 + 4x – 3)9 ⋅ (4x + 4)

8.2 Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar. 1. Carilah turunan pertama dari: a. y = 3x5 – 12x3 + 5x b. y = 2x – 5x2 + 7x5 2 c. y = 13 x2 – 2 3 x + 3x

2. Carilah turunan pertama dari: a. y = (x + 2) (2x – 7) b. y = (3x + 4) (5x – 2) c. y = (5x + 2) (x2 – 3)

232


3. Carilah turunan pertama dari:

x −5 4x + 2 2 − 5x b. y = x+2 a. y =

c. y =

x2 + 1 1− x

4. Carilah turunan pertama dari: a. y = (2x + 3)3 b. y = (2 – x)5

c. y =

x2 + 5

5. Carilah turunan fungsi-fungsi di bawah ini, kemudian carilah nilai fungsi turunan itu untuk nilai x yang diberikan. a. y = x3 – 5x2 + 3x + 4, untuk x = 2 b. y = (2x + 5) (3x – 2), untuk x = –1

2x + 6x , untuk x = 1 3x − 1 d. y = (3x2 + 2)3, untuk x = 2

c. y =

6. Dengan aturan rantai carilah turunan pertama dari: 1 a. y = (2x – 1)9 c. y = 2 x − 3x + 4 b. y = 3 x 2 − 5

2. Turunan Fungsi Trigonometri Untuk menentukan turunan fungsi trigonometri dapat dicari sebagai berikut. f ′(x) = lim h →0

f ( x + h) − f ( x ) h

Perhatikan contoh soal berikut. Contoh soal 1.

Tentukan turunan dari f(x) = sin x. Ingat!!

Penyelesaian f(x) = sin x f(x + h) = sin (x + h), maka f ′(x) = lim h →0

f ( x + h) − f ( x ) h

sin A – sin B = 2 cos 12 (A + B) ⋅ sin 12 (A – B)

cos A – cos B = –2 sin 12 (A + B) ⋅

sin( x + h) − sin x h →0 h 2cos 1 ( x + h + x)sin 1 ( x + h − x) 2 2 lim = h →0 h = lim

sin 12 (A – B)

Turunan Fungsi

233

2cos( x + 1 h)sin 1 h 2 2 = lim h →0 h sin 1 h 2 1 = lim 2cos ( x + h) lim 2 h →0 h →0 2⋅ 1 h 2 2 cos x = = cos x 2 2.

Tentukan turunan dari f(x) = cos x. Penyelesaian f(x) = cos x f(x + h) = cos (x + h), maka: f ′(x) = lim h →0

f ( x + h) − f ( x ) h

cos( x + h) − cos x h →0 h

= lim

= lim

−2sin

x+h+x x+h−x sin 2 2 h

−2 sin

2x + h sin h 2 2 h

h →0

= lim h →0

(

Ingat!!

)

−2sin x + 1 h sin h 1 2 2 ⋅ 2 = lim 1 h →0 h 2 sin h 2 − sin x + 1 h ⋅ lim = lim 2 1 h →0 h →0 2

(

)

= –sin (x + 0) ⋅ 1 = –sin x

Buatlah kelasmu menjadi beberapa kelompok, buktikan: 1. Jika y = tan x, maka y' = sec2 x 2. Jika y = cot x, maka y' = –cosec2 x 3. Jika y = sin u, maka y' = u' cos u Setelah itu cocokkan dengan kelompok lain, adakan diskusi per kelompok.

234


1

cos A = sec A sin2A + cos2A = 1

Dengan cara yang sama didapat rumus sebagai berikut. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Jika y = sin x, maka y' = cos x Jika y = cos x, maka y' = –sin x Jika y = tan x, maka y' = sec2 x Jika y = cot x, maka y' = –cosec2 x Jika y = sin U, maka y' = U' cos U Jika y = sinn U, maka y' = n sinn – 1 U cos U' Jika y = sec x, maka y' = sec x tan x Jika y = cosec x, maka y' = cosec x cot x

Contoh soal 1.

Tentukan turunan pertama fungsi berikut. a. f(x) = sin 3x b.

f(x) = 5 sin ( 15 x + 6)

Penyelesaian a. f(x) = sin 3x f ′(x) = 3 cos 3x b.

f(x) = 5 sin ( 15 x + 6) f ′(x) = 5 ⋅ 15 cos ( 15 x + 6) = cos ( 15 x + 6)

2.

Jika y = 7 tan x, tentukan

dy . dx

Penyelesaian

7 sin x

y = 7 tan x = cos x misal:

u = 7 sin x → u' = 7 cos x v = cos x → v' = –sin x

y'

= = = = =

u ′v − uv′ v2 7 cos x ⋅ cos x − 7sin x ⋅ ( − sin x) cos 2 x 7 cos 2 x + 7sin 2 x cos 2 x 7(cos 2 x + sin 2 x) cos 2 x 7 = 7 sec2 x cos 2 x

Ingat!! cos2 A + sin2 A = 1

1 cos A = sec A

Turunan Fungsi

235

3.

Carilah f ′(x) dan nilai f ′( 1 π ) jika diketahui f(x) = x2 sec x. 3 Penyelesaian f(x) = x2 sec x f ′(x) = 2x sec x + x2 sec x tan x

1 1 1 1 1 1 f ′( 3 π) = 2 ⋅ 3 π ⋅ sec 3 π + ( 3 π)2 ⋅ sec 3 π ⋅ tan 3 π = 2 π ⋅ 2 + 1 π2 ⋅ 2 ⋅ 3 9

3

= 4 π + 2 π2 3 3 9

8.3 Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar. 1. Carilah f ′(x) dari fungsi-fungsi di bawah ini. c. f(x) = 6 sin x + 2 cos x a. f(x) = sin2 x b. f(x) = cos2 x d. f(x) = 2 cot x 2. Carilah f ′(x) dan nilai dari fungsi f ′(x) dari: π a. f(x) = 4 sin x – x2, untuk x = 6 π b. f(x) = 3x – cos x, untuk x = 3 π c. f(x) = 4 tan x + x, untuk x = 6 3. Carilah turunan pertama dari: a. y = sin 3x c. y = sin (2x + 3) b. y = cos 4x d. y = cos (3x – 2) 4. Carilah

dy dari: dx

a. y = sin x1

5 c. y = sin x

b. y = cos x2

d. y = cos2 x

dy dari: dx a. y = cos2 (3x – 2) b. y = sin2 (2 – x)

c. y = x2 sin 3x d. y = x2 cos 2x

5. Carilah

236


Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi

B

1. Persamaan Garis Singgung pada Kurva Perhatikan gambar berikut. y = f(x)

Y

f(x + h)

Q ((x + h), f(x + h)) S

f(x)

P(x, f(x)) x

O

R

x+h

X

Titik P(x, y) adalah sembarang titik pada kurva y = f(x), sehingga koordinat titik P dapat dituliskan sebagai (x, f(x)). Absis titik Q adalah (x + h) sehingga koordinat titik Q adalah {(x + h), (f(x + h)}. Jika h → 0, maka S akan menjadi garis singgung pada kurva di titik P yaitu PS. Dengan demikian gradien garis singgung pada kurva di titik P adalah sebagai berikut. m = lim tan ∠QPR h →0

f ( x + h) − f ( x ) h = f ′(x) = lim h →0

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh soal 1.

Tentukan gradien garis singgung dari fungsi f(x) = x3 – 3x2 di titik (–2, –20). Penyelesaian f(x) f ′(x)

= x3 – 3x2 =

f ′(–2) =

=

3x2 – 6x 12 + 12 24

Jadi, gradien garis singgung f(x) = x3 – 3x2 di titik (–2, –20) adalah m = 24. 2.

Jika diketahui f(x) = 5 – yang ordinatnya 3.

x , tentukan gradien garis singgung kurva tersebut di titik

Turunan Fungsi

237

Penyelesaian f(x) = 5 –

x

3 = 5–

x

x = 2 ⇒ f(x) = 5 –

x

f ′(x) = – 1 x 2

m

x = 4 = 5– x

−1

2

=

−

1 2

– 12 ⋅ 11 x2

= – 1 2 x

= f ′(4) = – 1 = – 14 2 4

Jadi, gradien garis singgung kurva f(x) = 5 –

1 x di titik (4, 3) adalah m = – 4 .

Persamaan garis singgung pada kurva di titik (x1, y1) dengan gradien m di mana m = f ′(x) adalah: y – y1 = m(x – x1) Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh soal Diketahui kurva f(x) = 13 x3 – 3x2. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva tersebut yang mempunyai gradien –9. Penyelesaian f(x) = 13 x3 – 3x2 f ′(x) = 13 ⋅ 3x2 – 3 ⋅ 2x = x2 – 6x m –9 x2 – 6x + 9 (x – 3)2 x

= = = = =

f ′(x) x2 – 6x 0 0 3

y = f(3) = 13 ⋅ 33 – 3 ⋅ 32 = 9 – 27 = –18 Jadi, koordinat titik singgung (3, –18).

238


Maka persamaan garis singgungnya adalah: y – y1 = m(x – x1) y + 18 = –9(x – 3) y + 18 = –9x + 27 y = –9x + 9 y = –9(x – 1)

8.4 Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar. 1. Tentukan gradien dan kemudian persamaan garis singgung setiap kurva berikut ini pada titik yang diketahui. a. y = 3x di titik (2, 6) b. y = –7x di titik (1, –7) c. y = x2 di titik (3, 9) d. y = x2 – 4x di titik (–1, 6) e. y = x3 – 3x2 + 4 di titik (0, 4) 2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut ini. a. y = 4x2 pada x = –1

d. y = 5x pada x = 1

b. y = 3x2 – 5 pada x = 2

e. y = 5 x pada x = 4

c. y = x3 pada x = 2 3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut ini. a. y = 4x pada y = 8 d. y = x2 – 2 pada y = 7 b. y = –2x2 pada y = – 12 c. y =

e. y = 1 pada y = 14 x

x pada y = 2

4. a. Tentukanlah koordinat titik pada kurva y = x2 – 5, sehingga garis singgung kurva di titik itu mempunyai gradien 4. b. Tentukan pula persamaan garis singgung di titik itu. 5. Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x2 – 3x + 3, yang: a. tegak lurus y = x + 6, b. sejajar 5x + y = 1.

Turunan Fungsi

239

2. Fungsi Naik dan Fungsi Turun a. Pengertian Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Perhatikan gambar di samping. f(x) = 9 – x2 f’(x) = –2x 1) Bila x < 0 maka f ′(x) > 0 (gradien di setiap titik positif). Terlihat grafiknya naik, maka dikatakan fungsi naik. 2) Bila x > 0 maka f ′(x) < 0 (gradien di setiap titik negatif). Terlihat grafiknya menurun, maka dikatakan fungsi turun.

Y t gsi

fun gsi nai k

fun n uru

-3

0

3

X

f(x) = 9 – x2

b. Menentukan Interval Suatu Fungsi Naik atau Fungsi Turun

Untuk menentukan interval fungsi f(x) naik adalah dengan menyelesaikan pertidaksamaan f ′(x) > 0. Demikian juga untuk menentukan interval fungsi f(x) turun adalah dengan menyelesaikan pertidaksamaan f ′(x) < 0. Untuk lebih memahami, perhatikan contoh soal berikut. Contoh soal 1.

Tentukan interval-interval dari fungsi f(x) = x2 – 4x agar fungsi: a. naik, b. turun. Penyelesaian f(x) = x2 – 4x ⇒ f ′(x) = 2x – 4 a.

b.

2.

Syarat supaya fungsi naik adalah: f ′(x) > 0 2x – 4 > 0 2x > 4

2

Syarat supaya fungsi turun adalah: f ′(x) < 0 2x – 4 < 0 2x < 4 x < 2

2

Ditentukan f(x) = 13 x3 – 2x2 – 5x + 10. Tentukan interval agar: a. kurva y = f(x) naik, b. kurva y = f(x) turun. Penyelesaian a.

240

f(x) = 13 x3 – 2x2 – 5x + 10

⇒

f ′(x) = x2 – 4x – 5


Syarat fungsi naik: f ′(x) > 0 2 x – 4x – 5 > 0 (x + 1)(x – 5) > 0 x + 1 = 0 atau x – 5 = 0 x = –1 atau x = 5

–1

5

Interval x agar kurva naik adalah x < –1 atau x > 5. b.

Syarat fungsi turun f ′(x) < 2 x – 4x – 5 < (x + 1)(x – 5) < x + 1 = 0 atau x = –1 atau

0 0 0 x–5 = 0 x = 5

–1

5

Interval x agar kurva turun adalah –1 < x < 5. c.

Nilai Stasioner dan Jenisnya

Perhatikan grafik berikut ini. Y

B

f c(x)

c

d

f c(x)

b a

O

X

A f c(x)

a.

Nilai stasioner pada A adalah f(b), jenisnya nilai balik minimum. Jenis nilai stasioner sebagai berikut. x f c (x) Jenis min

b.

b–

b

b+

–

0

+

Nilai stasioner pada O adalah f(0) jenisnya nilai belok. Jenis nilai stasioner sebagai berikut. x c f (x) Jenis belok

0–

0

0+

+

0

+

Turunan Fungsi

241

c.

Nilai stasioner pada B adalah f(c) jenisnya nilai balik maksimum Jenis nilai stasioner sebagai berikut.

x f c (x) Jenis maks

c–

c

c+

+

0

–

Catatan: b– , 0– dan c– artinya kurang sedikit dari b, 0, c pada f ′(x). b+ , 0+ dan c+ artinya lebih sedikit dari b, 0, c pada f ′(x). Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut. Contoh soal 1.

Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi berikut. a.

f(x) = 1 x3 – 5 x2 + 6x

b.

f(x) = x + 9x + 24x + 8

3

2

3

2

Penyelesaian a.

5 2 3 f(x) = 1 3 x – 2 x + 6x ⇒ f ′(x) = x2 – 5x + 6 Syarat mencapai nilai stasioner: f ′(x) = 0 x2 – 5x + 6 = 0 (x – 3)(x – 2) = 0 x – 3 = 0 atau x – 2 = 0 x = 3 atau

x =2

x = 3 → y = f(x) = 4 12 x = 2 → y = f(x) = 4 23 •

Untuk x = 2 nilai stasioner adalah 4 23 jenisnya maksimum → titik stasioner maksimum (2, 4 23 ).

•

Untuk x = 3 nilai stasioner adalah 4 12 jenis minimum → titik stasioner minimum (2, 4 12 ).

242


Untuk mengetahui jenisnya kita selidiki nilai fungsi di sekitar harga nol.

x x–2 x–3 f’(x)

2–– – +

2+ + – –

2 0 – 0

3– + – –

3+ + + +

3 + 0 0

Bentuk grafik b.

f(x) = x3 + 9x2 + 24x + 8 ⇒ f ′(x) = 3x2 + 18x + 24 Syarat mencapai stasioner: f ′(x) = 0 3x2 + 18x + 24 = 0 3(x2 + 6x + 8) = 0 3(x + 4)(x + 2) = 0 x = –4 atau x = –2 x = –2 ⇒ y = f(x) = –12 x = –4 ⇒ y = f(x) = 32 • •

Untuk x = –2 nilai stasioner adalah –12 jenisnya belok → titik belok (–2, –12). Untuk x = –4 nilai stasioner adalah 32 jenisnya maksimum → titik stasioner maksimum (–4, 32).

Untuk mengetahui jenisnya kita selidiki nilai fungsi di sekitar harga nol.

x

–4–

–4

–4+

–2–

–2

–2+

x+2

–

–

–

–

0

–

x+4 f c (x)

–

0

+

+

+

+

+

0

–

–

+

–

Bentuk gambar 2.

Diketahui fungsi y = ax3 + bx2 dengan a dan b konstan, memiliki titik stasioner pada titik (1, –1). Tentukan nilai a dan b. Penyelesaian y = ax3 + bx2 Syarat stasioner y' = 0 y = ax3 + bx2 y' = 3ax2 + 2bx 0 = 3ax2 + 2bx titik stasioner (1, –1) berarti x = 1, y = –1 Turunan Fungsi

243

3ax2 + 2bx = 0 3a ⋅ 12 + 2b ⋅ 1 = 0 3a + 2b = 0 ……… (1) y = ax3 + bx2 –1 = a ⋅ 13 + b ⋅ 12 –1 = a + b ……… (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: 3a + 2b = 0 | ×1 | a + b = –1 | ×2 | 3a + 2b = 0 2a + 2b = –2 _ a+0 =2 a =2 a = 2 disubstitusikan ke persamaan (2) a + b = –1 2 + b = –1 b = –3

8.5 Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar. 1. Tentukan interval agar fungsi berikut ini naik. a. y = x2 + 5x – 4 b. y = 6 + 4x – x2 c. y = x3 + 3x2 + 5 2 d. y = 13 x3 – 3 2 x + 2x + 2 2. Tentukan interval agar fungsi berikut ini turun. a. y = 2x2 – 8x + 3 b. y = 1 + 9x – 3x2 c. y = 2x3 + x2 – 4x + 1 d. y = 13 x3 – 2x2 – 5x + 6 3. Tunjukkan bahwa fungsi berikut selalu naik. a. f(x) = x3 – 6x2 + 20x + 1 b. f(x) = 13 x3 + 2x2 + 4x + 9

244


4. Tentukan nilai-nilai stasioner dan tentukan pula jenisnya fungsi-fungsi berikut ini. a. f(x) = x3 – 3x b. f(x) = 13 x3 + 12 x2 – 6x + 2

3. Menggambar Grafik Fungsi Aljabar Langkah-langkah dalam menggambar grafik suatu fungsi aljabar atau suatu kurva sebagai berikut. a. Menentukan titik potong dengan sumbu-sumbu Ingat!! koordinat (sumbu X dan sumbu Y). b. Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik f ′(x) = ax2 + bx + c balik minimum, titik balik maksimum, dan titik a > 0 dan D < 0 maka belok). f ′(x) definit positif atau c. Menentukan nilai y untuk x besar positif dan untuk f ′(x) > 0 x besar negatif. Untuk lebih memahami cara menggambar grafik fungsi aljabar, perhatikan contoh soal berikut. Contoh soal 1.

Gambarlah grafik kurva y = 3x2 – x3. Penyelesaian a. Titik potong kurva dengan sumbu X, dipenuhi bila y = 0, maka diperoleh: 3x2 – x3 = 0 2 x (3 – x) = 0 x1 = x2 = 0 atau 3 – x = 0 x3 = 3 Jadi, titik potong dengan sumbu X adalah (0, 0) dan (3, 0). Titik potong kurva dengan sumbu Y, dipenuhi bila x = 0, maka diperoleh: y = 3x2 – x2 = 3⋅ 0 – 0 = 0 Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 0). b.

Mencari titik-titik stasioner, syarat f ′(x) = 0 y = 3x2 – x3 y' = 0 6x – 3x2 = 0 3x (2 – x) = 0 x = 0 atau x = 2 Turunan Fungsi

245

Untuk x = 0 → y = 0 dan untuk x = 2 → y = 4.

x=0 yc

–

0

0

–

0

x=2 +

0

–

2

2

2–

+

+

0

–

Bentuk grafik Jadi, titik (0, 0) merupakan titik balik minimum dan (2, 4) merupakan titik balik maksimum. c.

Untuk x besar positif, maka y = besar negatif. Untuk x besar negatif, maka y = besar positif. Sehingga grafiknya terlihat seperti gambar berikut. Y 4

(2, 4)

(3, 0) (0, 0)

2.

2

X

Gambarlah grafik kurva y = x4 – 4x3. Penyelesaian

246

a.

Titik potong kurva dengan sumbu X, dipenuhi bila y = 0, maka diperoleh: x4 – 4x3 = 0 3 x (x – 4) = 0 x = 0 atau x = 4 Jadi, titik potong dengan sumbu X adalah (0, 0) dan (4, 0). Titik potong kurva dengan sumbu Y, dipenuhi bila x = 0, maka diperoleh: y = x4 – 4x3 y = 0 4 – 4 ⋅ 03 = 0 Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 0).

b.

Titik stasioner, syarat f ′(x) = 0 f = x4 – 4x3 f ′(x) = 0 4x3 – 12x2 = 0 4x2 (x – 3) = 0


Untuk x = 0 dipenuhi: y = 04 – 4 ⋅ 03 = 0 ⇒ (0, 0) Untuk x = 3 dipenuhi: y = 34 – 4 ⋅ 33 = 33 (3 – 4) = –27 ⇒ (3, –27)

x=0 yc

–

0

–

x=3

0

0

+

3

–

3

3–

0

–

–

0

+

Bentuk grafik Titik (0, 0) merupakan titik belok horizontal dan titik (3, –27) adalah merupakan titik balik maksimum. c.

Untuk x besar positif, maka y = besar positif. Untuk x besar negatif, maka y = besar positif. Maka grafiknya seperti tampak pada gambar di samping.

Y

O (0, 0)

3

(4, 0) 4

X

27

8.6 Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar. Gambarlah grafik kurva-kurva berikut ini.

1. y = 2x2 2. y = 4 – x2 3. y = x2 – 2x

6. y = x3 – 6x2 + 9x 7. y = x (x – 2) (x + 3) 8. y = 25x – 10x2 + x3

4. y = x3 5. y = x3 – 3x

9. y = x (x + 1)2 10. y = 3x5 – 5x2

Turunan Fungsi

247

Merancang Model Matematika dari Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi

C

1. Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi dalam Interval Tertutup Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi dalam interval tertutup dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut. a. Menentukan nilai fungsi pada batas interval. b. Menentukan nilai stasioner apabila stationer dicapai pada x di dalam interval. c. Menentukan nilai minimum dan maksimum berdasarkan hasil dari (a) dan (b). Untuk lebih memahami, perhatikan contoh berikut. Contoh soal 1. Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi f(x) = 6x2 – x3 pada interval –1 < x < 3. Penyelesaian Fungsi f(x) = 6x2 – x3 pada interval –1 < x < 3. Nilai fungsi pada batas interval: f(–1) = 6 (–1)2 – (–1)3 = 6 + 1 = 7 f(3) = 6 (3)2 – (3)3 = 54 – 27 = 27 Nilai stasioner fungsi: f ′(x) = 12x – 3x2 ⇒ 12x – 3x2 = 0 3x (4 – x) = 0 x = 0 atau x = 4

x = 0 di dalam interval (dicari nilai fungsinya) x = 4 di luar interval (tidak dicari nilai fungsinya) f(0) = 6 (0)2 – (0)3 = 0 Diperoleh f(–1) = 7, f(2) = 16, f(3) = 27. Jadi, nilai maksimum adalah 27 dan nilai minimum adalah 0. 2.

Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi f(x) = 2x – x2 pada interval {x | –1 < x < 2}. Penyelesaian Nilai fungsi pada batas interval. f(–1) = 2(–1) – (–1)2 = –2 – 1 = –3 f(2) = 2(2) – (2)2 = 4 – 4 = 0

248


Nilai stasioner apabila f ′(x) = 0 f ′(x) 0 2x x

Untuk x = 1 →

= = = =

2 – 2x 2 – 2x 2 1

f(1) = 2 ⋅ 1 – 1 = 2 – 1 = 1

Jadi, nilai maksimum fungsi adalah 1 dan nilai minimum fungsi adalah –3. 2. Penggunaan Nilai Maksimum dan Minimum Soal-soal cerita atau persoalan yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan dengan menggunakan stasioner yaitu nilai maksimum dan minimum. Perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh soal 1. Sebuah bola dilempar vertikal ke atas. Dalam waktu t detik ketinggian yang dicapai oleh bola dengan persamaan h(t) = 36t – 9t2. a. Tentukan waktu (t) yang diperlukan sehingga tinggi bola maksimum. b. Tentukan tinggi maksimum yang dicapai bola itu. Penyelesaian a. h(t) = 72t – 9t2 h'(t) = 72 – 18t Agar mencapai maksimum maka h'(t) = 0 h'(t) = 72 – 18t 0 = 72 – 18t 18t = 72 72 = 4 detik t = 18 b.

2.

Tinggi maksimum yang dicapai bola itu adalah: h(t) = 72t – 9t2 = 72 ⋅ 4 – 9 ⋅ 42 = 72 ⋅ 4 – 9 ⋅ 16 = 288 – 144 = 144 meter

Kita akan membuat kotak tanpa tutup dari sehelai karton yang berbentuk bujur sangkar (persegi) dengan rusuk = 20 cm, dengan jalan memotong bujur sangkar kecil pada keempat sudutnya, tentukan ukuran kotak supaya isinya sebanyakbanyaknya. Penyelesaian Masalah di atas dapat dituangkan dalam gambar. Misalkan potongan persegi pada sudutnya adalah x cm. Maka ukuran kotak yang akan dibuat adalah:

Turunan Fungsi

249

panjang = (20 – 2x) lebar = (20 – 2x) tinggi = x cm

x

Sehingga volum kotak: Volume = (20 – 2x)(20 – 2x) x cm3 = 400x – 80x2 + 4x3 cm3 Terdapat suatu fungsi x dari volume kotak: v(x) = 400x – 80x2 + 4x3 Supaya kotak tersebut mempunyai volume yang maksimum, maka: v'(x) = 0 400 – 160x + 12x2 = 0 12x2 – 160x + 400 = 0 3x2 – 40x + 100 = 0 (3x – 10) (x – 10) = 0 3x – 10 = 0 atau x – 10 = 0 x = 10 x = 10 3 •

Untuk x = 10, maka v (0) = 0, mendapatkan titik (10, 0) merupakan titik balik minimum. Sehingga titik ini tidak memenuhi, karena yang diminta adalah volume maksimum.

•

10 16.000 mendapatkan titik 10 , 16.000 Untuk x = 10 3 maka v 3 = 27 3 27 menunjukkan titik balik maksimum, sehingga supaya volume kotak yang dibuat maksimum dicapai bila x = 10 3 . Atau dengan kata lain: karton tersebut dipotong pada keempat sudutnya dengan bentuk bujur sangkar dengan sisi 10 3 cm. Jadi

( )

(

ukuran kotaknya adalah: 40 panjang = (20 – 2 ⋅ 10 3 ) cm = 3 cm lebar = panjang tinggi kotak = 10 3 cm

8.7 Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan benar. 1. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = 2x – x3 pada interval {x | 1 < x < 2}. 2. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 2x2 – 8x pada interval –1 < x < 4.

250


)

3. Tentukan nilai maksimum dan minimum pada interval tertutup [1, 5] untuk fungsi f(x) = x + 9x . 4. Suatu kolam ikan dipagari kawat berduri, pagar kawat yang tersedia panjangnya 400 m dan kolam berbentuk persegi panjang. Tentukan ukuran kolam agar terdapat luas yang maksimum dan berapa luas maksimum itu. 5. Jumlah dua bilangan adalah 20, hasil kalinya p. Tentukan hasil kali yang terbesar.

Penyelesaian Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya

D

1. Turunan Kedua Suatu Fungsi

d f ( x) , sedangkan turunan kedua dx d 2 f ( x) d 3 f ( x) ditulis f ′′(x) = dan turunan ketiga ditulis (x) = dan seterusnya. ′ ′ ′ f dx2 dx3 Turunan pertama fungsi y = f(x) adalah f ′(x) =

Perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh soal 1.

Tentukan

d2 f dari fungsi f(x) = x3 – 5x2 + 7. dx 2

Penyelesaian f(x) = x3 – 5x2 + 7

df = 3x2 – 5 ⋅ 2x = 3x2 – 10x dx d 2 f ( x) = 3 ⋅ 2x – 10 ⋅ 1 = 6x – 10 dx2 2.

3 2 Tentukan turunan kedua dari y = 12 x4 + 2 3 x – 5x + 6. Penyelesaian

y

3 2 = 12 x4 + 2 3 x – 5x + 6

dy 1 2 3 2 dx = 2 ⋅ 4x + 3 ⋅ 3x – 5 ⋅ 2x + 0 = 2x3 + 2x2 – 10x

d2y = 2 ⋅ 3x2 + 2 ⋅ 2x – 10 = 6x2 + 4x – 10 dx2 Turunan Fungsi

251

2. Menentukan Nilai Kecepatan dan Percepatan Apabila diketahui fungsi y = f(x), maka turunan pertama dapat ditulis y' = f ′(x), df ( x) dy f ′(x) sering juga ditulis dx dan y' sering ditulis dx . Apabila diketahui s = f(t), maka turunan pertama dari s ditulis ds dt = f ′(t) = f (t + h) − f (t ) ds . merupakan besar kecepatan sesaat untuk setiap saat, atau lim dt h →0 h dv d 2 s dv ditulis v = ds dt atau a = dt = dt 2 , di mana dt merupakan besarnya percepatan setiap saat. Untuk memahami lebih jauh tentang nilai kecepatan dan percepatan, perhatikan contoh berikut. Contoh soal 1.

Jika suatu benda yang bergerak ditunjukkan oleh rumus s = 10t + 5t2, dengan f (t + h ) − f (t ) , tentukan: menggunakan lim h →0 h a. kecepatan pada setiap saat, b. percepatan pada setiap saat. Penyelesaian a.

s = 10t + 5t2,

f (t + h) − f (t ) v = ds dt = lim h →0 h {10(t + h) + 5(t + h)2 } − (10t + 5t 2 ) h →0 h

= lim

(10t + 10h + 5t 2 + 10th + 5h 2 ) − (10t + 5t 2 ) h →0 h

= lim

10t + 10h + 5t 2 + 10th + 5h 2 − 10t − 5t 2 h →0 h

= lim

10h + 10th + 5h 2 h →0 h

= lim = lim h →0

h(10 + 10t + 5h) h

10 + 10t + 5h = lim h →0 = 10 + 10t + 5 ⋅ 0 = 10 + 10t Jadi, kecepatan pada setiap saat = 10 + 10t.

252


b.

v = 10 + 10t

f (t + h ) − f (t ) a = dv dt = lim h →0 h {10 + 10 (t + h)} − (10 + 10t ) h 10 + 10t + 10h − 10 − 10t = lim h →0 h 10h = lim h →0 h = lim h →0

= lim 10 = 10 h→ 0

Jadi, percepatan pada setiap saat = 10. 2.

Ditentukan jarak s meter yang ditempuh dalam waktu t detik oleh benda yang jatuh dinyatakan oleh rumus s = 4t2. a. Hitunglah kecepatan jatuhnya benda pada saat t = 5 detik. b. Tentukan pula percepatannya. Penyelesaian a. s = 4t2 v = ds dt = 8t Kecepatan pada t = 5 detik adalah: v = 8t = 8 ⋅ 5 = 40 m/det b.

3.

a = dv dt = 8 Jadi, percepatan pada t = 5 detik adalah 8 m/detik2.

Jarak s meter yang ditempuh dalam waktu t detik yang dinyatakan dengan rumus s = 3t2 – 6t + 5. a. Hitunglah kecepatan pada saat t = 3. b. Tentukan percepatannya pada waktu yang sama. Penyelesaian a. s = 3t2 – 6t + 5 v = ds dt = 6t – 6 Kecepatan pada t = 3 detik adalah: v = 6⋅ t – 6 = 6 ⋅ 3 – 6 = 12 m/det b.

a = dv dt = 6 Jadi, percepatan pada t = 3 detik adalah a = 6 m/detik2.

Turunan Fungsi

253

E.

Teorema L'Hopital

Penggunaan turunan untuk menghitung bentuk-bentuk tak tentu limit fungsi dikenal sebagai Teorema L'Hopital. Misal f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang diferensiabel. Jika g ′ ≠ 0 untuk setiap x ≠ a dan jika lim x→a

f ( x) 0 ∞ mempunyai bentuk atau pada x = g ( x) 0 ∞

a maka:

lim x→a

Apabila lim x→a

f ( x) f ′( x) f ′( x ) , dengan catatan lim ada = lim x → a g ′( x ) g ( x ) x →a g ′( x)

f ′( x ) masih mempunyai bentuk tak tentu. Diteruskan dengan menggunakan g ′( x )

turunan kedua lim x→a

f ( x) f ′′( x) = lim = ... dan seterusnya. Sehingga diperoleh nilai limitnya. g ( x ) x→a g′′( x)

Contoh soal Hitunglah limit berikut menggunakan teorema L'Hopital. a.

lim

b.

lim

sin 5 x

x →0

x x7 − 1 x −1

x →1

Penyelesaian a.

lim

sin 5 x

x →0

x

= lim

= 5⋅ b.

254

lim x →1

x7 − 1

x −1

5 cos 5 x

= lim x →1

= 5 lim

1

x →0

cos 0 1 7x 1

=

x →0

=

5 ⋅1 1

cos 5 x 1

=5

7 ⋅1 1


8.8 Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar. 1. Jarak suatu benda yang bergerak dinyatakan dengan s = 2t2 – 3, s dalam meter dan t dalam detik. a. Carilah kecepatannya pada t = 5 detik. b. Carilah percepatannya pada t = 5 detik 2. Sebuah benda bergerak menurut lintasan sepanjang s meter pada waktu t detik dan dirumuskan dengan s = t3 – 6t. a. Carilah besarnya kecepatan dan percepatan benda sebagai fungsi t. b. Hitunglah besarnya kecepatan dan percepatan benda pada saat t = 2 detik. 3. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus dirumuskan s = 16 – 2t2 + t3 dimana s dalam meter dan t dalam detik. Tentukan nilai berikut: a. panjang lintasan pada t = 2 dan t = 4, b. rumus kecepatan dan percepatan, c. kecepatan pada t = 2 dan percepatan pada t = 3, d. kecepatan pada waktu percepatannya = 0. 4. Sebuah benda diluncurkan ke bawah pada suatu permukaan yang miring dengan persamaan gerak s = t3 – 6t2 + 12t + 1. Tentukan waktu yang dibutuhkan agar percepatan benda 48 m/det2. 5. Dengan teorema L'Hopital hitunglah limit-limit fungsi berikut. a.

lim

x →−3

x+3 2

x −9

b. lim x →0

2 − 2 cos 2 x

x2

1. Jika diketahui fungsi f(x), maka turunan pertamanya didefinisikan: f ′(x) = lim h →0

f ( x + h) − f ( x ) h

2. Turunan dari f(x) = xn, adalah f ′(x) = n xn – 1 , n ∈ R. f(x) = axn, adalah f ′(x) = a n xn – 1, a konstan, n ∈ R 3. Jika kurva y = f(x), maka gradien garis singgung kurva tersebut di x = a adalah:

f (a + h ) − f ( a ) h Persamaan garis singgung dari kurva y = f(x) melalui (x1, y1) adalah: (y – y1) = m(x – x1) atau (y – y1) = f ′(x1) (x – x1) f ′(a) = lim h →0

Turunan Fungsi

255

4. Rumus-rumus turunan fungsi aljabar: a. Jika y = u + v, maka y' = u' + v' b. Jika y = u – v, maka y' = u' – v' c. Jika y = u v, maka y' = u'v + uv’

u ′v − uv′ u , maka y' = v v2 e. Jika y = un, maka y' = n un – 1 u', di mana u = f(x) d. Jika y =

5. Turunan fungsi trigonometri a. Jika y = sin x, maka y' = cos x b. Jika y = cos x, maka y' = –sin x 6. Fungsi f(x) dikatakan naik jika f ′(x) > 0, dan fungsi f(x) dikatakan turun jika f ′(x) < 0. 7. Fungsi f(x) dikatakan stasioner jika f ′(x) = 0 Jenis titik stasioner ada 3 yaitu: a. titik balik maksimum, b. titik balik minimum, dan c. titik belok horizontal. 8. Untuk menggambar grafik y = f(x) dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut. a. Menentukan titik-titik potong grafik fungsi dengan sumbu-sumbu koordinat. b. Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya. c. Menentukan titik-titik bantu (menentukan nilai y untuk x besar positif dan untuk x besar negatif). 9. Turunan kedua dari suatu fungsi y = f(x) adalah turunan dari turunan pertama dan diberi lambang:

d2 f d2y y'' = f ′′(x) = 2 = dx dx2 10. Dari suatu lintasan s = f(t), maka berlaku: kecepatan = v = ds

dt d 2s = dv percepatan = a = dt dt 2

256


I.

Pilih salah satu jawaban yang paling tepat.

1.

Jika diketahui f(x) = 3x3 – 2x2 – 5x + 8, nilai dari f ′(2) adalah …. a. 13 d. 33 b. 21 e. 49 c. 23

2.

3 Turunan dari f(x) = 2 x adalah f ′(x) = …. a. x−3x −3 b. 2x x −3 c. 4x x

d. x 3 x e. x 6 x

3.

Diketahui fungsi h(x) = x2 + 3x, maka h(i + t) – h(t) adalah …. a. 2i + 3 d. t2 + 3t b. 2t + 4 e. t2 + 5t c. 5t2

4.

Rumus untuk f ′(x) jika f(x) = x – x2 adalah …. a. 1 – x d. x2 – x3 b. 1 – 2x e. x – 2x2 3 c. 1 – 2x

5.

Fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 2 turun untuk …. a. 2 < x < 6 d. 0 < x < 2 b. 1 < x < 4 e. 1 < x < 2 e. 1 < x < 3

6.

Grafik dari f(x) = x3 – x2 – 12x + 10 naik untuk interval …. a. 3 < x < –2 d. x < 2 atau x > –3 b. –2 < x < 3 e. x < –3 atau x > –2 c. x < –2 atau x > 3

7.

Grafik fungsi f(x) = x (6 – x)2 akan naik dalam interval …. a. x < 0 atau x > 6 d. x > 6 b. 0 < x < 6 e. x < 6 e. x < 2 atau x > 6

Turunan Fungsi

257

8.

Fungsi f yang dirumuskan dengan f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 2 turun pada interval …. a. –1 < x < 2 d. 1 < x < 0 b. –2 < x < 1 e. 1 < x < 4 e. 1 < x < 3

9.

Titik-titik stasioner dari kurva y = x3 – 3x2 – 9x + 10 adalah …. a. (–1, 15) dan (3, –17) d. (1, –1) dan (3, –17) b. (–1, 15) dan (–3, –17) e. (3, –17) dan (–2, 8) c. (1, –1) dan (–3, –17)

10. Persamaan garis singgung kurva y = x2 – 4x di titik yang absisnya 1 adalah …. a. x – y – 2 = 0 d. x + 2y + 1 = 0 b. x + y + 2 = 0 e. 2x – 2y + 1 = 0 c. 2x + y + 1 = 0 11. Persamaan garis singgung kurva y = x2 – 4 yang tegak lurus garis x – 2y + 4 = 0 adalah …. a. 2x + y + 5 = 0 d. x + y + 2 = 0 b. x + 2y + 5 = 0 e. 2x – y – 5 = 0 c. x – 2y – 5 = 0 12. Turunan dari f(x) = 2 sin 5x adalah f ′(x) = …. a. 2 cos 5x d. 5 cos 5x b. 10 cos 5x e. –2 cos 5x c. –10 cos 5x 13. Jika f(x) = sin2 x, maka nilai x yang memenuhi f ′(x) = 12 adalah …. π a. π d. 6 π π b. 3 e. 12 π c. 4 π 14. Jika f(x) = 2 sin x + cos x, maka f ′( ) = …. 2 a. –1 d. –2 b. 2 e. 0 c. 1 dy 3 15. Jika y = cos x , maka = …. dx a. –3 sin 3 d. – 3 sin 3 x x x2 b. – 2 sin 3 e. 2 sin 3 x 3 3 x c. 3 sin 3 x x2 258


16. Fungsi f(x) yang ditentukan oleh f(x) = (x3 – 1)2 dalam interval –1 < x < 1 mempunyai nilai minimum dan maksimum berturut-turut adalah …. a. –4 dan 0 d. 0 dan 2 b. –1 dan 2 e. 0 dan 4 c. 2 dan 4 17. Fungsi f(x) yang ditentukan oleh f(x) = x3 + ax2 + 9x – 8 mempunyai nilai stasioner untuk x = 1. Nilai a adalah …. a. –6 d. 2 b. –4 e. 4 c. –2 18. Nilai maksimum dari y = x3 – 3x + 2, pada interval –2 < x < 2 adalah …. a. 6 d. 3 b. 5 e. 2 c. 4 19. Jumlah dua bilangan x dan y adalah 96. Jika x3y maksimum maka nilai x adalah .… a. 30 d. 20 b. 25 e. 15 c. 24 20. Diketahui keliling suatu persegi panjang (2x + 20) cm dan lebarnya (8 – x) cm. Agar luas persegi panjang maksimum maka panjangnya adalah …. a. 3 cm c. 4 12 cm d. 9 cm b. 3 12 cm c. 10 cm II. Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar. 1.

Tentukan turunan fungsi di bawah ini pada titik yang diberikan. a. f(x) = x3 + 4x – 1 pada titik x = 0 dan x = 1 b. f(x) =

2.

x + 1 1 pada x = 4 dan x = 1 x

Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut a. y = 2x2 – 3x –

3 x2

b. y = 3x (x2 + 2x)

Turunan Fungsi

259

c. y = (3x + 4)2

⎛ 1 ⎞ d. y = ⎜ x + ⎟ x⎠ ⎝ 3.

2

Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut. a. y = (4x2 + 5x) (2x2 – 6x + 1)

4⎞ ⎛ 1 b. y = ⎜ 2 − 4 ⎟ (3x3 + 27) x ⎠ ⎝x c. f(x) = (x2 + 8)12 d. f(x) = 4.

3

x 2 − 2x + 3

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi trigonometri berikut. a. f(x) = cos (x2 + 1) b. f(x) = 6 cosec x

cos x c. f(x) = 1 + sin x d. f(x) = x2 sec x 5.

Suatu fungsi didefinisikan oleh f(x) = x3 – 2x2 – px – 5. Jika fungsi itu memiliki nilai stasioner untuk x = 5, tentukan: a. nilai p; b. nilai stasioner untuk fungsi f(x); c. titik stasionernya.

6.

Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 6.

7.

Gambarlah kurva y = (x – 1)2 (x + 2).

8.

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x2 – 5x + 7 yang tegak lurus garis x + 3y = 9.

9.

Tentukan bilangan cacah yang jumlahnya 16 agar hasil kali salah satu dengan kuadrat bilangan lainnya menjadi maksimum.

10. Suatu persegi panjang diketahui keliling = (2x + 24) cm dan lebar = (8 – x) cm. Agar luasnya maksimum, hitunglah panjang, lebar, dan luas persegi panjang.

260


Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi

Recommend Documents