TURUNAN FUNGSI IKA ARFIANI, S.T.
DEFINISI TURUNAN
Turunan dari y f(x) terhadap x didefinisi kan dengan: dy y' f' (x) lim f(x h)-f(x) h 0 dx h
RUMUS DASAR TURUNAN
k xn
n 1
fx f ' x k n x f x k f ' x 0 n 1 n f x u f ' x n u u'
f ( x) c f ' ( x) 0 f ( x) x f ' ( x) 1 f ( x) x 2 f ' ( x) 2 x f ( x) x 3 f ' ( x) 3x 2 f ( x) x n f ' ( x) nx n 1
RUMUS JUMLAH DUA FUNGSI
Jika U dan V adalah fungsi - fungsi dari x yang dapat diturunkan dan y f(x) U(x) V(x), maka : y ' f ' (x) U' (x) V' (x) atau d (U V) U' V' dx
RUMUS SELISIH DUA FUNGSI
Jika U dan V adalah fungsi - fungsi dari x yang dapat diturunkan dan y f(x) U(x) - V(x), maka y ' f ' (x) U' (x) - V' (x) atau d (u v) u' - v' dx
RUMUS PERKALIAN DUA FUNGSI Jika U dan V fungsi - fungsi dari x yang dapat diturunkan dan f(x) U(x).V(x), maka : f ' (x) U' (x).V(x) U(x).V' (x) atau d (U.V) U'.(V) U.(V' ) dx
RUMUS PEMBAGIAN DUA FUNGSI
Jika U dan V fungsi - fungsi dari x yang dapat diturunkan, U(x) dan f(x) , V(x) 0, maka : V(x) U' (x).V(x) - U(x).V' (x) f ' (x) 2 V(x) atau d U U' V UV' dx V V2
CONTOH :
f ( x) x 3 3 x 2 4
1. Tentukan turunan pertama dari Jawab :
f ' ( x) 3x 2 3.2 x 0 3x 2 6 x f ( x) ( x 3 1)( x 2 2 x 3)
2. Tentukan turunan pertama dari Jawab :
f ' ( x) 3x 2 ( x 2 2 x 3) ( x 3 1)(2 x 2)
3x 4 6 x 3 9 x 2 2 x 4 2 x 3 2 x 2
5x 4 8x3 9 x 2 2 x 2 3.Tentukan turunan pertama dari Jawab : f' ( x)
1.( x 2 1 ) 2 x( x 3 ) ( x 1) 2
2
f ( x)
x3 x2 1
x 2 1 6x 2x 2 ( x 1) 2
2
x 2 6x 1 ( x 1) 2
2
.
4.Tentukan turunan pertama dari
f(x) 4x 2 3x
Jawab :
f(x) 4x 2 3x
1 f(x) (4x2 3x) 2
1 f '(x) 1(4x2 3x) 2 (8x 3) 2 1 f '(x) (4x 3)(4x 2 3x) 2 2
2
5. Tentukan turunan pertama dari f(x) = (3x – 6x) (x + 2) Jawab :
f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2) Cara 1: Misal : U = 3x2 –6x ’ U = 6x – 6 V =x+2 V’ = 1 Sehingga: f ’(x)
= (6x – 6)(x+2)+(3x2+6x).1
f ’(x)
= 6x2+12x – 6x – 12+3x2 – 6x
f ’(x)
= 9x2 – 12
f(x)
2
= (3x – 6x) (x + 2)
Cara 2: ’
3
’
2
’
2
2
2
f (x) = 3x + 6x – 6x – 12x f (x) = 9x +12x –12x – 12 f (x) = 9x – 12
5. Tentukan turunan pertama dari Jawab :
f (x) 3x 2 4x 1
Cara 1: Misal : U U’ V V’
= 3x + 2 =3 = 4x - 1 =4
Maka: f'(x) U'V -2UV' v f '(x) 3(4x 1) (3x 2)4 (4x 1)2
f '(x) 12x 3 12x 8 16x2 8x 1 11 f '(x) 16x2 8x 1
Soal Latihan 1 Tentukan fungsi turunan pertama dari : 1.
2.
f ( x) x 1 / 2 3 x 2 1 f ( x) ( x 1) ( x 3 2 x 1)
3.
x 1 f ( x) x 1
4.
x f ( x) 2 x 1
5.
x2 1 f ( x) 2 x 1
Soal Latihan 2
Tentukan Turunan dari fungsi f(x) di bawah ini :
1. f(x) = 5x4 +2x2 -3x +6 2. f(x) = 2x7 + 5x
3. f(x) = 3x-2 + 4x-3 + 4 4 3 x 2x 4. f(x) =
3 2 7 2 3 x 3x
5. f(x) = ( 2x + 3 )2 1 2 6. f(x) = (2 2 ) x
2 3 7. f(x) = 3x 2 x 2 x 3x 3
2
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Rumus – rumus turunan fungsi trigonometri
jika f(x) = cos x,
maka f ’(x) = – sin x
jika f(x) = sin x,
maka f ’(x) = cos x
jika f(x) = tg x,
maka f ’(x) = sec2 x
jika f(x) = ctg x,
maka f ’(x) = – cosec2 x
jika f(x) = sec x,
maka f ’(x) = sec x tg x
jika f(x) = cosec x,maka f ’(x) = – cosec x ctg x
Contoh 1 Carilah turunan fungsi trigonometri
y x 2 sin x
Jawab Misalkan
Maka,
u x 2 u' 2 x
v sin x v' cos x
y' u' v uv' (2 x)(sin x) ( x 2 )(cos x) 2 x sin x x 2 cos x
Contoh 2 Carilah turunan fungsi trigonometri
y sin 5x cos 6 x sin 3x
Jawab
y sin 5x cos 6 x sin 3x y' (5) cos 5x (6)( sin 6 x) (3)(cos 3x) y' 5 cos 5x 6 sin 6 x 3 cos 3x
Contoh 3 Carilah turunan fungsi trigonometri
y 8x. cos x 4 x 2 sin x
Jawab u 8x u' 8
Misalkan
Maka,
v cos x v' sin x
y' u' v uv'
u 4 x 2 u' 8x
v sin x v' cos x
y' u' v uv'
8. cos x 8x.( sin x)
(8x)(sin x) (4 x 2 )(cos x)
8 cos x 8x. sin x
8x. sin x 4 x 2 . cos x
(8 cos x 8 x. sin x) (8 x. sin x 4 x 2 . cos x) HASILNYA :
8 cos x 8 x. sin x 8 x. sin x 4 x 2 . cos x 8 cos x 16 x. sin x 4 x 2 . cos x
Contoh 4 Carilah turunan fungsi trigonometri Jawab
Misalkan
sin x y tan x cos x
y tan x
u sin x u' cos x
v cos x v' sin x u ' v v' u (cos x)(cos x) (sin x)( sin x) cos 2 x sin 2 x y' 2 x 8x.sin x 4x . cos x 2 8 cos x 8 x.)sin (cos x (v ) cos 2 x 2
1 1 1 sec x. sec x . 2 cos x cos x cos x
sec 2 x
Contoh 5 Carilah turunan fungsi trigonometri y
sin x sin x cos x
Jawab
Misalkan
u sin x u' cos x
v sin x cos x v' cos x sin x y'
u ' v v' u (cos x)(sin x cos x) (cos x sin x)(sin x) 2 (v ) (sin x cos x) 2
(cos x. sin x) (cos x. cos x) [(cos x. sin x) (sin x. sin x)] (sin x cos x) 2 (cos x. sin x) (cos x. sin x) (cos x. cos x) (sin x. sin x) (sin x cos x) 2 cos 2 x sin 2 x (sin x cos x)
2
1 (sin x cos x) 2
A. Tentukan fungsi turunan pertama dari 4 2 2 y cos 4 x x x 2x 5 4. 1. y 2
x 2x 3
2.
y 2x 310
3.
y sin3 x
5.
x 1 y x 1
6.
y = sin x tan [ x2 + 1 ]
2
B. Tentukan turunan kedua dari 1.
y sin 2x 1
4 2. y 2x 3
3.
x y x 1
4.
y cos2 x
CONTOH Tentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut: 1. f(x) = 4sinx – 2cosx 2. f(x) = 2sinxcosx Jawab : 1. f(x) = 4sinx – 2cosx f ‘ (x) = 4. dsinx-2.dcosx =4cosx+2sinx 2. f(x) = 2sinxcosx = sin 2x f ‘(x) = d2x.dsin2x =2cos2x
LATIHAN : Tentukan Turunan Fungsi - fungsi berikut : a.
y sin (ax b)
f.
y 3sin2x 4cos2x
b.
y cos(ax b)
g.
y 1 - sin 2 x
c.
y tan ax
h.
y - 2sin 2 x 1
d.
y tan (ax b)
i.
y cos 2 x sin 2 x
e.
y 2sinx 4cos2x
j.
y 4cos 2 x - 4
Turunan Fungsi Logaritma
Turunan Fungsi Eksponensial
TURUNAN LOGARITMA
TURUNAN EKSPONENSIAL
CONTOH :
TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI DENGAN ATURAN RANTAI DALIL RANTAI : Jika y f(u) merupakan fungsi dari u yang dapat diturunkan dan u g(x) merupakan fungsi dari x yang dapat diturunkan serta y f(g(x)) merupakan fungsi dari x yang dapat diturunkan maka : d y' (x) (f(g(x)) f' (g(x)).g' (x) dx atau dy dy du . dx du dx
CONTOH Tentukan Turunan dari y (4x 2 5 x 3) 6 SOLUSINYA : U 4x 2 5 x 3 maka y U6 dy 6U 5 6(4x 2 5x 3) 5 du du dy dy du 8x 5 . dx dx du dx 6(4x 2 5x 3) 5 .8x 5
(48x - 30 )(4x 2 5x 3) 5
LATIHAN :
dy 1. Tentukan pada soal berikut ini dx 15 a. y 3u dan u 2x - 1 b. 2.
y 4u dan u x 2 x -3
2
Tentukan Turunan fungsi berikut : a.
f(x) 7x - 2x 5
b.
f(x) x 3 x 1
2
2
3 2
TURUNAN TINGKAT TINGGI
Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).
f
(n)
d ( x) f ( n 1) ( x) dx
Turunan pertama
df x f ' (x ) dx
d 2 f x f " ( x) dx 2
Turunan kedua
d 3 f x f " ' ( x) dx 3
Turunan ketiga
n d f x Turunan ke-n f ( x) dx n Contoh : Tentukan y ' ' dari y 4 x3 sin x
Jawab : y' 12 x 2 cos x
n
maka y' ' 24 x sin x
Jika fungsi diturunkan maka turunannya, yaitu f ’ juga berupa fungsi, dan dimungkinkan f ’ juga mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan oleh (f ’)’ = f ’’. Fungsi yang f ’’ baru ini disebut turunan kedua dari f karena dia merupakan turunan dari turunan f . Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua dari y = f(x) sebagai
Contoh : Jika f(x) = 3x4 + 7x – 8, tentukan f ’’(x).
Contoh : Jika f(x) = (3x5 + 2x)(4x + 7), tentukan f ’’(x).
Soal Latihan A. Tentukan turunan kedua dari 1.
y sin 2x 1
2.
y 2x 3 4
3.
x y x 1
4.
y cos2 x
B. Tentukan nilai c sehingga f "(c) 0 bila f (x ) x 3 3x 2 45x 6 2 C. Tentukan nilai a, b dan c dari g (x ) ax b x c bila g (1) = 5,
g ' (1) 3 dan g ' ' (1) 4
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Definisi: sebuah metode untuk mencari dy/dx tanpa terlebih dahulu menyelesaikan secara gamblang persamaan yang diberikan untuk y dalam bentuk x.
Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x. Contoh :
1. x3 y 2 x 2 y 10
2. sin( xy ) x 2 y 2 1
Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.
Contoh Tentukan dari persamaan x2 + 5y3 = x + 9. Penyelesaian. Lakukan pendiferensialan untuk kedua ruas pada persamaan.
Contoh : Tentukan jika diberikan persamaan x2 + 2xy + 3y2 = 4 Penyelesaian :
Contoh : Jika x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0, tentukanlah dan di titik x = 3 dan y = 2. Penyelesaian:
