TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) A. Pengertian Derivatif (turunan) suatu fungsi. Perhatikan grafik fungsi y=f(x) (pengertian secara geometri) yang melalui garis singgung. f(x) y = f(x)
f(x+ ∆ x)
f(x) 0
Q [(x + ∆x ), f (x + ∆x )]
P (x, f ( x) ) x (x+ ∆ x)
x
jika terjadi perubahan penambahan x sebesar ∆ x maka terjadi perubahan f(x) sebesar f( ∆ x). Laju perubahan rata-rata adalah : ∆y perubahan dalam y = ∆x perubahan dalam x ∆y f ( x + ∆ x ) − f ( x ) f ( x + ∆ x ) − f ( x ) = = ∆x ∆x ( x + ∆ x) − x
Untuk ∆ x diambil sekecil-kecilnya ( ∆ x mendekati nol), apabila
∆y ∆x
∆y maka ∆ x mendekati nol itu disebut ∆x Turunan (derivatif) /turunan pertama dari fungsi y=f(x) terhadap x. mempunyai harga, maka harga dari
Definisi :
f ( x + ∆ x ) − f ( x) ada harganya, maka harga tersebut ∆x→ 0 ∆x dikatakan sebagai derivatif pertama fungsi y=f(x) terhadap x dan biasa ditulis dengan simbol :
Apabila
lim
2
dy df ( x) ' = , y = f ' ( x), Jadi dx dx
dy f ( x + ∆ x) − f ( x ) = f ' ( x) = lim ∆x→ 0 dx ∆x ∆y disebut koofisien differensi. Proses penarikan limit atas suatu koefisien ∆x diferensi dalam hal tambahan variabel bebasnya mendekati nol disebut proses penurunan suatu fungsi atau diferensiasi. Sedangkan hasil yang diperoleh dari differensiasi disebut turunan atau derivatif. B. Menentukan Turunan Fungsi Melalui Proses Limit. Langkah-langkah untuk mendapatkan turunan suatu fungsi melalui proses limit adalah sbb: 1. Tulis fungsinya, y=f(x) 2. Berikan tambahan terhadap x sebesar ∆x terhadap y sebesar ∆y, sehingga didapat, y+∆y = f(x+∆y) 3. Pindahkan y=f(x) keruas kanan untuk mendapatkan ∆y=f(x+∆y)f(x). 4. Bagi di kedua ruas dengan ∆x, didapat dy f ( x + ∆ x) − f ( x) = dx ∆x ∆y 5. Hitung limit untuk mendapatkan ∆x f ( x + ∆ x ) − f ( x) dy = f ' ( x) = lim ∆x→ 0 dx ∆x
Contoh Soal : 2 dy dari y=f(x)= x dx ( x + ∆ x) 2 − x 2 f ( x + ∆ x) − f ( x) dy = lim = lim ∆x→ 0 dx ∆x→ 0 ∆x ∆x
Tentukan
( x 2 + 2∆ x . x + ∆x 2 ) − x 2 2∆ x . x + ∆x 2 = lim ∆x→ 0 ∆x→ 0 ∆x ∆x = lim 2 x + ∆x 2 = 2x = lim
∆x→0
3
C. Menentukan Turunan Fungsi Melalui Rumus-Rumus Diferensial. Untuk memudahkan mencari turunan suatu fungai biasanya digunakan rumus-rumus diferensial sbb : c.1. Turunan fungsi aljabar :
y = f(x)
dy = f ' ( x) dx
1. y = f ( x) = k
dy =0 dx dy = k . n . x n −1 dx dy = k . n.{ f ( x)}n − 1. f ' ( x) dx dy = f ' ( x) ± g ' ( x) dx dy = f ' ( x ) . g ( x ) + f ( x) . g ' ( x) dx dy f ' ( x) . g ( x) − g ' ( x). f ( x) = dx {g ( x)}2
2. y = f ( x) = k. x n 3. y = k { f ( x)}n 4. y = f ( x) ± g ( x) 5. y = f ( x) . g ( x)
f ( x) g ( x) Keterangan : k = suatu konstanta n = bilangan bulat positif 6. y =
Berikut ini adalah penjelasan peritem : 1. y = f ( x) = k
dy =0 dx
y =5 dy =0 dx 2. y = f ( x) = k. x n y = 4x3 dy = 4.3.x3 − 1 = 12 x 2 dx
dy = k . n . x n −1 dx
4
3. y = k { f ( x)}n
dy = k . n.{ f ( x)}n − 1. f ' ( x) dx
disebut juga aturan Rantai, aturan ini juga bisa disebut deferensial fungsi dari suatu fungsi (komposit). Andaikan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposit y=f(g(x))=(f o g)(x). Jika terdeferensialkan di x dan f terdeferensialkan di u=g(x), maka f o g terdeferensial di x dan ( f o g )' ( x) = f ' ( g ( x)) g ' ( x) atau Dx y = Du y Dxu dy dy du atau = ⋅ dx du dx Contoh : a. y = 5( x3 + x)3 carilah misalkan u = ( x3 + x)
dy ? dx
y = 5(u )3 dy du = 5.3. u 2 ; = (3x 2 + 1) du dx maka, dy = 5.3 ( x3 + x)2.(3x 2 + 1) dx = 15 ( x3 + x)2.(3x 2 + 1) dy ? dx dari persoalan ini maka ada 3 unsur yaitu sinus, pangkat dan nilai 4x maka diselesaikan dengan aturan rantai bersusun.
b. y = sin 3 (4 x) carilah
Misalkan : y=f(u), u=sin v dan v = h(x) Maka, dy dy du dv = ⋅ ⋅ dx du dv dx dari contoh di atas : 3 y=u , u=sin v dan v=4x dv du dy = 4, = cos v dan = 3u 2 du dx dv
5
dy = 3u 2. cos v . 4 dx
dy = 3sin 2 (4 x). cos (4 x) . 4 dx dy = 12 sin 2 (4 x). cos (4 x) dx
4. y = f ( x) ± g ( x)
dy = f ' ( x) ± g ' ( x) dx
y = 5 x3 + 2 x dy = 5.3.x 2 + 2.1 dx = 15 x 2 + 2
5. y = f ( x) . g ( x)
dy = f ' ( x ) . g ( x ) + f ( x) . g ' ( x) dx
y = ( x 2 + 2 x + 5)( x3 + 3x) f ( x) = ( x 2 + 2 x + 5)
f ' ( x) = (2 x + 2)
g ( x) = ( x3 + 3x) g ' ( x) = (3x 2 + 3) dy = (2 x + 2)( x3 + 3x) + ( x 2 + 2 x + 5)(3x 2 + 3) dx = (2 x 4 + 6 x 2 + 2 x3 + 6 x) + (3x 4 + 3x 2 + 6 x3 + 6 x + 15 x 2 + 15) = (5 x 4 + 8 x3 + 24 x 2 + 12 x + 15)
6. y =
f ( x) g ( x)
x2 +1 y= x+2 f ( x) = ( x 2 + 1) g ( x) = ( x + 2)
dy f ' ( x) . g ( x) − g ' ( x). f ( x) = dx {g ( x)}2
f ' ( x) = 2 x g ' ( x) = 1
6
dy f ' ( x) . g ( x) − g ' ( x). f ( x) = dx {g ( x)}2
dy 2 x .( x + 2) − ( x 2 + 1) = dx ( x + 2) 2
dy 2 x 2 + 4 x − x 2 − 1 = dx ( x 2 + 4 x + 4) =
x 2 + 4x − x 2 −1 x 2 + 4x + 4
c.2. Turunan Fungsi Logaritma Dalam perhitungan ada dua basis yang biasanya dipakai yakni 10 dan e. Logaritma yang memakai basis 10 disebut logaritma biasa dan yang memakai basis e disebut Logaritma natural.
(
)
e = lim 1 + 1n n = 2,71828 n→0 Rumus-rumus : 1. y = Log f (x)
2. y = Ln f (x)
1 dy = (log e ). f ' ( x) dx f ( x) 1 1 dy = (ln e ). f ' ( x) = f ' ( x) dx f ( x) f ( x)
Catatan : ln e = e log e =1 e log
x = ln x ; elog a = ln a
Rumus-rumus deferensiasi penjumlahan, perkalian dan pembagian juga berlaku bagi fungsi algoritma. Untuk lebih jelasnya perhatikan deferensiasi dengan memakai rumus-rumus di atas :
7
Rumus 1. y = Log f (x)
y = log 5 x Rumus 2.
1 dy = (log e ). f ' ( x) dx f ( x) dy 1 = (log e ).5 dx 5 x
y = ln f ( x)
1 dy = f ' ( x) dx f ( x)
y = ln 2 x
1 dy 1 = .2 = dx 2 x x
d {ln x} = 1 dan bila z digantikan dx x d {ln F } = 1 ⋅ dF . Dengan mengingat hal ini, dengan fungsi F, maka dx F dx uv marilah kita tinjau sebuah kasus y = , dengan u,v,w dan y adalah w fungsi x. Kita ambil logaritmanya dengan bilangan dasar e makabdidapat ln y = ln u +ln v – ln w . Kita diferensiasikan masing-masing ruas diperoleh :
Didasarkan pada kenyataan bahwa
1 dy 1 du 1 dv 1 dw ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ y dx u dx v dx w dx
maka,
⎧ 1 du 1 dv 1 dw ⎫ dy dy uv ⎧ 1 du 1 dv 1 dw ⎫ = y ⎨ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⎬ atau = ⎨ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⎬ dx w ⎩ u dx v dx w dx ⎭ dx ⎩ u dx v dx w dx ⎭
Contoh : dy x 2 sin x y= , tentukanlah ? cos 2 x dx dimana u=x2, v=sin x dan w=cos 2x maka, du dv dw = 2x , = −2 sin 2 x = cos x , dx dx dx
8
Mengambil logaritma kedua ruasnya y=
x 2 sin x cos 2 x
ln y = ln(x2) + ln(sin x)-ln(cos 2x)
dy uv ⎧ 1 du 1 dv 1 dw ⎫ = ⎨ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⎬ dx w ⎩ u dx v dx w dx ⎭ ⎫ cos 2 x ⎧⎪ 1 1 1 dy = ⋅ 2x + ⋅ cos x − ⋅ (−2 sin 2 x)⎪⎬ ⎨ dx x 2 sin 2 x ⎪⎩ x 2 ⎪⎭ sin x cos 2 x ⎫ cos 2 x ⎧⎪ 2 x dy = + cot x + 2 tan 2 x ⎪⎬ ⎨ dx x 2 sin 2 x ⎪⎩ x 2 ⎪⎭
c.3. Turunan Fungsi Eksponen Untuk menentukan turunan fungsi eksponen digunakan 2 basis rumus yakni basis e dan bukan e. Rumus-Rumus : 1. y = e f (x) 2. y = a f (x)
dy = e f ( x ) . f ' ( x) dx dy = a f ( x). ln a . f ' ( x) dx
Contoh penggunaan rumus ini : Rumus 1. dy = e f ( x ) . f ' ( x) dx
y = e f (x) 2
y = e (5 x + 4 ) dy (5 x 2 + 4) =e .(10 x) dx
9
Rumus 2.
y = a f (x)
dy = a f ( x). ln a . f ' ( x) dx
2 ( x − x)
y = 10
2 dy = 10 ( x − x). ln 10. (2 x − 1) dx
D. Turunan Tingkat Tinggi. Apabila fungsi y=f(x) dapat diturunkan/diderivatifkan sampai n kali terhadap x, maka didapat : Jika y=f(x) maka
dy = f ' ( x) dx d2y = f ' ' ( x) dx 2 d3y = f ' ' ( x) dx3
dny = f n ( x) n dx
Turunan pertama Turunan kedua Turunan ketiga
Turunan ke-n
Contoh soal : Carilah turunan tingkat 3 dari persoalan berikut ini : 5 3 Jika diketahui f(x)= y = 2x + 4x dy = 10 x 4 + 12 x 2 dx d2y = 40 x 3 + 24 x dx 2 d3y = 120 x 2 + 24 3 dx
Turunan pertama Turunan kedua Turunan ketiga
10
Berikut ini diberikan cara penulisan diferensial : Derivatif Pertama
Penulisan F(x) f'
Penulisan y y'
Penulisan D Dx y
Kedua
f ''
y ''
Dx2 y
Ketiga
f '''
y '''
Dx3 y
Ke - n
f
n
yn
Dxn y
Penulisan Leibniz dy dx d2y dx d3y dx dny dx
E. Turunan Fungsi Implisit. Fungsi Implisit adalah fungsi yang dinyatakan sebagai f(x,y)=0. Untuk mencari turunannya dapat dilakukan dengan dua cara. Pertama, bentuk fungsi dirubah terlebih dahulu bentuk eksplisit, baru dipecahkan. Kedua, tetap dalam bentuk implisit dengan pemecahan melalui difresiansi implisit.
Contoh Soal : 2 2 Bila diketahui sebuah persamaan sbb : 4x +5xy+3y -25=0, dy ? carilah dx dy ⎞ dy dx ⎛ dx + 5⎜⎜ y + x ⎟⎟ + 6 y − 0 = 0 dx ⎝ dx dx ⎠ dx dy dy 8x + 5 y + 5x + 6 y = 0 dx dx dy (8 x + 5 y ) + (5 x + 6 y) = 0 dx dy (8 x + 5 y) = − (5 x + 6 y ) dx dy (8 x + 5 y ) =− dx 5x + 6 y
⇒ 8x ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
11
F. Turunan Fungsi Trigonometrik.
Beberapa identitas trigonometri yang perlu diketahui. a. sin 2 x + cos2 x = 1 ; sec2 x = 1 + tan 2 x ; cos ec2 x = 1 + cot 2 x b. sin( A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin( A + B) = cos A cos B − sin A sin B cos( A − B) = cos A cos B + sin A sin B tan A + tan B tan( A + B) = 1 − tan A tan B tan A − tan B tan( A − B) = 1 + tan A tan B c. misalkan A=B=x. ∴ sin 2 x = 2 sin x cos x
cos 2 x = cos2 x − sin 2 x =1 − 2 sin 2 x
= 2 cos2 x − 1 2 tan x tan 2 x = 1 − tan 2 x d. misalkan x =
x 2
x x cos 2 2 x x cos x = cos 2 − sin 2 2 2 x = 1 − 2 sin 2 2 x = 2 cos 2 − 1 2 x 2 tan 2 tan x = x 1 − tan 2 2
∴ sin x = 2 sin
C+D C−D cos 2 2 C+D C−D sin C − sin D = 2 cos sin 2 2
e. sin C + sin D = 2 sin
12
C+D C−D cos 2 2 C+D C−D cos D − cos C = 2 sin sin 2 2
cos C + cos D = 2 cos
f. 2 sin A cos B = sin ( A + B) + sin ( A − B) 2 cos A sin B = sin ( A + B) − sin ( A − B) 2 cos A cos B = cos ( A + B) + cos ( A − B) 2 sin A sin B = cos ( A − B) − cos ( A + B) Jika x adalah fungsi x yang dapat dideferensiasi, maka y=f(x)
dy dx
1. sin x 2. cos x 3. tan x
cos x -sin x 2 sec x
4. cot x
-cosec x sec x . tan x -cosec x . cot x
5. sec x 6. cosec x
2
Contoh soal : a. Buktikan y=f(x)=sin x maka
dy = cos x dengan turunan fungsi, dx
sin( x + ∆x) − sin x dy = lim dx ∆x → 0 ∆x sin x cos ∆x + cos x sin ∆x − sin x = lim ∆x ∆x → 0 1 − cos x sin ∆x = lim − sin x + cos x ∆x ∆x ∆x → 0 ⎡ ⎡ 1 − cos ∆x ⎤ sin ∆x ⎤ = (− sin x) ⎢ lim ⎥ + (− cos x) ⎢ lim ⎥ ∆x ⎦⎥ ⎣⎢∆x → 0 ⎣⎢∆x → 0 ∆x ⎦⎥
13
∆x
y (cos t, sin t) t t (1,0)
x
1,0 0,5 0,1 0,01 ↓ 0 ↑ -0,01 -0,1 -0,5 -1,0
1 − cos ∆x ∆x 0,45970 0,24483 0,04996 0,00500 ↓ ? ↑ -0,00500 -0,04996 -0,24483 -0,45970
ini membuktikan bahwa : 1 − cos ∆x sin ∆x = 0 ; dan lim =1 x x ∆ ∆ ∆x → 0 ∆x → 0 lim
Sehingga, D(sinx) = (-sin x).0 + (cos x). 1 = cos x b. Diketahui f(x)= y =
dy cos x , hitung ? x dx
f ( x) = cos x ⇒ f ' ( x) = − sin x g ( x) = x ⇒ g ' ( x ) = 1
maka dengan menggunakan rumus : y=
f ( x) dy f ' ( x) . g ( x) − g ' ( x). f ( x) ⇒ = dx g ( x) {g ( x)}2
didapat, dy − x .sin x − cos x = dx x2
sin ∆x ∆x 0,84147 0,95885 0,99833 0,99998 ↓ ? ↑ 0,99998 0,99833 0,95885 0,84147
14
G. Turunan Fungsi Invers. a. Diferensiasi invers fungsi trigonometri Misalkan y = sin −1 x ⇒ x = sin y dy 1 dx = cos y ⇒ = dx cos y dy Selanjutnya nyatakan cos y dalam x
Sebagaimana diketahui bahwa : sin 2 y + cos 2 y = 1 , maka ⇒ cos 2 y = 1 − sin 2 y = 1 − x 2 ( karena x = sin y ) ⇒ cos y =
1 − x2 1
dy = dx (1 − x 2 ) d ⎧ −1 ⎫ 1 ⇒ ⎨sin x ⎬ = dx ⎩ ⎭ (1 − x 2 ) ⇒
dengan cara yang sama dapat dicari
d ⎧ −1 ⎫ 1 ⎨cos x ⎬ = − dx ⎩ ⎭ (1 − x 2 )
d ⎧ −1 ⎫ ⎨tan x ⎬ ? dx ⎩ ⎭ − 1 Misalkan y = tan x ⇒ x = tan y dx = sec 2 y =1 + tan 2 y = 1 + x 2 dy dy dx 1 = 1+ x2 ⇒ = dy dx 1 + x 2
Bagaimana dengan
b. Diferensiasi invers fungsi hiperbolik Misalkan y = sinh −1 x ⇒ x = sinh y dy dx 1 ⇒ = cosh y ; = dy dx cosh y Sebagaimana diketahui bahwa : sinh 2 y − cosh 2 y = 1 , maka ⇒ cosh 2 y = 1 + sinh 2 y = 1 + x 2 ( karena x = sinh y ) ⇒ cos y = ⇒
dy = dx
(1 + x 2 ) 1 (1 + x 2 )
⇒
d ⎧ 1 −1 ⎫ ⎨sinh x ⎬ = dx ⎩ ⎭ (1 + x 2 )
15
dengan cara yang sama dapat dicari
Bagaimana dengan
1 d ⎧ −1 ⎫ ⎨cosh x ⎬ = − dx ⎩ ⎭ ( x 2 − 1)
d ⎧ −1 ⎫ ⎨tanh x ⎬ ? dx ⎩ ⎭
Misalkan y = tanh −1 x ⇒ x = tanh y ;
dx = sec h 2 y dy
Sebagaimana diketahui : sec h 2 x = 1 − tanh 2 y , maka dx ⇒ = sec h 2 y dy =1 − tanh 2 y = 1 − x 2 dy 1 ⇒ = dx 1 − x 2 d ⎧ −1 ⎫ 1 ⇒ ⎨sin x ⎬ = dx ⎩ ⎭ 1− x2 Berikut ini tabel hasil turunan fungsi invers Invers Fungsi Trigonometri dy y dx − 1 1 sin x cos −1 x tan −1 x cot −1 x sec −1 x csc −1 x
(1 − x 2 ) −1
(1 − x 2 ) 1 1 + x2 1 − 1+ x2 1 x ( x 2 − 1) 1 − x ( x 2 − 1)
Invers Fungsi Hiperbolik dy y dx − 1 1 sinh x ( x 2 + 1)
cosh −1 x tanh −1 x coth −1 x sec h −1 x csc h −1 x
1
; ( x > 1) ( x 2 − 1) 1 ; ( x 2 < 1) 2 1− x 1 ; ( x 2 > 1) 2 1− x 1 ; (0 < x < 1) − 2 x (1 − x ) 1 ; (u ≠ 0) − x ( x 2 + 1)
16
Contoh soal : a. Cari
dy , jika diberikan y = ⎛⎜1 + x 2 ⎞⎟ sin −1 x dx ⎝ ⎠ f ( x) = ⎛⎜1 + x 2 ⎞⎟ ;
f ' ( x) = 2 x
g ( x) = sin − 1 x ;
g ' ( x) =
⎝
⇒
⎠
1 (1 − x 2 )
dy ⎛ 1 = ⎜1 + x 2 ⎞⎟ + 2 x sin − 1 x dx ⎝ ⎠ (1 − x 2 )
dy , jika diberikan y = sinh − 1 3x dx 1 d ⎧ −1 ⎫ sebagaimana diketahui ⎨sinh x ⎬ = dx ⎩ ⎭ ( x 2 + 1) 3 dy 1 ⋅3 = = dx ⎧( 3x 2 + 1)⎫ (9 x 2 + 1) ⎬ ⎨
b. Cari
⎩
⎭
H. Persamaan Parametrik. Seringkali lebih enak mengungkapkan suatu fungsi dengan menyatakan suatu fungsi dengan menyatakan x dan y dalan suatu variabel bebas ketiga secara terpisah, contoh y = cos 2t , x = sin t . Dalam hal ini, sebuah harga t tertentu akan memberikan pasangan harga x dan y, yang jika perlu dapat saja digambarkan dalam grafik sebagai salah satu titik dari kurva y = f(x). Variabel yang ketiga ini, misalnya t, disebut parameter, dan kedua pernyataan untuk x dan y disebut persamaan parametrik. Ada kalanya kita masih memerlukan koefisien diferensial fungsi tersebut terhadap x.
Contoh : Persamaan untuk fungsi adalah : y = cos 2t , x = sin t , cari pernyataan d2y dy ? dan dx dx 2 Jika, y = cos 2t ⇒
dy = −2 sin t ; dt
x = sin t
⇒
dx = cos t dt
17
Dengan menggunakan kenyataan bahwa Sehingga, 1 dy = −2 sin 2t . dx cos t karena sin 2t = 2 sin t cos t maka, 1 dy = −4 sin t cos t . dx cos t dy = −4 sin t dx
dy dy dt = ⋅ dx dt dx
