3
TURUNAN FUNGSI
3.1 Pengertian Turunan Fungsi
Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi f ’ yang nilainya di c adalah f (c h ) f (c ) f ’ (c) = lim h 0 h asalkan limit ini ada.
Contoh 1 Jika f(x) = 3x2 + 2x +4, maka turunan f di x = 2 adalah f (2 h) f (2) f ’ (2) = lim h 0 h 3(2 h) 2 2(2 h) 4 (3. 2 2 2. 2 4) = lim h 0 h 2 3( 4 4h h ) 4 2h 4 (12 4 4) = lim h 0 h 2 12h 3 h 2h = lim h 0 h h(12 3 h 2) = lim h 0 h = lim (12 3h 2) h0
= 14
Jika f mempunyai turunan di setiap x anggota domain maka f ( x h) f ( x ) f ’ (x) = lim h 0 h Jika y = f(x) turunan y atau turunan f dinotasikan dengan y ’, atau
dy , atau f ’ (x), atau dx
df ( x) dx Turunan Fungsi
36
Contoh 2 Jika f(x) = 3x2 + 2x +4, maka turunan f di sembarang x adalah f ( x h) f ( x ) f ’ (x) = lim h 0 h 3( x h) 2 2( x h) 4 (3x 2 2 x 4) = lim h 0 h 2 2 3( x 2 xh h ) 2 x 2h 4 (3x 2 2 x 4) = lim h 0 h 2 6 xh 3 h 2h = lim h 0 h h(6 x 3 h 2) = lim h 0 h = lim (6 x 3h 2) h0
= 6x + 2 3.2 Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat 1. Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (f fungsi konstan), maka f ’(x) = 0. Bukti:
f ’(x)
f ( x h) f ( x ) h 0 h k k = lim h 0 h =0 = lim
2. Jika f(x) = x untuk setiap x (f fungsi identitas), maka f ’(x) = 1. Bukti:
f ’(x)
f ( x h) f ( x ) h ( x h) x = lim h 0 h = lim h 0
h h 0 h = 1.
= lim
3. Jika f(x) = xn dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f ’(x) = nxn–1. Bukti:
f ’(x)
f ( x h) f ( x ) h 0 h n ( x h) x n = lim h 0 h
= lim
Turunan Fungsi
37
x n nx n 1 h = lim h 0
n(n 1) n 2 2 x h ... nxh n1 h n x n 2 h
n(n 1) n 2 h nx n 1 x h ... nxh n 2 h n 1 2 = lim h 0 h
n(n 1) n2 = lim nx n 1 x h ... nxh n 2 h n1 h 0 2 = lim nx n 1 h 0
= nx n 1 Contoh 3 Jika f(x) = x5, maka turunan f adalah f ’(x) = 5x4
3.3 Sifat-sifat Turunan Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsifungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku: 1. Jika y = ku
maka y ’ = k(u’ )
2. Jika y = u + v
maka y ’ = u ’ + v ’
3. Jika y = u – v
maka y ’ = u ’ – v ’
4. Jika y = u v
maka y ’ = u ’ v + u v ’
5. Jika y =
u v
maka y ’ =
u ' v uv ' v2
Contoh 4 1. Jika f(x) = 3x5, maka f ’(x) = 3.5x4 = 15x4 2. Jika f(x) = 3x5 + 2x, maka f ’(x) = 15x4 + 2 3. Jika f(x) = 3x5 – 2x, maka f ’(x) = 15x4 – 2 4. Jika f(x) = (3x5 + 2x)(4x + 7), maka f ’(x) = (15x4 + 2) (4x + 7) + (3x5 + 2x)4 5. Jika f(x) =
(15 x 4 2)(4 x 7) (3x 5 2 x) 4 3x 5 2 x , maka f ’(x) = 4x 7 ( 4 x 7) 2 Turunan Fungsi
38
6. Jika f(x) = x p dengan p bilangan bulat negatif maka f(x) = x –n dengan – n = p, sehingga f(x) = f ’(x) = =
1 u . Dengan menggunakan turunan y = diperoleh n v x
0. x n 1. nx n 1 (xn )2
nx n 1 x 2n
= nx n1 x 2n = nx n1 = px p 1 3.4 Aturan Rantai (untuk Turunan Fungsi Komposisi) Untuk menentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9 dengan cara mengalikan bersama kesembilan faktor (3x4 + 7x – 8) kemudian mencari turunan polinom berderajat 36 tentulah sangat melelahkan. Cara yang mudah untuk menentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9 adalah dengan menggunakan aturan rantai. Aturan Rantai Misalkan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposisi yang dirumuskan dengan y = f(g(x)) = (f o g)(x). Jika g terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di u = g(x) maka y = (f o g)(x) terdiferensialkan di x dan y ’ = (f o g) ’ (x) = f ’(g(x)) g’(x) atau
dy dy du dx du dx
Fungsí komposisi dapat diperluas menjadi komposisi 3 fungsi, 4 fungsi dan seterusnya. Jika y = f(u) u = g(v) v = h(x) yakni y = (f o g o h)(x) maka
dy dy du dv dx du dv dx Turunan Fungsi
39
Contoh 5 Tentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9 Penyelesaian: Misalkan
u = 3x4 + 7x – 8
du =12x3 + 7 dx
y = u9
dy = 9u8. du
dy dy du = 9u8(12x3 + 7) dx du dx = 9(3x4 + 7x – 8)8(12x3 + 7)
3.5 Turunan Fungsi Invers Misalkan y = f(x) dan f mempunyai invers f menggunakan aturan rantai pada x = f –1(y) diperoleh
–1
sehingga x = f
–1
(y). Dengan
dx df 1 ( y ) dy dx dy dx
dx dy dy dx
1=
dx 1 = dy dy dx
3.6 Turunan Fungsi Implisit Fungsí implisit secara umum dapat ditulis sebagai f(x, y) = 0 dengan y sebagai fungsí dalam x. Contoh fungsi implisit: 1) y – 2x3 – 8 = 0 2) 2x3y – 7y – x2 + 1 = 0 Contoh 6
dy dari fungsí yang dirumuskan dengan y – 2x3 – 8 = 0 dx Penyelesaian: Apabila kedua ruas y – 2x3 – 8 = 0 diturunkan terhadap x, maka diperoleh:
1. Tentukan
Turunan Fungsi
40
dy – 6x2 = 0 dx
dy = 6x2 dx
dy dari fungsí yang dirumuskan dengan 2x3y – 7y – x2 + 1 = 0 dx Penyelesaian: Apabila kedua ruas 2x3y – 7y – x2 + 1 = 0 diturunkan terhadap x, maka diperoleh: dy dy 6x2y + 2x3 –7 – 2x = 0 dx dx dy (2x3 – 7) = 2x – 6x2y dx 2x 6x 2 y dy = dx 2x3 7
2. Tentukan
3.7 Turunan Tingkat Tinggi Jika fungsi diturunkan maka turunannya, yaitu f ’ juga berupa fungsi sehingga boleh jadi f ’ mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan oleh (f ’)’ = f ’’. Fungsi yang f ’’ baru ini disebut turunan kedua dari f karena dia merupakan turunan dari turunan f . Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua dari y = f(x) sebagai
d dy d 2 y dx dx dx 2 Notasi lain adalah f ’’(x) = D2f(x) Contoh 7 Jika f(x) = 3x4 + 7x – 8, tentukan f ’’(x). Penyelesaian: f ’(x) = 12x3 + 7 untuk mencari f ’’(x) kita turunkan f ’(x): d (12 x 3 7) dx = 36x2
f ’’(x) =
Contoh 8 Jika f(x) = (3x5 + 2x)(4x + 7), tentukan f ’’(x).
Turunan Fungsi
41
Penyelesaian:
d d f ’(x) = (3x 5 2 x) (4x + 7) + (3x5 + 2x) (4 x 7) dx dx = (15x4 + 2) (4x + 7) + (3x5 + 2x)4 f ’’(x) = =
d [(15x4 + 2) (4x + 7) + (3x5 + 2x)4] dx d d [(15x4 + 2) (4x + 7)] + [(3x5 + 2x)4] dx dx
d d = (15 x 4 2) (4 x 7) (15 x 4 2) (4 x 7) dx dx d d 5 5 (3x 2 x) 4 (3x 2 x) 4 dx dx
= 60x3(4x + 7) + (15x4 + 2) 4 + (15x4 + 2) 4 + (3x5 + 2x).0 = 60x3(4x + 7) + (15x4 + 2) 4 + (15x4 + 2) 4
3.8 Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden
Fungsi Aljabar
Fungsi Rasional Fungsi Irrasional
Fungsi Fungsi Trigonometri Fungsi Siklometri Fungsi Transenden Fungsi Logaritma Fungsi Eksponensial Fungsi Hiperbolik 3.8.1 Turunan Fungsi Rasional Contoh-contoh tentang turunan yang diuraikan sebelumnya (contoh 3) adalah contoh-contoh turunan fungsi rasional. Jadi turunan fungsi rasional ini tidak perlu dibahas kembali. 3.8.2 Turunan Fungsi Irrasional Fungsi Irrasional adalah akar dari fungsi-fungsi rasional
Turunan Fungsi
42
Contoh 9 Tentukan turunan y = Penyelesaian: y =
n
x dengan n bilangan bulat positif
x x = y n sehingga
n
dx = ny n–1 dy
dy 1 1 1 1 = = = y 1 n = n 1 dx dx n n ny dy
x
1 n
n
=
1 n
1 1n x n
1 1 1 = xn n
Contoh 10 Tentukan turunan y =
x 3 4x x 3 4 x = x 3 4 x 2 1
Penyelesaian: y =
Dengan aturan rantai diperoleh: y ’ = =
1 3 x 4x 2
3x 12
2
4
3x 2 4 2 x3 4x
3.8.3 Turunan Fungsi Trigonometri Akan dicari turunan fungsi kosinus sebagai berikut. Ingat: cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b. Jika f(x) = cos x, maka f ’(x)
= lim h 0
f ( x h) f ( x ) h
cos( x h) cos x h 0 h
= lim
= lim
cos x cos h sin x sin h cos x h
= lim
cos x(cos h 1) sin x sin h h
h 0
h 0
cos x(cos h 1) sin x sin h – lim h 0 h 0 h h
= lim
(cos h 1) sin h – lim sin x lim h 0 h 0 h 0 h 0 h h = cos x . 0 – sin x . 1 = – sin x
= lim cos x lim
Turunan Fungsi
43
Jadi,
jika f(x) = cos x, maka f ’(x) = – sin x
Analog: jika f(x) = sin x,
maka f ’(x) =
cos x
jika f(x) = tg x,
maka f ’(x) =
sec2 x
jika f(x) = ctg x,
maka f ’(x) = – cosec2 x
jika f(x) = sec x,
maka f ’(x) =
sec x tg x
jika f(x) = cosec x, maka f ’(x) = – cosec x ctg x
3.8.4 Turunan Fungsi Siklometri Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri. Akan dicari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus) berikut. y = arc sin x
x = sin y
1 x y
1 x2 dx = cos y dy dy 1 = dx cos y 1 = 1 x2
Jadi,
jika y = arc sin x, maka y ’ =
cos y = 1 x 2
1 1 x2
Turunan Fungsi
44
Analog:
1
jika y = arc cos x,
maka y ’ = –
jika y = arc tg x,
maka y ’ =
jika y = arc ctg x,
maka y ’ = –
jika y = arc sec x,
maka y ’ =
1 x2 1 1 x2 1 1 x2
1 x x2 1
jika y = arc cosec x, maka y ’ = –
1 x x2 1
3.8.5 Turunan Fungsi Logaritma Akan dicari turunan f(x) = ln x berikut. f ’(x)
= lim h 0
f ( x h) f ( x ) h
ln( x h) ln x h 0 h
= lim
xh ln x = lim h 0 h h ln 1 x = lim h 0 h
h ln 1 x = lim h 0 h .x x x h ln 1 h x = lim h 0 x
Turunan Fungsi
45
x
h h ln 1 x = lim h 0 x x
h h lim ln 1 h 0 x = lim x h 0
x
h h Mengingat (1) lim ln f ( x) = ln lim f ( x) dan (2) lim 1 e h0 h0 h 0 x Sehingga diperoleh: x
f ’(x)
h h lim ln 1 h 0 x = lim x h 0
x
h h ln lim 1 h 0 x = lim x h 0
=
ln e x
=
1 x
Jadi,
jika f(x) = ln x,
maka f ’(x) =
1 x
Selanjutnya jika y = a log x maka turunannya dapat dicari sebagai berikut. y = a log x
y=
ln x ln a
= Sehingga
1 ln x ln a
y’=
1 1 ln a x
=
1 x ln a Turunan Fungsi
46
Jadi,
jika y = a log x ,
maka y ’ =
1 x ln a
3.8.6 Turunan Fungsi Eksponensial Akan dicari turunan y = a x sebagai berikut. y = a x ln y = ln a x ln y = x ln a x=
ln y ln a
x=
1 ln y ln a
Sehingga Diperoleh
Jadi,
1 1 dx = ln a y dy dy = y ln a. dx = a x ln a
jika y = a x ,
maka y ’ = a x ln a
Khususnya untuk a = e, jika y = e x ,
maka y ’ = e x ln e = ex
Jadi,
jika y = e x ,
maka y ’ = e x
Turunan Fungsi
47
3.8.7 Turunan Fungsi Hiperbolik
Definisi sinh x =
e x ex 2
coth x =
e x ex 1 = x tanh x e e x
cosh x =
e x ex 2
sech x =
1 2 = x cosh x e e x
e x ex sinh x tanh x = = x cosh x e e x
csch x =
1 2 = x sinh x e e x
Jika f(x) = sinh x, maka dengan menggunakan turunan fungsi eksponensial diperoleh d e x ex f ' ( x) = dx 2
e x ( e x ) 2 x e ex = 2 = cosh x. =
Jadi,
jika f(x) = sinh x, maka f ’(x) = cosh x
3.9 Turunan Fungsi Parameter Apabila disajikan persamaan berbentuk: x = f(t) y = g(t) maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari x dan y, dan t disebut dy parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari dengan cara sebagai dx berikut. Dari x = f(t) dibentuk t = h(x) dengan h fungsi invers dari f. Nampak bahwa y = g(t) merupakan bentuk fungsi komposisi y = g(t) = g(h(x)) Turunan Fungsi
48
Diperoleh
dy dy dt dy dy 1 = atau = dx dt dx dx dt dx dt
sehingga
dy = dx
dy dt dx dt
SOAL Carilah
dy untuk yang berikut dx
1 4 x 3x 9 x 1 6. y = x 1
1. y = (3x4 + 2x2 + x)(x2 + 7)
5. y =
2. y = (x3 + 3x2)(4x2 + 2) 3. y =
1
7. y =
3x 2 1 2 4. y = 2 5x 1
Dengan aturan rantai tentukan
2
2 x 2 3x 1 2x 1
dy untuk yang berikut dx
8. y = (2 – 9x)15 9. y = (5x2 + 2x – 8)5
3x 1 15. y = sin 2x 5
x2 1 y = cos x 4 4 y = arcsin (3x – 11x) y = arctg (3x4 – 11x)8 y = ln (5x2 + 2x – 8)
1 10. y = 2 (4 x 3x 9) 9
16.
11. y = sin (3x2 + 11x) 12. y = cos (3x4 – 11x) 13. y = sin3 x
17. 18. 19.
x 1 14. y = x 1
20. y = e (2 – 9x)
4
Tentukan turunan fungsí implisit berikut 21. x2 + y2 = 9
26. 4x3 + 11xy2 – 2y3= 0
22. 4x2 + 9y2 = 36
27.
23. x y = 4 24. xy2 – x + 16 = 0
28. xy + sin y = x2 29. cos (xy) = y2 + 2x
25. x3 – 3x2y+ 19xy = 0
30. 6x –
xy + 3y = 10x
2 xy + xy3 = y2 Turunan Fungsi
49
dy untuk fungís parameter berikut dx 31. y = 2 – 9t 34. x = ln (2t – 9) x = sin t y = (t2 + 7)3
Tentukan
32. y = 2 – 9t2 x = arc sin (t – 1)
35. x = e (2t – 9) y = cosec t
33. x = ln (2 – 9t) y = sin t
36. y = sec (t – 1) x = tg (t – 1)
Turunan Fungsi
50
3.9 Penggunaan Turunan
Ruang 305 LCD frequency out of range
Turunan Fungsi
51
