3
TURUNAN FUNGSI
3.1 Pengertian Turunan Fungsi
Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi f ’ yang nilainya di c adalah f ( c + h ) − f (c ) f ’ (c) = lim h →0 h asalkan limit ini ada.
Contoh 1 Jika f(x) = 3x2 + 2x +4, maka turunan f di x = 2 adalah f (2 + h) − f (2) f ’ (2) = lim h →0 h 3(2 + h) 2 + 2(2 + h) + 4 − (3. 2 2 + 2. 2 + 4) = lim h →0 h 2 3( 4 + 4h + h ) + 4 + 2h + 4 − (12 + 4 + 4) = lim h →0 h 2 12h + 3 h + 2h = lim h →0 h h(12 + 3 h + 2) = lim h →0 h = lim(12 + 3h + 2) h →0
= 14
Jika f mempunyai turunan di setiap x anggota domain maka f ( x + h) − f ( x ) f ’ (x) = lim h →0 h Jika y = f(x) turunan y atau turunan f dinotasikan dengan y ’, atau
dy , atau f ’ (x), atau dx
df ( x) dx Turunan Fungsi
38
Contoh 2 Jika f(x) = 3x2 + 2x +4, maka turunan f di sembarang x adalah f ( x + h) − f ( x ) f ’ (x) = lim h →0 h 3( x + h) 2 + 2( x + h) + 4 − (3 x 2 + 2 x + 4) = lim h →0 h 2 2 3( x + 2 xh + h ) + 2 x + 2h + 4 − (3x 2 + 2 x + 4) = lim h →0 h 2 6 xh + 3 h + 2h = lim h →0 h h(6 x + 3 h + 2) = lim h →0 h = lim(6 x + 3h + 2) h →0
= 6x + 2 3.2 Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat
1. Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (f fungsi konstan), maka f ’(x) = 0. Bukti:
f ’(x)
f ( x + h) − f ( x ) h →0 h k −k = lim h →0 h =0
= lim
2. Jika f(x) = x untuk setiap x (f fungsi identitas), maka f ’(x) = 1. Bukti:
f ’(x)
f ( x + h) − f ( x ) h ( x + h) − x = lim h→0 h
= lim h →0
h h →0 h = 1.
= lim
3. Jika f(x) = xn dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f ’(x) = nxn–1. Bukti:
f ’(x)
f ( x + h) − f ( x ) h →0 h n ( x + h) − x n = lim h →0 h
= lim
Turunan Fungsi
39
x n + nx n −1 h + = lim h →0
n(n − 1) n − 2 2 x h + ... + nxh n −1 + h n − x n 2 h
n(n − 1) n − 2 ⎞ ⎛ h⎜ nx n −1 + x h + ... + nxh n − 2 + h n −1 ⎟ 2 ⎠ = lim ⎝ h →0 h
n(n − 1) n − 2 ⎛ ⎞ x h + ... + nxh n − 2 + h n −1 ⎟ = lim⎜ nx n −1 + h →0 2 ⎝ ⎠ = lim nx n −1 h →0
= nx n −1 Contoh 3
Jika f(x) = x5, maka turunan f adalah f ’(x) = 5x4
3.3 Sifat-sifat Turunan Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsifungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku:
1. Jika y = ku
maka y ’ = k(u’ )
2. Jika y = u + v
maka y ’ = u ’ + v ’
3. Jika y = u – v
maka y ’ = u ’ – v ’
4. Jika y = u v
maka y ’ = u ’ v + u v ’
5. Jika y =
u v
maka y ’ =
u ' v − uv ' v2
Contoh 4
1. Jika f(x) = 3x5, maka f ’(x) = 3.5x4 = 15x4 2. Jika f(x) = 3x5 + 2x, maka f ’(x) = 15x4 + 2 3. Jika f(x) = 3x5 – 2x, maka f ’(x) = 15x4 – 2 4. Jika f(x) = (3x5 + 2x)(4x + 7), maka f ’(x) = (15x4 + 2) (4x + 7) + (3x5 + 2x)4 5. Jika f(x) =
(15 x 4 + 2)(4 x + 7) − (3x 5 + 2 x) 4 3x 5 + 2 x , maka f ’(x) = 4x + 7 ( 4 x + 7) 2 Turunan Fungsi
40
6. Jika f(x) = x p dengan p bilangan bulat negatif maka f(x) = x –n dengan – n = p, sehingga f(x) = f ’(x) = =
1 u . Dengan menggunakan turunan y = diperoleh n v x
0. x n − 1. nx n −1 (x n )2 − nx n −1 x 2n
= − nx n −1 x −2 n = − nx − n −1 = px p −1 3.4 Aturan Rantai (untuk Turunan Fungsi Komposisi) Untuk menentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9 dengan cara mengalikan bersama kesembilan faktor (3x4 + 7x – 8) kemudian mencari turunan polinom berderajat 36 tentulah sangat melelahkan. Cara yang mudah untuk menentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9 adalah dengan menggunakan aturan rantai. Aturan Rantai Misalkan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposisi yang dirumuskan dengan y = f(g(x)) = (f o g)(x). Jika g terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di u = g(x) maka y = (f o g)(x) terdiferensialkan di x dan
y ’ = (f o g) ’ (x) = f ’(g(x)) g’(x) atau
dy dy du = dx du dx
Fungsí komposisi dapat diperluas menjadi komposisi 3 fungsi, 4 fungsi dan seterusnya. Jika y = f(u) u = g(v) v = h(x) yakni y = (f o g o h)(x) maka
dy dy du dv = dx du dv dx Turunan Fungsi
41
Contoh 5 Tentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9
Penyelesaian: Misalkan
u = 3x4 + 7x – 8
→
du =12x3 + 7 dx
y = u9
→
dy = 9u8. du
dy dy du = 9u8(12x3 + 7) = dx du dx = 9(3x4 + 7x – 8)8(12x3 + 7) 3.5 Turunan Fungsi Invers Misalkan y = f(x) dan f mempunyai invers f menggunakan aturan rantai pada x = f –1(y) diperoleh
–1
sehingga x = f
–1
(y). Dengan
dx df −1 ( y ) dy = dx dy dx
dx dy dy dx
⇔
1=
⇔
dx 1 = dy dy dx
3.6 Turunan Fungsi Implisit
Fungsí implisit secara umum dapat ditulis sebagai f(x, y) = 0 dengan y sebagai fungsí dalam x. Contoh fungsi implisit: 1) y – 2x3 – 8 = 0 2) 2x3y – 7y – x2 + 1 = 0 Contoh 6
dy dari fungsí yang dirumuskan dengan y – 2x3 – 8 = 0 dx Penyelesaian: Apabila kedua ruas y – 2x3 – 8 = 0 diturunkan terhadap x, maka diperoleh:
1. Tentukan
Turunan Fungsi
42
dy – 6x2 = 0 dx
⇔
dy = 6x2 dx
dy dari fungsí yang dirumuskan dengan 2x3y – 7y – x2 + 1 = 0 dx Penyelesaian: Apabila kedua ruas 2x3y – 7y – x2 + 1 = 0 diturunkan terhadap x, maka diperoleh: dy dy –7 – 2x = 0 6x2y + 2x3 dx dx dy ⇔ (2x3 – 7) = 2x – 6x2y dx 2x − 6x 2 y dy ⇔ = dx 2x3 − 7
2. Tentukan
3.7 Turunan Tingkat Tinggi
Jika fungsi diturunkan maka turunannya, yaitu f ’ juga berupa fungsi sehingga boleh jadi f ’ mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan oleh (f ’)’ = f ’’. Fungsi yang f ’’ baru ini disebut turunan kedua dari f karena dia merupakan turunan dari turunan f . Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua dari y = f(x) sebagai d ⎛ dy ⎞ d 2 y ⎜ ⎟= dx ⎝ dx ⎠ dx 2
Notasi lain adalah f ’’(x) = D2f(x) Contoh 7
Jika f(x) = 3x4 + 7x – 8, tentukan f ’’(x).
Penyelesaian: f ’(x) = 12x3 + 7 untuk mencari f ’’(x) kita turunkan f ’(x):
d (12 x 3 + 7) dx = 36x2
f ’’(x) =
Contoh 8
Jika f(x) = (3x5 + 2x)(4x + 7), tentukan f ’’(x).
Turunan Fungsi
43
Penyelesaian: ⎛d ⎞ ⎛d ⎞ f ’(x) = ⎜ (3 x 5 + 2 x) ⎟ (4x + 7) + (3x5 + 2x) ⎜ (4 x + 7) ⎟ ⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠ = (15x4 + 2) (4x + 7) + (3x5 + 2x)4
f ’’(x) = =
d [(15x4 + 2) (4x + 7) + (3x5 + 2x)4] dx d d [(15x4 + 2) (4x + 7)] + [(3x5 + 2x)4] dx dx
⎛d ⎞ ⎛d ⎞ = ⎜ (15 x 4 + 2) ⎟(4 x + 7) + (15 x 4 + 2)⎜ (4 x + 7) ⎟ + ⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠ ⎛d ⎞ ⎛d ⎞ 5 5 ⎜ (3 x + 2 x) ⎟4 + (3 x + 2 x)⎜ 4 ⎟ ⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠
= 60x3(4x + 7) + (15x4 + 2) 4 + (15x4 + 2) 4 + (3x5 + 2x).0 = 60x3(4x + 7) + (15x4 + 2) 4 + (15x4 + 2) 4
3.8 Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden
⎧ Fungsi Rasional Fungsi Aljabar ⎨ ⎩ Fungsi Irrasional Fungsi ⎧ Fungsi Trigonometri ⎪ Fungsi Siklometri ⎪⎪ Fungsi Transenden⎨ Fungsi Logaritma ⎪ Fungsi Eksponensial ⎪ ⎪⎩ Fungsi Hiperbolik
3.8.1 Turunan Fungsi Rasional Contoh-contoh tentang turunan yang diuraikan sebelumnya (contoh 3) adalah contoh-contoh turunan fungsi rasional. Jadi turunan fungsi rasional ini tidak perlu dibahas kembali. 3.8.2 Turunan Fungsi Irrasional Fungsi Irrasional adalah akar dari fungsi-fungsi rasional Turunan Fungsi
44
Contoh 9
Tentukan turunan y = Penyelesaian: y =
n
x dengan n bilangan bulat positif
x ⇔ x = y n sehingga
n
dx = ny n–1 dy
dy 1 1 1 1 = = = y 1− n = n −1 dx dx n n ny dy
( x)
1− n
n
=
( )
1 1n x n
1− n
=
1 1n −1 x n
Contoh 10
Tentukan turunan y = Penyelesaian: y =
x3 + 4x
(
x 3 + 4x = x3 + 4x
)
1 2
Dengan aturan rantai diperoleh: y ’ = =
−1 1 3 ( x + 4 x ) 2 (3x 2 + 4) 2
3x 2 + 4 2 x3 + 4x
3.8.3 Turunan Fungsi Trigonometri Akan dicari turunan fungsi kosinus sebagai berikut. Ingat: cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b.
Jika f(x) = cos x, maka f ’(x)
= lim h →0
f ( x + h) − f ( x ) h
cos( x + h) − cos x h→0 h cos x cos h − sin x sin h − cos x = lim h →0 h cos x(cos h − 1) − sin x sin h = lim h →0 h
= lim
= lim h→0
cos x(cos h − 1) sin x sin h – lim h → 0 h h
(cos h − 1) sin h – lim sin x lim h → 0 h → 0 h h = cos x . 0 – sin x . 1 = – sin x = lim cos x lim h →0
h→0
Turunan Fungsi
45
Jadi,
jika f(x) = cos x, maka f ’(x) = – sin x
Analog: jika f(x) = sin x, maka f ’(x) = jika f(x) = tg x,
cos x
maka f ’(x) =
sec2 x
jika f(x) = ctg x, maka f ’(x) = – cosec2 x jika f(x) = sec x, maka f ’(x) = sec x tg x jika f(x) = cosec x, maka f ’(x) = – cosec x ctg x
3.8.4 Turunan Fungsi Siklometri Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri. Akan dicari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus) berikut.
y = arc sin x
→
x = sin y
→
1 x y 1− x2
dx = cos y dy dy 1 = dx cos y 1 = 1− x2
Jadi,
jika y = arc sin x, maka y ’ =
cos y = 1 − x 2
1 1− x2
Turunan Fungsi
46
Analog: 1
jika y = arc cos x, maka y ’ = –
1− x2
1 1+ x2
jika y = arc tg x,
maka y ’ =
jika y = arc ctg x,
maka y ’ = –
jika y = arc sec x,
maka y ’ =
1 1+ x2 1
x x2 −1
jika y = arc cosec x, maka y ’ = –
1 x x2 −1
3.8.5 Turunan Fungsi Logaritma Akan dicari turunan f(x) = ln x berikut.
f ’(x)
= lim h →0
f ( x + h) − f ( x ) h
ln( x + h) − ln x h →0 h
= lim
⎛ x+h⎞ ln⎜ ⎟ x ⎠ ⎝ = lim h→0 h ⎛ h⎞ ln⎜1 + ⎟ x⎠ = lim ⎝ h→0 h ⎛ h⎞ ln⎜1 + ⎟ x⎠ = lim ⎝ h →0 h .x x
x ⎛ h⎞ ln⎜1 + ⎟ h ⎝ x⎠ = lim h →0 x
Turunan Fungsi
47
x
⎛ h ⎞h ln⎜1 + ⎟ x⎠ = lim ⎝ h →0 x
⎛ lim ln⎜1 + h→0 ⎝ = lim x
x
h ⎞h ⎟ x⎠
h →0
x
⎛ h ⎞h Mengingat (1) lim ln f ( x) = ln lim f ( x) dan (2) lim ⎜1 + ⎟ = e h →0 h→0 h→0 x⎠ ⎝
Sehingga diperoleh: x
f ’(x)
⎛ h ⎞h lim ln⎜1 + ⎟ h→0 x⎠ ⎝ = lim x h →0
x
⎛ h ⎞h ln lim ⎜1 + ⎟ h →0 x⎠ ⎝ = lim x h →0
=
ln e x
=
1 x
Jadi,
jika f(x) = ln x, maka f ’(x) =
1 x
Selanjutnya jika y = a log x maka turunannya dapat dicari sebagai berikut. y = a log x
⇔y=
ln x ln a
=
1 ln x ln a
Sehingga y ’ =
1 1 ln a x
=
1 x ln a Turunan Fungsi
48
Jadi,
jika y = a log x , maka y ’ =
1 x ln a
3.8.6 Turunan Fungsi Eksponensial Akan dicari turunan y = a x sebagai berikut.
y = a x ⇔ ln y = ln a x ⇔ ln y = x ln a ⇔x=
ln y ln a
⇔x=
1 ln y ln a
Sehingga Diperoleh
Jadi,
dx 1 1 = dy ln a y dy = y ln a. dx = a x ln a
jika y = a x ,
maka y ’ = a x ln a
Khususnya untuk a = e, jika y = e x ,
maka y ’ = e x ln e = ex
Jadi,
jika y = e x ,
maka y ’ = e x
Turunan Fungsi
49
3.8.7 Turunan Fungsi Hiperbolik
Definisi sinh x =
e x − e−x 2
coth x =
1 e x + e−x = x tanh x e − e−x
cosh x =
e x + e−x 2
sech x =
2 1 = x cosh x e + e −x
sinh x e x − e−x = x tanh x = cosh x e + e −x
csch x =
2 1 = x sinh x e − e−x
Jika f(x) = sinh x, maka dengan menggunakan turunan fungsi eksponensial diperoleh d ⎛ e x − e−x ⎞ ⎜ ⎟⎟ f ' ( x) = 2 dx ⎜⎝ ⎠ e x − ( −e − x ) 2 x e + e−x = 2 = cosh x. =
Jadi,
jika f(x) = sinh x, maka f ’(x) = cosh x
3.9 Turunan Fungsi Parameter Apabila disajikan persamaan berbentuk: x = f(t) y = g(t) maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari x dan y, dan t disebut dy dengan cara sebagai parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari dx berikut. Dari x = f(t) dibentuk t = h(x) dengan h fungsi invers dari f. Nampak bahwa y = g(t) merupakan bentuk fungsi komposisi y = g(t) = g(h(x)) Turunan Fungsi
50
Diperoleh
dy dy dt dy dy 1 = atau = dx dt dx dx dt dx dt
sehingga
dy = dx
dy dt dx dt
SOAL
Carilah
dy untuk yang berikut dx 1 4 x − 3x + 9 x −1 6. y = x +1
1. y = (3x4 + 2x2 + x)(x2 + 7)
5. y =
2. y = (x3 + 3x2)(4x2 + 2) 3. y =
1
7. y =
3x 2 + 1 2 4. y = 2 5x − 1
Dengan aturan rantai tentukan
2
2 x 2 − 3x + 1 2x + 1
dy untuk yang berikut dx
8. y = (2 – 9x)15 9. y = (5x2 + 2x – 8)5
⎛ 3x − 1 ⎞ 15. y = sin ⎜ ⎟ ⎝ 2x + 5 ⎠ ⎛ x2 −1⎞ ⎟⎟ y = cos ⎜⎜ x + 4 ⎠ ⎝ 4 y = arcsin (3x – 11x) y = arctg (3x4 – 11x)8 y = ln (5x2 + 2x – 8)
1 10. y = 2 (4 x − 3x + 9) 9
16.
11. y = sin (3x2 + 11x) 12. y = cos (3x4 – 11x) 13. y = sin3 x
17. 18. 19.
⎛ x −1⎞ 14. y = ⎜ ⎟ ⎝ x +1⎠
20. y = e (2 – 9x)
4
Tentukan turunan fungsí implisit berikut 21. x2 + y2 = 9
26. 4x3 + 11xy2 – 2y3= 0
22. 4x2 + 9y2 = 36
27.
23. x y = 4 24. xy2 – x + 16 = 0
28. xy + sin y = x2 29. cos (xy) = y2 + 2x
25. x3 – 3x2y+ 19xy = 0
30. 6x –
xy + 3y = 10x
2 xy + xy3 = y2
Turunan Fungsi
51
dy untuk fungís parameter berikut dx 31. y = 2 – 9t 34. x = ln (2t – 9) x = sin t y = (t2 + 7)3 Tentukan
32. y = 2 – 9t2 x = arc sin (t – 1)
35. x = e (2t – 9) y = cosec t
33. x = ln (2 – 9t) y = sin t
36. y = sec (t – 1) x = tg (t – 1)
Turunan Fungsi
52
