TURUNAN (DIFERENSIAL) FUNGSI

SOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPA UJIAN NASIONAL 2014 – 2013

TURUNAN (DIFERENSIAL) FUNGSI 1. UN 2014

1 3

3 2 Diketahui fungsi g  x   x  A x  7 , A konstanta. Jika f  x   g  2 x  1 dan f turun pada

3 1  x  , nilai minimum relatif g adalah.... 2 2 5 4 A. B. C. 2 3 3



D.

7 3

E.

8 3

Solusi: [B]

f  x   g  2 x  1 

1  2 x  13  A2  2 x  1  7 3

f '  x   2  2 x  1  2 A2 2

Fungsi f turun jika f '  x   0 , sehingga

2  2 x  1  2 A2  0 2

 2 x  1  A 2 x  1  A  0 A 1  A 1 x 2 2 A 1 3  2 2 A  2 1 g  x   x3  4 x  7 3

g '  x   x2  4 g " x   2 x Nilai stasioner fungsi g dicapai jika g '  x   0 , sehingga

x2  4  0 x  2 Karena g " 2   4  0 , maka fungsi g adalah maksimum. Karena g " 2   4  0 , maka fungsi g adalah minimum.

1 3

3 Jadi, nilai minimum fungsi g adalah g  2    2  4  2  7 

8 5 1  3 3

2. UN 2014

1 3 A2 x  1 , A konstanta. Jika f  x   g  2 x  1 dan f naik pada Diketahui fungsi g  x   x  3 9 x  0atau x  1 , nilai maksimum relatif g adalah....

7 3 Solusi: [A]

A.

B.

f  x   g  2 x  1 

5 3

C.

1 3

D. 

1 3

E. 

5 3

1 A2 3 2 x  1     2 x  1  1 3 9

f '  x   2  2 x  1  2

2 A2 9

Fungsi f turun jika f '  x   0 , sehingga

2  2 x  1  2

2 A2 0 9

A2 0 9 A  A   2 x  1   2 x  1    0 3  3  1 A 1 A x  x  2 6 2 6 1 A  0 2 6 A3

 2 x  12 

1 A2 g  x   x3  x 1 3 9 1 g  x   x3  x  1 3

g '  x   x2  1 g " x   2 x Nilai stasioner fungsi g dicapai jika g '  x   0 , sehingga

x2  1  0 x  1 Karena g " 1  2  0 , maka fungsi g adalah maksimum. Karena g "1  2  0 , maka fungsi g adalah minimum. Jadi, nilai maksimum fungsi g adalah g  1  3.

1 7  13   1  1  3 3

UN 2014

1 3

3 2 Diketahui fungsi g  x   x  A x  7 , A konstanta. Jika f  x   g  2 x  1 dan f turun pada

1 3   x  , nilai maksimum relatif g adalah.... 2 2 7 37 A.  B.  C. 2 3 3 Solusi: [D]

D. 

5 3

E. 

4 3

f  x   g  2 x  1 

1  2 x  13  A2  2 x  1  7 3

f '  x   2  2 x  1  2 A2 2

Fungsi f turun jika f '  x   0 , sehingga

2  2 x  1  2 A2  0 2

 2 x  1  A 2 x  1  A  0 1 A A 1 x 2 2 1 A 1  2 2 A2 1 g  x   x3  4 x  7 3

g '  x   x2  4 g " x   2 x Nilai stasioner fungsi g dicapai jika g '  x   0 , sehingga

x2  4  0 x  2 Karena g " 2   4  0 , maka fungsi g adalah maksimum. Karena g " 2   4  0 , maka fungsi g adalah minimum. Jadi, nilai maksimum fungsi g adalah g  2  

1 8 5  2 3  4  2   7    1   3 3 3

4. UN 2014

1 3 2 Diketahui fungsi g  x   x  A x  2 , A konstanta. Jika f  x   g  2 x  1 dan f naik pada 3 x  0 atau x  1 nilai minimum relatif g adalah.... 8 3 Solusi: [D]

B. 

A. 

f  x   g  2 x  1 

4 3

1  2 x  13  A2  2 x  1  2 3

f '  x   2  2 x  1  2 A2 2

Fungsi f turun jika f '  x   0 , sehingga

2  2 x  1  2 A2  0 2

 2 x  12  A2  0  2 x  1  A 2 x  1  A  0 x

C. 0

1 A 1 A x 2 2

D.

4 3

E.

8 3

1 A 0 2 A 1 1 g  x   x3  x  2 3

g '  x   x2  1 g " x   2 x Nilai stasioner fungsi g dicapai jika g '  x   0 , sehingga

x2  1  0 x  1 Karena g " 1  2  0 , maka fungsi g adalah maksimum. Karena g "1  2  0 , maka fungsi g adalah minimum.

1 3

3 Jadi, nilai minimum fungsi g adalah g 1   1  1  2 

5.

4 3

UN 2014

1 3

3 2 Diketahui fungsi g  x   x  A x  3 , A konstanta. Jika f  x   g  2 x  1 dan f naik pada

x  1 atau x  0 , nilai minimum relatif g adalah.... 7 11 A. B. 3 C. 3 3 Solusi: [C] 1 3 f  x   g  2 x  1   2 x  1  A2  2 x  1  3 3

f '  x   2  2 x  1  2 A2 2

Fungsi f turun jika f '  x   0 , sehingga

2  2 x  1  2 A2  0 2

 2 x  1  A 2 x  1  A  0  A 1 A 1 x 2 2  A 1  1 2 A 1 1 g  x   x3  x  3 3 x

g '  x   x2  1 g " x   2 x Nilai stasioner fungsi g dicapai jika g '  x   0 , sehingga

x2  1  0 x  1

D.

5 3

E. 1

Karena g " 1  2  0 , maka fungsi g adalah maksimum. Karena g "1  2  0 , maka fungsi g adalah minimum.

1 3

3 Jadi, nilai minimum fungsi g adalah g 1   1  1  3 

7 3

6. UN 2014

1 3 2 Diketahui fungsi g  x   x  A x  2 , A konstanta. Jika f  x   g  2 x  1 dan f turun pada 3 0  x  1 , nilai minimum relatif g adalah.... 8 3 Solusi: [C]

A.

B.

f  x   g  2 x  1 

5 3

C.

4 3

D.

2 3

E.

1 3

1  2 x  13  A2  2 x  1  2 3

f '  x   2  2 x  1  2 A2 2

Fungsi f turun jika f '  x   0 , sehingga

2  2 x  1  2 A2  0 2

 2 x  1  A 2 x  1  A  0 1 A 1 A x 2 2 1 A 0 2 A 1 1 g  x   x3  x  2 3

g '  x   x2  1 g " x   2 x Nilai stasioner fungsi g dicapai jika g '  x   0 , sehingga

x2  1  0 x  1 Karena g " 1  2  0 , maka fungsi g adalah maksimum. Karena g "1  2  0 , maka fungsi g adalah minimum.

1 3

3 Jadi, nilai minimum fungsi g adalah g 1   1  1  2 

4 3

7. UN 2014

1 3 2 Diketahui fungsi g  x   x  A x  1 ; f  x   g  2 x  1 , A suatu konstanta. Jika f naik pada 3 x  0 atau x  1 , nilai maksimum relatif g adalah.... 7 3 Solusi: [C]

A.

B.

5 3

C.

1 3

D. 

1 3

E. 

5 3

f  x   g  2 x  1 

1  2 x  13  A2  2 x  1  1 3

f '  x   2  2 x  1  2 A2 2

Fungsi f turun jika f '  x   0 , sehingga

2  2 x  1  2 A2  0 2

 2 x  12  A2  0  2 x  1  A 2 x  1  A  0 1 A 1 A x 2 2 1 A 0 2 A 1 1 g  x   x3  x  1 3 x

g '  x   x2  1 g " x   2 x Nilai stasioner fungsi g dicapai jika g '  x   0 , sehingga

x2  1  0 x  1 Karena g " 1  2  0 , maka fungsi g adalah maksimum. Karena g "1  2  0 , maka fungsi g adalah minimum.

1 3

3 Jadi, nilai minimum fungsi g adalah g 1   1  1  1 

8.

1 3

UN 2013 Sebuah taman berbentuk persegi dengan keliling 2 x  24 m dan lebar 8  x  m. Agar luas taman maksimum, maka panjang taman tersebut adalah .... A. 4 m B. 8 m C. 10 m D. 12 m E. 13 m Solusi: [C] Ambillah persegi panjang dengan panjang p, lebar l, keliling K, dan luas L. K  2 p  l 

2 x  24  2 p  8  x  x  12  p  8  x

p  2x  4 L  pl

L  2 x  48  x   16x  2 x 2  32  4 x  32  12x  2 x 2

L'  12  4 x Nilai stasioner L dicapai jika L'  0 , sehingga 12  4 x  0 x3 p  2  3  4  10

9.

Jadi, panjang taman tersebut adalah 10 m. UN 2013 Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi 30 cm akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara menggunting empat persegi di setiap pojok karton, seperti ada gambar. Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah…. A. 2000cm3 30 cm

B. 3000cm3 C. 4000cm3 D. 5000cm3 E. 6000cm3 Solusi: [A] Volume kotak adalah



x



V  30  2 x  x  900  120x  4 x 2 x  900x  120x 2  4 x3 2

x

V '  900  240x  12x 2 Nilai stasioner V dicapai jika V '  0 , sehingga

900  240x  12x 2  0 x 2  20x  75  0 x  5x 15  0 x  5 (diterima) atau x  15 (ditolak) volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah

Vmax 5  900  5  120  52  4  53  2.000cm3

18 cm

10. UN 2013 Dari selembar karton berbentu persegi yang berukuran sisi 18 cm akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara menggunting empat buah persegi di setiap pojok karton, seperti gambar berikut. Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah.... A. 256 cm2\ B. 392 cm2 C. 432 cm2 D. 512 cm2 E. 588 cm2 Solusi: [C] Volume kotak adalah





V  18  2 x  x  324  72x  4 x 2 x  324x  72x 2  4 x3 2

V '  324  144x  12x Nilai stasioner V dicapai jika V '  0 , sehingga 2

324  144x  12x 2  0 x 2  12x  27  0 x  3x  9  0

x

x

x  3 (diterima) atau x  9 (ditolak)

volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah Vmax 3  324  3  72  32  4  33  432 cm3 11. UN 2013 Sebuah kotak tanpa tutup tampak seperti pada gambar mempunyai volume 108 cm3 . Agar luas permukaan kotak maksimum, maka nilai x adalah …. A. 3 cm B. 4 cm y C. 6 cm D. 9 cm E. 12 cm x Solusi: [C] x Volume kotak adalah

V  x2 y

108  x 2 y 108 .... (1) x2 Luas permukaan kotak adalah 108 432 L  x 2  4 xy  x 2  4 x  2  x 2  x x 432 L'  2 x  2 x Nilai stasioner L dicapai jika L' 0 , sehingga 432 2x  2  0 x y

2 x3  432  0 x3  216 x  3 216  6 12. UN 2013 Dua bilangan bulat m dan n memenuhi hubungan 2m  n  40 . Nilai minimum dari

p  m 2  n 2 adalah.... A. 320 B. 295 C. 280 D. 260 E. 200 Solusi: [A]

2m  n  40 n  2m  40

p  m 2  n 2  m 2  2m  402  m2  4m2  160m  1600  5m 2  160m  1600 p '  10m  160

Nilai stasioner p dicapai jika p '  0 , sehingga 10m  160  0 m  16

pmin 16  5 162  160 16  1600  320

13. UN 2013 Diketahui persegi panjang PQRS seperti pada gambar dengan panjang 5 cm dan lebar 3 cm. Agar luas ABCD mencapai nilai minimum, luas daerah yang diarsir adalah…. R S C A. 5 cm 2 B. 6 cm 2

B

C. 7 cm 2

D

D. 8 cm2

E. 10 cm2 P Solusi: [D] Ambillah luas segi-4 ABCD adalah L. 1 1 L  5  3  2  x3  x   2  x5  x  2 2

 15  3x  x2  5x  x 2  2 x 2  8x  15 L'  4 x  8 Nilai stasioner L dicapai jika L' 0 , sehingga 4x  8  0 x2

A Q 5 x

S xC

R x B

3 x

3 x

D x P

5 x

A xQ

1 1  Luas daerah yang diarsir  2 x3  x   x5  x   8 x  2 x 2  8  2  2  2 2  8 cm2 2 2  14. UN 2013 Diketahui bilangan bulat p dan q yang memenuhi hubungan q  2 p  50 . Nilai minimum dari

p 2  q 2 adalah.... A. 100 B. 250 C. 500 D. 1250 E. 5000 Solusi: [C] q  2 p  50 q  2 p  50 Ambillah y  p 2  q 2 , sehingga y  p 2  2 p  50  p 2  4 p 2  200 p  2500  5 p 2  200 p  2500 y '  10 p  200 Nilai stasioner y dicapai jika y '  0 , sehingga 10m  200  0 m  20 2 ymin  20  5 20  200 20  2500  500 15. UN 2013 Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi 30 cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara menggunting empat persegi di setiap pojok karton, seperti ada gambar. Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah…. A. 2.000cm3 B. 3.000cm3

30 cm

2

C. 4.000cm3 D. 5.000cm3 E. 6.000cm3 Solusi: [A] Volume kotak adalah 2 V  30  2 x  x  900  120x  4 x 2 x  900x  120x 2  4 x3





V '  900  240x  12x Nilai stasioner V dicapai jika V '  0 , sehingga 900  240x  12x 2  0 x 2  20x  75  0 x  5x  15  0 x  5 (diterima) atau x  15 (ditolak) volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah Vmax 5  900  5  120  52  4  53  2.000 cm3 2