SMA - 1
TRIGONOMETRI Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen
r
Sin α =
y r
Cos α =
x r
Tan α =
y x
y
α x
Hubungan Fungsi Trigonometri : 1. sin 2 α + cos 2 α = 1 2. tan α =
sin α cos α
3. sec α =
1 cos α
4. cosec α =
1 sin α
5 . cotan α =
cos α sin α
6. tan 2 α + 1 = sec 2 α
⇒ sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒
sin 2 α cos 2 α 1 + = 2 2 cos α cos α cos 2 α
⇒ tan 2 α + 1 = sec 2 α Æ bukti
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 2 7. cot an 2 α + 1 = cos ec 2 α
⇒ sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒
sin 2 α cos 2 α 1 + = 2 2 sin α sin α sin 2 α
⇒
sin 2 α cos 2 α 1 + = 2 2 sin α sin α sin 2 α
⇒
1 + cot an 2 α = cos ec 2 α Æ bukti
Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan :
1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A Sin B 2. sin (A - B) = sin A cos B - cos A Sin B 3. cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B 4. cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B 5. tan (A + B) =
tan A + tan B 1 − tan A. tan B
6. tan (A - B) =
tan A − tan B 1 + tan A. tan B
Rumus-rumus Sudut Rangkap :
1. sin 2A = 2 sin A cosA 2. cos 2A = cos 2 A - sin 2 A (ingat : sin 2 A + cos 2 A = 1 ⇒ sin 2 A = 1 - cos 2 A ⇒ cos 2 A = 1 - sin 2 A) kalau dimasukkan ke dalam rumus maka : = 1 – 2 sin 2 A ⇔ cos 2 A - sin 2 A = (1- sin 2 A) - sin 2 A = 1 - sin 2 A - sin 2 A = 1 - 2 sin 2 A = 2 cos 2 A – 1 ⇔ dengan cara yang sama bias dibuktikan 3. tan 2A =
2 tan A 1 − (tan A) 2
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 3 Rumus Jumlah Fungsi : Perkalian Æ jumlah/selisih
1. 2. 3. 4.
2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B) 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B) -2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B)
Jumlah/selisih Æ perkalian
1. Sin A + sin B = 2 sin
1 1 (A + B) cos (A –B) 2 2
2. Sin A - sin B = 2 cos
1 1 (A + B) sin (A –B) 2 2
3. cos A + cos B = 2 cos
1 1 (A + B) cos (A –B) 2 2
4. cos A - cos B = - 2 sin
1 1 (A + B) sin (A –B) 2 2
Sudut-sudut istimewa :
α
00
30 0
45 0
Sin
0
1
1
Cos
1
1
Tan
0
1
2 2 3
3 3
1
2
2 1
60 0 2
1
2
1
2 2 3
90 0 3
1 0 ~
Tanda-tanda fungsi pada setiap kuadrant :
Sin Cos Tan
Kuadrant I α + + +
Kuadrant II 180 0 - α + -
Kuadrant III 180 0 + α +
Kuadrant IV 360 0 - α + -
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 4 Rumus-rumus Sudut :
•
Sudut 180 0 - α dan α (Kuadran kedua)
sin ( 180 0 - α ) = sin α cos ( 180 0 - α ) = - cos α tan ( 180 0 - α ) = - tan α cosec ( 180 0 - α ) = cosec α sec ( 180 0 - α ) = - sec α cotan ( 180 0 - α ) = - cotan α •
Sudut 180 0 + α dan α (Kuadran ketiga)
sin ( 180 0 + α ) = - sin α cos ( 180 0 + α ) = - cos α tan ( 180 0 + α ) = tan α cosec ( 180 0 + α ) = - cosec α sec ( 180 0 + α ) = - sec α cotan ( 180 0 + α ) = cotan α •
Sudut 360 0 - α dan α (Kuadran keempat)
sin ( 360 0 - α ) = - sin α cos ( 360 0 - α ) = cos α tan ( 360 0 - α ) = - tan α cosec ( 360 0 - α ) = - cosec α sec ( 360 0 - α ) = sec α cotan ( 360 0 - α ) = - cotan α •
Sudut 360 0 + α dan α (Kuadran pertama)
sin ( 360 0 + α ) = sin α cos ( 360 0 + α ) = cos α tan ( 360 0 + α ) = tan α cosec ( 360 0 + α ) = cosec α sec ( 360 0 + α ) = sec α cotan ( 360 0 + α ) = cotan α
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 5 •
Sudut - α dan α
sin (- α ) = -sin α cos (- α ) = cos α tan (- α ) = -tan α cosec (- α ) = -cosec α sec (- α ) = sec α cotan (- α ) = -cotan α •
Sudut ( 90 0 - α ) dan α (Kuadran pertama)
sin ( 90 0 - α ) = cos α cos ( 90 0 - α ) = sin α tan ( 90 0 - α ) = cotan α cot ( 90 0 - α ) = tan α sec ( 90 0 - α ) = cosec α cosec ( 90 0 - α ) = sec α •
Sudut ( 90 0 + α ) dan α (Kuadran kedua)
sin ( 90 0 + α ) = cos α cos ( 90 0 + α ) = -sin α tan ( 90 0 + α ) = -cotan α cot ( 90 0 + α ) = =tan α sec ( 90 0 + α ) = -cosec α cosec ( 90 0 + α ) = sec α •
Sudut ( 270 0 - α ) dan α (Kuadran ketiga)
sin ( 270 0 - α ) = -cos α cos ( 270 0 - α ) = -sin α tan ( 270 0 - α ) = cotan α cot ( 270 0 - α ) = tan α sec ( 270 0 - α ) = -cosec α cosec ( 270 0 - α ) = sec α •
Sudut ( 270 0 + α ) dan α (Kuadran keempat)
sin ( 270 0 + α ) = -cos α cos ( 270 0 + α ) = sin α tan ( 270 0 + α ) = -cotan α
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 6 cot ( 270 0 + α ) = -tan α sec ( 270 0 + α ) = cosec α cosec ( 270 0 + α ) = -sec α •
Sudut yang melebihi satu putaran penuh :
sin (k. 360 0 + α ) = sin α cos (k. 360 0 + α ) = cos α tan (k. 360 0 + α ) = tan α cosec (k. 360 0 + α ) = cosec α sec (k. 360 0 + α ) = sec α cotan (k. 360 0 + α ) = cotan α dengan k bilangan bulat
Persamaan dan pertidaksamaan Trigonometri 1. Persamaan
Rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri adalah : * sin x = sin α , maka x1 = α + k. 360 0 x 2 = ( 180 0 - α ) + k. 360 0 * cos x = cos α , maka x1, 2 = ± α + k. 360 0 * tan x = tan α , maka x = α + k. 180 0
2. Pertidaksamaan
Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti sin ax ≤ c, cos ax ≥ c dan sebagainya dapat diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah umum pertidaksamaan seperti : - Diagram garis bilangan - Grafik fungsi trigonometri
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 7 Aturan sinus dan cosinus
C
γ
b
a
β
α A
B c
aturan sinus
a b c = = sin α sin β sin γ
Aturan cosinus
1. a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α 2. b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos β 3. c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ
Luas Segitiga
Luas segitiga =
1 ab sin γ 2
=
1 ac sin β 2
=
1 bc sin α 2
Nilai Maksimum dan Minimum
1. Jika y = k cos (x + n π ) dengan k > 0 maka a. maksimum jika y = k dimana cos (x + n π ) = 1 sehingga (x + n π )= 0 b. minimum jika y = -k dimana cos (x + n π ) = -1 sehingga (x + n π )= π
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 8 2. Jika y = k sin (x + n π ) dengan k > 0 maka a. maksimum jika y = k dimana sin (x + n π ) = 1 sehingga (x + n π )=
π
2 3π b. minimum jika y = -k dimana sin (x + n π ) = -1 sehingga (x + n π )= 2
Contoh-contoh soal dan Pembahasan Æ baca di postingan berikutnya……….
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
