Transformasi Peubah Acak (Lanjutan)

Dr. Kusman Sadik Dept. Statistika IPB, 2012

Transformasi Peubah Acak (Lanjutan) B. Metode Penggantian Peubah

Metode ini merupakan pengembangan dari metode fungsi sebaran. Misalkan diketahui fkp bagi p.a. X adalah fX(x). Jika didefinisikan p.a. lainnya yaitu Y = h(x), maka ingin diketahui fkp bagi Y yaitu fY(y). Perhatikan bahwa dalam transformasi p.a. fungsinya, yaitu h(x), harus fungsi satu-satu (one-to-one). Y = h(X)



X = h-1(Y)

FY(y) = P(Y  y) = P(h(X)  y) = P(X  h-1(y)) = FX(h-1(y)) FY(y) = FX(h-1(y)) selanjutnya tentukan turunan dari FY(y) di atas untuk mendapatkan fY(y):

fY(y) =

dFY ( y ) dFX [h 1 ( y )] dFX [h 1 ( y )] d [h 1 ( y )]   dy dy d [h 1 ( y )] dy

karena X = h-1(Y) , maka persamaan di atas menjadi:

dFX [h 1 ( y )] d [h 1 ( y )] dFX ( x) dx dx   f X ( x) fY(y) = 1 d [h ( y )] dy dx dy dy

atau fY(y) = f X (h 1 ( y ))

dh 1 ( y ) dy


Teorema: Misalkan X adalah p.a. dengan fkp fX(x) pada gugus S  R, dan didefinisikan fungsi h : S  T sebagai tranformasi satu-satu (one-to-one), sehingga inversnya x = h-1(y), y  T. Anggap bahwa untuk y  T, turunan (dh-1(y))/dy ada, kontinu dan tidak sama dengan 0. Maka fungsi kepekatan peluang bagi p.a. yang didefinisikan Y = h(X) adalah: fY(y) = f X (h 1 ( y ))

Catatan :

dh 1 ( y ) , dy

yT

dh 1 ( y ) disebut sebagai Jacobi atau disingkat J. dy

Kasus 1 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai fkp sebagai berikut: fX(x) = 2x,

0<x<1

Jika didefinisikan p.a. Y = 8X3, ingin diketahui fkp bagi Y yaitu fY(y).

Perhatikan bahwa dalam transformasi p.a. fungsinya harus fungsi satu-satu (one-to-one). Pada transformasi di atas, Y = X3, merupakan fungsi satu-satu. 1/ 3

Y = h(X) = 8X3



Y  X = h-1(Y) =   8

dan karena 0 < x < 1 maka 0 < y < 8.

dh 1 ( y ) d  y1 / 3  y 2 / 3  J= =  dy dy  2  6

=

Y 1/ 3 2


 y 2 / 3  dh 1 ( y ) 1   2(h ( y )) fY(y) = f X (h ( y )) dy  6  1

 y1 / 3  y 2 / 3  1    1 / 3 fY(y)  2  2  6  6 y

Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah

fY ( y ) 

1 , 6 y1 / 3

0
Coba cek bahwa fY(y) tersebut merupakan fkp !

Kasus 2 Misalkan p.a. kontinu X  U(, ). Jika kemudian didefinisikan p.a. Y = eX, akan ditentukan fkp bagi Y yaitu fY(y).

Karena X  U(, ) maka  < x <  dan e < y < e Y = h(X) = eX  X = h-1(Y) = ln(Y)

J=

dh 1 ( y ) d ln( y ) 1  = dy dy y

fY(y) = f X (h 1 ( y ))

dh 1 ( y ) 1 1 1     dy     y  (   ) y

Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah fY ( y ) 

1 , (   ) y

e < y < e

Coba cek bahwa fY(y) tersebut merupakan fkp !


Kasus 3 Misalkan p.a. kontinu X  U(0, 1). Jika kemudian didefinisikan p.a. Y = -2ln(X), akan ditentukan fkp bagi Y yaitu fY(y). Karena X  U(0, 1) maka 0 < x < 1 dan y > 0 Y = h(X) = -2ln(X)  X = h-1(Y) = e-y/2

J=

1 1 dh 1 ( y ) de  y / 2   e y / 2  e y / 2 = dy dy 2 2

dh 1 ( y ) 1  1  1. e  y / 2   e  y / 2 fY(y) = f X (h ( y )) dy 2  2 1

Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah 1 fY ( y )  e  y / 2 , 2

y>0

Coba cek bahwa fY(y) tersebut merupakan fkp. Catatan, fkp ini merupakan sebaran 2 dengan derajat bebas 2.

Kasus 4 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai fkp sebagai berikut: fX(x) =

2 1 x 2 e 1/( 2 x ) , 2

Jika didefinisikan p.a. Y = adalah Normal(0, 1).

- < x < 

1 , tunjukkan bahwa fkp bagi Y X


Kasus 5 Misalkan p.a. kontinu X  N(, 2). Jika kemudian didefinisikan p.a. Y = aX - b, akan ditentukan fkp bagi Y yaitu fY(y). Karena X  N(, 2) maka - < x <  dan - < y < 

Y = h(X) = aX - b  X = h-1(Y) =

J=

Y b a

dh 1 ( y ) d Y b  1 1 =    dy dy  a  a a

2   yb      dh 1 ( y ) 1   a  . 1 1 fY(y) = f X (h ( y ))  exp  2  a dy 2 2       



  y  (a  b) 2  1  exp   2( a ) 2 2 a   

Sehingga fkp bagi p.a. Y = aX - b adalah Normal(a - b, (a)2)

Kasus 6 (Bukan Fungsi Satu-Satu) Misalkan p.a. kontinu X menyebar Normal(0, 1) yaitu 1

fX(x) =

1  2 x2 e , 2

-<x<

Jika didefinisikan p.a. Y = X2, ingin diketahui fkp bagi Y yaitu fY(y). Perhatikan bahwa dalam transformasi di atas, Y = X2, bukan fungsi satu-satu (one-to-one). Sehingga transformasi tersebut harus dipecah dulu agar menjadi fungsi satu-satu, yaitu:


Untuk -  < x  0 

Y = h(X) = X2

X = h-1(Y) =  Y

dan karena -  < x  0 maka 0  y < .

J=





d 1 1 dh 1 ( y )  y   y 1/ 2  y 1/ 2 = dy dy 2 2

fY ( y )  f X (h 1 ( y )) 

2 dh 1 ( y ) 1  12  y  1 1/ 2  e . y dy 2 2

1 y 1/ 2e  y / 2 2 2

Untuk 0 < x <  Y = h(X) = X2



X = h-1(Y) =

Y

dan karena 0 < x <  maka 0 < y < .

d dh 1 ( y ) J= = dy dy

 y   12 y

1/ 2



1 1/ 2 y 2

2 dh 1 ( y ) 1  12  y  1 1/ 2 fY ( y )  f X (h ( y ))  e . y dy 2 2

1



1 y 1/ 2 e  y / 2 2 2

Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah

 1   1  fY ( y )   y 1/ 2e  y / 2    y 1/ 2 e  y / 2   2 2   2 2  1  y 1/ 2e  y / 2 , y0 2 Perhatikan bahwa fkp p.a. Y tersebut merupakan sebaran KhaiKuadrat dengan derajat bebas 1 yaitu 2(1).


Jadi jika X  N(0, 1) maka Y = X2  2(1). Catatan : sebaran Khai-Kuadrat dengan derajat bebas r dapat dinyatakan sebagai berikut:

f ( y) 

1 y ( r / 2) 1e  y / 2 , r/2 (r / 2)2

untuk r = 1 maka (r/2) =

f ( y) 

y0

 , sehingga

1 1 y (1/ 2) 1e  y / 2  y 1/ 2e  y / 2 , . 2 2

y0

Kasus 7 (Peubah Acak Diskret)

Untuk transformasi peubah acak diskret dilakukan seperti pada peubah acak kontinu di atas, hanya saja untuk peubah acak diskret Jacobi selalu sama dengan satu (J = 1), yaitu fY(y) = f X (h 1 ( y )) ,

yT

Misalkan p.a. diskret X mempunyai sebaran Poisson(), yaitu: fX(x) =

 xe   , x!

x = 0, 1, 2, ...

Jika didefinisikan p.a. Y = 5X, akan ditentukan fkp bagi Y yaitu fY(y). Y = h(X) = 5X  X = h-1(Y) = Y/5

karena X merupakan p.a. diskret maka Jacobian = 1, sehingga

fY(y) = f X (h 1 ( y )) = fX(y/5) =

 y / 5e  , ( y / 5)!

y = 0, 5, 10, ....


Transformasi Peubah Acak (Lanjutan)

Recommend Documents