Transformasi Dua atau Lebih Peubah Acak Dr. Kusman Sadik, M.Si Departemen Statistika IPB, 2016
1
Transformasi Dua atau Lebih Peubah Acak
Misalkan diketahui fkp bersama bagi p.a. X1 dan X2 adalah f X1 , X 2 ( x1 , x2 ) . Jika kemudian didefinisikan p.a. lainnya yaitu Y1
dan Y2, dimana Y1 = h1(x1, x2) dan Y2 = h2(x1, x2), maka ingin diketahui fkp bersama bagi p.a. Y1 dan Y2 yaitu fY1 ,Y2 ( y1 , y2 ) .
2
Teorema
Misalkan diketahui fkp bersama bagi p.a. X1 dan X2 adalah f X1 , X 2 ( x1 , x2 ) yang positif dan kontinu pada gugus S R2, dan
didefinisikan fungsi h1, h2 : S R, dan T merupakan bayangan S sebagai tranformasi satu-satu (one-to-one) dari (h1, h2). Oleh karena itu, jika y1 = h1(x1, x2) dan y2 = h2(x1, x2) maka inversnya x1 = h1-1(y1, y2) dan x2 = h2-1(y1, y2), dengan (y1, y2) T. Anggap bahwa untuk (y1, y2) T, dx1/dy1 dan dx2/dy2 ada, kontinu, dan tidak sama dengan 0. Maka fkp bersama bagi p.a. Y1 dan Y2 adalah: 1
1
fY1 ,Y2 ( y1 , y2 ) f X1 , X 2 {h1 ( y1 , y2 ), h2 ( y1 , y2 )}. J ,
( y1 , y2 ) T
3
1
1
fY1 ,Y2 ( y1 , y2 ) f X1 , X 2 {h1 ( y1 , y2 ), h2 ( y1 , y2 )}. J ,
J Jacobi
x1 y1
x1 y2
x2 y1
x2 y2
( y1 , y2 ) T
4
Kasus 1 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U(0, 1), sedangkan X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan Y1 = X1 + X2 dan Y2 = X1 – X2, tentukan: a. Fungsi kepekatan bersama bagi p.a. Y1 dan Y2 yaitu fY1 ,Y2 ( y1 , y2 ) .
b. Fungsi kepekatan marginal bagi p.a. Y1 dan Y2 yaitu fY1 ( y1 ) dan fY2 ( y2 ) .
5
Karena X U(0, 1), sedangkan X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dan identik dari sebaran ini maka fkp bersama bagi X1 dan X2 adalah: f X1 , X 2 ( x1 , x2 ) f X1 ( x1 ). f X 2 ( x2 ) 1; 0 x1 1 dan 0 x2 1
kemudian didefinisikan bahwa
y1 = h1(x1, x2) = x1 + x2 y2 = h2(x1, x2) = x1 x2 6
y1 = h1(x1, x2) = x1 + x2 y2 = h2(x1, x2) = x1 x2
Melalui metode substitusi ataupun eliminasi dari persamaan di atas, akan diperoleh persamaan berikut: x1 = h1-1(y1, y2) = (y1 + y2)/2 x2 = h2-1(x1, x2) = (y1 y2)/2 x1/y1 = ½;
x1/y2 = ½;
x2/y1 = ½;
x2/y2 = -½; 7
x1/y1 = ½;
x1/y2 = ½;
x2/y1 = ½;
x2/y2 = -½;
J
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
8
Sehingga kepekatan bersama bagi p.a. Y1 dan Y2 adalah 1
1
fY1 ,Y2 ( y1 , y2 ) f X1 , X 2 {h1 ( y1 , y2 ), h2 ( y1 , y2 )}. J f X 1 , X 2 {( y1 y2 ) / 2, ( y1 y2 ) / 2}. 1 (1). 2 1 ; 2
1 2
( y1 , y2 ) T
Persoalan berikutnya adalah menentukan batas nilai bagi y1 dan y2 yaitu T, 9
Untuk 0 < x1 < 1 0 < x1 < 1
0 < (y1 + y2)/2 < 1
0 < y1 + y2 < 2
0 < y1 + y2 dan y1 + y2 < 2 y2 > y1 dan
y2 < 2 y1
Untuk 0 < x2 < 1 0 < x2 < 1
0 < (y1 y2)/2 < 1
0 < y1 y2 < 2
0 < y1 y2 dan y1 y2 < 2 y2 < y1 dan
y2 > y1 2
10
Sehingga batas nilai bagi y1 dan y2 adalah y 2 > y1 ;
y2 < 2 y1 ;
y2 < y1 ;
dan
y2 > y1 2
y2 y2 = 2 - y 1 y2 = -y1
y2 = y1 y2 = y1 - 2
y1
11
y2 y2 = 2 - y 1 y2 = y1
y2 = -y1
y2 = y1 - 2
y1
Sebaran marginal bagi y1 adalah
Untuk 0 < y1 1
fY1 ( y1 )
y1
y1
1 f ( y , y ) dy y Y1 ,Y2 1 2 2 y 2 dy2 y1 1 1 12
Untuk 1 < y1 < 2 2 y1
2 y1
1 fY1 ( y1 ) fY1 ,Y2 ( y1 , y2 )dy2 dy2 2 y1 2 y1 2 y1 2
Sehingga
; 0 y1 1 y1 fY1 ( y1 ) 2 y1 ; 1 y1 2 0 ; y1 lainnya
13
y2 y2 = 2 - y 1 y2 = y1
y2 = -y1
y2 = y1 - 2
y1
Sebaran marginal bagi y2 adalah
Untuk -1 < y2 0
fY2 ( y2 )
y2 2
y2 2
y2
y2
fY1 ,Y2 ( y1 , y2 )dy1
1 dy1 y2 1 2 14
Untuk 0 < y2 < 1
fY2 ( y2 )
2 y2
f
y2
Y1 ,Y2
( y1 , y2 )dy1
2 y2
y2
1 dy1 1 y2 2
Sehingga
y2 1 ; 1 y2 0 fY2 ( y2 ) 1 y2 ; 0 y2 1 0 ; y2 lainnya
15
Kasus 2 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai fkp sebagai berikut
f X ( x) e x ,
x0
sedangkan X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dan identik dari fkp ini. Ingin ditentukan fkp p.a. Y = X1/(X1 + X2). Karena X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dan identik dari sebaran ini maka fkp bersama bagi X1 dan X2 adalah f X 1 , X 2 ( x1, x2 ) e x1 e x2 e( x1 x2 ) ;
x1 0 dan
x2 0
16
Perlu didefinisikan satu peubah acak lain agar transformasi terjadi dari ruang berdimensi dua ke ruang berdimensi dua. Misalkan Z = X1 + X2, sehingga diperoleh sepasang transformasi yaitu y = x1/(x1 + x2) dan z = x1 + x2. Trasformasi ini bersifat satu-satu untuk seluruh daerah fungsi.
y = x1/(x1 + x2) dan
z = x1 + x2
Melalui metode substitusi ataupun eliminasi dari persamaan di atas, akan diperoleh persamaan berikut: x1 = yz x2 = (1 – y)z 17
x1 = yz x2 = (1 – y)z x1/y = z; x2/y = - z;
z
x1/z = y; x2/z = 1- y;
y
J
z z
1 y 18
Sehingga kepekatan bersama bagi p.a. Y dan Z adalah fY , Z ( y, z ) f X 1 , X 2 ( x1 , x2 ). J e ( yz (1 y ) z ) . z ze z ,
( y, z ) T
Selanjutnya menentukan batas nilai bagi y dan z yaitu T. Perhatikan, karena x1 0 dan x2 0, maka 0 y = x1/(x1 + x2) 1
0y 1
z = x 1 + x2 0
z 0
sehingga fY , Z ( y, z ) ze z ,
0 y 1 dan
z0 19
fY , Z ( y, z ) ze z ,
0 y 1 dan
z0
Sebaran marginal bagi p.a. Y = X1/(X1 + X2) adalah
z ze dz 1 0
Dengan demikian, fkp bagi p.a. Y = X1/(X1 + X2) adalah
1 ; fY ( y ) 0 ;
0 y 1 y lainnya 20
Kasus 3 Lihat Example 4, Roussas, Sub-bab 6.2, hlm. 173 - 175
21
22
23
Kasus 4 Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai fkp Eksponensial Negatif dengan = 1, dan didefinisikan bahwa peubah acak U = (X + Y)/2 dan V = (X – Y)/2. a. Tentukan fkp bersama fU,V(u, v). b. Tentukan fkp marginalnya yaitu fU(u) dan fV(v). Lihat Roussas, Bab 6, Exercise 2.3, hlm. 183.
Sebaran Eksponensial Negatif adalah:
f X ( x) ex , x 0, 0 24
Kasus 5 Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai fkp Normal(0, 1), dan didefinisikan U = X + Y dan V = X – Y. a. Tentukan fkp bersama fU,V(u, v). b. Tentukan fkp marginalnya yaitu fU(u) dan fV(v). c. Tunjukkan bahwa U dan V independen. d. Hitung peluang P(U < 0, V > 0).
Kasus 6 Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai fkp Normal(0, 2). Tunjukkan bahwa peubah acak U = X2 + Y2 mempunyai fkp Eksponensial Negatif dengan =1/(22). 25
Latihan : Kerjakan Kasus 4, Kasus 5, dan Kasus 6 di atas
26
1.
Roussas, G. 2003. Introduction to Probability and Statistical Inference. Academic Press
2.
Nasoetion, A. H. dan Rambe, A. 1984. Teori Statistika untuk Ilmu-Ilmu Kuantitatif. Bhratara Karya Aksara, Jakarta.
3.
Hoog RV , McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics 6th Edition. Pearson Prentice Hall.
4.
Wackerly D, Mendenhall W, Scheaffer RL. 2007. Mathematical Statistics with Applications 7th Edition, Duxbury Thomson Learning
5.
Pustaka lain yang relevan.
27
Bisa di-download di http://www.stat.ipb.ac.id/en/index.php?page=dr-kusman-sadik
28
29
