Teorema Pemetaan Kontraksi dan Penerapannya Pada Persamaan Integral Fredholm

Herry Prihawanto Suryawan

M — 3 : Teorema Pemetaan Kontraksi.

T e o r e m a Pemetaan K o n t r a k s i dan P e n e r a p a n n y a P a d a P e r s a m a a n Integral Fredholm ^ H e r r y Pribawanto S u r y a w a n

.lurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi IJniversitas Sanata Dharma Yogyakarta E-mail: [email protected] Abstrak

Di dalam makalah ini akan dibicarakan Teorema Pemetaan Kontraksi yang menjamin eksistensi dan ketunggalan penyelesaian suatu persamaan operator di ruang Banach, Selanjutnya teorema ini akan digunakan untuk mempelajari persamaan integral fredholm jenis kedua baik yang linear maupun tak linear. Khususnya akan diturunkan suatu metode iteratif untuk menentukan penyelesaian dari persamaan integral tersebut. K a t a kunci: titik tetap. teorema pemetaan kontraksi, persamaan integral Fredliolm

Pendahuluan Persamaan di dalam matematika seringkali dapat dituliskan dalam suatu persamaan operator berbentuk Tx = x

(1)

dengan T suatu operator di ruang Banach dan x adalah suatu anggota ruang Banach yang tak diketahui. Penyelesaian dari (1) disebut titik tetap operator T. Jadi dapat dikatakan bahwa titik tetap merupakan anggota dari ruang tersebut yang tidak berubah terhadap aksi dari

T.

Banyak permasalahan di dalam matematika terkait dengan

eksistensi dan penentuan titik tetap. Sebagai contoh diberikan C[0,1] yaitu ruang fungsi kontinu bemilai kompleks yang terdefinisi pada interval [0,1] dan didefinisikan operator T : C[0,1]

C[0,1] dengan

{Tf)(x)^f{0)+\f{t)dL o

Maka untuk setiap bilangan kompleks c, fungsi f{x) = ce' merupakan titik tetap dari T. Pada makalah ini akan dibicarakan salah satu teorema yang menjamin eksistensi titik tetap dari operator di ruang Banach, yang dikenal sebagai Teorema Pemetaan Kontraksi atau Teorema Titik Tetap Banach. Teorema ini mempunyai banyak sekali penerapan, khususnya dalam hal menjamin eksistensi penyelesaian suatu persamaan dalam matematika. Dalam makalah ini dibahas penerapan pemetaan kontraksi untuk mempelajari penyelesaian persamaan integral Fredholm, yaitu persamaan berbentuk

Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Yogyakarta, 30 Mei 2008

273

M- 3 : Teorema Pemetaan Kontraksi.

(t>{x)=


K{x,t)f{t)dt

dan j\x)=

K{x,t)f{t)dt

+ Pix)

dengan fungsi p dan fungsi kernel K diberikan, sementara /

adalah fungsi yang tidak

diketahui. Persamaan integral Fredholm seringkali muncul dalam masalah

fisis dan

analisis Fourier.

Teorema Pemetaan Kontraksi dan Persamaan Integral Fredholm Pada bagian ini pertama dibicarakan pengertian pemetaan kontraksi. Pemetaan / : E -> E kontraksi

dimana

E

jika

suatu subhimpunan dari ruang bernorma disebut pemetaan

terdapat

/ ( x ) - / ( p )
bilangan

positif

untuk setiap x,yeE.

a <1

sehingga

berlaku

Cukup jelas bahwa setiap pemetaan

kontraksi bersifat kontinu. Contoh pemetaan kontraksi adalah pemetaan f :X ^

X

X 1 dengan /"(x) = — + — dan JT = | x e i? : x > l } . 2 X Sekarang diberikan teorema pemetaan kontraksi dan buktinya.

Teorema 1. Jika pemetaan

F subhimpunan

kontraksi, maka f

satu pe F sehingga

f{p)

XQ e F

dari ruang Banach

E dan f: F

mempunyai titik tetap yang tunggal, yaitu terdapat

F tepat

=p •

Bukti: Misalkan 0 < « : < 1 sehingga A m b i l sebarang

tertutup

/ ( x ) - / ( p )
dan definisikan

x,, = / ( x , , _ | ) untuk

untuk setiap x, p e F . n = \,2,....

Pertama,

perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku T,+i -F,

^cc x„ - x „ _ | < a- x„_, - x „ _ 2 <...
Jadi untuk setiap m,n e N sehingga m
- x„

x, - x , .

berlaku

T,-T,-i +

-X^2

+ ...+ T)i + I

(a"-'+a"-'+...

+ a"

X|-Xo

-^n

Fi-ô a'" ^ 0 l-a


274

M- 3 : Teorema Pemelaun Konlruksi.


untuk m ^ CO . Hal ini menunjukkan bahwa ( x , ) merupakan barisan Cauchy. Karena F subhimpunan tertutup dari ruang yang lengkap. maka ada pe F sehingga .Y, ^ /; untuk n

âo.

Selanjutnya karena ||/(p)-p||<||/(p)-x„|| + ||x„-p|

fip)-fix„J\

+ F.-P -0

untuk n^co,

maka diperoleh bahwa f{p)

= p. Terakhir diandaikan bahwa f{q) = q

untuk suatu qe F , maka P-q\

^\fiP)-.f\j)\ôc\p-q

Jadi haruslah p = q . m

Teorema

pemetaan

kontraksi tidak hanya

memberikan jaminan eksistensi

dan

ketunggalan, tetapi juga memberikan algoritma untuk mencari penyelesaian dari suatu persamaan dengan prosedur iteratif. Sifat selanjutnya merupakan perumuman dari Teorema 1, dan menjadi bagian esensial dalam bukti eksistensi dan ketunggalan penyelesaian persamaan integral Fredholm. Teorema 2. Diberikan

E niang Banach. Jika

T: E ^ E operator kontinu

T'" merupakan pemetaan kontraksi untuk suatu meN,

sehingga

maka T mempunyai titik tetap

tunggal. Bukti : Menurut Teorema

1, T'"

mempunyai titik tetap tunggal

x„ e E.

yaitu

persamaan T"'x = x mempunyai penyelesaian tunggal. Jika x sebarang titik di E maka l i m ( r " ' ) " X = Xo atau Umil'" ] " 7x = x^. Jadi x = r îm(r"'

X

Misalkan Txg = x^ dan Ty,, = p „ , maka T"'xg = x^, dan C Y o = To • Karena T'" pemetaan kontraksi maka XQ = q^. Jadi E mempunyai titik tetap yang tunggal. •


275


M - 3 : Teorema Pemelaun Kontraksi.

Teorema 3. Jika anggota

E.

A operator linear terbatas pada ruang Banach

maka

tunggal

untuk

a

sehingga

\Af

operator yang

dengan

cukup

Tf = aA f + g

kecil. Lebih jaiih,

untuk setiap

mempunyai penyelesaian

definisi

feE

dan

jika

E dan g

mempunyai

k adalah

ak<\,

sebarang titik

konstanta

maka persamaan

tetap positif

Tf = f

tunggal.

Bukti : Karena A terbatas maka ada konstanta k sehingga||4/j-4/2||
a

Af-Af_

f - f

yang berarti T merupakan pemetaan kontraksi apabila

ct <j.

maka menurut Teorema 1, T mempunyai titik tetap tunggal.

Dalam hal demikian

•

Apabila proses iteratif diterapkan pada teorema di atas, diperoleh barisan hampiran untuk penyelesaian persamaan operator tersebut yaitu

f sebarang anggota E f = T_f = aAf

= g,

f_ = T{aAf,

+ g) = a'A-fQ + aAg + g,

,/;, - a"A"f

+ a"-U"'f

+ ... + a'A'g

Oleh karena itu, penyelesaian / JXg

+ aAg + g,

dapat dituliskan sebagai

+ aAg + a'A'g

+ ... + a"A"g + ...

(2)

Secara formal, ekspansi (2) dapat diperoleh langsung dari persamaan f-aAf dengan menjabarkan {I-aA) {l-aA)''

=g

' menjadi deret geometri =J + aA + a'-A-+...

(3)

Deret (3) dikenal sebagai deret Neumann.


276

Herry Prihawanio Suryawan

M- 3 : Teorema Pemetaan Koniraksi.

Teorema 4. ,Mc/ A operator linear terhulas pada suatu ruang Banach E dan

maka A^ ^[A-Al)

merupakan operator terbatas, A^ = ~ /

A < A

,fXi

,1=0

dan \\A- <

A-\\A

Bukti : Karena

< 1, maka

^ „=0

^ A"

<

^

/)=0

mengingat bahwa ruang semua operator linear terbatas dari £ ke £ merupakan ruang A

„=o Lebih jauh.

xY = i ^ Y ^ = A i : --n

(A-u)npA-xi)

,„A\

/;=0

n=0

Dengan cara yang sama diperoleh B [ A - Al) = -AI.

A,pA-X,r^-f-tf-A

= y A"''

-AI.

A" J

Dengan demikian diperoleh

Â" 11=0

Selanjutnya.

A,

< A

Akibat 5. Jika maka persamaan

11=0

A

A - A

A operator linear terbatas pada suatu ruang Banach dan x = XQ + a Ax mempunyai penyelesaian

a A < \,

tunggal yang diberikan

oleh

'JO

x = â"ri"xo. n=0


211

M - 5 : Teorema Pemetaan Koniraksi.


Teorema selanjutnya dikenal sebagai Alternatif Fredholm untuk operator kompak selfadjoint. Teorema ini memberikan kriteria untuk eksistensi penyelesaian persamaan operator linear. Teorema 6. Diketahui persamaan

A operator kompak self-adjoint pada ruang Hilbert H.

Maka

operator tak homogen .f = Af + g

mempunyai penyelesaian

(4)

tunggal untuk setiap ge H jika dan hanya jika

persamaan

homogen h = Ah hanya mempunyai penyelesaian Lebih jauh, jika persamaan penyelesaian

(5)

trivial h = 0.

(4) mempunyai penyelesaian

maka (^g,h) = 0 untuk

setiap

h dari (5).

Bukti : Menurut teorema spektral untuk operator kompak self-adjoint (misalnya pada Debnath [2] Th. 4.10.2), H memiliki basis ortonormal ( p j yang terdiri dari vektorvektor karakteristik dari A yang berkorespondensi dengan nilai-nilai karakteristik

{f,).

Tuliskan

T' = X ^ ' " ^ "

(6) CO

Akan dicari penyelesaian dari (4) dalam bentuk / = ^ f , A / , • Dari sini diperoleh X

X

X

X " " ^ " = X ^ " ^ " ^ " + X ^ " " ^ " ' y ^ " ^ ^^^^^^^ n=\

ii-\

n=]

untuk setiap ne N, asalkan A„ ^ 1. Apabila (5) tidak mempunyai penyelesaian tak nol, maka 1 bukanlah nilai karakteristik dari A sehingga (7) benar. Oleh karena itu j i k a (4) mempunyai penyelesaian, maka penyelesaian tersebut haruslah berbentuk

,„, i - T


278


A/ ~ 3 : Teorema Pemetaan Kontraksi..

Ini menunjukkan bahwa j i k a (4) mempunyai penyelesaian, maka penyelesaian tersebut tunggal. Untuk memperlihatkan eksistensi penyelesaian (4), cukup ditunjukkan bahwa deret di atas selalu konvergen. Menurut sifat nilai karakteristik operator kompak selfadjoint, berlaku Y ^ 0 dan karenanya

setiap neN.

~^

untuk suatu konstanta M dan untuk

Akibatnya, 00

~

CO

< oo . H=l

Jadi deret di atas konvergen dan jumlahannya adalah penyelesaian dari (4). Sekarang j i k a (5) mempunyai penyelesaian tak nol h, dan /

adalah penyelesaian dari (4), maka

f + ch merupakan penyelesaian dari (4) untuk setiap c e C . Hal ini berakibat (4) mempunyai tak hingga banyak penyelesaian. Misalkan /

penyelesaian dari (4) dan h

penyelesaian dari (5), maka {/, h) = {Af, h) + ( g , h) = (/, Ah) + ( g , h) = (/, h) +

{g,h).

Hal i n i berarti (g,/2) = 0 . Jadi j i k a (4) mempunyai penyelesaian,maka gortogonal terhadap setiap penyelesaian dari (5). •

Selanjutnya

hasil-hasil di atas akan digunakan untuk mempelajari penyelesaian

persamaan integral Fredholm yang berbentuk

fix)

= a \K(x,yJ\y))dy

+

m

a

dengan fungsi p e L-[a,b]

dan fungsi kernel K.

Pertama dipelajari persamaan integral Fredholm jenis kedua tak homogen. Teorema 7. Persamaan

integral h

f{x)

mempunyai penyelesaian [a,Z)]x[a,Z7], (j) & l}{a,b],

= ajKix,y)fiy)dy

tunggal fef[a,b],

+ ,Pix)

apabila fungsi kernel Ih h

dan a k <\, dengan k =


K{x,y)'

K kontinu pada

dxdy.

279


M - 3 : Teorema Temetaan Konlruksi.

B u k t i : Diperhatikan operator h

{Tf ){x) = a j £ ( x , y)f{y)

dy + (j){x).

a

Karena ip e L-[a,b],

Tf e L'[a,b]

jika

h

.(8)

'Kix,y)fiy)dyef[a,b] a

Menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, diperoleh Kix,y)fiy)dy

<

K{x,y)f{y)

dy

a

\Ub

<

K{x,yydy \

RyYdy

a

Oleh karena itu, ( h

K{x,y)f{y)dy

y-

<

K{x,yydy

fiyydy

dan h

f h

h

^^K{x,y)f(y)dy

dx<

K{x,y)-dy

JXyydy dx

a V <; h h

<

K{x,yy

dydx

f{y)'dy.

Karena h h

K{x, y)'

dydx < co dan

f{y)

~ dy
a

maka (8) dipenuhi dan ini berarti T

diperoleh hasil lain yaitu operator

A

memetakan

Z,"[<;/,/)] ke l:\cKb].

dengan definisi

{Afj{x)=

Selain itu

K{x,y)f(y)dy a

terbatas. Dengan demikian menurut Teorema 3, persamaan operator 77 = / mempunyai penyelesaian tunggal apabila a k <\. m

Sebagai contoh perhatikan persamaan integral


280

M~ 3 : Teorema Pemetaan Kontraksi.

f{x)


=a

e \f\y)dy

.(D)

+ (l){x)

1

h h

dengan

p suatu fungsi yang diberikan.

Karena

f - e f e -

persamaan (9) mempunyai penyelesaian tunggal j i k a a <

dxdy -

h

e

a+h

, maka

a •

-e

Teorema selanjutnya menjamin eksistensi dan ketunggalan penyelesaian persamaan integral Fredholm tak linear.

Teorema 8. Diketahui (a)

(b)

< M /|| untuk setiap f e L' [a, b]

K{x,y,f(y))dy

K(x. V, z,) - K{x.y,

z,)| < N{x,y)\z^-

z,j untuk .setiap x,y,z,,z,

e [a,b]

h h

(c)

\N{x,y)\~

dxdy = k'
a (I

Maka persamaan integral Fredholm tak linear h

f{x)

= a^K{x,y,f{y))dy

+ P{x)

a

mempunyai penyelesaian a sehingga Bukti

{Af){x)

:

=

tunggal f e L~[a,b]

untuk setiap p e L'[a,b]

dan untuk setiap

a k <\. Perhatikan

Kix, y, fiy))

persamaan

operator

Tf = aAf + p

dengan

dy. Maka berlaku


281

M-3:

Teorema Pemetaan Kontraksi

.


K{x.y.f{y))-K{x,y,f{y))

\Tf-Tf

h(

dy

h

K{x,y,f{y))-K{x,y,f{y))

< a

dy

dx

a V a

hfh

< a

dx

N{x,y)My)-Uy)dy a V o

< a Cukup jelas apabila a k <\, maka T suatu pemetaan kontraksi dan T mempunyai titik tetap tunggal yang merupakan penyelesaian dari persamaan integral tersebut. •

Terakhir akan diturunkan suatu prosedur iteratif untuk menentukan penyelesaian persamaan integral Fredholm berdasarkan hasil-hasil di atas. Perhatikan persamaan operator f = P + aTf

(10)

Jika T merupakan operator integral dengan kernel K, h

{Tf)ix)^

\Kix,t)f{t)dt,

maka (10) merupakan persamaan persamaan integral Fredholm jenis kedua f{x)

= P(x) +

ajKix,t)f{t)dt

.(11)

a

Dalam hal tersebut berlaku //.

iT\n(x)

=T

A

K{x,t)f(t)dt J

jh

h

'K{X,Z)

'Kiz,t)f{t)dt

a

dz. J

( h

= j

\^K{x,z)K{zd)dz f{t)dt.

a \ a

Oleh

karena

K(x,z)K(z,t)dz.

itu

T'

merupakan

suatu

operator

integral

dengan

kernel

Secara induktif diperoleh secara umum


282

M - 3 : Teorema Pemetaan Kontraksi.

T"f{x)=

Herry Pribawanto Suryawan

K,XxJ)f{t)cll

untuk

n>2

a

dengan kernel £ , dari T" diberikan dengan h

Kyxj)=

untuk n > 2 .

\K{xy)K„_Xyi)dc a

Kernel ini juga dapat dituliskan

K„(X,/)

=

f... {Kix, a

Selanjutnya

fyKif_,,

)...K{yOdf_yf_,

...dy

a

dengan menerapkan Akibat 5, akan diperoleh hasil di bawah terkait

keterselesaian (10) dan juga persamaan integral (11). Apabila

a T <\,

maka

persamaan (10) mempunyai penyelesaian tunggal yang diberikan oleh deret Neumann .(12) Jadi persamaan integral (11) mempunyai penyelesaian tunggal / fix)

=

Y,a"-'K,Xx,l)

pix)Fa

yang diberikan oleh

Pit)dt

.(13)

a V n=\

Tuliskan r(x,/,C!') = ^ o r " ^Kyx,i),

maka penyelesaian di atas dapat ditulis dalam

n=\

bentuk h

fix)

= pix) + a Jr(xT, a)pit) dt

(14)

a

Fungsi T sering disebut kernel resolven.

Terakhir

diberikan

penyelesaian

contoh

deret

sederhana terkait

Neumann

untuk

pembicaraan persamaan

di atas. Akan dicari integral

Fredholm

/ ( x ) = x + — ( / - x ) / ( / ) ri/. Pertama pilih / g ( x ) = x , m a k a 2 J -1


283


M- 3 : Teorema Pemetaan Kontraksi.

/ , ( x ) = X + — (t-x)tdt 2

= x + - , dan dengan menyubstitusikah f

ke persamaan semula

3

-1 I

1 diperoleh / 2 ( x ) = x + — (l-x) 2 _•

/

1X

t+V

1

X

J

3

dt = x + -

3y

. Dengan melanjutkan proses ini

diperoleh

7 (x) =

X + — -

3

^, , f,(x)

3

,

3-

1 x 1 = X+

= x+

X

T +

3

./4V

/2„ix)

— -

3

3-

^

,

3-

Y,(-1)"'"'3"'" - - ^ X 3 " " ' • ni=\

ni = \

3

1

Dengan mengambil n —> co, diperoleh / (x) = — x + —. Dapat diperiksa bahwa fungsi ini 4 4 benar merupakan penyelesaian persamaan integral di atas.

Penutup Teorema pemetaan kontraksi menjamin eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dari persamaan operator di ruang Banach. Penyelesaian yang diperoleh merupakan titik tetap dari operator yang terkait. Teorema ini juga memberikan suatu prosedur iteratif untuk

mencari

penyelesaian

persamaan

operator

tersebut.

Selanjutnya,

teorema

pemetaan kontraksi juga telah digunakan untuk mempelajari keterselesaian persamaan integral Fredholm jenis kedua khususnya dalam penjaminan eksistensi dan ketunggalan penyelesaian persamaan integral Fredholm jenis kedua baik yang

linear maupun tak

linear. Daftar Pustaka [1] Davis, B. (2002). Integral Transforms and Their Applications, New York : SpringerVerlag. mger-Ve '

3" ed.

Mikusinski, P. ^{\999). Introduction to Hilbert Spaces with [2] Debnath, L . & jîkusinsld, Applications, 2" ed. San Diego : Academic Press. [3] Jerry, A . J. (1999). Introduction to Integral Equations with Applications, ed. New York : John Wiley and Sons.

2"''

[4] Kress, R. (1989). Linear Integral Equations. New York : Springer-Verlag. [5] Reddy, B. D. (1998). Introductory Functional Analysis with Applications to Boundary Value Problem and Finite Elements. New York : Springer-Verlag. [6] Zeidler, E. {\995). Applied Functional Analysis: Applications Mathematical Physics. New York : Springer-Verlag.


to

284

Teorema Pemetaan Kontraksi dan Penerapannya Pada Persamaan Integral Fredholm

Recommend Documents