TEKNIK BARU MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU NONHOMOGEN Yon Hendri1*, Asmara Karma2, Musraini2 1
Mahasiswa Program S1 Matematika 2 Dosen JurusanMatematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia *
[email protected] ABSTRACT This paper discusses a tecnique to solve a system of first order nonhomogeneous linear differential equations with constants-coefficient by writing it in a matrix form. Then order nonhomogeneous linear differential equations are formed which have coefficients involving matrix coefficient that have been formed and solved using variation of parameter method, hance the general solution is obtained from the differential equations discussed. This solution is focused only for and . Keywords: general solutions, system of linear differential equations, variation of parameter method. ABSTRAK Artikel ini membahas teknik mendapatkan solusi sistem persamaan diferensial linear orde satu nonhomogen koefesien konstanta dengan terlebih dahulu menyatakan system tersebut dalam bentuk matriks. Selanjutnya dibentuk persamaan diferensial linear nonhomogen orde n yang koefisiennya melibatkan koefisien matriks yang sudah dibentuk dan diselesaikan dengan metode variasi parameter, sehingga diperoleh solusi umum dari persamaan diferensial yang didiskusikan. Pembahasan makalah ini difokuskan untuk kasus dan . Kata kunci: metode variasi parameter, sistem persamaan diferensial linear, solusi umum. 1. PENDAHULUAN Persamaan diferensial adalah salah satu bidang studi matematika yang banyak dikembangkan baik dalam matematika murni maupun matematika terapan. Dibidang matematika murni diteliti tentang ekstensi dan ketunggalan solusi persamaan diferensial, sedangkan di dalam matematika terapan dicarakan teknik mendapatkan solusinya, sehingga dapat menjawab persoalan yang dimodelkan oleh persamaan diferensial tersebut. Pembahasan solusi persamaan diferensial linear yang berbentuk sistem persamaan tersebut yang banyak didiskusikan dalam buku teks diantaranya adalah metode matriks
1
eksponensial dan metode Fulmer [1, h. 307]. Pada artikel ini dibahas teknik lain dalam menyelesaikan sistem n persamaan diferensial linear koefisien konstanta nonhomogen yang merupakan pembahasan detail dari artikel Jwamer K. H. F dan Rashid A. M [2], dengan judul ’’ New Technique For Solving System of Order Linear Differential Equations’’. Dalam pembahasan artikel ini difokuskan untuk kasus dan . 2. SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU NONHOMOGEN DAN METODE VARIASI PARAMETER Pada bagian ini dibahas bentuk normal sistem persamaan diferensial linear orde satu nonhomogen, penyelesaian sistem persamaan diferensial linear orde satu nonhomogen dan metode variasi parameter. 2.1 Bentuk Normal Pada Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde Satu. Bentuk normal sistem persamaan diferensial linear orde satu nonhomogen dapat ditulis, diabawah ini. [3, h. 510].
dx1 dt dx2 dt dxn dt
a11 x1
a12 x2
a1n xn
f1 (t )
a21 x1
a22 x2
a2 n xn
f 2 (t ) ,
ann xn
f n (t )
an1 x1
a n 2 x2
(1)
untuk adalah fungsi terhadap . Juga merupakan fungsi terhadap dengan , merupakan konstanta. Sistem persamaan diferensial pada persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk sebuah matriks, dX dt
AX
(2)
f (t ),
dengan dX dt
A
dx dx1 dx2 , , , n dt dt dt
T
,
a11 a 21
a12 a 22
a1n a 2n
a n1
an2
, a nn
dan untuk
f (t ) ( f 1 (t ), f 2 (t ), , f n (t )). Bentuk sebuah persamaan diferensial linear orde-n dapat dibentuk menjadi sistem persamaan diferensial linear orde satu,ditulis dx d nx d n 1x (3) n n 1 dt dt dt
2
Persamaan (2) dan persamaan (3) berhubungan sebagai berikut. dx d 2x d n 2x , , , dt dt n 2 dt 2 dan d n 1x , (4) dt n 1 persamaan (4) diperoleh dx dx1 d 2 x dx2 d n 1 x dxn 1 , 2 (5) , , n 1 , dt dt d t dt dt d t dan d n x dxn (6) dt dt n Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (4) dan (5) dapat di transformasikan persamaan (5) berikut :
dxn dt Persamaan (7) adalah sistem
(7) persamaan diferensial linear orde satu nonhomogen.
2.2 Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde Satu Nonhomogen. Permasalahan yang muncul pada sistem persamaan diferensial linear orde satu nonhomogen pada persamaan (2). dX dt adalah menentukan fungsi-fungsi sehingga sistem persamaan diferensial linear tersebut terpenuhi. Langkah pertama untuk menyelesaikan persamaan (2), ditentukan penyelesaian sistem persamaan diferensial homogennya dX dt sehingga diperoleh sebagai himpunan fundamentalnya. Teorema 1.[3, h. 532]. Jika adalah vektor penyelesaian persamaan diferensial nonhomogen persamaan(2) dan himpunan fundamentalnya pada penyelesaian homogen persamaan dX Ax, dt dengan c1 , c 2 , c n adalah konstanta.
3
n
1. Maka fungsi vektor dari
ck
k
adalah solusi persamaan diferensial
k 1
nonhomogen pada persamaan (2) untuk sebarang 2. solusi persamaan diferensial linear nonhomogen pada persamaan (2) dari n
ck
0
k
untuk c1 , c 2 , c n sebarang.
k 1
Teorema 2[3, h. 537].Jika
adalah matriks fundamental sistem persamaan diferensial
dx linear orde satu homogenya dt
AX , pada
maka didefinisikan dengan
Dimana
adalah penyelesaian sistem persamaan diferensial dx AX F (t ), dt 2.3 Metode Variasi Parameter Misalkan persamaan diferensial linear nonhomogen orde dua dibawah ini dengan fungsi , dan homogennya adalah dan umumnya
(8) kontinu pada interval terbuka, maka penyelesaian secara
(9) adalah solusi bebas linear persamaan homogennya, maka solusi (10)
penggantian konstanta dan merupakan konstan dengan fungsi dan yang harus ditentukan, maka solusi partikular dari persamaan diferensial nonhomogen mempunyai bentuk : (11) Untuk menentukan fungsi dan diperlukan dua syarat,yaitu : 1. Fungsi dan harus memenuhi persamaan (11) 2. Syarat sebarang, yang memenuhi (12) persamaan (11) diturunkan terhadap , maka diperoleh atau (13) Jika persamaan (13) diturunkan terhadap , maka akan diperoleh (14) subtitusikan persamaan (11), (13) dan (14) ke persamaan (8), maka diperoleh , , karena , maka (15)
4
Persamaan (12) dan (15) sistem persamaan linear untuk fungsi yang tidak diketahui dan , penyelesaian diperoleh dengan aturan Cramer, sehingga menjadi
dan
dengan , merupakan Wronskians. dan adalah solusi bebas linear dari persamaan homogen yang terkait. Hasilnya disubtitusikan pada persamaan (11), diperoleh solusi partikular dari persamaan nonhomogen pada persamaan (8), yaitu
3. TEKNIK BARU MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU NONHOMOGEN Pada bagian ini diperoleh teknik baru untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear orde satu nonhomogen. Untuk kasus Berdasarkan persamaan (1) bentuk sistem dua persamaan diferensial linear orde satu nonhomogen ini ditulis : (16) dengan dan adalah fungsi kontinu pada interval I. Persamaan (16) dapat disusun dalam bentuk matriks (17) Dari persamaan (17) dapat menentukan dan sehingga memenuhi persamaan (17) tersebut. Pada penyelesaian teknik ini persamaan (17) dibentuk menjadi sebuah persamaan diferensial linear orde dua nonhomogen, sebagai berikut : (18) dengan , cara membentuk persamaan (18) sebagai berikut. Persamaan (17) dapat diperoleh, , (19) dengan menurunkan ruas kiri dan kanan persamaan (19) terhadap , diperoleh (20) Persamaan (17) diperoleh juga (21) subtitusikan persamaan (21) kepersamaan (20), maka akan diperoleh (22) Persamaan (19) dapat dibentuk menjadi subtitusikan kepersamaan (22), maka diperoleh
5
dengan
, sedangkan dan . Maka terbukti bahwa bentuk persamaan (17) dapat dibentuk menjadi sebuah persamaan diferensial linear orde dua nonhomogen. Pada persamaan (18), yaitu. Misalkan persamaan (18) ditulis konstanta diperoleh.
maka
(23) Selanjutnya persamaan (23) dapat diselesaikan dengan metode variasi parameter. Misalkan dan adalah penyelesaian persamaan diferensial homogennya pada persamaan (23) maka diperoleh penyelesaian umumnya. (24) dengan dan adalah konstanta, penyelesaian khususnya. Misalkan dan adalah fungsi variabel , sehingga terbentuklah penyelesaiannya. (25) jika persamaan (25) diturunkan terhadap t, maka akan diperoleh (26) dengan menentukan syarat pada persamaan (26). (27) diperoleh (28) jika persamaan (28) diturunkan terhadap t, maka akan diperoleh (29) subtitusikan persamaan (25), (28) dan (29) kepersamaan (23), maka akan diperoleh
atau sehingga diperoleh
Dari persamaan (27) dan (30) diperoleh
dan
subtitusikan persamaan (31) kepersamaan (25), maka dapat dibentuk penyelesaian umumnya Persamaan (16) didapatkan
6
atau
dengan . Untuk kasus Proposisi 1 [2]. Misalkan sistem persamaan diferensial linear orde satu nonhomogen, adalah (32) dengan
dan
adalah fungsi kontinu. Jika atau maka sistem tiga persamaan diferensial linear orde satu nonhomogen pada persamaan (32) dapat dibentuk menjadi sebuah persamaan diferensial linear orde tiga nonhomogen dengan nilai dari,
Bukti Jika diasumsikan atau dapat diperoleh bentuk sebuah matriks. Misalkan matriks
Persamaan (32)
Persamaan (32), dapat diperoleh turunan keduanya
, maka diperoleh (33)
jika persamaan (33) diturunkan terhadap t, maka akan diperoleh (34) jika persamaan (32) diturunkan terhadap t, maka akan diperoleh (35) dan (36) subtitusikan persamaan (35) dan (36) ke persamaan (34), maka akan diperoleh , oleh karena itu diperoleh
selain itu dari persamaan (32) didapatkan juga , subtitusikan ke persamaan (36), maka akan diperoleh
7
dengan
, akan diperoleh
dari persamaan (32) dapat diperoleh
maka
dan untuk
dapat diperoleh
dengan
maka akan membentuk sebuah persamaan diferensial linear orde tiga nonhomogen atau
Terbukti bahwa persamaan (32) dapat dibentuk sebuah persamaan diferensial linear orde tiga nonhomogen. 3. CONTOH SOAL UNTUK KASUS Diberikan
13 t, 2 y 2t,
x' 4 x 3 y y' 2 x
8
Penyelesaian
x'
4
3 x
y'
2
1 y
13 t 2 . 2t
(37)
Dari persamaan (37) diperoleh (38) jika persamaan (38) diturunkan terhadap t, maka akan diperoleh (39) Persamaan (37) juga diperoleh (40) jika persamaan (40) disubtitusikan ke persamaan (39), maka akan diperoleh
, untuk nilai
dapat diperoleh dari persamaan (38)
(41) Persamaan (41) merupakan persamaan diferensial linear orde dua nonhomogen, dengan menggunakan metode variasi parameter untuk memperoleh solusi umumnya, persamaan (38) dapat diperoleh penyelesaian umum homogennya dan
, (42) (43)
. Gunakan persamaan (31), maka akan diperoleh y2 g (t ) v1 (t ) dt, W ( y1, y2 ) dan y1g (t ) v2 (t ) dt, W ( y1, y2 ) dengan Wrongskiannya dapat diperoleh ,
dan
9
(44) Dari persamaan (42) dan (44) diperoleh penyelesaian umum sistem persamaan diferensial
jika diturunkan terhadap , maka akan diperoleh
untuk memperoleh nilai sebarang,
subtitusikan
dan
pada persamaan (38) dengan
dan
dapat diperoleh
DAFTAR PUSTAKA [1] Cullen, C. G. 1990. Linear Algebra and Differential Equations, second Edition, University Of Pittsburgh. Springer: New York. [2] Jwamer, K. H .F & Rashid, A. M. 2012. New Technique For Solving System Of First Order Linear Differential Equations. Journal Applied Mathematical Sciences, 64: 31773183. [3] Ross, S. L. 1984. Differential Equations, Thirt Edition. University Of New Hamphirs: New York. [4] Stewart, J. 2011. Kalkulus. Terj. dari Calculus, Edisi Lima Buku dua, oleh Sungkono, C. Penerbit Salemba Teknika: Jakarta.
10
