• Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. • Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S. • Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi ∅ atau { }. • Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan a ∈ S dan dibaca “a elemen S”. • Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan a ∉ S dan dibaca “a bukan elemen S”.
Pada umumnya, sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2 cara. • Dengan mendaftar seluruh anggotanya. Sebagai contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai: A = {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9}
• Menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. A = { x x bilangan bulat positif kurang dari 10}
• Bilangan asli adalah salah satu sistem bilangan yang paling sederhana, anggota-anggotanya adalah: 1, 2, 3, 4, …… Himpunan bilangan asli diberi lambang N, jadi N = {1, 2, 3, 4, …………} • Bilangan bulat terdiri atas bilangan asli, negatifnya, dan bilangan nol. Bilangan bulat diberi lambang Z, jadi Z = {….,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}
• Bilangan rasional adalah bilangan yang a dapat dinyatakan sebagai bentuk b , di mana a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0 . Bilangan Rasional diberi lambang : Q • Contoh Bilangan asli 6 dapat dinyatakan sebagai: 12 30 atau 5 dan sebagainya 2
• Ciri lain dari bilangan rasional adalah adanya desimal berulang • Contoh 3 merupakan bilangan rasional 7
Bukti Misal x = 1000 x = 1000 x – x = 999 x =
0,753753753753…. 753,753753753… 753 753 753 x= (terbukti) 999
• Bilangan irrasional adalah bilangan yang bukan rasional, persisnya adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk a/ b di mana a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Contoh • π = 3,141592653358…….. (desimalnya tidak beraturan/tidak berulang) • e = 2,71828281284590….... (desimalnya tidak beraturan/tidak berulang) • √2 = 1,4142135623…….. (desimalnya tidak beraturan/tidak berulang
• Bilangan riil adalah gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irrasional. • Himpunan bilangan riil dilambangkan dengan R
Bilangan Riil
R
Bilangan Rasional
Q Z
Bilangan Bulat
N
Bilangan Asli
• Suatu garis bilangan adalah suatu penyajian bilangan-bilangan riil secara grafis oleh titiktitik pada suatu garis lurus − 1100
− 2 = −1, 4142
2 = 1, 4142
e = 2,7182
π = 3,14159
• Interval atau selang adalah suatu himpunan bagian tidak kosong dari himpunan bilangan riil R yang memenuhi suatu ketidaksamaan tertentu • Jika digambarkan pada garis bilangan (garis riil), maka interval akan berupa suatu segmen garis (ruas garis) yang batas – batasnya jelas. • Ada dua jenis interval, yaitu interval berhingga dan interval tak berhingga.
Interval Berhingga : sebelah kiri dan kanan mempunyai batas No
Notasi Himpunan
Notasi Interval
1
{ x | a < x < b}
( a, b )
2
{ x | a ≤ x ≤ b}
[ a, b ]
3
{ x | a ≤ x < b}
[ a, b )
4
{ x | a < x ≤ b}
( a, b ]
Grafik
Interval Tak Berhingga : salah satu sisi tidak mempunyai batas No
Notasi Himpunan
Notasi Interval
1
{ x | x > a}
( a, +∞ )
2
{ x | x ≥ a}
[ a, ∞ )
3
{ x | x < b}
( −∞ , b )
4
{ x | x ≤ b}
( −∞, b ]
Grafik
1. −2 < x ≤ 4 2. −1,5 < x ≤ 4,7 3.
x>2
4.
x ≤ −3,5
5.
x ≤ − 2 atau 3 < x ≤ 6
• Peubah (variable) adalah lambang (symbol) yang digunakan untuk menyatakan sebarang anggota suatu himpunan. • Jika himpunannya R maka peubahnya disebut peubah real. • Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataan matematis yang memuat satu perubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥).
• Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memiliki arti mencari seluruh bilangan real yang dapat dicapai oleh peubah-peubah yang ada dalam pertidaksamaan tersebut sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi benar. • Himpunan semua bilangan yang demikian ini disebut penyelesaian (Himpunan Penyelesaian)
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut: A. 4x + 2 < 2x +10 F. -2x + 3 ≤ x – 6 ≤ 3 B. 3x - 2 ≤ 4x + 5 x +3 2 C. x – 7x + 10 < 0 G. x − 2 ≥ 0 D. 2x2 + x – 15 ≥ 0 E. -1 < 3x – 4 < 8 H. x + 3 ≥ 4 x −2
A.
4x + 2 < 2x +10 4x – 2x < 10 – 2 2x < 8 x<4 Hp = { x | x < 4 } Hp = (-∞, 4)
B.
3x - 2 ≤ 4x + 5 3x – 4x ≤ 5 + 2 -x ≤ 7 x ≥ -7 Hp = { x | x ≥ -7 } Hp = [-7, ∞)
C. x2 – 7x + 10 < 0 ⇔ (x – 2)(x – 5) < 0 • Tentukan pembuat nol ruas kiri x = 2 atau x = 5 • Gambarkan pada garis bilangan, sehingga terbentuk beberapa selang (yaitu x < 2, 2 <x < 5, dan x > 5) 2
5
• Tentukan tanda pada masing – masing interval (selang) dengan cara memberikan nilai dari masing-masing interval (cukup satu wakil), misal kita ambil : x = 0; x = 3; dan x = 6. x = 0 (x – 2)(x – 5) = (-2)(-5) = 10 > 0 (positif) Maka pada selang x <2 beri tanda (+) x = 3 (x – 2)(x – 5) = (1)(-2) = -2 < 0 (negatif) Maka pada selang 2 < x < 5 beri tanda (-) x = 6 (x – 2)(x – 5) = (4) (1) = 4 > 0 (positif) Maka apda selang x > 5 beri tanda (+)
• Sekarang perhatikan tanda pertidaksamaan yaitu < 0, atau negatif (-) • Jadi himpunan penyelesaiannya adalah interval yang bertanda (-) [negatif] yaitu • HP = {x| 2 < x < 5} = (2,5)
D. 2x2 + x – 15 ≥ 0 ⇔ (2x – 5)(x + 3) ≥ 0 Pembuat nol x = -3 dan x = 5/2
• HP = {x| x ≤ -3 atau x ≥ 5/2} = (-∞, -3] U [5/2, ∞)
E.
-1 < 3x – 4 < 8 -1 + 4 < 3x < 8 + 4 3 < 3x < 12 1<x<4 Hp = {x | 1 < x < 4} = (1,4) 1
4
F. (1)
-2x + 3 ≤ x – 6 ≤ 3 - 2x + 3 ≤ x – 6 - 2x – x ≤ - 6 – 3 -3x ≤ -9 -x ≤ -3 x≥3 Hp1 = {x | x ≥ 3} = [3, ∞)
(2) x – 6 ≤ 3 x≤ 3+6 x≤ 9 Hp2 = {x | x ≤ 9} = (-∞, 9] 9
Hp = Hp1 ∩ Hp2 -3
9
Hp = { x |-3 ≤ x ≤ 9} -3
9
G. Penyelesaian
x+3 ≥0 x −2
– Tentukan pembuat nol dari pembilang dan penyebut ruas-ruas kiri – Uji tanda pada setiap selang
• Pembuat nol pembilang : x = - 3 • Pembuat nol penyebut : x = 2 (+)
(+)
(-)
-3
2
• HP = {x| x ≤ 3 atau x > 2} = (-∞ ∞,3] U (2,∞ ∞)
H. Penyelesaian xx +− 23 ≥ 4 • Ruas kanan dijadikan nol x +3 x +3 ≥ 4 ⇔ − 4 ≥ 0 x −2 x −2
⇔
4 (x − 2 ) x + 3 − ≥ 0 x − 2 x − 2
⇔
x + 3 − 4x + 8 ≥ 0 x − 2
−3x + 11 ⇔ ≥ 0 x − 2
• Tentukan pembuat nol dari pembilang dan penyebut ruas ruas kiri • Pembuat nol pembilang • Pembuat nol penyebut
: x = 11/3 : x=2
• Uji tanda pada setiap selang
• HP: {x|2 < x ≤ 11/3} = (2, 11/3]
Definisi Nilai mutlak x ∈ R , ditulis dengan notasi x , didefinisikan sebagai: x = x2 .
Definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai:
x x = − x
, x≥0 , x<0
5 5 Sebagai contoh, − 8 = −(−8) = 8 , = , 3 = 3 , dst 2 2
Jika x, y ∈ R maka: a. x ≥ 0
x =0⇔ x=0
b. x.y = x . y
x x = , asal y ≠ 0 y y
c. x < a ⇔ −a < x < a , a ≥ 0 dan x > a ⇔ x > a atau x < −a d. x ≤ y ⇔ x 2 ≤ y 2
• Untuk menyelesaikan pertidaksamaan mutlak dapat dilakukan dengan: • Menggunkan sifat nilai mutlak mutlak bagian c a.
x < a ⇔ −a < x < a , a ≥ 0
b.
x > a ⇔ x > a atau x < −a
• Menggunakan sifat nilai mutlak bagian d x ≤ y ⇔ x2 ≤ y2
1. | 2x – 3 | < 4 ⇔ -4 < 2x – 3 < 4 ⇔ -4 + 3 < 2x < 4 + 3 ⇔ -1 < 2x < 7 ⇔ -1/2 < x < 7/2 • HP = { x / -1/2 < x < 7/2 } = ( - 1/2 , 7/2 )
-1/2
7/2
2. | 5x + 1 | ≥ 9 ⇔
5x + 1 ≤ -9 atau 5x + 1 ≥ 9 5x ≤ -10 atau 5x ≥ 8 x ≤ -2 atau x ≥ 8/5 • HP = { x / x ≤ -2 atau x ≥ 8/5 } = (- ∞, -2]U[ 8/5, ∞)
3. |2x – 1| > |x + 4| (2x – 1)2 > (x + 4)2 4x2 – 4x + 1 > x2 + 8x + 16 (4x2 – x2) + (-4x – 8x) + (1 – 16) > 0 3x2 – 12x – 15 > 0 (+) (-) (3x + 3)(x – 5 )> 0 -1 Hp = {x | x < -1 U x > 5} = (- ∞, -1) U (5, ∞)
(+)
5
Cara lain: a2 – b2 = (a + b)(a – b) (2x – 1)2 > (x + 4)2 (2x – 1)2 - (x + 4)2 > 0 ((2x – 1)+(x + 4)) ((2x – 1)-(x + 4)) > 0 (3x + 3)(x – 5 )> 0 (+)
Hp = {x | x < -1 U x > 5} -1 = (- ∞, -1) U (5, ∞)
(-)
5
(+)
• Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut 2 1. −2 < 2 x − 4 ≤ 6 6. x − 2 x − 3 ≤ 0 2. −2 < 1 − 5x ≤ 3 7. x 2 + 3x − 4 ≥ 0 3. 2 x − 4 ≤ 6 − 7 x ≤ 3x + 6 8. 2 x + 5 ≤ 3 4. 2 x − 1 > 0 9. 2x + 5 ≥ 1 x −2
5.
2x − 1 ≤3 x −2
3
10. 2x − 3 > x + 6
