Statisztikai módszerek

Minıségtervezés Statisztikai módszerek

A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségjavító szabályozásra van szükség. A statisztikai módszerekkel a hibaokok alakulását figyeljük. Abból indulunk ki, hogy hibátlan termék vagy tökéletes folyamat nincs. A minıségi jellemzıket (amiket mérünk, regisztrálunk,) sok hatás alakítja. (Például egy alkatrész méretének pontosságát befolyásolja a beállítás pontossága; a gép jellemzıi, mozgó elemei; a megvezetés pontossága, a szerszám állapota; az alapanyag állapota, jellemzıi; stb. A bevonat egyenletessége pedig az alkatrész síkhibáitól, a lakk viszkozitásától, az elıtolás nagyságától, a hengernyomástól, esetleg az öntıfej-rés szélességétıl és folyadéknyomástól függ.) Ezért a minıségi jellemzık konkrét értékei ingadoznak, vagyis valószínőségi változók. A cél az, hogy ez az ingadozás olyan elfogadható határok között maradjon, amelyek között a termék vagy elem kifogástalanul betölti szerepét. A minıség jellemzı ingadozását – a statisztikai minıség-szabályozás felfogása szerint – zavarok (hibaokok) okozzák. A hibaokok lehetnek: -

nemkívánatos tényezı/hatás fellépte (pl.: gép elállítódása, felületkezelésnél légáram, por, rossz beavatkozás)

-

tényezık nemkívánatos középértéke (pl.: helytelenül beállított elıtolás, nyomás stb.)

-

tényezık

nemkívánatos

ingadozása (pl.:

elıtolás,

nyomás

stb. ingadozása,

légparaméterek ingadozása) Ezeket a zavarokat a szabályozás szempontjából két nagy csoportba sorolhatjuk be: -

véletlen (közönséges), illetve

-

veszélyes (rendkívüli).

A termék minıségét befolyásoló sok-sok tényezı jelentıs részét az jellemzi, hogy egyedi hatásuk a minıségre csekély, annak lényegtelen ingadozását okozzák. Ezek a zavarok minden gyártási rendszerben léteznek; számuk nagy, kiküszöbölésük, vagy hatásuk mérséklése – mind mőszaki, mind gazdasági oldalról tekintve – megoldhatatlan, vagy túl nagy erıfeszítéseket igényel. Ilyen tényezık például: -

nyersanyagok

-

alkatrészek

(idegenáruk) természetes kisebb eltérései

Minıségtervezés Dr. Kovács Zsolt NYME Terméktervezési és Gyártástechnológiai Intézet

1

-

gépek, szerszámok mőszaki állapotának kisebb változásai

-

környezeti tényezık kisebb ingadozásai

-

dolgozók figyelme, begyakorlottsága

Ezeket a véletlen (közönséges) zavarokat tehát a rendszer velejáróinak tartjuk, azaz olyanoknak, amelyek a minıségjellemzık szokásos ingadozását okozzák. Úgy tekintjük, hogy a szabályozás során (nagy számuk és befolyásolhatatlanságuk miatt) nem tudunk velük foglalkozni. A másik csoport a veszélyes (rendkívüli) zavarok csoportja; azok a kivételek, melyeket szabályozni kell. Azonnali felismerésük és gyors elhárításuk azért szükséges, mert ezekre a hibaokokra az jellemzı, hogy egyedi hatásuk nagy a minıségi jellemzıkre, és erıs minıségrontó szerepük van. A számuk ugyan jóval kisebb, mint a véletlen zavaroké, de a jelentıs egyedi hatás miatt azonnal felismerhetık. A minıségszabályozásban ez az elkülönítés (véletlen/veszélyes) matematikai statisztikai megközelítéssel történik. A minıségszabályozás két, egymással kapcsolódó fogalma tartozik ide: -

a szabályozottság (stabilitás), valamint

-

a minıségképesség.

Ha csak a véletlen hibaokok hatnak, stabil folyamatról beszélünk. A közönséges zavarok határozzák meg a folyamat/termék minıségjellemzıinek normális (stabil) állapotát. Amennyiben csak ezek hatnak, a minıségi jellemzık ingadozásai matematikai statisztikai törvényszerőségekkel leírhatók, azaz a minıségi jellemzık határozott eloszlásokat követnek. Ez azt is jelenti, hogy a folyamat elıre jelezhetı, tehát mindaddig tudjuk, mekkora a minıségi jellemzık középértéke, ingadozása, míg a folyamat stabil, normális állapotában marad. Amikor viszont rendkívüli zavarok lépnek fel, kivételek jelennek meg (tehát a folyamat már nem stabil). Ilyenkor ez az elırejelzés nem érvényes, nem lehet megmondani, hogy fog alakulni az állapota.

A véletlen zavarcsoport által okozott ingadozások sávjával, intervallumával jellemezhetı a normális állapot, az ingadozási sáv határaival megadható folyamat minıségképessége. Szabályozottság-vizsgálattal

állapítható

meg

egy

folyamatról,

hogy

stabilitása

és

szabályozottsága megfelelı-e. A szabályozandó jellemzı (minıségjellemzı) lehet -

méréses (pl.: megmunkálási méret, ragasztási szilárdság, lakkvastagság) vagy

-

minısítéses (pl.: lakkbevonaton foltok számossága, felületi megmunkálási hibák vannak/nincsenek). Minıségtervezés Dr. Kovács Zsolt NYME Terméktervezési és Gyártástechnológiai Intézet

2

Stabil folyamatok esetén a minıségjellemzı eloszlás típusa méréses jellemzıknél általában normális (sok kis hatás összegzıdésérıl van szó), vagy legtöbbször közelíthetı normálissal, minısítéses jellemzıknél más eloszlástípusokkal találkozunk. A legtöbb gyakorlati esetnél – mivel igyekszünk méréses jellemzıvel szabályozni – a normális eloszlás jellemzı. Ekkor, ha a figyelt jellemzı normális eloszlású, akkor szabályozott a folyamat. A normális eloszlást két paraméter írja le: a várható érték ( µ ) és a variancia ( σ 2 ). 1  x−µ   σ 

2

− ⋅ 1 f ( x) = ⋅e 2 σ ⋅ 2 ⋅π

(Emlékeztetıül:) A normális eloszlás sőrőségfüggvénye: A függvény görbéje:

Eloszlásfüggvénye pedig:

F ( xi ) =

xi

xi

−∞

−∞

∫ f ( x)dx = ∫ σ ⋅

1 2 ⋅π

⋅e

1  x−µ  − ⋅  2 σ 

2

dx

A függvény görbéje:


3

Annak megállapítására, hogy szabályozott-e a folyamat, normális eloszlásról van-e szó, többféle módszer létezik, de nem mindig a legegzaktabb módszerek alkalmazása a cél; lehet a kevésbé szigorú is elfogadható (hasznos). Bármelyik módszer alkalmazása esetén elızetes adatfelvételt kell végezni, vagyis a sokaságból mintát kell venni. A sokaság a vizsgált jellemzı azon egyedi értékeinek összessége, melyeket az összes, vizsgálatban szereplı elemen (alkatrészen, terméken) figyelhetnénk meg (pl.: egy gyártási sorozat valamennyi darabjának egy adott, jellemzı mérete – profilméret stb.). A mintának legalább 50 elembıl kell állnia, de jobb, ha ennél több. (Célszerőbb azonban, ha a minta nagysága 100- 300 elem, ennél több általában nem szükséges).

A normális eloszlást az jellemzi, hogy a középérték körüli, adott szélességő sávokba az összes elem meghatározott %-a esik. Egyszerőbb, kevésbé szigorú módszerként a gyakoriságeloszlás hisztogrammal történı ábrázolása terjedt el. Ha valóban normális eloszlásról van szó, akkor ehhez közelálló eloszlást kell tükrözniük az adatoknak (v. ábra).

v. ábra A hisztogram leggyakrabban ránézésre is jelzést ad arról, hogy az eloszlás normális-e, vagy sem. Például az eloszlás nem lehet normális, ha -

a burkológörbéje nagyon aszimmetrikus,

-

a határokhoz közel is viszonylag nagy gyakorisággal találunk elemeket,

-

több módusza van,

-

túl „csúcsos” (leptokurtikus), vagy

-

lapos (platikurtikus) stb. (x. ábra)

x. ábra Minıségtervezés Dr. Kovács Zsolt NYME Terméktervezési és Gyártástechnológiai Intézet

4

A normális eloszlás feltételezésének elfogadásához vagy elvetéséhez közelítı becslést ad, ha megszámoljuk, hogy a minta elemeibıl mennyi esik a ± σ , a ± 2 ⋅ σ , a ± 3 ⋅ σ értékközbe. Célszerően már az elızetes adatfelvétel adatait grafikonon szokták ábrázolni. A további vizsgálatokhoz, következtetésekhez fontos, hogy ezeket idırendben tüntessék fel. A minden adatot megjelenítı grafikon a dinamikus ábra. Itt a vizsgált jellemzı értékét a függıleges tengelyre mérjük. Az ábrázolást és értékelést megkönnyíti különbözı programok (például Quality ) használata. Az elıfordulási értékeket ábrázolva elkészíthetı a hisztogram, de most 90°-kal elfordítva (és tükrözve) jelenik meg:

A stabilitás vizsgálatánál egy hisztogramban összesítjük a minta valamennyi elemét, de a folyamat részeit is vizsgálhatjuk; a részeloszlásokra is fenn kell állni, hogy normálisak, mégpedig ugyanazzal a várható értékkel és szórással. (De Vor1/2a,b,c ábra) (A felsı talán nem kell.)


5

a) A folyamat statisztikailag nem szabályozott: a sokaság idırıl idıre változik

b) A folyamat statisztikailag kézben tartott: csak közönséges hibaokok hatnak

c) A folyamat átmeneti állapotú: rendkívüli hibaok megjelenése állapítható meg

Pontosabb módszer az adatok Gauss-hálón való ábrázolása. A függıleges tengelyen a lépték olyan, hogy az eloszlásgörbe egyenessé válik, meredeksége 1 lesz. Még egzaktabb módszerként alkalmazzák a matematikából ismert statisztikai próbákat (illeszkedésvizsgálat): A χ 2 (Chi-négyzet) próba, gyakoriságok sorozatának összehasonlítására: k

χ =∑ 2

j =1

ahol:

(n

j

− n *j n *j

)

2

,

k – összevont osztályok száma


6

n*j – osztályközép; n *j =

n⋅h ϕ (u j ) s

−

uj =

xj − x s

DF – szabadságfok; DF = k − b − 1

Bár a Gauss-papír és a χ 2 -próbás illeszkedésvizsgálat pontosabb, az eltérés jellegérıl nem ad felvilágosítást. A hisztogram ezekkel szemben szemléletes képet nyújt. Ha az eloszlás normálisnak tekinthetı, akkor vizsgálható a minıségképesség. (Ha nem feltételezhetı normális eloszlás, akkor a folyamatokat elıbb részeiben kell elemezni a stabilitás hiányát kiváltó okok felderítésére, majd stabillá kell tenni.)

Minıségképesség A véletlen zavarok okozta ingadozások sávjával jellemezzük a normális állapotot, és ez adja a minıségképességet. A sáv határait a szokásos ingadozások határainak is nevezik. Ezek úgy tekinthetık, mint természetes folyamathatárok. Mik is pontosabban ezek a természetes folyamathatárok? Normális eloszlásnál a középérték körüli ± 3 ⋅ σ széles intervallum magába foglalja az összes egyedi érték 99,73 %- át, tehát igen kicsi (elhanyagolható) annak a valószínősége, hogy ezen a sávon kívüli érték fellép. Vagyis az x ± 3 ⋅ σ lefedi a teljes ingadozást. Ezért ezt a (természetes folyamathatárok közti) intervallumot a folyamat

természetes tőrésének nevezzük. A természetes tőrés nagysága – a felsı illetve az alsó tőréshatár különbsége ( FTH − ATH ) – már önmagában jellemezhetné a minıségképességet. Praktikusabb azonban valami elváráshoz viszonyítani. Ez az elvárás pedig az elıírt (mőszaki és/vagy gazdasági megfontoláson alapuló) tőrés. A folyamat (vagy gép) minıségképessége a természetes tőrés és a termék elıírt tőrésmezıjének a hányadosa, vagyis az elıírt C =

FTH − ATH hányadosról van szó. A 6 ⋅σ

gyakorlatban bevált képességi mutatóknál azonban további megkülönböztetéseket is tesznek. Egy gépen (berendezésen) homogén megmunkálási körülmények között (például: azonos szerszámállítás, alapanyag tétel, gépkezelı, élezéssel kapcsolatos szerszámcsere nincs stb.),


7

viszonylag rövid távon végzett vizsgálatok során megállapítható a gép minıségképessége, vagyis a gépképesség. Hosszabb távú és nem homogén körülmények között folytatott vizsgálattal a folyamatképesség határozható meg. Nem csak az elnevezésben van különbség; eltér a meghatározásmetodika és számítási mód is. CM =

Gépképesség:

FTH − ATH , ahol s – a nagy minta korrigált szórásával becsült 6⋅s

folyamatszórás. (Amennyiben σ ismert, természetesen azt helyettesítjük be.) A gépképesség akkor megfelelı, ha C M > 1,33 Folyamatképesség:

CP =

FTH − ATH , ahol s* a folyamat részeloszlásaiból, vagyis a * 6⋅s

folyamatból idıben elhúzódóan vett sok kisebb mintának a szóródásából számított átlagos szórás. A folyamatképesség akkor megfelelı, ha C P > 1,00

Szemléltetve a gép- illetve folyamatképességet a tőréshatárokhoz viszonyítva (itt csak a sávszélességek egymásra helyezésével):

A három eset: I: A képesség éppen elfogadható (középre beállítva) II: Más tőrés? Más gép? Válogatás? Elfogadom? (Gazdasági következményekkel számolva kell dönteni: szükség van-e más tőrésre, esetleg másik gépre; válogatni kell-e a darabokat vagy elfogadható a minıség ilyen gépképesség mellett.) III: A képesség „túl jó”, a beállítás látszólag mozoghat Minıségtervezés Dr. Kovács Zsolt NYME Terméktervezési és Gyártástechnológiai Intézet

8

A minıségképességgel kapcsolatos eddigi mérıszámok nem vizsgálják azt, hogy a beállítás mennyire pontos. (Például egy csap vastagsági megmunkálása esetén a képességek függetlenek attól, hogy egy 10 mm névleges méret esetén 9,7- re vagy 10,5- re sikerült beállítani az átlagos vastagságot. (Sıt, még attól is függetlenek, hogy 10, vagy 20 mm-es csapot kell-e készíteni.)

A megmunkálásnak illetve alkatrésznek azonban fontos jellemzıje az is, hogy a folyamat középértéke mennyire tér el a célértéktıl, illetve mennyire közelíti meg az alsó vagy felsı tőréshatárt. Ezért olyan mutatókat is használnak, melyek a beállítottságot jelzik (Az MSZ ISO 9000: 2000 szerint a szabályozottság mutatója):

 FTH − x x − ATH  C Mk = min  ;  3⋅ s   3⋅ s  FTH − x x − ATH  C Pk = min  ;  * 3 ⋅ s *   3 ⋅ s

A stabilitás/képesség /szabályozottság vizsgálata valamennyire elméleti jellegő kérdés maradhatott. Nem érzékelhetı eléggé, mire vonatkoznak a képletek, hisztogramok, sőrőségfüggvények: általában a termék valamelyik, minıség szempontjából fontos paraméterére, de akár a késztermék valamilyen fontos minıségösszetevıjére, minıségjellemzıjére. Ez leggyakrabban a megmunkálás folyamatában jelentkezı valamilyen jellemzı. Így például egy szék minısége szempontjából az egyik kritikus paraméter a váz csapos kötéseinek szilárdsága, tartóssága. A szabályozottságot és képességet erre a kritikus paraméterre vizsgálva a szilárdságot kellene mérni, megfelelı mintanagysággal. Ez nem csupán költséges és idıigényes módszer, hanem roncsolással is jár, így nem alkalmazható. (A szilárdság túl alacsony értéke idıben sokkal késıbb jelentkezik, mint ahol eldıl.) Viszont ismert, hogy a kötésszilárdságban meghatározó a mechanikai megmunkálás pontossága. Ezért azt szükséges szabályozottá és képessé tenni. Egy másik példa lehet a szálfelhúzás jelentkezése a késztermék lakkozott felületein. Itt a felület-elıkészítı csiszolás a meghatározó. Ennek kell szabályozottnak és képesnek lennie. A figyelt jellemzı a szálfelhúzódás; azt kell tudni, van-e érzékelhetı mértékő, vagy nincs. Ez nem méréses, hanem minısítéses jellemzı, azaz egy munkadarab megfelelı vagy nem megfelelı, és a nem megfelelık elıfordulásának a gyakoriságát vizsgáljuk. Minısítéses jellemzıre példa a furnérillesztés is: a kész felület vizuális megjelenésébıl megállapítható, hogy szabályozott-e, képes-e a folyamat. A hibaelemzı módszereket (elsısorban az ABC- vagy Pareto-elemzés), és a szabályozottság-/képesség-vizsgálat viszonyait összehasonlítva látható, hogy mindkettı alapvetıen a helyzetelemzést szolgálja. Továbbá azt is megmutatják, hogy a minıségszabályozáshoz a javító, a minıségtartó vagy a fejlesztı stratégiát kell-e választani:


9

Helyzetelemzés ABC- (Pareto-) elemzés

Stabilitás-/képesség-vizsgálat A termékjellemzıket meghatározó paraméterekre (közvetett

Mire irányul?

A termékfajta jellemzıire közvetlenül.

termékjellemzıkre). Ezek a – rendszerint a gyártás folyamán megfigyelhetı – jellemzık valamennyi termékfajtára vonatkozhatnak.

Mit mutat meg?

A terméknek kritikus hibái vannak-e vagy nincsenek.

Javítási tartalék van-e vagy nincs; ha van, mely hibáknál, hibaokoknál. Amennyiben egy-két hiba fordul elı – minıségjavítás kell (ezek Mit mond? (Következtetések, intézkedések)

gyakoriságát letörni); nincs kiugró hiba – minıségtartás a feladat (statisztikai szabályozási módszerek); nincs kiugró hiba, mert sok hiba magas %-ú – (átfogó) fejlesztésre van szükség.

Van-e olyan megmunkálási fázis/folyamat, ami nem stabil vagy nem képes. Nem stabil fázisoknál minıségjavítást, nem képes fázisoknál alku/megalkuvás, átfogó fejlesztést kell végezni. Hogyha a folyamat (fázis) Stabil/és képes – statisztikai szabályozási módszereket kell alkalmazni. Nem stabil pontok esetén – hibaelemzı módszer (pl.:ABC) segíthet a veszélyes zavarok kiszőrésében. Stabil, nem képes pontok esetén – szintén más módszer segítségével megállapítható, hogy van-e javítási tartalék.

A minıségszabályozás kialakult gyakorlatában alkalmazott elemzési eljárások A képességelemzés A jól megtervezett minıségképesség elemzés együtt vizsgálja a szabályozottságot és a képességet. Abból indul ki, hogy a folyamat akkor tekinthetı szabályozottnak, ha a folyamat valamennyi elemének eloszlása is, és az egyes idıszakokban keletkezett részeloszlások is normális eloszlásúak, mégpedig azonos jellemzıkkel ( µ és σ 2 ).


10

Tekintsük a következı vizsgálatot. Folyamatos termelésbıl öt alkalommal 150 – 200 elemő mintákat vesznek. Példaképpen az utolsó részeloszlás dinamikus ábrája:

Az öt részeloszlás (az öt idırendben vett minta) és a minták egyesítésével kapott minta eloszlása hisztogramokkal szemléltetve:

Becsülve a szórást az s =

(

)

2 1 xi − x képlettel, vagy a részeloszlások szórásából ∑ n −1

számíthatunk C P , C M képesség-értéket. Ez azonban lehet (itt biztos), hogy nem stabil folyamatot jellemez. Az így számított érték: statikus minıségképesség (nem igazi képesség). Azonban ebbıl következtethetünk a stabil állapot képességére, ha a részeloszlásokat is vizsgáljuk. Kétféle veszélyes zavar van jelen: -

helyzeti értéket változtató

-

szórást (ingadozást) változtató

Anélkül, hogy ezek okait valóban kizárnánk, megvizsgálhatjuk a kiküszöbölésük hatását (azaz a minıség tartalékait határozhatjuk meg). Elsı lépésben a statikus szórásból – elméletileg – kiküszöböljük a helyzeti értékre ható zavarokat, a középérték-ingadozást okozó tényezıket (középsı ábrasor):


11

Ekkor az ingadozásra ható veszélyes zavarok még jelen vannak! Erre az állapotra is meghatározható a szórás, az úgynevezett dinamikus szórás ( s d ), melynek kiszámításához lényegében a részeloszlásokon belüli ingadozások eltérés-négyzetösszegeit használjuk, melyek megegyeznek a szabadságfokokkal súlyozott szórásnégyzetekkel: SS j = ∑ (xij − x j ) = (n j − 1) ⋅ s 2j nj

2

i =1

A dinamikus szórás: s d =

m

∑n j =1

j

⋅ ∑ (n j − 1) ⋅ s 2j , m

1 −m

j =1

nj – j-edik minta elemszáma, m – részminták (részeloszlások) száma (5), sj – j-edik minta szórása. Az ennek segítségével meghatározható C P mutató a dinamikus minıségképesség.

Most küszöböljük ki ebben a szórásváltoztató veszélyes zavarokat, így a korrigált (stabil) dinamikus szóráshoz ( s dk ) jutunk.

Ezt úgy kapjuk, hogy az elıbbi képletben csak azokat a részeloszlásokat vesszük figyelembe, amelyek azonos szórású sokaságból származnak, vagyis szórásazonosság feltételezhetı. Ennek eldöntésére statisztikai próba (Bartlett-próba) szolgál. Nullhipotézis: H0: σ ξ21 = σ ξ22 = σ ξ23 = ... = σ ξ2m


12

A próbastatisztika (K2) a nullhipotézis fennállása esetén χ 2

eloszlást követ, m-1

paraméterrel.

K2 =

ahol:

m  2,3026  2 ⋅ df lg s d − ∑ df j lg s 2j  , c j =1  

c = 1+

m 1 1 1 − , ∑ 3(m − 1)  j =1 df j df 

df – szabadságfok,

df j = n j − 1 m

df = ∑ df j j =1

A K2 értékét összehasonlítjuk a χ 2 -táblázat kritikus értékével, m-1 szabadsági fok, és a választott valószínőségi szint (pl. 99%) mellett. Ha χ 2 < K 2 , akkor nem áll fenn a szórások homogenitása. Kivesszük a legeltérıbb részeloszlást, és újra megismételjük a próbát. Így jutunk a legalsó ábrasor állapotához. Az így meghatározható s dk alapján a stabilizált

dinamikus minıségképesség számítható, ami a valóságban is stabilizált folyamat képességével azonos. Megmutatja, hogy mennyi tartalékot tudunk mozgósítani, ha elvégezzük a stabilizálást és szabályozást.

Példa (a Quality program felhasználásával): Elektronikai elemek ellenállásértékét vizsgáljuk. A képességelemzés rávilágít egy-két további fontos momentumra. 275 adat áll rendelkezésre, ezek idırendben feltüntetve a dinamikus ábrán láthatók (X. ábra):


13

X. ábra A vizsgált elemek ellenállás-értékei

Y. ábra A részeloszlások kijelölése (szőrés tisztítás után) Minıségtervezés Dr. Kovács Zsolt NYME Terméktervezési és Gyártástechnológiai Intézet

14

Z. ábra A vizsgált részeloszlások


15

Megállapítható: (Felsorolás–számozás sem kell) 1. A 177. elem egyedi hiba, valószínőleg hibás mérés – törlendı. A tisztítás elvégzését a program segítségével grafikusan, vagy táblázat alapján is megtehetjük:

2. Minden adat vizsgálata

– hisztogrammal – grafikusan (Gauss-papíron) – χ2 próbával

normális eloszlás feltételezésével

A Gauss-papíros ábrázolásnál jól látható, hogy az eloszlás görbéje egyenessé vált, vagyis a minta feltételezhetıen normál eloszlású sokaságból származik:


16

Ha csak a teljes folyamat összesített eloszlását vizsgáljuk, lehet, hogy elfogadhatónak találjuk a normális eloszlás feltételezését.

Erre utal a gyakorisági táblázat alapján készült illeszkedésvizsgálat eredménye is (j-k. ábrák??kell?). 3. Azonban ha a dinamikus ábra egyes részeit nézzük, vannak kisebb és nagyobb ingadozású szakaszok, tehát két alternatív állapot létezik. A kis ingadozású szakaszok jellemzik a rendszer stabil és szabályozott állapotát. A stabil folyamatra jellemzı szakaszok (58 – 68; 99 – 137; 154 – 163) egyesítésével kapjuk az 1.


17

részeloszlást. A nagy ingadozású szakaszok – a teljes minta kiválasztott részeloszláson kívüli elemei – a 15. részeloszlást alkotják (Y.–Z. ábrák). A minták szórásának, illetve átlagának összehasonlításához F- és t-próbát alkalmazunk:

Látható, hogy a szórások alapján a két állapot (részeloszlás) különbözik. Ha azt feltételezzük, hogy a szórások mégis megegyeznek, a t-próba eredményei az eloszlások átlagának azonosságára utalnak (bár a számított és elméleti t-értékek közti különbség igen kicsi). A képesség-elemzés során kiszámíthatók a különbözı minıségképességi mutatók, amelybıl a folyamat képességére, tartalékaira következtethetünk.


18

Minıségtartó szabályozás Amennyiben a stabilitás- és képességelemzés stabilnak, képesnek és szabályozottnak mutatja a folyamatot, akkor a további feladat a minıségtartás (matematikai statisztikai eszközökkel). Ekkor is szükség van szabályozásra, mert •

szabályozott folyamatban is felléphetnek zavarok, illetve

•

gazdaságosan stabil minıséget csak szabályozott folyamattal lehetséges produkálni.

A cél ebben az állapotban a veszélyes zavarok fellépésének azonnali jelzése, azaz a stabilitás és szabályozottság megsértésének a jelzése. Ez olyan eszközt igényel, amivel azonnal felismerhetık a veszélyes hibaokok valamint alkalmas a véletlen és veszélyes zavarok elkülönítésére. Szabályozáskor a vizsgált minıségi jellemzıt szabályozott jellemzınek nevezzük. A minıségtartás során a szabályozott jellemzı eloszlásjellemzıiben ( µ , σ 2) fellépı szignifikáns változások felismerése a feladat. Ehhez – matematikai statisztikai oldalról – statisztikai próba szükséges. A nullhipotézis az, hogy a szabályozott jellemzı (a folyamatból vett mintákon) a már korábban megismert eloszlást követi. H0:

µ0 = µi σ 02 = σ i2 N (µ 0 , σ 0 ) ≡ N (µi , σ i ) 2

2

A hipotézisvizsgálat t- (vagy Student-) próba, illetve, ha a szórás ismert, akkor u-próba segítségével történik. Ez utóbbinál használt próbastatisztika

u0 =

x − µ0 σ/ n

A standard normális eloszlás jellemzı értéke – kétoldali próba esetén – a választott valószínőségi szint függvényében uα / 2 . Ez a táblázatból kikereshetı érték azt mutatja, hogy a Minıségtervezés Dr. Kovács Zsolt NYME Terméktervezési és Gyártástechnológiai Intézet

19

várható értéktıl felfelé és lefelé hány szórásnyi távolságra esnek a megbízhatósági intervallum határai a választott α szignifikancia-szinten. Ha a nullhipotézis igaz, a próbastatisztika értéke ε = 1 − α valószínőséggel a megbízhatósági intervallumba, azaz (− uα / 2 ) és

(uα / 2 ) közé esik:   x − µ0 P − uα / 2 ≤ ≤ uα / 2  = 1 − α σ/ n   Az (− uα / 2 ) és (uα / 2 ) által határolt értékközt elfogadási tartománynak is nevezzük Ha a számított u 0 próbastatisztika abszolút értéke nem nagyobb, mint a táblázati kritikus érték, azaz

u 0 ≤ uα / 2 , akkor a vizsgált minta nagy valószínőséggel a ( µ 0 , σ 02 ) paraméterő,

normális eloszlású sokasághoz tartozik – rövid jelölése: N( µ 0 , σ 02 ) ; egyébként más eloszlást követ. A gyakorlatban a transzformálatlan mintajellemzıkre alkalmazzuk a próbát; azokat a jellemzıket (például x mintaátlagokat) fogadjuk el az ismert alapsokaságba tartozóknak, amelyekre teljesül, hogy

µ − uα / 2 ⋅ σ x ≤ x ≤ µ + uα / 2 ⋅ σ x , ahol σ x = σ / n

– a mintaátlagok szórása,

Elterjedt az uα / 2 = 3 konvenció használata a határok számításához, vagyis ebben az esetben a valószínőségi változó 99,73% valószínőséggel az elfogadási tartományba esı értékeket vesz fel. Beavatkozás a folyamatba akkor szükséges, ha a mintajellemzık kívül esnek a határokon, amik egyúttal az ellenırzıhatárok (beavatkozási határok). Az elutasítási tartományba kerülı értékek azt jelzik, hogy a folyamat nem szabályozott (nem stabil).

A gyakorlat a jelentıs változások felismerésére – nagyobb minták vétele és elemzése nélküli – egyszerő módszert igényel. Ezek közül az ellenırzı kártyák módszere terjedt el. Ennek során kis elemszámú ( n = 1…9 db) mintákat vesznek a vizsgált folyamatból, meghatározott idıközönként. A minták jellemzıit idırendben ábrázolják grafikonon: - a vízszintes tengelyen a mintavételi esemény sorszáma található növekvı sorrendben (idı is rendelhetı hozzá), -

a függıleges tengelyen a minta jellemzı értékét jelölik.

A grafikon rendszerint tartalmazza a középvonalat (a szabályozott jellemzı várható értékét) valamint az ellenırzési (beavatkozási) határokat.


20

Az ellenırzı kártya segítségével a statisztikai próbákat folyamatosan, számítás helyett grafikusan úton végezzük el. A megbízhatósági intervallum határait most ellenırzési, vagy beavatkozási határoknak nevezzük, ezeket kell megállapítani és feltüntetni a grafikonon: Átlagkártya

µ0 + 3⋅ σ / n

FEH 2s 1s átlag 1s 2s AEH

µ0 µ0 − 3⋅σ / n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Minta száma

ÁBRA, PÉLDA A kártya azonban nem csupán annak kimutatására szolgál, hogy a folyamat statisztikai jellege megváltozott-e, hanem a gyártásközi ellenırzéshez szükséges paraméterek meghatározásához is használják az elızetes adatfelvétel során. A gyakorlatban kialakult, szokásos, de nem kizárólagos vizsgálati feltételek: - megbízhatósági szint: ε = 99,73% , - ellenırzési határok: µ 0 ± 3 ⋅ σ x , és -

a kisminta elemszáma: n = 4 (vagy n = 5 )

Az ellenırzı kártyák alapján hozott statisztikai döntés természetesen a hiba lehetıségét is hordozza magában. A döntési helyzet négy esete:

A termék (alkatrész)

szabályozott

A folyamat

megfelelı minıségő

A döntés: beavatkozás nem szükséges

Helyes döntés

ε = 1−α megbízhatósági szinten

nem megfelelı minıségő Hibás döntés

β /másodfajú hiba/


21

szabályozatlan

Hibás döntés A döntés:

α

Helyes döntés

beavatkozás

tévedési

e = 1− β

szükséges

valószínőség

a döntés erıssége

/elsıfajú hiba/

A beavatkozási döntés függ a megválasztott α (illetve ε = 1 − α megbízhatósági) szinttıl, de

α értéke a másodfajú hiba nagyságát is befolyásolja; α , β és n (a minta elemszáma) kölcsönösen függnek egymástól, és ha az elsıfajú hibát szeretnénk jobban elkerülni, nı a másodfajú hiba valószínősége.

Példa: lapalkatrészek esetében a termék szempontjából lényeges jellemzı (a szabályozás kritikus pontja) az alkatrész pontos méretre munkálása utáni szélesség. Ezt a méréses jellemzıt szeretnénk vizsgálni n = 1 , illetve n = 4 elemszámú minták felhasználásával. A vizsgált minták a N(920;1), illetve N(922;1) eloszlással írhatók le:


22

Hasonlítsuk össze n = 1 és n = 4 elemő mintákra, hogyan alakul α különbözı értékei mellett a másodfajú hiba valószínősége, β . Látható, hogy az egy elemő minta – egyedi értékek figyelése – nagy valószínőségő másodfajú hibával jár, ami rohamosan csökken az elemszám növelésével. Az ábrán β i indexe különbözı ellenırzési határokat ( µ 0 ± i ⋅ σ x ) határoz meg különbözı α értékkel. Így, ha a határokat a ± 3 ⋅ σ x konvenció alapján vesszük fel, vagyis α / 2 = 0,0013 , a vizsgált

alternatív állapotra (∆=2mm):

n = 1 ; β = 84,13% n = 4 ; β = 15,87% A másodfajú hiba valószínősége ( β ) akkor is csökken, ha α növekszik, ezzel együtt a megbízhatósági szint csökken ( ε = 1 − α ), ami szintén nem kívánatos. A gyártási és szabályozási folyamatba való beavatkozás szükségessége a vállalat érzékenységétıl függ, hiszen β közvetlenül a minıséggel kapcsolatos, α és n gazdasági kérdés is. A vezetıknek ezt mérlegelve kell meghozniuk a döntést. Az ellenırzı kártya, mint grafikus módszer segítséget nyújt annak megállapításához, hogy a terméket elıállító folyamat statisztikailag szabályozott, azaz ellenırzött állapotban van-e. A termék/alkatrész minıségi jellemzıinek idırendbeli (grafikus) ábrázolása lehetıvé teszi a gyártóképességet tükrözı határokkal való összehasonlítást. A cél: ellenırzött állapotban tartani a termék minıségi jellemzıit azon keresztül, hogy az elıállító folyamat ellenırzött állapotban marad. A feladat ennek megfelelıen az ellenırzendı jellemzık kiválasztása után: 1. A szabályozás kritikus pontjainak meghatározása (ha szükséges, pl. ABC, Ishikawa stb. módszerrel). Minıségtervezés Dr. Kovács Zsolt NYME Terméktervezési és Gyártástechnológiai Intézet

23

2. Statisztikus felmérése (szabályozottság- és/vagy képességelemzés). 3. Ellenırzı kártya típusának meghatározása, megtervezése (ellenırzıhatárok, szükséges mintanagyság, idıköz megállapítása) 4. Ellenırzı kártya felhasználása a folyamatokat érintı döntésekben. 5. Ellenırzıhatárok újraszámítása (nagyobb idıszakonként).

A szabályozott jellemzık közül megkülönböztethetünk méréses és minısítéses jellemzıket. Jellegük szerint ezek lehetnek folytonosak, illetve diszkrétek. Eloszlástípusuk ennek megfelelıen többféle lehet, így különféle típusúak lesznek az ellenırzı kártyák is. A gyakorlatban alkalmazott kártyatípusok:

Szabályozott jellemzı Fajta 1. 1.1

Példa

jó/nem jó arány n ≠ konstans

Jelleg

folytonos

aránya 1.2

n = konstans

diszkrét

2.

darabok

n = konstans

aránya

diszkrét

száma

3.

hiba

élkiszakadások

elıfordulási

száma, vagy

számossága

a kráterek

termékegységen

száma egy

n = konstans

alkatrészen

Megnevezés

Megjegyzés

közel normális

kártya ( p - kártya)

gyengén szelektív

binomiális hiper-

felülethibás jó/nem jó szám

Eloszlás

selejtarány-

felülethibás darabok

Ellenırzı kártya

geometrikus

selejtszám-

(binomiális),

kártya

közelíthetı

( np - kártya)

gyengén szelektív

normálissal

diszkrét

Poisson,

hibaszám-

közelíthetı

kártya

normálissal

(c- kártya)

gyengén szelektív

hiba 4.

elıfordulása összehasonlító

hibaarány-

egységre

kártya

4.1

n ≠ konstans

folytonos

4.2

n = konstans

diszkrét

közel

( u - kártya)

normális Poisson


24

5.

mért egyedi jellemzık

mechanikai

folytonos

normális

egyedi értékekre ( x - kártya)

jellemzık

( m >1minta)

6.3

mintabeli átlag

folytonos

átlag-kártya

párosítva:

( x - kártya)

- helyzeti

normális

minta mediánja

mintabeli szórás

folytonos

normális

χ2 folytonos

eloszlássá

6.4

mintabeli szórásnégyzet

- ingadozás

(~ x - kártya) szórás-kártya (s- kártya)

alakítható

6.4

szelektív

Általában

medián-kártya 6.2

gyengén

elızıek leszármazott jellemzıi

6.

6.1

ellenırzı kártya

geometriai,

jó szelektív képességő

szórásnégyzetfolytonos

χ

2

2

kártya (s kártya) terjedelem-kártya

minta terjedelme

folytonos

speciális

( R - kártya)

A kártyák megszerkesztésének és használatának elve a méréses jellemzık (5., 6. sor) ellenırzı kártyáinak segítségével jól megismerhetı.


25


26

Statisztikai módszerek

Recommend Documents