Statisztika, Kombinatorika és Valószínűségszámítás Statisztika ONLINE VIDEÓS SEGÉDANYAG:
http://zanza.tv/matematika/valoszinuseg-statisztika/statisztika-i http://zanza.tv/matematika/valoszinuseg-statisztika/statisztika-ii
A statisztikai elemzésekhez összegyűjtött adatokat adatsokaságnak, mintának is szoktuk nevezni. Az adatokat összegyűjthetjük táblázatban, és ábrázolhatjuk diagramon. Adathalmaz: Adatok halmaza, ahol előfordulhat egyforma elem is. Pl.: Egy osztályban a tanulók nevei. (Lehet, hogy van két Kovács János az osztályban.) Adathalmazokat különböző módon reprezentálhatunk. Táblázatban Táblázattal akkor szokás megadni egy halmazt, ha sokszor fordul elő benne egyforma adat. Pl.: Egy ruhabolt leltára a raktáron lévő pólókról. Póló mérete darabszám S 120 M 300 L 300 XL 80 Az adatokat reprezentálhatjuk különböző módszerekkel. Grafikonon
Kördiagrammal
Oszlopdiagrammal
Adatok jellemzői: Gyakoriság: Egy adat gyakorisága az a szám, ahányszor az adat előfordul az adathalmazban. (Ezt gyakran ábrázolják oszlopdiagrammal, amit hisztogramnak neveznek.) Relatív gyakoriság: Egy adat relatív gyakorisága a gyakoriság és az összes elem számának aránya. Ez az arányszám (hányados) kifejezhető tör alakban vagy százalékban is. (Ezt gyakran ábrázolják kördiagrammal.) Kördiagram szerkesztése, leolvasása A kördiagramban a különböző körcikkek területe reprezentálja egy adat gyakoriságát. A körcikkhez tartozó középponti szög és a teljes szög (360°) aránya megegyezik az általa reprezentált gyakorisággal (aránnyal). (A példában egy osztály év végi jegyeinek eloszlása látható egy adott tantárgyból.) Így a példában: A 14%-ot reprezentáló (kék) körcikk középponti szöge: 𝛼1 = 360° ∙ 0,14 = 50,4° A 29%-ot reprezentáló (piros) körcikk középponti szöge: 𝛼2 = 360° ∙ 0,29 = 104,4° A 34%-ot reprezentáló (zöld) körcikk középponti szöge: 𝛼3 = 360° ∙ 0,34 = 122,4° A 23%-ot reprezentáló (lila) körcikk középponti szöge: 𝛼4 = 360° ∙ 0,23 = 82,8°
1
Adathalmazok jellemzői:
(a kép forrássa: www.mozaweb.hu)
Definíció: Az adatsokaságban a leggyakrabban előforduló adatot a minta móduszának nevezzük. Definíció: Ha az adatok összegét elosztjuk az adatok számával, akkor a minta számtani közepét , vagy átlagát kapjuk. Definíció: Páratlan számú adat mediánja a középső adat. Páros számú adat medián ja a két középső adat átlaga. Definíció: Az adatok között előforduló legnagyobb és legkisebb érték különbségét a minta terjedelmének nevezzük.
1. 2. 3. 4. 5.
Adjon meg öt pozitív egész számot, melyek mediánja 4, átlaga 3. Egy háromelemű, pozitív egészekből álló adathalmaz átlaga 3 és mediánja 2. Adjon meg egy ilyen adathalmazt elemeinek felsorolásával! Egy kerékpártúrán résztvevők testmagassága centiméterben megadva a következő: 174, 172, 172, 171, 173, 173, 174, 175, 174. Mennyi ezen adatsor módusza és mediánja? Egy időszak napi középhőmérsékletének értékei Celsius fokokban megadva a következők: 24º, 22º, 22º, 21º, 23º, 23º, 24º, 25º, 24º. Mennyi ezen adatsor módusza és mediánja? Egy dobozban 100 darab azonos méretű golyó van: 10 fehér, 35 kék és 55 piros színű. Ábrázolja kördiagramon a 100 golyó színek szerinti eloszlását! Adja meg fokban a körcikkek középponti szögének nagyságát!
6. Egy dolgozat értékelésének eloszlását mutatja a következő táblázat:
a) Határozza meg az egyes osztályzatok előfordulásának relatív gyakoriságát! b) Ábrázolja az adatok eloszlását kördiagramban. Adja meg a középponti szögeket fokban. c) Határozza meg az osztályzatok móduszát, mediánját és átlagát.
7. Az ábrán látható kördiagram 720 megkérdezett személy internetezési szokásait szemlélteti: I. nem internetezők; II. rendszeresen internetezők; III. ritkán internetezők. Hányan tartoznak a megkérdezettek közül az egyes csoportokba?
8. Az alábbi táblázat egy nagy divatáru üzletben eladott pólók számát mutatja méretek szerinti bontásban:
a) Mennyi az eladott M-es méretű pólók relatív gyakorisága? b) Melyik az egyes pólók méretéből álló adatsokaság módusza. c) Méretenként hány darabot adnának el ugyanekkora forgalom esetén, ha mindegyik méretből ugyanannyi kelne.
9. Testnevelés órán 33 diák állt nagyság szerint sorba. A magasságaikat centiméterben megadó adatsokaság mediánja 168. Lehetséges-e, hogy a tornasorban 20 tanuló legalább 170 cm magas? Válaszát indokolja!
2
10. Az alábbi oszlopdiagramon százasokra kerekítve ábrázolták az adatokat. Hány házasságkötéssel volt kevesebb 1998-ban, mint 1995-ben?
11. Vízilabdacsapatunk játékosainak évekre kerekített életkor szerinti megoszlását mutatja az alábbi táblázat: Az edzésterv szerint a játékosokat három csoportban foglalkoztatják: A 22 év alattiak tartoznak az „utánpótlás” kategóriába, a 25 év felettiek a „rangidősöket” alkotják, míg a többiek a „húzóemberek” csoportját képezik.
a) Ábrázolja a három kategóriába tartozó játékosok számát oszlopdiagramon! b) Számítsa ki a csapat átlagéletkorát. c) Adja meg az életkorok terjedelmét, mediánját, és móduszát. TOVÁBBI ÉRETTSÉGI FELADATOK A TÉMAKÖRBŐL: http://www.studiumgenerale.hu/images/erettsegi/matek_temakor/k_mat_stat_ut.pdf
Kombinatorika Gráfok ONLINE VIDEÓS SEGÉDANYAG:
http://zanza.tv/matematika/gondolkodasi-es-megismeresi-modszerek/grafok
A képek forrása: https://www.mozaweb.hu/Lecke-Matematika-Sokszinu_matematika_11-6_Grafok_pontok_elek_fokszam-100752
Definíció: Gráfnak nevezzük a pontokból és – az ezekből alkotható pontpárok közül néhányat (lehet, hogy mindet, lehet, hogy egyet sem) összekötő – vonalakból álló alakzatot. A pontok a gráf csúcsai, a vonalak a gráf élei. Definíció: Huroknak nevezzük az olyan élt, amelynek két végpontja ugyanaz. Többszörös élt kapunk, ha két pont között egynél több élt húzunk. Definíció: Egy gráfot egyszerű gráfnak nevezünk ha a gráfban nincs se hurok, se többszörös él.
12.Egy iskolai focibajnokságon a 12. évfolyamon 5 osztály csapata játszik. Mindegyik csapat játszik majd mindegyikkel. Eddig 3 mérkőzést játszottak le. A 12.A osztály játszott a 12.B-vel és a 12.C-vel. A 12.C osztály játszott a 12.D-vel. A 12.E még nem játszott senkivel. Szemléltesse gráffal a lejátszott mérkőzéseket.
13.Egy vasúti fülkében öt utas utazik. Közülük egy személy három másikat ismer, három főnek 2-2 útitárs ismerőse a fülkében, egy személy van, aki csak egy útitársát ismeri. (Az ismeretségi kapcsolatok kölcsönösek.) Ábrázolja egy ilyen társaság egy lehetséges ismeretségi gráfját!
3
14.Egy irodai számítógép-hálózat hat gépből áll. Mindegyik gép ezek közül három másikkal van közvetlenül összekötve. Rajzoljon egy olyan gráfot, amely ezt a hálózatot szemlélteti!
15.A diákönkormányzat újonnan választott négytagú vezetősége: Kata, Mari, Réka és Bence. Közülük Kata három, Réka és Bence pedig két-két vezetőségi tagot ismert korábbról. Mari a négyes csoportnak csak egy tagját ismerte. (Az ismeretségek kölcsönösek.) Rajzolja fel a négytagú vezetőség választás előtti ismeretségi gráfját!
16.Öt fiú, András, Balázs, Csanád, Dénes és Elemér kollégistaként kezdi el a 9. osztályt, és ugyanabba az ötágyas szobába kerülnek. András ismerte mind a négy társát, a többiek viszont mindannyian három embert ismertek a négy szobatárs közül. Dénes nem ismerte Elemért. Rajzoljon egy gráfot, amely az öt diák egymás közötti korábbi ismeretségét szemlélteti!
17.Egy iskola asztalitenisz bajnokságán hat tanuló vesz részt. Mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszik. Eddig Andi egy mérkőzést játszott, Barnabás és Csaba kettőt-kettőt, Dani hármat, Enikő és Feri négyet-négyet. a) Rajzolja le az eddig lejátszott mérkőzések egy lehetséges gráfját! b) Lehetséges-e, hogy Andi az eddig lejátszott egyetlen mérkőzését Barnabással játszotta? (Igen válasz esetén rajzoljon egy megfelelő gráfot; nem válasz esetén válaszát részletesen indokolja!) Definíció: Egy gráf egy pontjának fokszáma a pontban találkozó élek száma. (Ha egy pontban nincs él, azt a pontot izolált pontnak nevezzük, fokszáma 0.)
Tétel: Minden gráfban a pontok fokszámának összege az élek számának kétszerese. 18. Rajzoljon le egy 4 pontú egyszerű gráfot, amelyben a pontok fokszáma rendre 3, 2, 2, 1! 19. Adja meg az alábbi hatpontú gráfban a pontok fokszámának összegét!
20. Adja meg az alábbi hétpontú gráfban a csúcsok fokszámának összegét!
Definíció: Egy egyszerű gráfot teljes gráfnak nevezünk, ha bármely két pontja össze van kötve éllel Tétel: Az n -csúcsú teljes gráf éleinek száma: 𝒏 𝒏−𝟏 𝟐
21. Egy iskolai focibajnokságon a 12. évfolyamon 5 osztály csapata játszik. Mindegyik csapat játszik mindegyikkel. Összesen hány meccset játszanak le?
22. Egy konferencián 98 ember vesz részt, ahol mindenki kezet fog mindenkivel. Hány kézfogás történik? 23. Egy négytagú társaság e-mail kapcsolatban van egymással. Bármelyikük egy-egy társának legfeljebb egy levelet ír hetente. 24. 25. 26. 27.
Maximum hány levelet írhatott összesen egymásnak a társaság 4 tagja 1 hét alatt? Hány csúcsa van annak a teljes gráfnak, melynek összesen 105 éle van? Egy társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott. Összesen 45 kézfogás történt. Hány fős a társaság? A labdarúgó-bajnokság őszi és tavaszi fordulójában összesen 306 mérkőzést játszottak a csapatok. Hány csapat mérkőzött? Egy hattagú társaságban mindenki a társaságnak pontosan három tagjával fogott kezet. Hány kézfogásra került sor?
28. Szemléltesse gráffal azt a vasúthálózatot, amelyben szereplő hét településről a következőket tudjuk: Az A várost B, C és D városokkal vasútvonal köti össze, a B városból C és E városokba, valamint a D városból az F és a G településekhez közvetlen vasútvonal megy. Mennyi a fokszámok összege ebben a gráfban?
29. Józsefnek 3 gyermeke volt: Andor, Mátyás és Dávid. Mátyásnak 3 fia született, Dávidnak 1, Andornak egy sem. Szemléltesse gráffal az apa-fiú kapcsolatokat! Hány csúcsa és hány éle van ennek a gráfnak?
4
Permutáció (sorba rendezéz) ONLINE VIDEÓS SEGÉDANYAG:
http://zanza.tv/matematika/gondolkodasi-es-megismeresi-modszerek/kombinatorika-alapjai
Definíció: Adott n pozitív egész szám esetén n faktoriálisnak nevezzük az n -nél nem nagyobb pozitív egész számok szorzatát. 𝑛! = 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ … ∙ (𝑛 − 1) ∙ 𝑛 (A 0 faktoriálist és az 1 faktoriálist 1 -nek értelmezzük.)
Definíció: Egy adott n elemű halmaz elemeinek egy ismétlés nélküli permutációján az n különböző elem egy sorba rendezését értjük. Tétel: Egy adott n elemű halmaz permutációinak száma: 𝑷𝒏 = 𝒏!
30. A 12. a osztályban az irodalom próbaérettségin 6 tanuló szóbelizik. Igaz-e, hogy több mint ezerféle sorrendben hangozhat el a hat felelet? 31. Hány féleképpen lehet sorba rendezni a TEA szó betűit? 32. Egy sakkbajnokság döntőjéne öt versenyző jutott be, Aladár, Bea, Cecil, Dénes és Ferenc. a) Hányféle sorrend alakulhat ki a helyezettek között? b) Hányféle sorrend alakulhatott ki a helyezettek között, ha tudjuk, hogy Ferenc lett az első? c) Hányféle sorrend alakulhat ki a helyezettek között, ha tudjuk, hogy lány lett az első? 33. Négy különböző gyümölcsfából egyet-egyet ültetek sorban egymás mellé: almát, körtét, barackot és szilvát. Tudom, hogy barackfa nem kerülhet a sor szélére. Hányféleképpen helyezhetem el a fákat? Definíció: Ha az elemek között van olyan, amelyik többször is előfordul, az elemek egy sorba rendezését ismétléses permutációnak nevezzük. Tétel: Ha n elem között 𝑛1 ; 𝑛2 ; … 𝑛𝑘 darab megegyező van, akkor ezen elemek permutációinak száma: 𝒏! 𝒏 ,𝒏 ,…,𝒏 𝑷𝒏𝟏 𝟐 𝒌 = 𝒏𝟏 ! ∙ 𝒏𝟐 ! ∙ … ∙ 𝒏𝒌 !
34. Kata kódja az iskolai számítógépteremben egy négyjegyű szám. Elfelejtette a kódot, de arra biztosan emlékszik, hogy a kódja a 2; 2; 4; 4 számjegyekből áll. Mely számokkal próbálkozzon, hogy biztosan beléphessen a hálózatba? 35. Hány különböző számot képezhetünk a 2, 2, 3, 3 és 4 számjegyekből és minden számjegyet csak egyszer használhatunk fel? 36. Ha egy 4-jegyű PIN kódról tudjuk, hogy szerepel benne két 5-ös, és két 6-os, akkor hány különböző lehetőségünk van beütni?
Variáció (kiválasztás és sorbarendezés) Definíció: Ha n különböző elemből a sorrend figyelembe vételével kiválasztunk k darabot, az n különböző elemnek egy k tagú ismétlés nélküli variációját kapjuk. Tétel: n különböző elem k tagú ismétlés nélküli variációinak száma: 𝒏! 𝑽𝒌𝒏 = 𝒏−𝒌 !
37. Egy 12 csapatos labdarúgótornán hányféle sorrend alakulhat ki a dobogón? 38. Hány 3 jegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek egyszeri felhasználásával? 39. Egy 5 házból álló házsort szeretnénk kifesteni. Hányféle kifestés létezik, ha 7-féle festékünk van, és minden háznak különböző színűnek kell lenni?
40. Egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét. Hányféleképpen tehetjük meg, ha minden könyv különböző, és mindenki csak egy könyvet kaphat?
41. Hány 4 jegyű szám készíthető a 0, 1, 2, 3, 4 számjegyek egyszeri felhasználásával? 5
Definíció: Ha n féle elemből a sorrend figyelembe vételével kiválasztunk k darabot (egyféle elemből többet is választhatunk), az n féle elemnek egy k tagú ismétléses variációját kapjuk. Tétel: n féle elem k tagú ismétléses variációinak száma: 𝒌 𝑽𝒌,𝒊 𝒏 =𝒏
42. Hány 3 jegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből, ha mindegyiket többször is felhasználhatom? 43. Egy dolgozatra a tanulók a nevük helyett az A, B és C betűkből alkotott hárombetűs kódokat írták fel AAA-tól CCC-ig. 44. 45. 46. 47.
Minden lehetséges kódot kiosztottak és nem volt két azonos kódú tanuló. Hány tanuló írta meg a dolgozatot? Hány 4 jegyű szám készíthető a 0, 1, 2, 3, 4 számjegyekből, ha mindegyiket többször is felhasználhatom? Hány ötjegyű pozitív szám van a kettes számrendszerben? Egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét. Hányféleképpen tehetjük meg, ha minden könyv különböző, és mindenki több könyvet is kaphat? Egy 5 házból álló házsort szeretnénk kifesteni. Hányféle kifestés létezik, ha 4-féle festékünk van, és a szomszédos házak nem lehetnek egyforma színűek?
Kombináció (kiválasztás) ONLINE VIDEÓS SEGÉDANYAG:
http://zanza.tv/matematika/gondolkodasi-es-megismeresi-modszerek/kombinaciok
Definíció: Ha n különböző elemből a sorrend figyelembe vétele nélkül kiválasztunk k darabot, az n különböző elem k tagú ismétlés nélküli kombinációját kapjuk. Tétel: n különöző elem k tagú ismétlés nélküli kombinációinak száma: 𝒏! 𝒏 𝑪𝒌𝒏 = = 𝒌! ∙ 𝒏 − 𝒌 ! 𝒌
48. Hat ajánlott olvasmányból hányféleképpen lehet pontosan négyet kiválasztani? 49. Az öttusa váltó csapat háromfős. Ha az olimpiára öten készülnek, hányféleképpen választható ki közülük a váltóban szereplő három versenyző?
50. Egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét. Hányféleképpen tehetjük meg, ha a könyvek egyformák, és mindenki csak egy könyvet kaphat?
51. A 12. a osztályban az irodalom próbaérettségin 11 tanuló szóbelizik. A tanulók két csoportban vizsgáznak, az első csoportba hatan, a másodikba öten kerülnek. Peti azt állította, hogy az első csoportba kerülő 6 tanulót többszáz-féleképpen lehet kiválasztani. Pontosan hányféleképpen? 52. Adott a síkban 20 pont, melyek közül bármely három nem illeszkedik egy egyenesre. Hány olyan háromszög létezik, melyek csúcsai a 20 adott pont közül valók?
Vegyes kombinatorikai feladatok Permutáció sorbarendezés 𝑃𝑛 = 𝑛!
ismétlés nélküli ismétléses
𝑛 ,𝑛 2 ,…,𝑛 𝑘
𝑃𝑛 1
=
𝑛! 𝑛1 ! ∙ 𝑛2 ! ∙ … ∙ 𝑛𝑘 !
Variáció kiválasztás és sorbarendezés 𝑛! 𝑉𝑛𝑘 = 𝑛−𝑘 ! 𝑉𝑛𝑘,𝑖 = 𝑛𝑘
Kombináció kiválasztás 𝑛 𝐶𝑛𝑘 = 𝑘 𝑛 + 𝑘−1 𝐶𝑛𝑘,𝑖 = 𝑘
53. Egy élelmiszerbolt vezetője az árufeltöltőt azzal bízta meg, hogy a bejárat melletti alsó polcon lévő 6 rekeszt töltse fel a következő árucikkekkel: rizs, cukor, liszt, só, búzadara és zsemlemorzsa. A vezető figyelmeztette az árufeltöltőt, hogy minden rekeszbe egyféle árut tegyen, továbbá, hogy a búzadara és a zsemlemorzsa ne kerüljön egymás melletti rekeszbe, mert az új csomagolásuk nagyon hasonló, ezért könnyen összekeverhetők. Egyébként a hatféle árut bármilyen sorrendben kirakhatja. Hányféle sorrendben rendezhette el az árufeltöltő ezt a hatféle árut?
6
54. Zsuzsi 7-jegyű mobiltelefonszáma különböző számjegyekből áll, és az első számjegy nem nulla. Amikor Ildikó felhívta Zsuzsit, feltűnt neki, hogy a mobiltelefonján a három oszlop közül csak kettőnek a nyomógombjaira volt szükség. Ezekre is úgy, hogy először az egyik oszlopban levő nyomógombokat kellett valamilyen sorrendben megnyomnia, ezután pedig egy másik oszlop nyomógombjai következtek valamilyen sorrendben. Hány ilyen telefonszám lehetséges?
55. A cirkusz egyik produkciójában 10 artista négyszintes ember-piramist alkot a porond bejáratának háttal állva. A földön négyen állnak egymás mellett, rajtuk hárman, aztán ketten, legfelül pedig egy ember áll. Minden artistánál adott, hogy melyik szinten áll, de az egyes szinteken az artisták sorrendje tetszőleges. Hányféleképpen állhat fel az ember-piramis? TOVÁBBI ÉRETTSÉGI FELADATOK A TÉMAKÖRBŐL: http://www.studiumgenerale.hu/images/erettsegi/matek_temakor/k_mat_kombi_ut.pdf
Valószínűség-számítás ONLINE VIDEÓS SEGÉDANYAG:
http://zanza.tv/matematika/valoszinuseg-statisztika/valoszinuseg-szamitas http://zanza.tv/matematika/valoszinuseg-statisztika/valoszinuseg-szamitas-gyakorlatban
Véletlen jelenségek, azok a jelenségek, melyeket az ismert feltételek nem határoznak meg egyértelműen. Kísérletet végzünk, ha egy véletlen jelenséget megfigyelünk. A kísérletet akárhányszor ugyanolyan körülmények között végrehajthatjuk. Példa: A pénzérme feldobásakor lehet, hogy fejet, lehet, hogy írást kapunk. Elemi eseménynek nevezzük a véletlen jelenségre vonatkozó kísérlet kimenetelét. A kísérlet minden kimeneteléhez tartozik egyegy elemi esemény. (Általában nagy betűvel jelölünk egy eseményt.) Példa: A pénzérme feldobásakor az elemi események: fejet dobunk (F) / írást dobunk (Í) Eseménytérnek nevezzük az elemi események halmazát. Jele: H Példa: A pénzérme feldobásakor az eseménytér: H = {F; Í} Eseményeknek nevezzük az eseménytér részhalmazait. Az eseményeket általában nagybetűvel jelöljük. Példa: Egy pénzérmét kétszer dobunk fel. Ilyenkor négy elemi eseményből áll az eseménytér. H = {A; B; C; D} A – mindkettő dobás fej B – mindkettő dobás írás C – az első dobás írás a második dobás fej D – az első dobás fej a második dobás írás Legyen a vizsgált esemény, hogy legalább egyszer dobunk fejet. Ezt jelöljük F-fel. Ekkor ez az esemény az A, a C és a D eseményből áll. F = {A; C; D} Biztos esemény a H halmazhoz tartozó esemény, amely mindenképpen bekövetkezik. Példa: Ha feldobom a pénzérmét, akkor vagy fej lesz vagy írás. Lehetetlen esemény az üres halmazhoz tartozó esemény, amely semmiképpen sem következik be. Példa: Ha feldobom a pénzérmét, akkor az élére esik. Az A esemény komplementere (ellentett esemény) az esemény, amelyik pontosan akkor következik be, amikor A nem következik be. Jele: 𝐴 Példa: Egy pénzérmét háromszor dobunk fel: A – Legalább egyszer fejet dobunk. 𝐴 – Egyszer sem dobunk fejet. Egy esemény valószínűsége egy 0 és 1 közötti szám, amit kifejezhetünk törtben, vagy százalékban. Jele: P(A) A biztos esemény valószínűsége: 1 (vagy 100%) A lehetetlen esemény valószínűsége: 0 (vagy 0%)
7
Klasszikus valószínűségi modell: A jelöli az eseményt, P(A) az esemény valószínűségét, k – kedvező elemi események száma, n – összes elemi esemény száma 𝒌 𝑷 𝑨 = 𝒏
56. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobókockával egy dobásra hárommal osztható számot dobunk? 57. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobókockával kétszer egymás után 6-ost dobunk? 58. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a lottósorsoláskor elsőnek kihúzott szám tízzel osztható lesz? (Az ötös lottónál 90 szám közül húznak.)
59. Szabályos pénzérmével háromszor dobunk egymás után. Adja meg a FEJ-ÍRÁS-FEJ dobássorozat valószínűségét! 60. Egy településen a polgármester választáson 12 608 választásra jogosult közül 6347-en adtak le érvényes szavazatot. A két
61. 62.
63.
64.
jelölt egyike 4715 szavazatot, a másik 1632 szavazatot kapott. A választásra jogosultak közül véletlenszerűen kiválasztunk egy választópolgárt. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott személy érvényesen szavazott, mégpedig a vesztes jelöltre? Mennyi a valószínűsége annak, hogy két dobókockával a dobások összege 9? Egy dobókockát egyszer feldobunk. Határozzuk meg a következő események valószínűségét: A: páros prímszámot dobtunk; B: páratlan prímszámot dobtunk; C: a dobott szám prím; D: a dobott szám legfeljebb 6. A 32 lapos magyar kártyából véletlenszerűen húzunk egy lapot. Mennyi a következő események valószínűsége: A: a kihúzott lap piros; B: a kihúzott lap hetes; C: a kihúzott lap király vagy ász; D: a kihúzott lap makk, vagy zöld, vagy tök? Egy szóbeli érettségi vizsgán 11 diákot két csoportba osztottak. Az első csoportban 6 fő, míg a másodikban 5 fő vizsgázik. A 20 irodalom tételből nyolc a XX. századi magyar irodalomról szól. A kihúzott tételeket a nap folyamán nem teszik vissza. a) Mekkora a valószínűsége, hogy az elsőként tételt húzó diák nem a XX. századi magyar irodalomról szóló tételt húz? b) Kiderült, hogy az első csoportban senki sem húzott XX. századi magyar irodalom tételt, viszont a második csoportban elsőként húzó diák ilyen tételt húzott. Mekkora a valószínűsége, hogy az utóbbi a csoportban másodikként húzó diák is XX. századi magyar irodalom témájú tételt húz?
Egy eseménynek és a komplementer eseményének valószínűségének összege egyenlő 1. 𝑷 𝑨 +𝑷 𝑨 =𝟏
65. Mekkora valószínűsége, annak, hogy négyszer feldobunk egy pénzérmét, és legfeljebb háromszor dobunk írást? 66. Mennyi a valószínűsége annak, hogy két dobókockával a dobások összege legfeljebb 9?
Összetett vegyes feladatok Az alábbi érettségi feladatokba egyaránt fordul elő kombinatorika, valószínűség-számítás és statisztika.
67. Egy nyolcszög oldalait piros színnel rajzoljuk át, és mind a 20 átlóját kék színnel húzzuk be. Számítsa ki annak valószínűségét, hogy az így kiszínezett 28 szakaszból hármat véletlenszerűen kiválasztva 1 piros és 2 kék lesz a kiválasztott szakaszok között.
68. Egy játék egy fordulójában minden játékosnak egymás után háromszor kell dobnia egy szabályos dobókockával. Egy játékos egy fordulóban (a három dobásával) akkor nyer, ha: 1. mindhárom dobásának eredménye páros szám, ekkor a nyereménye 300 zseton; 2. az elsőre dobott szám az 1-es, és a következő két dobás közül pontosan az egyik páros, ekkor a nyereménye 500 zseton; 3. az első dobása 3-as, a többi pedig páratlan, ekkor a nyereménye 800 zseton; 4. mindhárom dobott szám az 5-ös, ekkor a nyereménye 2000 zseton. a) Mekkora valószínűséggel nyer egy játékos egy fordulóban 300 zsetont, 500 zsetont, 800 zsetont vagy 2000 zsetont nyer? b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy játékos egy fordulóban nem nyer zsetont?
8
69. Nekeresd város kórháza az alábbi adatokat hozta nyilvánosságra: a Nekeresden lakó 12 320 emberből az előző évben 1978 embert ápoltak hosszabb-rövidebb ideig a város kórházában. a) Mekkora az esélye, hogy egy véletlenül kiválasztott nekeresdi lakost az előző évben a város kórházában ápoltak? Két tizedesjegyre kerekítve adja meg a valószínűséget! Abban az évben a kórházban ápoltak közül 138 fő volt 18 év alatti, 633 fő 18 és 60 év közötti, a többi idősebb. A város lakosságának 24%-a 60 év feletti, 18%-a 18 év alatti. (A számítások során feltehetjük, hogy Nekeresden az ismertetett adatokban lényeges változás egy év alatt nem történt.) b) Készítsen kördiagramot a kórházban ápoltak korosztály szerinti megoszlásáról! A diagram elkészítéséhez szükséges számításokat írja le! c) Mennyivel kisebb vagy nagyobb az a)-ban kérdezett esély, ha a 60 év felettiek közül választunk ki valakit véletlenszerűen?
70. Két ország sakkválogatottja, az A és a B csapat közös edzőtáborban készül egy világversenyre. Az első héten az azonos nemzetbeli sportolók játszanak körmérkőzéses bajnokságot, tehát minden egyes sportoló minden nemzetbelijével egy mérkőzést. Az A csapat 7 játékossal érkezett, a B csapatnál összesen 55 mérkőzés zajlott. a) Hány mérkőzés zajlott az A csapatnál, és hány tagja van a B csapatnak? A második héten az A csapat 6 kiválasztott tagjának mindegyike 8 B csapatbeli játékossal játszik egy-egy játszmát. b) Összesen hány játszma zajlott a második héten? Az edzőtáborozás végén a csapatok összes játékosa között négy egyforma ajándéktárgyat sorsolnak ki. Egy játékos legfeljebb egy ajándéktárgyat kaphat. c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az ajándékok közül egyet A csapatbeli játékos, hármat B csapatbeli játékosok kapjanak?
71. Egy kutatólaboratóriumban technikusi végzettséggel vagy egyetemi diplomával lehet dolgozni. A laborban dolgozó 50 ember közül 42 főnek van technikusi oklevele és 28 főnek van egyetemi diplomája. a) Közülük hány dolgozónak van csak technikusi végzettsége? A labor 50 dolgozójának átlagkeresete 165 000 forint. Közülük a 30 év alattiak átlagkeresete 148 000 forint, a többieké 173 000 forint. b) Hány 30 év alatti dolgozója van a labornak? A hétvégén megrendezésre kerülő konferenciára 25 kutató szeretne elmenni, közülük 17 nő és 8 férfi. A kutatóintézet a 25 jelentkező 20%-ának tudja csak a részvételi díját kifizetni. c) Ha a vezetőség véletlenszerűen választaná ki, hogy kinek a költségeit fizeti, mekkora lenne a valószínűsége annak, hogy csak nőket választanak ki? Válaszát két tizedes jegyre kerekítve adja meg!
72. A Matematika Határok Nélkül versenyre a középiskolák 9. osztályai jelentkezhetnek. A versenyen résztvevő minden osztály ugyanabban az időben, ugyanazt a feladatsort oldja meg. Az alábbi táblázat 28 osztálynak a versenyen elért eredményét tartalmazza.
a) Számítsa ki, hogy eltér-e egymástól legalább 1 ponttal a pontszámok átlaga és mediánja! „Kiváló” minősítést érdemelnek, akik 70 vagy annál több pontot értek el a versenyen, „Nagyon jó”-t, akik 60 vagy annál több, de 70-nél kevesebb pontot, és „Jó” minősítést kapnak, akik 50 vagy annál több, de 60-nál kevesebb pontot szereztek. b) A megadott táblázat adatainak felhasználásával ábrázolja a három minősítés gyakoriságát oszlopdiagramon! A versenyszervezők a táblázatban felsorolt 28 osztály dolgozatai közül a hat legjobban sikerült dolgozat javítását ellenőrzik. Ezt a hat dolgozatot véletlenszerű sorrendben egymásra helyezik. c) Mekkora a valószínűsége annak, hogy legfelül 83 pontos, közvetlenül alatta pedig 76 pontos dolgozat fekszik?
73. Egy érettségi előtt álló 32 fős osztály a ballagásra készül. A ballagási meghívó színéről szavazáson döntöttek, melyen minden tanuló részt vett. A szavazólapon három szín (sárga, fehér, bordó) szerepelt, ezek közül mindenki egyet vagy kettőt jelölhetett meg. A két színt választók közül a sárgát és a fehéret 4-en, a fehéret és a bordót 3-an választották. A sárgát és a bordót együtt senki nem jelölte meg. A szavazatok összeszámolása után kiderült, hogy mindegyik szín ugyanannyi szavazatot kapott. a) Mennyi annak valószínűsége, hogy az osztályból egy diákot véletlenszerűen kiválasztva, az illető csak egy színt jelölt meg a szavazólapon?
9
b) Hány olyan diák volt, aki csak a fehér színt jelölte meg a szavazólapon? Az egyik tizenegyedikes diáknak 7 barátja van a ballagók között: 5 fiú és 2 lány. Ez a diák három barátjától egy-egy szál rózsával kíván elbúcsúzni. Úgy szeretné kiosztani a három szál rózsát barátai között, hogy fiú és lány is kapjon, és minden kiválasztott egyet-egyet. c) Hányféleképpen választhatja ki – a fenti feltételek teljesítésével – hét barátja közül azt a hármat, akinek ad virágot?
74. Három végzős diáknak olyan mobiltelefonja van, amelyen be lehet állítani, hogy hány számjegyű legyen a telefon bekapcsolásához szükséges számkód. Anna olyan kódot szeretne, amely ötjegyű, csak a 2-es és a 9-es számjegy szerepel benne, mindkettő legalább egyszer. a) Hányféle kód közül választhat Anna? Béla kódja egy olyan hattal osztható, csupa különböző számjegyből álló háromjegyű szám, melynek minden számjegye prímszám, és amelynek számjegyei (balról jobbra haladva) csökkenő sorrendben követik egymást. b) Adja meg Béla kódját! Gabi elfelejtette a saját kódját. Arra emlékszik, hogy hatjegyű volt, két 3-as, két 4-es, egy 5-ös és egy 6-os számjegy szerepelt benne. Gabi az ilyen kódok közül véletlenszerű en kiválaszt egyet. c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy éppen a helyes kódot választja ki! TOVÁBBI ÉRETTSÉGI FELADATOK A TÉMAKÖRBŐL: http://www.studiumgenerale.hu/images/erettsegi/matek_temakor/k_mat_valszam_ut.pdf
10
Megoldókulcs Statisztika 1. 1, 2, 4, 4, 4 vagy 1, 1, 4, 4, 5 2. 1, 2, 6 vagy 2, 2, 5 3. módusz: 174 medián: 173, 4. módusz: 24° medián: 23° 5.
6. a) 1-es: 0, medián: 4-es, átlag: 3,6
7. 8. 9. 10. 11.
2-es 0,1 3-as: 0,35
4-es: 0,4 5-ös: 0,15
c) módusz: 4-es,
b)
I. nem internetezők: 180 fő; II. rendszeresen internetezők: 250 fő; III. ritkán internetezők: 300 fő a) kb. 0,21 b) módusz: L-es c) 186-ot adnának el méretenként. Nem, mert legfeljebb 16 tanuló lehet magasabb 168 cm-nél. 8600-zal. a) b) Az átlagéletkor 24 év. c) A terjedelm: 9, a medián 24,5 és a módusz 25
Gráfok: 12.
13.
18.
19. A fokszámok összege 14.
14.
21. 10 meccset játszanak le. 22. 4753 kézfogás. 26. 18 csapat mérkőzött. 28. 9 kézfogás történt
15.
16.
17. a)
b)
Nem, lehet, mert Andi biztos, hogy Danival játszott, mert csak kettejük fokszáma páratlan.
20. A fokszámok összege 14.
23. Max. 12 levelet írhatott. 24. 15 csúcsa van. 25. 10 fős a társaság 29. A fokszámok összege: 14 30. 8 csúcsa és 7 éle van.
Permutáció: 30. Nem, összesen 720 sorrend van. 31. 6 féle lehetőség van. 32. a) 120 féle sorrend lehetséges b) 24 féle sorrend, ha Ferenc az első 33. 12 lehetséges elrendezése van a gyümölcsfáknak. 34. Hat lehetősége van: 2244, 2424, 2442, 4224, 4242 vagy 4422. 35. 30 különböző számot képezhetünk. 36. Hat lehetőség van.
11
c) 48 féle sorrend, ha lány az első
Variáció: 37. 1320 különböző sorrend alakulhat ki a dobogón. 38. Összesen 60 háromjegyű szám képezhető. 39. 2520 féle kifestés létezik. 40. 5040 féleképpen tehetjük meg a könyvek kiosztását. 41. 96 különböző 4 jegyű számot képezhetünk. 42. 125 3 jegyű szám készíthető. 43. 27 tanuló írta meg a dolgozatot. 44. 2500 különböző 4 jegyű szám készíthető. 45. 16 ötjegyű szám van a kettes számrendszerben. 46. 10 000 féle lehetőség van a könyvek szétosztására. 47. 324 lehetőség van a kifestésre.
Kombináció 48. 15 féleképpen lehet kiválasztani 49. 10 féleképpen választható ki 50. 210 féleképpen osztható ki 51. 462 féleképpen választható ki a hat tanuló 52. 1140 háromszög lehet 53. 480 féle sorrend lehetséges 54. 504 telefonszám lehetséges 55. 288 féleképpen állhat a piramis
Valószínűség-számítás 56. A valószínűsége 0,5 vagyis 50%. 1 57. A valószínűsége vagyis körülbelül 2,8%. 36 58. A valószínűsége 0,1 vagyis 10%. 59. A valószínűsége 0,125 vagyis 12,5%. 60. A valószínűsége körülbelül 0,1294 vagyis kb. 13%. 1 61. A valószínűsége vagyis kb. 11%. 62.
𝑃 𝐴 =
63.
𝑃 𝐴 =
1 6 1 4
9
𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 =
1 3 1 8
𝑃 𝐶 = 𝑃 𝐶 =
1 2 1 4
𝑃 𝐷 =1 𝑃 𝐷 = 7
3 4
64. a) A valószínűsége 0,6, vagyis 60%. b) A valószínűsége , vagyis kb. 54%. 13 65. A valószínűsége 0,9375 vagyis körülbelül 94%. 30 66. A valószínűsége vagyis körülbelül 83%. 36
Vegyes feladatok 67. A valószínűsége körülbelül 0,464, vagyis kb. 46,4% 1 68. a) 300 zseton valószínűsége ; 500 zseton valószínűsége b) Nem nyer zsetont: 69. a) Az esély
1978 12320
161 216
≈ 0,16.
8
b)
1 ; 12
800 zseton valószínűsége
74. a) 30 különböző kód van
25 , 32
körülbelül 0,78 b) A kód 732
2000 zseton valószínűsége
1 216
c) Kb. 0,25-tel nagyobb az esély.
70. a) 21 mérkőzés volt az A csapatnál, és 11 tagja van a B csapatnak. 71. a) 22 technikusi dolgozó van. b) 16 fő a 30 alatti dolgozó. 72. a) Igen, a különbség kb. 1,86 b)
73. a) A kérdéses valószínűség
1 ; 24
b) 48 játék volt a második héten c) Kb. 38% az esély. c) A valószínűsége 5 nő kiválasztásának kb. 0,12 c) A valószínűsége kb. 0,27, vagyis 27%.
b) 6 diák jelölte meg csak a fehéret c) A valószínűsége
12
1 180
c) 25 féleképpen választhatja ki
vagyis kb 0,006.
