STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY. alapfogalmak egy ismérv szerinti elemzés két ismérv szerinti elemzés standardizálás indexszámítás

STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY

alapfogalmak egy ismérv szerinti elemzés két ismérv szerinti elemzés standardizálás indexszámítás

1. ALAPFOGALMAK 1.1.Ismérvek típusai TERÜLETI, IDŐBELI, MINŐSÉGI, MENNYISÉGI.

MINŐSÉGI

Nominális (névleges) A sokaság elemeit valamilyen tulajdonságok szerinti csoportokba soroljuk, de a csoportok közt nincs semmiféle rangsor példák: az áldozatok halálának oka a terroristák nemzetisége

Ordinális (sorrendi) A csoportok között már felállítható sorrendiség példák: a hotelek besorolása (** *** **** *****) a vizsgázók jegyei (1, 2, 3, 4, 5 )

MENNYISÉGI Intervallum A sokaság elemeit itt már valamilyen mértékegység szerint osztályozzuk, de csak a „mennyivel több?” kérdésre tudunk válaszolni, a „hányszoros?”-ra nem példák: hőmérséklet (tegnap -5 fok volt, ma 0 fok, hányszor melegebb van?)

Arány Itt is mértékegység szerinti az osztályozás, de a „hányszoros?” kérdésre is tudunk válaszolni (mindig 0-tól kezdünk mérni) példák: életkor testmagasság

1.2.Viszonyszámok

V 

A B

SÚLYOZOTT SZÁMTANI ÁTLAG: A súlyok B1 B2 stb.

V 

V1  B1  V2  B2 B1  B2

V 

több tagra

A1  A2 A1 A2  V1 V2

több tagra

© www.mateking.hu [email protected]

i

i

MÉRTANI ÁTLAG:

i

V  V1 V2

SÚLYOZOTT HARMONIKUS ÁTLAG: A súlyok A1 A2 stb.

V 

V  B B

V 

több tagra

V n

n

V

i

1

A A V

i i

i


2

2. EGY ISMÉRV SZERINTI ELEMZÉS 2.1. Adatok 20 23 24 24 24 25 27 30 31 32

Szórás a teljes populációra

alsó kvartilis=23,5



medián=24,5

2

i



26  202  26  232  26  242  26  242  ... 10

N

A teljes populációból vett n elemű minta szórása

felső kvartilis=31,5

s

módusz=24 átlag:



X  X 



X  X 

2

i

S

26  202  26  232  26  242  26  242  ... 9

n 1

X  26

2.2. Adatsorok GYAKORISÁG

OSZTÁLYKÖZÖK

10-19 20-29 30-39 40-49

ÉRTÉKÖSSZEG

RELATÍV ÉRT.ÖSSZ.

Si

Zi

200

200/2000

200/2000

5∙200

5∙200/S

600

400/2000

600/2000

15∙400

15∙400/S

Me

1100

500/2000

1100/2000

25∙500

25∙500/S

Mo

1700

600/2000

1700/2000

35∙600

35∙600/S

2000

300/2000

2000/2000

45∙300

45∙300/S

x1  5 x2  15 x3  25

200 400 500

x4  35 x5  45

600 300 i

KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁG

g i

f i

f

RELATÍV GYAKORISÁG

gi

fi

Osztályközép: xi

0-9

KUMULÁLT GYAKORISÁG

S

 N  2000

Becsült átlag

X 

X i fi   X i gi N

X 

i

S

5  200  15  400  ...  27 2000

Becsült medián

N  1  f me 2 Me  me  hme f me Becsült módusz

Mo  mo 

k1 hmo k1  k 2

me  a mediánt tartalmazó osztályköz alsó határa, hme  a mediánt tartalmazó osztályköz hossza

2000  600 2 Me  20  20 500

mo  a móduszt tartalmazó osztályköz alsó határa k1  f mo  f mo1 k 2  f mo  f mo1

Mo  30 

Becsült szórás a teljes populációra





X  x 

2

i

N

fi



 X  x  g


2

i

i

100 20 100  300

Relatív szórás

V

 X



27  52  200  27  152  400  ...


2000

3

2.3. A Lorenz-görbe Azt fejezi ki, hogy a gyakoriság egy adott százalékához az összérték hány százaléka tartozik. Az x tengelyen tehát a kumulált relatív gyakoriságot, míg az y tengelyen a kumulált relatív értékösszeget mérjük.

Zi



g i

V 2 1 HI   Z  N 2 i

2.4. Alakmutatók

Pearson-féle mérőszámok

P3

Y  Me



A

X  Mo



F-mutatók

F0,1 

D9  Me  Me  D1  D9  Me  Me  D1 


F0, 25 

Q3  Me  Me  Q1  Q3  Me  Me  Q1 


4

3. KÉT ISMÉRV SZERINTI ELEMZÉS

3.1. Mindkét ismérv minőségi: ASSZOCIÁCIÓS KAPCSOLAT

C1

C2

…

Cj

… Total

f11

f12

…

f1 j

…

f1

R2 f 21 f 22 … … … f i1 Ri fi 2 … … … Total f 1 f 2

…

f2 j … … … f ij … … f j

…

f 2

… …

f i

R1

f ij 

N

f i  f  j N

  2

…

f

ij

 f ij



2

f ij

Cramer-féle asszociációs együttható

C

N  min  (r  1); (c  1)

Csuprov-féle asszociációs együttható



C1

C2

…

Cj

… Total

f11

f12

…

f1 j

…

f1

R2 f 21 … … f i1 Ri … … Total f 1

f 22 … fi 2 … f 2

…

f2 j … … … f ij … … f j

…

f 2

… …

f i

2

2 N  r 1  c 1

R1

… N

Yule-féle asszociációs együttható

f  f  f12  f 21 Y  11 22 f11  f 22  f12  f 21


R1 R2 Total

C1 f11 f 21 f 1

C2 Total f12 f1 f 22 f 2 f 2 N


5

3.2. Az egyik ismérv minőségi, a másik mennyiségi: VEGYES KAPCSOLAT

MENNYISÉGI

Részátlag Nj

X ij

i 1

Nj

Yj  

Nj

f ij X i

i 1

Nj



Rész-szórás

j 

j 1 2   X ij  X j   N j i 1

N

j 1 2   f ij X i  X j  N j i 1

N

R1 R2 … Ri

X1 X2 … Xi

ÖSSZ.

MINŐSÉGI

C1 f11 f 21 … f i1

C2 f12 f 22 … fi 2

… … … … …

N1

N2

Nj

ÖSSZ.

N

OSZTÁLYKÖZEPEK

MENNYISÉGI

Főátlag N

N

1 M j 1 j M Y   X ij   f ij X i N j 1 i 1 N i 1 j 1

B 

1 2   X ij  X j   N j 1 i 1 Nj

SSB   X ij  X j  Nj

2

f11 f12 f 21 f 22 … … f i1 fi 2

… … … …

C1 f11 f 21 … f i1

ÖSSZ.

N1

ÖSSZ.

N1

MENNYISÉGI

MINŐSÉGI

X1 X2 … Xi

R1 R2 … Ri ÖSSZ.

X1 X2 … Xi

N2

ÖSSZ.

C2

…

f11 f12 f 21 f 22 … … f i1 fi 2

… … … …

C1 f11 f 21 … f i1

N1

ÖSSZ.

N1

C1

M

Belső eltérés-négyzetösszeg SSB (sum of squares belső) M

…

R1 R2 … Ri

1 N j   2j  N j 1

ÖSSZ.

C2

C1

Belső szórás azt adja meg, hogy az egyes elemek átlagosan mennyivel térnek el a saját részátlaguktól: M

MINŐSÉGI

N2

j 1 i 1



6

Külső szórás azt adja meg, hogy a részátlagok átlagosan mennyivel térnek el a főátlagtól:

K 

MENNYISÉGI

1 2 N j  X j  X   N j 1

Külső eltérés-négyzetösszeg SSK (sum of squares külső)

SSK   N j  X j  X 

2

Teljes szórás azt adja meg, hogy az egyes elemek átlagosan mennyivel térnek el a főátlagtól:



1 2   X ij  X  N j 1 i 1 Nj

Teljes eltérés-négyzetösszeg SST (sum of squares teljes)

SST   X ij  X  Nj

M

f11 f12 f 21 f 22 … … f i1 fi 2

… … … …

ÖSSZ.

N1

ÖSSZ.

N1

MENNYISÉGI

MINŐSÉGI

R1 R2 … Ri

X1 X2 … Xi

R1 R2 … Ri

X1 X2 … Xi

N2

ÖSSZ.

C1

ÖSSZ.

2

C2

C1 f11 f 21 … f i1

j 1

M

ÖSSZ.

C1

M

M

MINŐSÉGI

C2

f11 f12 f 21 f 22 … … f i1 fi 2

… … … …

C1 f11 f 21 … f i1

N1

ÖSSZ.

N1

N2

j 1 i 1

 2   B2   K2

SST  SSB  SSK

A relatív hibacsökkenés, vagyis a PRE kiszámolására a következő képlet van forgalomban:

PRE 

 B2  K2 SST  SSB SSK  2   B2    1    H2 SST SST 2 2 2

Ha PRE=0 akkor a két ismérv független Ha PRE=1 akkor a két ismérv közt függvényszerű kapcsolat van. Ha pedig PRE értéke valahol nulla és egy között van, akkor a kapcsolat nem független és nem is függvényszerű, tehát sztochasztikus. Amikor a két ismérv független

PRE  0

SSK  0

 K2  0

 2   B2

Amikor a két ismérv kapcsolata függvényszerű

PRE  1

SSB  0


 B2  0

 K2   2 STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY

7

3.3. Mindkét ismérv mennyiségi: KORRELÁCIÓS KAPCSOLAT

 d X   X  X   d Y   Y  Y   dX  dY   X  X Y  Y  2

2

2

2

Lineáris korrelációs együttható

r

 dX  dY d X d Y 2

2

Kovariancia

C ( X , Y ) 

 dX  dY N

A regressziós egyenes egyenlete:

Yˆ  ˆ0  ˆ1  X

ahol

ˆ1  

dX  dY

d2X

és ˆ0  Y  ˆ1  X

X-nek az Y-ra vonatkozó determinációs hányadosa



2 XY

 K2 ( X )  2  (X )

Y-nak az X-re vonatkozó determinációs hányadosa

Y2 X 

 K2 (Y )  2 (Y )



8

4. STANDARDIZÁLÁS 4.1.A különbségfelbontás EGYIK IZÉ

ÖSSZ:

MÁSIK IZÉ

A0

B0

V0 

A0 B0

 A0

 B0

V0 

A B

0 0

A1

B1

V1 

A1 B1

 A1

 B1

V1 

A B

k  V1  V0 1

K  V1  V0

1

FŐÁTLAGOK KÜLÖNBSÉGE K  V1  V0 RÉSZHATÁS KÜLÖNBSÉG (részhatás=V ilyenkor az összetételhatás=B a standard)

K   V1 V0 

B B

STD

 V1



STD

B B

STD

 V0



B

STD

STD

 (V1  V0 )

B



STD

B B

STD

k

STD

ÖSSZETÉTELHATÁS KÜLÖNBSÉG (összetételhatás=B ilyenkor a részhatás=V a standard, de mindig a másik, ha az előbb B1 volt akkor most V0 ha pedig B0 volt, most V1 )

 K   V1 V0

B1  VSTD

B

1



 B V B 0

STD

0

4.2. A hányadosfelbontás EGYIK IZÉ

ÖSSZ:

MÁSIK IZÉ

A0

B0

V0 

A0 B0

 A0

 B0

V0 

A B

0 0

A1

B1

V1 

A1 B1

 A1

 B1

V1 

A B

i

V1 V0

I

V1 V0

1 1

FŐÁTLAG INDEX V I 1 V0 RÉSZHATÁS INDEX (részhatás=V ilyenkor az összetételhatás=B a standard és általában

I 

V1  B1  V1  B1  V0  B1  V1  :   V0  B1  B1  B1  V0

A A i

B1 )

1 1

ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX (összetételhatás=B ilyenkor a részhatás=V a standard, de mindig a másik, ezért

I  

V1  B1  V0  B0  V0  : V0  B1  B0


V0 )


9

5. INDEXEK 5.1. Egyedi ár- volumen- és értékindexek p q pq i p  1 i q  1 iv  1 1  i p  i q p0 q0 p0 q0 5.2. Ár- és volumenindexek Ár

Volumen

P

q

Árindex Laspeyres Volumenindex Laspeyres Bázis /bázisidőszak szerinti/ /bázisidőszak szerinti/ időszaki

0

p q p q

I p0 

I q0 

1 0 0 0

p q p q 0

1

0

0

Volumenindex Paasche Tárgy Árindex Paasche /tárgyidőszak szerinti/ /tárgyidőszak szerinti/ időszaki

1

p q p q

I 1p 

I q1 

1 1 0 1

pq pq 1

1

1

0

5.3. A Fischer-féle árindex és volumenindex:

I pF  I p0  I 1p

I qF  I q0  I q1

5.4. Az értékindex:  p1q1  I 1  I 0  I 1  I 0  I F  I F Iv  p q q p p q  p0 q0

amiből

I 1p I p0



I q1 I q0

5.5. Az indexek átlagformái

I p0 

 p q i p q 0 0

p



pq pq  i

1 0



1 0

0 0

v i v 0

p

I q0 

0

 p q i p q 0 0

q



 p q i p q 0 1

p

0 1



pq pq  i

1 1 1 1 p

0 1



0 1

0 0

p

I 1p 

p q pq  i

v i v 0

q

0

q



v v i

1

I q1 

1

 p q i pq 1 0

1 0

q



pq pq  i

1 1 1 1 q

p



v v i

1 1

q

5.6. Vásárlóerő-paritás

PPP A ( A / B) 

p p

A

qA

B

qA

PPP B ( A / B) 

p p

A

qB

B

qB

PPP F ( A / B)  PPP A ( A / B)  PPP B ( A / B) © www.mateking.hu [email protected]


10

6. IDŐSOROK 6.1.Állapotidősor és tartamidősor ÁLLAPOTIDŐSOR Változás mértéke Változás üteme

d

d

t

n 1



yn  y1 n 1

n

l  n1  lt  n1 t 2

Átlag

TARTAMIDŐSOR

d

d

t

n 1 n

yn y1



yn  y1 n 1

l  n1  lt  n1 t 2

y y1  y2  ...  n 2 yk  2 n 1

y

yn y1

y1  y2  ...  yn n

6.2. Mozgóátlagok Ha a tagok száma páratlan:

yˆ t 

yt k  ...  yt 1  yt  yt 1  ...  yt k 2k  1

Ha pedig a tagok száma páros

yt k y  ...  yt 1  yt  yt 1  ...  t k 2 yˆ t  2 2k 6.3. Lineáris és exponenciális trend Lineáris trend

yˆ   0  1  t Lineáris trend normálegyenletei n

n

t 1

t 1

 yt  n  0  1  t

n

n

n

t 1

t 1

t 1

 t  yt  0   t  1  t 2

Exponenciális trend

t yˆ   0  1

ln yˆ  ln 0  t  ln 1



11

6.4. Szezonális eltérés lineáris trend esetén

 y n/ p

sj 

ij

i 1

 yˆ ij 

n/ p

SZEZONOK=j (szezonfajták száma p)

ÉVEK=i

j=1

j=2

j=3

…

i=1

y1 1

y1 2

y1 3

y1 4

i=2

y2 1

y2 2

y2 3

y2 4

i=3

y3 1

y3 2

y3 3

y3 4

…

y4 1

y4 2

y4 3

y4 4

6.5. Korrigált szezonális eltérés lineáris trend esetén

 sj  sj  s 6.6. Szezonindex exponenciális trend esetén

 yij   ˆ i 1  y ij  sj  n/ p n/ p

   

6.7. Korrigált szezonindex exponenciális trend esetén   s j sj  s



12

STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY. alapfogalmak egy ismérv szerinti elemzés két ismérv szerinti elemzés standardizálás indexszámítás

Recommend Documents