Statistika. Rentang Keyakinan. Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Prodi S2 Teknik Sipil

Statistika Rentang Keyakinan

15-‐Oct-‐15 h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id

Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Prodi S2 Teknik Sipil

1

•  Distribusi probabilitas memiliki sejumlah parameter. •  Parameter-‐parameter tsb umumnya tak diketahui. •  Nilai parameter tersebut diperkirakan (di-‐es7masi-‐kan) berdasarkan nilai yang diperoleh dari pengolahan data. •  Es7masi •  Es7masi tunggal (point es)mates) •  Rentang keyakinan (confidence intervals)

15-‐Oct-‐15

•  Es7masi Parameter

h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id

Rentang Keyakinan

2

•  Es7masi tunggal

15-‐Oct-‐15

Rentang Keyakinan •  Nilai rata-‐rata sampel sbg es7masi nilai rata-‐rata populasi.

X →µ •  Nilai simpangan baku sampel sbg es7masi nilai simpangan baku populasi.

sX → σ X


•  Contoh

3

•  Es7masi parameter θ θ!ˆ → θ! parameter

Dicari suatu interval [L,U] yang memiliki probabilitas (1 – α) bahwa interval tsb mengandung θ. prob(L < θ < U) = (1 – α) à Pers (1) L = batas bawah rentang keyakinan. U = batas atas rentang keyakinan. (1 – α) = 7ngkat keyakinan (confidence level, confidence coefficient). L dan U = variabel random


estimasi

15-‐Oct-‐15

Rentang Keyakinan

4

•  Data debit Sungai A selama tahun 1981 s.d. 2000 menunjukkan bahwa debit rata-‐rata adalah 77 m3/s. •  Kita dapat memperkirakan debit rata-‐rata Sungai A adalah 77 m3/s. •  Kita menyadari bahwa perkiraan tsb dapat salah; bahkan dari sisi penger7an probabilitas, kita tahu bahwa debit rata-‐rata sama dengan 77 m3/s adalah hampir 7dak mungkin terjadi:

(

)

prob Q = 77 m3 s = 0

15-‐Oct-‐15

•  Contoh


Rentang Keyakinan

5

•  Dicari variabel random V yang merupakan fungsi parameter θ (θ = unknown), tetapi distribusi V ini 7dak bergantung pada parameter yang 7dak diketahui. •  Ditentukan v1 dan v2 sedemikian hingga:

prob (v1 < V < v 2 ) = 1− α à Pers. (2)

15-‐Oct-‐15

•  Metode Ostle: method of pivotal quan))es


Batas Bawah dan Batas Atas

6

•  Metode Ostle: method of pivotal quan))es

15-‐Oct-‐15

Batas Bawah dan Batas Atas

•  Persamaan di atas diubah kedalam bentuk prob(L < θ < U) = 1− α •  L dan U adalah variabel random dan fungsi V, tetapi bukan fungsi θ.


prob (v1 < V < v 2 ) = 1− α

7

V=

X −µ sX

•  V berdistribusi t dengan (n – 1) degrees of freedom •  n adalah jumlah sampel yang dipakai untuk menghitung nilai rata-‐ rata sampel, X

15-‐Oct-‐15

•  Mencari interval [L,U] yang mengandung µ, prob(L < µ < U) = 1 – α •  Misalkan variabel random V:


Interval Keyakinan: μ suatu distribusi normal, σ tidak diketahui

8

15-‐Oct-‐15

à berdistribusi t?

•  Buk7 Distribusi t: X = Y

ν U

, ν = degree of freedom

X − µ X − µ (X − µ ) σ (X − µ ) 1 V= = = = ⋅ sX s 2X n s 2X σ n σ n sX2 σ 2 X − µ) ( = ⋅ n

σ

→Y =

n −1

∑ (X − X ) i

X −µ ν

2

n

,

=Y ⋅ σ2

X − X) ( ∑ U= i

σ2

ν U


X −µ V= sX

2

, ν = n −1

9

$ ' X −µ prob (v1 < V < v 2 ) = 1− α ⇒ prob &v1 < < v 2 ) = 1− α sX % (

15-‐Oct-‐15

•  Pers (2):

prob(t < v1) = αa

dengan (n – 1) degrees of freedom

prob(t > v2) = αb

luas = (1 – α) luas = αa

luas = αb

tα a

t1−αb


αa + αb = α

10

)

prob X + tαa ,n−1 ⋅ sX < µ < X + tαb ,n−1 ⋅ sX = 1− α

u

ℓ

Jadi, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan:

ℓ = X + tαa ,n−1 ⋅ sX

sX = sX

u = X + tαb ,n−1 ⋅ sX

tαa ,n−1 → tabel distribusi t

n


(

15-‐Oct-‐15

" % X −µ prob $v1 < < v 2 ' = 1− α sX # & " % X −µ prob $tαa ,n−1 < < tαb ,n−1' = 1− α sX # &

11

luas = (1 – α)/2

luas = (1 – α)/2

luas = α/2

luas = α/2

tα 2 = −t1−α 2

t1−α 2


•  Jika dikehendaki probabilitas rentang keyakinan simetris, maka v1 dan v2 dipilih sedemikian hingga prob(t < v1) = prob(t > v2). •  Karena simetri, maka αa = αb = α/2 •  Yang dicari adalah rentang keyakinan (1 – α) = 100(1 – α)% à maka: prob(t < v1) = α/2 = prob(t > v2)

12

luas = α/2

luas = α/2

luas = 1 – α/2

luas = 1 – α/2

t1−α 2

luas = α/2

tα 2 − t1−α 2

luas = 1 – α

luas = α/2


tα 2

15-‐Oct-‐15

Distribusi t

t1−α 2 13

15-‐Oct-‐15

•  Dengan demikian, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan jika probabilitas rentang keyakinan simetris adalah:

u = X + t1−α 2,n−1 ⋅ sX


ℓ = X − t1−α 2,n−1 ⋅ sX

14

q  q 

batas bawah batas atas

à à

prob(t < v1) = α prob(t > v2) = α

$X −µ ' prob (V > v1) = 1− α ⇒ prob & > v1) = 1− α % sX ( $X −µ ' prob (V < v 2 ) = 1− α ⇒ prob & < v 2 ) = 1− α % sX (

luas = α

tα

luas = 1 – α

luas = 1 – α

luas = α

t1−α

15-‐Oct-‐15

Kadang dikehendaki probabilitas rentang keyakinan satu sisi


n 

15

•  tγ,n = nilai t sedemikian hingga probabilitas variabel random t dengan n degrees of freedom adalah lebih kecil daripada γ. •  misalkan: t0.95,50 = nilai t sedemikian hingga prob(t < t0.95,50) = 0.95 untuk t yang memiliki 50 degrees of freedom.

15-‐Oct-‐15

•  Notasi


Distribusi t

16

•  Dapat dibaca di tabel distribusi t

15-‐Oct-‐15

Distribusi t •  Dapat dihitung dengan perintah/fungsi MSExcel •  T.DIST(t,ν,true) •  •  •  •  • 

menghitung nilai prob(T < t) untuk menghitung nilai prob(T > t) à 1 – T.DIST(t,ν,true) t = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusinya ν = degree of freedom one-‐tailed distribu)on

•  T.INV(p,ν) •  mencari nilai t jika nilai p = prob(T < t) diketahui •  one-‐tailed distribu)on


•  Tabel Distribusi t

17

15-‐Oct-‐15

Distribusi t untuk 50 degrees of freedom

t = 1.6

t

prob(T < 1.6) = T.DIST(1.6,50,TRUE) = 0.942

prob(T < t ) = 0.95

prob(T < 1.6) = 1 – T.DIST.RT(1.6,50) = 0.942

t = T.INV(0.95,50) = 1.68

0.95 t = –1.6

t = 1.6

prob(–1.6 < T < 1.6) = 1 – T.DIST.2T(1.6,50) = 0.884

–t


0.95

t

prob(-‐t < T < t ) = 0.95 t = T.INV.2T(1-‐0.95,50) = 2

18

V=

X −µ , σX

σX = σX

n

à V berdistribusi normal

15-‐Oct-‐15

•  Apabila variansi populasi diketahui, maka variabel random V didefinisikan sbb.:


Rentang Keyakinan: µ suatu distribusi normal, σ diketahui

19

15-‐Oct-‐15

Rentang Keyakinan: µ suatu distribusi normal, σ diketahui •  Rentang keyakinan

u = X + zb ⋅

n σX

zb

za

n

αb

1− α

αa

•  Jika probabiitas rentang keyakinan diinginkan simetris ℓ = X − z1−α 2 ⋅

σX

u = X + z1−α 2 ⋅

σX

α 2

n n

zα 2 = −z1−α 2

1− α

α 2 z1−α 2


ℓ = X + za ⋅

σX

20

n −1) s ( V=

2 X

σX2

•  à V berdistribusi chi-‐kuadrat dengan (n – 1) degrees of freedom.

15-‐Oct-‐15

•  Mencari interval [L,U] yang mengandung σ2 dengan peluang prob(L < σ2 < U) = 1 – α. •  Didefinisikan variabel random V:


Rentang Keyakinan: σ2 suatu distribusi normal

21

Pilih:

v1 = χ2α 2,n−1 2 v 2 = χ1−α 2,n−1

sehingga:

atau:

2 % ( n −1 s ( ) X 2 2 prob '' χα 2,n−1 < < χ1−α 2,n−1** = 1− α 2 σX & )

2( % ( n −1) s 2 n −1 s ( ) X prob '' 2 < σ X 2 < 2 X ** = 1− α χα 2,n−1 ) & χ1−α 2,n−1

15-‐Oct-‐15

$ ' n −1) sX 2 ( prob &&v1 < < v 2 )) = 1− α 2 σX % (


prob (v1 < V < v 2 ) = 1− α

22

2 n −1 s ( )X

•  batas bawah:

ℓ=

•  batas atas:

n −1) s ( u=

Catatan:

2 χ1−α 2,n−1 2 X

χ2α 2,n−1

X berdistribusi normal χ2 berdistribusi chi-‐kuadrat


§  Jadi batas bawah dan batas atas rentang yang mengandung σX2 dengan 7ngkat keyakinan (1 – α) adalah:

23

n » → (n – 1) » → distribusi mendeka7 distribusi simetris, sX2 berada kira-‐kira di tengah-‐tengah rentang [L,U].

α 2

α 2

1− α χ2α 2

2 χ1−α 2


sX 2 − ℓ ≠ u − sX 2

15-‐Oct-‐15

§  Distribusi chi-‐kuadrat 7dak simetris:

24

•  Hanya diinginkan satu sisi rentang keyakinan saja

15-‐Oct-‐15

Rentang Keyakinan Satu Sisi

prob (L < θ) = 1− α ⇒ ℓ = X − t1−α,n−1 •  hanya batas atas saja rentang keyakinan µ

prob (θ < U ) = 1− α ⇒ u = X + t1−α,n−1


•  hanya batas bawah rentang keyakinan µ

25

26


15-‐Oct-‐15

Statistika. Rentang Keyakinan. Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Prodi S2 Teknik Sipil

Recommend Documents