SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN NASKAH D URAIAN 1.
Tentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV) dari daerah penyelesaian (DP) berikut ini. Y
3, 6
6
7, 4
3
O
1
5
X
Solusi:
1, 0 dan 0,3 3x y 3
PtLDV: 3x y 3
3, 6 dan 7, 4 46 x 3 73 4 y 24 2 x 6 y 6
2 x 4 y 30
PtLDV: x 2 y 15
5, 0 dan 7, 4 40 x 5 75 y 2 x 10
y 0
2 x y 10
PtLDV: 2 x y 10 3x y 3 x 2 y 15 Jadi, SPtLDV adalah 2 x y 10 x0 6 y 0
2.
Tentukan nilai optimum fungsi objektif
f x, y x 2 y
dari daerah penyelesaian sistem
pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV) menggunakan garis selidik. 2 x y 4 4 x 3 y 24 3x 2 y 6 0 x5 0 y 4
1 | Husein Tampomas, Solusi Soal-soal Latihan Naskah D, 2016
Solusi:
Y
f x, y x 2 y
Garis 2 x y 0 melalui titik-titik
8
0, 0 dan 2,1 .
2 x y 4
x 5 4 x 3 y 24
4 x 3 y 24
4 5 3 y 24
y
4 3
3x 2 y 6
4
koordinat titik poptongnya 5, . 3
3
y 4 4 x 3 y 24
4x 3 4 24
x3
koordinat titik poptongnya 3, 4 . nilai minimum dicapai pada titik 2, 0 sebesar x 2 y 2 2 0 2 .
3, 4
4
x 2 y 2 3 4 10
DP
1
2
O
4 5, 3
x5
6
5
2
X
x 2y 2 2 0 4 x 2y 0
nilai maksimum dicapai pada titik 3, 4 sebesar x 2 y 3 2 4 11 . 3.
y4
Sebuah pabrik membuat dua macam produksi, meja dan kursi, yang harus diproses melalui bagian perakitan dan bagian penyempurnaan (finishing). Bagian perakitan menyediakan 60 jam dan bagian penyempurnaan menyediakan 48 jam. Pembuatan 1 meja memerlukan 4 jam perakitan dan 2 jam penyempurnaan. Setiap kursi memerlukan 2 jam perakitan dan 4 jam penyempurnaan, keuntungan $8 per meja dan $6 setiap kursinya. Berapakah banyak meja dan kursi harus diproduksi agar memberikan keuntungan maksimum? Tentukan keuntungan maksimum tersebut. Solusi: Misalnya banyak meja dan kursi masing-masing adalah x dan y buah. 4 x 2 y 60 2 x 4 y 48 x0 y0 f x, y 8 x 6 y
Menentukan koordinat titik potong garis. 4 x 2 y 60 y 30 2 x y 30 2 x 2 x 4 y 48
Y 30
4 x 2 y 60
12
2 x 4 30 2 x 48
2x 120 8x 48 6x 72 x 12 y 30 2 12 6
12, 6 2 x 4 y 48
O
koordinat titik potong 4 x 2 y 60 dan 2 x 4 y 48 adalah 12, 6 . f x, y 8 x 6 y f 0, 0 8 0 6 0 0 f 15, 0 8 15 6 0 120 f 12, 6 8 12 6 6 132
2 | Husein Tampomas, Solusi Soal-soal Latihan Naskah D, 2016
15
24
X
f 0,12 8 0 6 12 72
4.
Jadi, banyak meja dan kursi harus diproduksi agar memberikan keuntungan maksimum masingmasing adalah 12 dan 6 buah. Keuntungan maksimum tersebut adalah $132. Seorang tukang roti mempunyai bahan A, B, dan C masing-masing sebanyak 150, 90, dan 150 unit. Sepotong roti memerlukan 1 unit bahan A, 1 unit bahan B, dan 2 unit bahan C. Sepotong kue memerlukan 5 unit bahan A, 2 unit bahan B, dan 1 unit bahan C. Jika sepotong roti dijual dengan harga 35 cent dan sepotong kue 80 cent, berapa masing-masing harus dibuat dan berapa pemasukannya? (Petunjuk : $1 = 100 cent) Solusi: Misalnya banyak produk A dan produk B masing-masing x dan y buah. x 5 y 150 x 2 y 90 2 x y 150 x0 y0
Y 150
f x, y 35 x 80 y
x 5 y 150
Menentukan koordinat titik potong garis. x 5 y 150 x 150 5 y x 150 5 y x 2 y 90
50, 20 45 30
150 5 y 2 y 90
200 50 3 , 3 x 2 y 90
x 5 y 150
70,10
3 y 60 y 20
x 150 5 20 50
O
75
koordinat titik potong x 5 y 150 dan x 2 y 90 adalah 50, 20 . x 150 5 y 2 x y 150 2 150 5 y y 150
300 10 y y 150 9 y 150
y
50 3
x 150 5
50 200 3 3 200 50
, . koordinat titik potong x 5 y 150 dan 2 x y 150 adalah 3 3
x 2 y 90 x 90 2 y x 90 2 y 2 x y 150 2 90 2 y y 150
180 4 y y 150
3 y 30 y 10
x 90 2 10 70
koordinat titik potong x 2 y 90 dan 2 x y 150 adalah 70,10 . f x, y 35 x 80 y f 0, 0 35 0 80 0 0
3 | Husein Tampomas, Solusi Soal-soal Latihan Naskah D, 2016
90
150
X
f 75, 0 35 75 80 0 2625 f 70,10 35 70 80 10 3250 f 50, 20 35 50 80 20 3350 f 0,30 35 0 80 30 240
5.
Jadi, banyak roti dan kue masing-masing harus dibuat adalah 50 dan 20 buah dan pemasukannya $33,50. Sebuah perusahaan minyak mempunyai persediaan 9.000 m3 minyak berat, 12.000 minyak sedang dan 26.000 minyak ringan. Perusahaan tersebut mempunyai dua jenis alat pembersih A dan B. Alat A dapat memelihara 200, 100 dan 300 m3 minyak jenis berat, sedang dan ringan setiap hari. Sedangkan alat B dapat memelihara 200, 100 dan 300 m3 minyak jenis berat, sedang dan ringan setiap hari. Jika biaya pengoperasian alat-alat tersebut $200 per hari, berapa hari alat-alat tersebut harus dioperasikan agar biaya seminimum mungkin? Jika biaya pengoperasian alat A adalah $300 per hari dan B adalah $200 per hari, berapa hari masing-masing harus dioperasikan? Solusi: Misalnya banyak jenis alat pembersih A dan B masing-masing adalah x dan y. 100 x 200 y 9.000 x y 45 100 x 100 y 12.000 x y 120 300 x 300 y 26.000 3 x 3 y 260 x0 x0 y0 y0
Kasus Pertama: f x, y 200 x 200 y f 120, 0 200 120 200 0 24.000 f 0,120 200 0 200 120 24.000
Jadi, alat-alat tersebut harus dioperasikan agar biaya seminimum mungkin alat A 120 hari dan alat B tidak diopreasikan atau alat A tidak dioperasikan dan alat B 120 hari, dengan biaya mínimum adalah $24.000. Kasus Ke dua:
Y 120
260 3
2 x y 16
45
x y 120
2 x 2 y 12
O
45
260 3
120
X
f x, y 300 x 200 y f 120, 0 300 120 200 0 36.000 f 0,120 300 0 200 120 24.000
Jadi, alat-alat tersebut harus dioperasikan agar biaya seminimum mungkin alat A 120 hari dan alat B tidak diopreasikan, dengan biaya mínimum adalah $24.000. Seharusnya: Sebuah perusahaan minyak mempunyai persediaan 9.000 m3 minyak berat, 12.000 minyak sedang dan 26.000 minyak ringan. Perusahaan tersebut mempunyai dua jenis alat pembersih A dan B. Alat A dapat memelihara 100, 300 dan 400 m3 minyak jenis berat, sedang dan ringan setiap hari. Sedangkan alat B dapat memelihara 200, 100 dan 300 m3 minyak jenis berat, sedang dan ringan setiap hari. (1) Jika biaya pengoperasian alat-alat tersebut $200 per hari, berapa hari alat-alat tersebut harus dioperasikan agar biaya seminimum mungkin? 4 | Husein Tampomas, Solusi Soal-soal Latihan Naskah D, 2016
(2) Jika biaya pengoperasian alat A adalah $300 per hari dan B adalah $200 per hari, berapa hari masing-masing harus dioperasikan? Solusi: Misalnya banyak jenis alat pembersih A dan B masing-masing adalah x dan y. 100 x 200 y 9.000 x 2 y 90 300 x 100 y 12.000 3 x y 120 400 x 300 y 26.000 4 x 3 y 260 x0 x0 y0 y0
Menentukan koordinat titik potong garis. x 2 y 90 x 90 2 y x 90 2 y 3x y 120 3 90 2 y y 120
Y 120
86
20, 60 4 x 3 y 260
45
30,30
270 6 y y 120
5 y 150 y 30
3x y 120
2 3
O
50, 20
40
x 2 y 90
65
90
X
x 90 2 30 30
koordinat titik potong x 2 y 90 dan 3x y 120 adalah 30, 30 . x 90 2 y 4 x 3 y 260 4 90 2 y 3 y 260
360 8 y 3 y 260 5 y 100 y 20
x 90 2 20 50
koordinat titik potong x 2 y 90 dan 4 x 3 y 260 adalah 50, 20 . 3x y 120 y 120 3x y 120 3x 4x 3 y 260 4 x 3 120 3 x 260
4x 360 9x 260 5x 100 x 20 y 120 3 20 60
koordinat titik potong 3x y 120 dan 4 x 3 y 260 adalah 20, 60 . (1) Kasus Pertama: f x, y 200 x 200 y f 90, 0 200 90 200 0 18.000 f 50, 20 200 50 200 20 14.000 f 20, 60 200 20 200 60 16.000 f 0,120 200 0 200 120 24.000
Jadi, alat-alat tersebut harus dioperasikan agar biaya seminimum mungkin alat A 50 hari dan alat B 20 hari, dengan biaya mínimum adalah $14.000. (2) Kasus Kedua: f x, y 300 x 200 y
5 | Husein Tampomas, Solusi Soal-soal Latihan Naskah D, 2016
f 90, 0 300 90 200 0 27.000 f 50, 20 300 50 200 20 19.000 f 20, 60 300 20 200 60 18.000 f 0,120 300 0 200 120 24.000
Jadi, alat-alat tersebut harus dioperasikan agar biaya seminimum mungkin alat A 20 hari dan alat B 50 hari, dengan biaya mínimum adalah $18.000.
6 | Husein Tampomas, Solusi Soal-soal Latihan Naskah D, 2016