SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON LINEAR MENGGUNAKAN METODE EULER BERBANTUAN PROGRAM MATLAB
SKRIPSI
oleh: RILA DWI RAHMAWATI NIM: 03510050
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MALANG MALANG 2007
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON LINEAR MENGGUNAKAN METODE EULER BERBANTUAN PROGRAM MATLAB
SKRIPSI
Diajukan Kepada: Universitas Islam Negeri (UIN) Malang Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Jurusan Matematika
oleh: RILA DWI RAHMAWATI NIM: 03510050
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 2007
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON LINEAR MENGGUNAKAN METODE EULER BERBANTUAN PROGRAM MATLAB
SKRIPSI
oleh: RILA DWI RAHMAWATI Nim: 03510050
Telah diperiksa dan disetujui untuk diuji Tanggal : 20 November 2007
Pembimbing Matematika
Pembimbing Agama
Wahyu Henky Irawan, M.Pd NIP. 150 300 415
Ahmad Barizi, M.A NIP. 150 283 991
Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika
Sri Harini, M.Si NIP. 150 318 321
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON LINEAR MENGGUNAKAN METODE EULER BERBANTUAN PROGRAM MATLAB
SKRIPSI oleh : RILA DWI RAHMAWATI NIM: 03510050
Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan Dinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Tanggal, 17 Desember 2007 SUSUNAN DEWAN PENGUJI
TANDA TANGAN
1.
( Penguji Utama )
Evawati Alisah, M.Pd NIP. 150 291 271
2.
( Ketua Penguji )
Usman Pagalay, M.Si NIP. 150 327 240
2.
Wahyu Henky Irawan, M.Pd NIP. 150 300 415
3.
3.
4.
( Sekretaris )
( Anggota )
Ahmad Barizi, M.A NIP. 150 283 991
Mengetahui dan Mengesahkan Ketua Jurusan matematika
Sri Harini, M.Si NIP. 150 318 321
1.
4.
MOTTO
Karena Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan, Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (Qs.Alam Nasyrah / 94:5-6)
Sungguh membebani pikiran dengan kesulitan yang belum tiba waktunya adalah suatu kebodohan yang nyata.
Muhammad Al-Ghazali
PERSEMBAHAN
Alhamdulillah puj i syukur kepada Allah Swt akhirnya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.
SKRIPSI INI KUPERSEMBAHKAN KEPADA: Bapak dan I buku t ercint a yang senant iasa mendoakan ananda set iap saat dan selalu memberikan dukungan moril maupun mat eriil, sampai kapanpun ananda t idak akan bisa membalasnya kecuali dengan karya kecil ini. Adikq t ersayang,
yang selalu mensupport
penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini, Semangat lah dalam mencari ilmu biar kelak menjadi orang yang berguna. Seluruh keluargaQ di Maget an, t erima kasih at as doa dan dukungan kalian semua. Mz- Sabar yang akan j adi pendamping hidupQ, meskipun j auh gak pernah lelah dan bosan memberi mot ivasi dan semangat hingga skripsi ini bisa terselesaikan, bagi Qta jarak bukanlah pemisah tapi merupakan anugerah yang patut kita syukuri.
Ucapan Terima kasih kepada:
-
Bapak Wahyu Henky Irawan, Bapak Ahmad Barizi, Ibu Evawati Alisah, Ibu Ari Kusumastuti serta Bapak Jamhuri yang telah membimbing dan mengarahkan penulis serta tidak bosan memberi nasehat dan semangat sehingga karya ini bisa terselesaikan dengan baik. -
Seluruh Guru dan Dosenku yang dengan ikhlas memberikan ilmu kepadaku. Terima kasih banyak atas ilmu yang telah Engkau berikan, semoga menjadi ilmu yang manfa at dan barokah.
-
Teman-teman seperjuangan yang telah memberi banyak masukan, nasehat dan semangat kepadaku serta Teman-teman, jurusan Matematika angkatan 2003
-
Seluruh warga Arkesa 15A yang selama ini telah mengisi hari-hariku, semoga kita dapatkan impian kita masing-masing. Terima kasih banyak atas semuanya. Mohon ma af atas semua salah dan khilaf. -
Mbak alfi imoet serta Sahabat-sahabat terbaikku yang telah banyak
memberikan pertolongan dan motivasi kepadaku. Semoga Allah Swt membalas kebaikan kalian semua. - Semua pihak yang tidak dapat kusebutkan satu-satu, yang telah banyak membantu dalam penulisan skripsi ini, semoga Ilmunya bermanfaat dan Allah yang akan membalas budi kalian semua.
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan kemudahan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul
Solusi
Sistem Persamaan Differensial Non Linear Menggunakan Metode Euler berbantuan Program Matlab dengan baik. Skripsi ini ditulis untuk melengkapi tugas akhir dari perkuliahan yang telah dijalankan oleh penulis selama masa studinya di Fakultas Sains dan Teknologi, Jurusan Matematika. Sholawat serta salam semoga tercurahkan kepada sang Pembaharu yaitu pembawa pencerahan, Nabi Agung Muhammad SAW, yang telah mencerahkan dunia dan isinya dengan suri tauladannya. Dalam menyelesaikan skripsi ini, penulis merasa berhutang budi kepada berbagai pihak yang telah banyak membantu dan memberikan motivasi serta kritikan yang konstruktif dalam menyusun skripsi ini, oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Bapak Prof. Drs. H. Imam Suprayogo selaku Rektor Universitas Islam Negeri (UIN) Malang.
2. Bapak Prof.Drs.Sutiman B.Sumitro,SU.,Dsc. Selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi jurusan Matematika UIN Malang. 3. Ibu Sri Harini, M.Si. selaku ketua jurusan Matematika UIN malang.
4. Bapak Wahyu Henky Irawan, M.Pd. Selaku Dosen Pembimbing matematika yang tidak pernah lelah dan bosan membimbing serta mengarahkan penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik. 5. Bapak Ahmad Barizi, M.A. Selaku Pembimbing Integrasi Sains dan Agama, yang juga tidak pernah lelah dan bosan membimbing serta mengarahkan penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik. 6. Ibu Evawati Alisah, Ibu Ari Kusumastuti serta Bapak Jamhuri yang telah banyak memberikan masukan, nasehat dan motivasi kepada penulis sehingga skripsi ini bisa terselesaikan dengan baik. 7. Bapak dan Ibuku tercinta yang dengan sepenuh hati memberikan dukungan moril maupun spirituil serta ketulusan do anya sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. 8. Adikku tersayang, yang selalu memberikan dukungan
kepada penulis
sehingga penulis mendapatkan semangat. 9. Keluargaku di Magetan, terima kasih atas doa dan dukungannya. 10. Seluruh Dosen Matematika UIN malang, terima kasih atas ilmu yang kalian berikan semoga menjadi ilmu yang manfaat dan barokah. 11. Teman-teman Matematika, terutama angkatan 2003 terima kasih atas kebersamaan kalian semua. 12. Warga Arkesa 15A serta teman-temanku yang tidak bisa kusebutkan satusatu yang selalu memberikan dukungan dan semangat kepada penulis, terima kasih atas canda tawa kalian semua.
13. Semua pihak yang telah mendukung penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Semoga atas bantuan dan dorongan yang dicurahkan kepada penulis akan menjadi catatan amal ibadah yang diterima disisi Allah SWT. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini jauh dari kesempurnaan, semua itu karena keterbatasan kemampuan penulis dalam menganalisis fenomena yang ada, namun saran dan kritik selalu penulis harapkan demi perbaikan pada penelitian selanjutnya. Semoga skripsi ini dapat berguna bagi semua pihak, dan dapat dijadikan pelajaran yang bermakna bagi penulis khususnya dan bagi para pembaca pada umumnya. Amiin...........
Malang, Desember 2007
Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ......................................................................................i DAFTAR ISI .....................................................................................................iv DAFTAR TABEL.............................................................................................vi DAFTAR GAMBAR ........................................................................................vii DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................viii ABSTRAK.........................................................................................................ix
BAB I: PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah ....................................................................1 B. Rumusan Masalah..............................................................................5 C. Batasan Masalah ................................................................................5 D. Tujuan Penulisan ...............................................................................6 E. Manfaat Penulisan..............................................................................6 F. Metode penelitian...............................................................................7 G. Sistematika Penulisan ........................................................................8
BAB II: KAJIAN TEORI A. Persamaan Differensial.........................................................................9 1. Persamaan Differensial Biasa.........................................................10 2. Persamaan Differensial Parsial.......................................................10 3. Persamaan Differensial Linear .................................................... ..10 4. Persamaan Differensial Non Linear ............................................ ..11 B. Sistem Persamaan Differensial......................................................... ..13 1. Sistem Persamaan Differensial Linear ..........................................14 2. Sistem Persamaan Differensial Non Linear ..................................15 C. Masalah Nilai Awal ............................................................................16
D. Konsep Dasar dan Definisi Sistem otonomus .....................................17 1. Persamaan Differensial Non Linear Orde Dua............................17 2. Bidang phase ...............................................................................17 3. Sistem Otonomus .........................................................................18 4. Lintasan atau Orbit dari Sistem Otonomus .................................18 5. Solusi dari Sistem Otonomus ......................................................18 6. Titik Kritis dari Sistem Otonomus ..............................................19 E. Metode Euler 1. Pengertian Metode Euler ..............................................................20 2. Perkiraan Galat atau Kesalahan Metode Euler.............................26 3. Algoritma......................................................................................29 F. Matlab .................................................................................................30
BAB III. PEMBAHASAN A. Sistem Persamaan Differensial Non Linear Pada Otonomus dengan Metode Euler ....................................................................................33 B. Contoh Soal Pada Otonomus dan Penyelesaiannya dengan Metode Euler dan program Matlab................................................................36 C. Analisis Penyelesaian Sistem Persamaan Differensial Non Linear Pada Otonomus Menggunakan Metode Euler Dengan Bantuan Program matlab ................................................................................45
BAB IV. PENUTUP A. Kesimpulan......................................................................................50 B. Saran ................................................................................................51
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
2.1 Tabel Fungsi Matematika Pada Matlab.....................................................31 3.2 Hasil Iterasi Metode Euler dengan h
0,4 Berbantuan Matlab ...............40
3.3 Hasil Iterasi Metode Euler dengan h
0,05 Berbantuan Matlab .............42
3.4 Hasil Perhitungan Metode Euler Untuk Sistem Persamaan Differensial Non Linear Pada Otonomus dengan Nilai h Yang Semakin Kecil ...................45
DAFTAR GAMBAR
2.1 Rumus Euler ..............................................................................................21 3.1 Bagan Alur Untuk Sistem Persamaan Differensial Non Linear Pada Otonomus Menggunakan Metode Euler.....................................................35 3.2 Grafik Metode Euler dengan h
0.4 ........................................................41
3.3 Grafik Metode Euler dengan h
0,05 ......................................................44
DAFTAR LAMPIRAN
1. Program Komputer Metode Euler
ABSTRAK
Rahmawati,Rila Dwi. 2007. Solusi Sistem Persamaan Differensial Non Linear Menggunakan Metode Euler Berbantuan Program Matlab. Jurusan Matematika. Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Malang. Pembimbing:(I).Wahyu Henky Irawan, M.Pd.,(II)Ahmad Barizi,M.A Kata Kunci: Sistem Persamaan Differensial, Non Linear, Metode Euler, Program Matlab. Suatu persamaan differensial maupun sistem persamaan differensial yang sulit diselesaikan secara analitik dapat diselesaikan secara numerik. Penghitungan numerik merupakan teknik untuk menyelesaikan permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan operasi hitungan, karena merupakan pendekatan terhadap nilai eksak maka diupayakan kesalahannya sekecil mungkin. Allah berfirman Sesungguhnya Allah telah menentukan jumlah mereka dan menghitung mereka dengan hitungan yang teliti (Qs.Maryam/18:94),dan penghitungan numerik merupakan penghitungan yang memerlukan ketelitian untuk menghindari kesalahan. Salah satu kajian dalam metode numerik adalah menyelesaikan sistem persamaan differensial non linear dengan menggunakan metode Euler yang merupakan metode satu langkah yang paling sederhana dengan bantuan matlab yang merupakan bahasa pemrograman matematika untuk analisis dan komputasi numerik. Berdasarkan latar belakang tersebut penelitian dilakukan dengan tujuan untuk menjelaskan langkah-langkah penyelesaian sistem persamaan differensial non linear pada otonomus yang memiliki bidang phase, lintasan serta solusi sistem otonomus dengan menggunakan rumus Euler berbantuan program Matlab. Jenis penulisan ini merupakan penelitian kepustakaan atau penelitian literatur yang bertujuan untuk mengumpulkan data atau informasi khususnya sistem persamaan differensial non linear tentang otonomus dan metode Euler serta program Matlab. Kajian ini, diberikan contoh sistem persamaan differensial non linear pada otonomus dan menguraikan langkah-langkah penyelesaiannya dengan menggunakan perhitungan metode Euler dan bantuan program Matlab, dari hasil perhitungan nilai yang digunakan untuk menganalisis sistem otonomus yaitu nilai x(t ) dan y (t ) yang mempunyai kesalahan terkecil (mendekati nol) agar menghasilkan suatu kurva selesaiannya, lintasan dari sistem tersebut merupakan kurva pada bidang xy yang juga disebut sebagai bidang phase dan solusi sistem otonomus terletak pada nilai x(t ) dan y (t ) dengan kesalahan terkecil. Pada metode Euler dibutuhkan ketelitian, dengan memberikan nilai h yang semakin kecil maka semakin baik mendapatkan hasil yang diinginkan tetapi dengan waktu hitungannya menjadi lebih lama.
BAB 1 PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang mengalami perkembangan secara terus-menerus dari masa kemasa, semakin berkembangnya ilmu pengetahuan
maka
akan
mempermudah
dalam
menyelesaikan
suatu
permasalahan. Dalam perkembangan dan kemajuannya, matematika dapat memberikan sumbangan yang besar dalam memecahkan masalah-masalah pada bidang teknik, perekonomian, sains dan permasalahan-permasalahan lainnya yang terjadi diatas permukaan bumi ini. Banyak permasalahan-permasalahan baru yang sebelumnya belum terselesaikan namun kini dapat dipecahkan dengan matematika, sehingga matematika mendapat perhatian yang besar dari banyak kalangan. Metode numerik merupakan suatu bagian ilmu matematika, khususnya matematika rekayasa yang menggunakan bilangan untuk menirukan proses matematik, proses matematik ini selanjutnya dirumuskan untuk menggambarkan keadaan sebenarnya. Permasalahan dibidang sains biasanya dapat dimodelkan dalam persamaan matematika. Apabila persamaan tersebut mempunyai bentuk sederhana, maka penyelesaiannya dapat dilakukan secara analitik. Pada umumnya bentuk persamaan yang sulit diselesaikan secara analitik maka penyelesaiannya dapat dilakukan secara numerik. Metode numerik sebagai alternatif dari metode
analitik dapat dikatakan sebagai suatu rekayasa dalam menyelesaikan masalah matematik yang sulit atau bahkan tidak dapat diselesaikan secara analitik. Hubungan numerik dengan matematika rekayasa dapat dikatakan bahwa dalam arti luas ukuran atau qadar adalah kemampuan merekayasa sesuatu sesuai dengan proporsinya. Dalam hal ini, manusia sebagai makhluk Allah Swt yang paling sempurna, dilengkapi akal pikiran, yang dengan akal pikiran tersebut manusia dituntut untuk menyelesaikan suatu masalah atau bahkan merekayasa penyelesian masalah tersebut. Dalam menyelesaikan suatu masalah, manusia tidak akan berhenti pada satu cara saja, tetapi tidak menutup kemungkinan cara lain yang lebih mudah untuk penyelesaiannya. Sebagai contoh, Allah Swt memberikan alternatif pada hamba-Nya yang sedang sakit dalam melaksanakan sholat, dengan beberapa alternatif. Dalam hal ini Allah memberikan kemudahan dan alternatif kepada semua umatnya untuk menyelesaikan setiap permasalahan yang sedang dihadapi. Sesuai firmannya dalam surat Alam Nasyrah ayat 5-6 yaitu:
Artinya:
Karena Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan, Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (Qs.Alam Nasyrah / 94:5-6)
Penghitungan
numerik
adalah
suatu
teknik
untuk
menyelesaikan
permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan, hasil dari penyelesaian numerik merupakan nilai perkiraan atau pendekatan dari penyelesaian analitik atau eksak, karena merupakan nilai
pendekatan, maka terdapat galat atau kesalahan terhadap nilai eksak, nilai galat atau kesalahan tersebut diupayakan sekecil mungkin terhadap tingkat galat atau kesalahan yang ditetapkan (Triatmodjo,2002:1). Firman Allah dalam Surat Maryam 94 yaitu:
Artinya: Sesungguhnya Allah telah menentukan jumlah mereka dan menghitung mereka dengan hitungan yang teliti (Qs.Maryam /19:94)
Ayat di atas menjelaskan bahwa Allah telah menetapkan balasan dan dengan berbagai dalil yang pasti bahwa mereka akan terombang-ambing didalam kesesatan serta berpaling dari kebenaran (Musthafa,1987:154). Sehingga penghitungan numerik merupakan penghitungan yang memerlukan ketelitian untuk menghindari galat atau kesalahan yang ditimbulkan. Dalam penghitungan numerik terdapat beberapa proses hitungan untuk menyelesaikan suatu tipe persamaan matematis. Operasi hitungan dilakukan dengan iterasi (pengulangan). Oleh karena itu diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakan operasi hitungan tersebut. Tanpa bantuan komputer penghitungan numerik tidak banyak memberikan manfaat. Bantuan komputer yang digunakan diantaranya
dapat
berupa
Fortran,
Basic,
Matlab
dan
lain-lain
(Triatmodjo,2002:1). Dalam numerik banyak metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial maupun sistem persamaan differensial. Sistem persamaan differensial merupakan persamaan yang terdiri dari dua atau lebih fungsi. Sistem
persamaan differensial non linear dengan dua fungsi tak diketahui berbentuk '
'
x
g ( x, y ) (Hariyanto,1992:194), dimana f dan g mempunyai
f ( x, y ) dan y
turunan parsial yang kontinyu untuk semua x, y , untuk mencari solusi eksak dari sistem persamaan differensial non linear sangat tidak mungkin sehingga diperlukan metode numerik untuk menyelesaikannya. Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan differensial non linear tersebut adalah metode Euler. Metode Euler merupakan salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Metode ini membantu menggambarkan konsep-konsep yang terlibat dalam metode lanjut dan metode ini penting untuk dipelajari karena analisis galatnya mudah untuk dimengerti (Sa dijah,1991:75). Metode ini merupakan pemecahan masalah dalam sistem karena lebih sederhana, dengan dt tersebut dy
yi
apabila
g ( t , x , y ) dt
1
yi
ti
t i , dx
xi
1
disubstitusikan maka
g (t i , xi , y i ) t i
Dalam
1
1
didapatkan:
xi
dan dy
kepersamaan xi
1
xi
yi
dx
1
y i dari persamaan
f (t , x, y )dt
f t i , xi , y i t i
dan
ti
dan
non
linear
1
t i (Mathews&Fink,1981:488).
menyelesaikan
sistem
persamaan
differensial
menggunakan metode Euler dapat menggunakan bantuan Matlab, yang merupakan suatu bahasa pemrograman matematika untuk analisis dan komputasi numerik. Kelebihan dari Matlab itu sendiri adalah memudahkan menyelesaikan masalah pemrograman dalam bentuk matrik (Arhami&Desiani,2005:1).
Penerapan sistem persamaan differensial non linear juga banyak digambarkan dalam model matematis seperti pada persamaan sistem Otonomus, persamaan Van der pool serta dalam keadaan yang lebih mendekati kenyataan, misalnya pada biologi yaitu pada interaksi populasi (Lotka dan Volterra), pada fisika yaitu mekanika tak linear gerak ayunan sederhana maupun pada bidang kimia, teknik, dan ekonomi. Selain itu sistem persamaan differensial non linear juga dapat diterapkan pada penelitian suatu kasus di kehidupan nyata seperti pada kasus flu burung, HIV, pembelahan sel pada manusia serta masih banyak yang lainnya yang masih terus dikembangkan. Oleh karena itu penulis mengangkat tema penelitian ini dengan
Solusi
Sistem Persamaan Differensial Non Linear Menggunakan Metode Euler Berbantuan Program Matlab .
B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang diatas, rumusan masalah dalam penulisan ini adalah bagaimana penyelesaian sistem persamaan differensial non linear dengan metode Euler berbantuan program Matlab?
C. Batasan Masalah Ruang lingkup pembahasan dalam skripsi ini adalah pada sistem persamaan differensial biasa non linear orde satu pada otonomus yang berbentuk '
x
'
f ( x, y ), dan
y
g ( x, y ) dengan dua persamaan yang saling terkait hanya
pada bidang phase, lintasan dari sistem otonomus serta solusi dari sistem
otonomus, dan pada selang t 0 y (t 0 )
t
b dengan kondisi awal x(t 0 )
x0 dan
y 0 dengan bantuan Matlab 5.3.1
D. Tujuan Penulisan Tujuan penulisan ini adalah untuk mengetahui penyelesaian sistem persamaan differensial non linear dengan metode Euler berbantuan Matlab dengan menguraikan langkah-langkah menyelesaikan sistem persamaan differensial non linear pada otonomus menggunakan rumus Euler berbantuan program Matlab.
E. Manfaat Penulisan 1.
Bagi Penulis Untuk mengembangkan dan mengaplikasikan pengetahuan dan keilmuan dibidang matematika khususnya differensial dan numerik.
2. Bagi Pembaca Sebagai tambahan pengetahuan bidang matematika khususnya metode numerik dan sistem persamaan differensial non linear pada otonomus. 3. Bagi Lembaga Sebagai bahan pengembangan, perbaikan keilmuan dan pemaduan sains dan teknologi Sebagai bahan pustaka tentang pembelajaran mata kuliah numerik dan differensial
F. Metode Penelitian Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan ini adalah studi literatur. Studi literatur yaitu melakukan penelusuran dengan penelaahan terhadap beberapa literatur yang mempunyai relevansi dengan topik pembahasan (Nazir,1988:11). Adapun literatur yang saya gunakan yaitu: Persamaan Differensial Biasa karangan Pamuntjak & Widiarti Santosa, Differential Equation third karangan Shepley L. Ross, Metode Numerik karangan Bambang Triatmodjo dan masih banyak yang lainnya serta catatan-catatan selama diperkuliahan. Langkah umum dalam penulisan ini adalah: Merumuskan Masalah Mengumpulkan bahan atau sumber dan informasi dengan cara membaca dan memahami literatur yang berkaitan dengan metode Euler dan sistem persamaan differensial biasa non linear orde satu pada otonomus Setelah memperoleh data dan informasi tentang metode Euler dan sistem persamaan differensial non linear pada otonomus, langkah selanjutnya melakukan
pembahasan
dengan
menguraikan
langkah-langkah
penyelesaian sistem persamaan differensial non linear pada otonomus menggunakan metode Euler. Kemudian memberikan contoh dan penyelesaiannya dari sistem persamaan differensial non linear pada otonomus menggunakan rumus Euler dengan bantuan program Matlab.
Membuat kesimpulan berupa solusi sistem persamaan differensial non linear pada otonomus menggunakan metode Euler berbantuan program Matlab. Melaporkan.
G. Sistematika Pembahasan Skripsi ini menggunakan sistematika penulisan dan pembahasan sebagai berikut: BAB I, berisi tentang pendahuluan yang terdiri dari latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penelitian, dan sistematika pembahasan. BAB II, berisi tentang kajian teori yang terdiri dari persamaan differensial, sistem persamaan differensial, masalah nilai awal, sistem otonomus, metode euler, dan matlab. BAB III, berisi tentang pembahasan berupa langkah-langkah metode euler untuk menyelesaikan sistem persamaan differensial non linear pada otonomus dan analisis penyelesaian persamaan otonomus menggunakan metode euler dengan bantuan Matlab. BAB IV, berisi penutup yang terdiri dari kesimpulan berupa langkahlangkah metode euler dalam menyelesaikan sistem persamaan otonomus dan hasil analisis yang sudah dilakukan serta saran untuk orang yang bergelut dibidang tersebut.
BAB II KAJIAN TEORI
A. Persamaan differensial Definisi 1: Persamaan differensial adalah persamaan yang menyangkut satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap satu atau lebih peubah bebas (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-11) Contoh 1: 2
u a) 2 x
b)
dx dt
c ) y '''
2
u
y
2
1 u C2 t
dx dt
2 x ty 2( y ' ' ) 2
y'
t2x
y
cos x
Tingkat (orde) persamaan differensial adalah tingkat tertinggi turunan yang timbul. Sedangkan derajat (pangkat) persamaan differensial yang dapat ditulis sebagai polinomial dalam turunan, adalah derajat turunan tingkat tertinggi yang terjadi (Ayres,1995:1) Menurut peubah bebas, persamaan differensial dapat dibedakan menjadi dua macam yaitu persamaan differensial biasa dan parsial sedangkan persamaan differensial dilihat dari bentuk fungsi atau pangkatnya juga dibedakan menjadi dua yaitu persamaan differensial linear dan persamaan differensial non linear.
1. Persamaan differensial biasa adalah persamaan differensial yang menyangkut satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap satu peubah bebas (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-12) Contoh 1: dx 2 x ty dt d 2e g sin e 0 dt 2 l
Pada mod el matematika masalah bandul
2. Persamaan differensial parsial adalah persamaan differensial yang menyangkut satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap lebih dari satu peubah bebas (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-12). Contoh 2: 2
v x2
2
v y2
1 v c2 t
3. Persamaan Differensial linear Sebuah persamaan differensial termasuk persamaan diferensial linier jika memenuhi dua hal berikut: a. Variabel-variabel terikat dan turunannya paling tinggi berpangkat satu. b. Tidak mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan variabel terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan lainnya, atau variabel terikat dengan sebuah turunan ( Kusumah,1989:4)
Jadi istilah linier berkaitan dengan kenyataan bahwa tiap suku dalam
, y n berderajat satu atau nol.
persamaan differensial itu, peubah-peubah y, y ' ,
Bentuk umum persamaan differensial linier orde-n adalah: (Ladas,1988: 58)
a n ( x) y n
a n 1 ( x) y n
1
a1 ( x) y ' a 0 ( x) y
f ( x)
(2.1)
Contoh 3: x3
1. xy ' 2 y
2. y ' ' ' 2 y ' ' y ' x
4. Persamaan Differensial Non Linear adalah persamaan diferensial yang bukan persamaan differensial linier (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-15). Dengan demikian persamaan differensial
F x, y ,
,y
m
adalah
0
persamaan differensial tak linier, jika salah satu dari berikut dipenuhi oleh F : a. F tidak berbentuk polinom dalam y, y ,
,y
m
b. F tidak berbentuk polinom berpangkat lebih dari 2 dalam y, y ,
,y
m
Contoh 4: 1.
yy
xy
0
F x, y , y , y 2. sin xy
dy dx
dalam y,
cos
persamaan
yy d2y dx 2
dy d 2 y , . dx dx 2
differensial
tak
linier
karena
xy polinom berpangkat dua dalam y, y , y . 0 tak linier, karena F tak berbentuk polinom
Konsep persamaan tersebut dapat digambarkan dengan kedudukan manusia sebagai mahluk Allah Swt di hadapan-Nya. Allah Swt menilai kedudukan hambaNya tidak dilihat dari segi kekayaan, ketampanan maupun kepintarannya, akan tetapi dilihat dari ketakwaannya. Dengan kata lain, kedudukan (orde atau tingkat) manusia di hadapan Allah Swt adalah sama, tidak ada perbedaan di antara manusia, melainkan ketakwaannya. Sebagaimana firman Allah Swt:
... Artinya: Sesungguhnya orang yang paling mulia diantara kamu di sisi Allah ialah orang yang paling taqwa diantara kamu. Sesungguhnya Allah Maha mengetahui lagi Maha Mengenal.(Qs.Al-Hujurat / 49: 13)
Di sisi lain, hubungan kedua komponen pembentuk persamaan differensial yaitu peubah bebas dan peubah tak bebas, dapat digambarkan dengan fitrah manusia, dimana Allah menciptakan manusia dalam keadaan fitrah dan tidak mengetahui sesuatupun, baik pendengaran, penglihatan dan hati agar bisa bersyukur. Firman Allah yang berbunyi:
Artinya: Dan Allah mengeluarkan kamu dari perut ibumu dalam keadaan tidak mengetahui sesuatupun, dan dia memberi kamu pendengaran, penglihatan dan hati, agar kamu bersyukur (Qs.An-Nahl / 16:78)
Ayat di atas menjelaskan bahwa setiap anak yang baru dilahirkan tidak mengetahui sesuatu apapun, baik buruknya kepribadiannya ditentukan oleh
lingkungannya masing-masing, terutama kedua orang tuanya yang akan memberikan pengetahuan awal dalam proses pembentukan kepribadiannya tersebut. Jika hal ini diterjemahkan secara matematis ada sebuah hubungan ketergantungan antara anak dengan orang tua, anak sebagai peubah tak bebas dalam proses pembentukan kepribadiannya ditentukan oleh kedua orang tua yang mendidiknya, sehingga orang tua dalam hal ini disebut peubah bebas. Jadi pada dasarnya ada pesan yang ingin disampaikan Allah melalui fitrah penciptaan manusia yaitu hubungan ketergantungan antara peubah tak bebas terhadap peubah bebas yang dalam perkembangan selanjutnya secara khusus dipelajari secara differensial sebagai salah satu cabang dalam ilmu matematika.
C. Sistem Persamaan Differensial Definisi 2: Sistem persamaan differensial adalah suatu persamaan differensial berorde n dan telah di nyatakan sebagai suatu sistem dari n persamaan berorde satu (Conte dan Boor,1993:359). Persamaan itu dapat ditulis dalam bentuk: yn
f ( x, y ( x), y ' ( x),
, y n 1 ( x))
(2.2)
Secara umum, suatu sistem n persamaan orde pertama mempunyai bentuk sebagai berikut:
y1' y 2'
y n'
dy1 dx dy 2 dx dy n dx
f 1 ( x, y1 , y 2 ,
, yn )
f 2 ( x, y1, y 2 ,
, yn )
f n ( x, y1 , y 2 ,
, yn )
.................................................................... (2.3)
Sistem persamaan differensial merupakan persamaan differensial yang mempunyai lebih dari satu persamaan yang harus konsisten serta trivial. Sistem persamaan differensial adalah gabungan dari n buah persamaan differensial dengan n buah fungsi tak diketahui, dalam hal ini, n merupakan bilangan bulat
2 . Sistem persamaan differensial juga dibedakan menjadi dua yaitu
positif
sistem persamaan differensial linear dan sistem non linear. 1. Sistem Persamaan Differensial Linear adalah sistem persamaan yang terdiri dari n buah persamaan differensial linear dengan n buah fungsi tak diketahui. berbentuk: .
x1
a11 (t ) x1
a12 (t ) x 2
a1n (t ) x n
a 21 (t ) x1
a 22 (t ) x 2
a 2 n (t ) x n
f 1 (t )
.
x2
f 2 (t )
(2.4)
....................................................................... .
xn
a n1 (t ) x1
a n 2 (t ) x 2
a nn (t ) x n
f n (t )
Sistem persamaan differensial linear dengan dua fungsi yang tak diketahui berbentuk: '
x1
a (t ) x1
b (t ) x 2
f 1 (t )
c (t ) x1
d (t ) x 2
f 2 (t )
'
x2
(2.5)
Dengan dan fungsi-fungsi f1 , f 2 merupakan fungsi t yang kontinu pada suatu selang I dan x1 , x 2 adalah fungsi t yang tidak di ketahui (Ladas,1988:132)
2. Sistem Persamaan Differensial Non Linear Sistem persamaan yang terdiri dari n buah persamaan differensial tak linear dengan n buah fungsi tak diketahui. Sistem ini disebut juga sistem tak linear. Bentuk umum sistem persamaan differensial non linear dapat ditulis:
dx dt dy dt
f ( x, y ) (2.6)
g ( x, y )
f dan g mempunyai turunan parsial yang kontinu untuk semua x, y , dengan: dy dt dx dt
f ( x, y ) , g ( x, y )
dy dx
f ( x, y ) g ( x, y )
(Hariyanto,1992:194)
Sebuah persamaan differensial disebut sistem jika terdiri dari n buah persamaan differensial (n
2) . Begitu juga manusia, dalam kehidupan ini
manusia dituntut untuk membentuk suatu sistem dengan cara berinteraksi dengan manusia lain, yaitu dengan membentuk suatu sistem kemasyarakatan. Sebagai contoh dalam proses pembayaran zakat, yang terdiri dari 3 komponen yang membentuknya, yaitu: .
x 1 = Pemberi zakat (muzakki) .
x 2 = Amil zakat .
x 3 = Penerima zakat (mustakhiq zakat)
.
.
.
Dalam konsep matematika, variabel x1 , x 2 dan x 3 akan membentuk suatu sistem persamaan differensial. Sehingga analoginya, antara pemberi zakat (muzakki), amil zakat dan penerima zakat (mustakhiq zakat) akan membentuk suatu sistem, yaitu proses pembayaran zakat.
D. Masalah Nilai Awal Definisi 3: Masalah nilai awal persamaan bagi persamaan differensial orde-n yaitu: F x, y ,
dy , dx
,
dny dx n
0
diartikan sebagai mencari sebuah selesaian persamaan differensial dalam interval
I :a
x
b
sedemikian
y ( x0 )
y 0 , y ' ( x0 )
a
b dan y 0 , y1 ,
x
y1 ,
hingga
, y ( n 1) ' ( x0 )
, yn
1
di
yn
titik 1
berlaku
x0 dengan
x0
kondisi dalam
awal selang
merupakan konstanta (kusumah,1989:35).
Masalah mencari solusi sistem persamaan differensial (2.3) pada selang I adalah mencari fungsi-fungsi y1
y1 ( x), y 2
pada selang I sehingga y1' , y 2' ,
y 2 ( x),
, yn
y n ( x) yang didefinisikan
, y n' ada (terdefinisi) pada I dan memenuhi
hubungan (2.3). Jadi fungsi-fungsi y1
y1 ( x), y 2
y 2 ( x),
, yn
y n ( x) adalah
solusi sistem persamaan persamaan differensial (2.3) pada selang I apabila fungsi-fungsi tersebut beserta turunannya memenuhi (2.3).
Mencari solusi sistem persamaan differensial (2.3) pada selang I yang memenuhi syarat awal y1 ( x0 )
a1 , y 2 ( x0 )
a2 ,
, y n ( x0 )
a n , x0
I disebut
masalah nilai awal (Nababan,1987:8.5).
E. Konsep Dasar dan Definisi Sistem Otonomus 1. Persamaan diferensial non linear orde dua Bentuk umum persamaan diferensial non linear orde dua yaitu: d 2x dt 2
F x,
dx dt
(2.7) (L.Ross.1984:632)
d 2x Contoh: 2 dt
( x 2 1)
dx dt
x 0
(2.8)
Dengan ยต adalah suatu konstanta positif. Hubungan antara persamaan (2.7) dan (2.8) adalah F x,
Jika y =
dx dt dy dt
dx dt
dx d 2x maka dt dt 2
( x 2 1)
dx dt
x.
F x, y atau
y sistem persamaan diferensial nonlinear F ( x, y )
2. Bidang Phase Bidang phase adalah suatu bidang dari variabel-variabel x dan
y=
dx karena dt
dx dx , maka bidang phase xy adalah penyederhanaan dari x dan yang telah dt dt
dijelaskan diatas (L.Ross.1984:633).
3. Sistem Otonomus Sistem otonomus adalah sistem yang berbentuk:
dx dt dy dt
f x, y (2.9)
g x, y
Dengan variabel bebas t , yang terlihat hanya pada pendeferensialan dt diruas kiri dan tidak eksplisit pada fungsi f dan g diruas kanan (L.Ross.1984:633)
4. Lintasan atau Orbit dari Sistem Otonomus Lintasan atau orbit dari sistem otonomus adalah suatu kurva pada bidang xy yang didefinisikan oleh solusi x
f (t ), y
g (t ) .
Jika pasangan terurut fungsi yang didefinisikan oleh solusi x dengan t i
x
f (t ), y
g (t )
adalah sebarang bilangan real, maka pasangan terurut fungsi
f (t ti ), y
g (t ti ) juga merupakan solusi dari sistem otonomus, walaupun
kedua solusi tersebut berbeda, namun keduanya mendefinisikan lintasan yang sama (L.Ross.1984:633).
5. Solusi dari Sistem otonomus Solusi dari sistem otonomus adalah suatu pasangan terurut fungsi sedemikian hingga otonomus. dy dx
Hasil
Q ( x, y ) P ( x, y )
x
f (t ), y
eliminasi
g (t )
variabel
f ,g
memenuhi kedua persamaan sistem t
dari
sistem
otonomus
adalah
dengan P ( x, y ) 0
Menunjukkan suatu kemiringan lintasan dari sistem otonomus (L.Ross.1984:634).
6. Titik kritis dari sistem otonomus Definisi 4: Diberikan sistem otonomus
dx dt dy dt
f ( x, y ) (2.10)
g ( x, y )
Dititik x0 , y0 yang keduanya f x0 , y 0
0 dan g ( x0, y 0 )
0 maka titik x0 , y 0
ini disebut dengan titik kritis dari sistem otonomus.(L.Ross.1984:634) Sistem otonomus dan titik kritisnya dalam kajian agama di kaitkan pada penciptaan tujuh langit yang berlapis-lapis, dimana antara lapisan satu dengan yang lainnya saling seimbang. Firman Allah dalam surat Al-Mulk:3 yaitu:
Artinya: Yang Telah menciptakan tujuh langit berlapis-lapis. kamu sekali-kali tidak melihat pada ciptaan Tuhan yang Maha Pemurah sesuatu yang
tidak seimbang. Maka Lihatlah berulang-ulang, Adakah kamu lihat sesuatu yang tidak seimbang? (Qs.Al-Mulk / 67:3)
Ayat diatas menjelaskan tentang pentingnya kesetimbangan, Allah menciptakan segala sesuatu dengan seimbang sehingga tidak akan terjadi kekacauan antara yang satu dengan yang lainnya, dan kesetimbangan sangat diperlukan dalam sistem otonomus.
F. Metode Euler 1. Pengertian Metode Euler Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling tua dan paling sederhana dalam menyelesaikan persamaan differensial. Metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan didalam mempelajari konsep-konsep yang terlibat dalam metode lanjut (Triatmodjo,2002:169). Penyelesaian persamaan differensial biasa dengan metode Euler sangat sederhana, akan tetapi hasil penyelesaiannya sering merupakan penyelesaian pendekatan dengan nilai error yang cukup besar, biasanya untuk mengurangi nilai errornya diambil partisi h yang cukup kecil, akan tetapi hal ini akan menambah jumlah iterasinya. Metode ini juga dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan differensial. Penyelesaian dengan metode Euler tidak perlu mencari turunan-turunan fungsi terlebih dahulu (Prastyoko,2003:261). Metode ini juga digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal yang berbentuk:
y ' ( x)
f ( x, y ( x)), y ( x0 )
y 0 , x0
x
b dengan y n
y ( xn )
Untuk mencari y (x) , selang x0 , b dibagi menjadi N buah selang beraturan, sehingga diperoleh partisi P pada x0 , b yang didefinisikan dengan:
P
xi | i
xn
x0
0,1,2,3,
, N ; xi
nh, n 1,2,3,
xi
1
atau x0
x1
xn
x0
, N dan h
x2
xn
b,
N
Adapun rumus Euler dapat diperoleh sebagai berikut: y
dy dx
yi
f ( xi , y i )
a
1
yi
h
xi
xi
x
1
Gambar 2.1. Rumus Euler
Persamaan garis singgung a dititik xi , y i adalah: m
yi xi
1 1
yi xi
(2.11)
Atau:
dy dx
m
(2.12)
f ( xi , y i )
Dan dari persamaan (2.11) dan (2.12) maka:
yi xi yi
f ( xi , y i )
1
yi xi
1
yi
xi
1
Karena xi
xi
1
h maka y i
xi
1
f ( xi , y i ) yi
1
h f ( xi , y i )
(2.13)
Persamaan (2.13) disebut Rumus Euler.
i
Dengan:
0,1,2,
,n
y i 1 = hampiran sekarang
y i = hampiran sebelumnya h = ukuran langkah
Dalam metode Euler selesaian yang di peroleh berupa urutan nilai y i untuk x
xi dengan i
0,1,2,
,n 1
Jika urutan titik-titik xi , y i
tersebut di hubungkan dengan segmen garis maka
akan terbentuk bangun yang dinamakan rantai poligon. Untuk masalah nilai awal yang berbentuk: '
x
f (t , x, y )
'
y
g (t , x, y )
x(t 0 )
x0 ,
y (t 0 )
y0
Maka Rumus Euler untuk sistem berbentuk sebagai berikut:
xi
1
xi
f (t i , xi , y i )h, i
0,1,2,
,n
yi
1
yi
g (t i , xi , y i )h, i
0,1,2,
,n
dengan t i
1
ti
h
Contoh: Carilah hampiran selesaian dari sistem persamaan differensial berikut pada interval 0
t
1:
dx dt
x
dy dt
x 2 y , dimana t
y
0, x
0.5, y
0.25
Dengan menggunakan metode Euler, pada interval yang sudah diketahui maka iterasi yang digunakan sebanyak 5! Penyelesaiannya: Karena jumlah iterasi sebanyak 5 maka diperoleh nilai h
1 0 5
0.2 , dengan
menggunakan rumus Euler untuk sistem maka hampiran selesaiannya adalah: Iterasi ke-1 x1
x0
f 1 (t 0 , x0 , y 0 ) * h
0.65 y1
y0
g1 (t 0 , x0 , y 0 ) * h
0.45 t1
t0
h
0 .2
Iterasi ke-2
x2
x1 0.87
f1 (t1 , x1 , y1 ) * h
y2
y1
g1 (t1 , x1 , y1 ) * h
0.76
t2
t1
h
0.4 Iterasi ke-3
x3
x2
f1 (t 2 , x 2 , y 2 ) * h
1.196 y3
y2
g1 (t 2 , x 2 , y 2 ) * h
1.238 t3
t2
h
0 .6
Iterasi ke-4
x4
x3
f1 (t 3 , x3 , y 3 ) * h
1.6828 y4
y3
g1 (t 3 , x3 , y 3 ) * h
1.9724 t4
t3
h
0.8 Iterasi ke-5 x5
x4
f1 (t 4 , x 4 , y 4 ) * h
2.4384 y5
y4
g1 (t 4 , x 4 , y 4 ) * h
3.09792 t5
t4 1
h
Dalam kajian agama, banyak sekali fenomena yang jika dikaji secara mendalam akan ditemukan konsep numerik (bilangan atau angka) di dalamnya. Konsep ulangan yang terdapat dalam numerik juga tercermin dalam kewajiban shalat yang diperintahkan Allah pada setiap manusia. Firman Allah dalam surat An-Nisa ayat 103 yaitu:
Artinya:
Sesungguhnya shalat itu adalah fardhu yang ditentukan waktunya atas orang-orang yang beriman. (Qs.An-Nisa / 4: 103)
Ayat di atas menjelaskan bahwa waktu-waktu shalat telah ditentukan waktunya dan menjadi ketetapan, baik itu shalat fardhu maupun shalat sunah, dalam sehari kita diwajibkan melakukan shalat fardhu 5 kali dalam waktu yang berbeda-beda, shalat 5 waktu yang diwajibkan dalam sehari (Dhuhur, ashar, magrib, isya , dan subuh) merupakan shalat wajib yang harus ditunaikan dan tidak boleh ditinggalkan. Sehingga ada proses yang dilakukan secara berulang-ulang dalam setiap shalat yang dikerjakan pada waktu yang berlainan dalam sehari. Begitupula dengan jumlah rakaat dalam shalat yang terdiri dari bilangan-bilangan dan angka-angka yang berbeda-beda tiap-tiap shalat, misalnya dhuhur dengan 4 rakaat, ashar 4 rakaat, magrib 3 rakaat, isya 4 rakaat, dan subuh dengan 2 rakaat yang merupakan bilangan dalam shalat dan sudah merupakan suatu ketetapan Allah. Hal diatas dapat digambarkan dalam diagram berikut ini:
Magrib(4 rakaat) (17.44) Ashar(4 rakaat) (14.52)
Dhuhur (4rakaat) (11.27)
Isya(4 rakaat) (18.59)
Subuh(2 rakaat) (03.47)
Selain perintah shalat yang diturunkan dengan segala perhitungan dan ketentuan-Nya, Allah juga menciptakan alam ini dengan perhitungan. Dalam Firmannya yang berbunyi:
Artinya: Dan kami jadikan malam dan siang sebagai dua tanda, lalu kami hapuskan tanda malam dan kami jadikan tanda siang itu terang, agar kamu mencari kurnia dari Tuhanmu, dan supaya kamu mengetahui bilangan tahun-tahun dan perhitungan. dan segala sesuatu Telah kami terangkan dengan jelas (Qs. Al-Isro / 17:12)
Ayat di atas menjelaskan akurasi hukum alam yang mengedarkan siang dan malam ini telah berbicara kepada kita tentang bukti ketelitian sang pengatur dan sang pencipta peredaran itu sendiri. Dengan hukum alam yang sangat akurat dan teliti ini, berkait pula amal perbuatan dan balasannya (Quthb,2003:242) begitu
pula dalam numerik yang perhitungannya selalu berulang-ulang dan memerlukan ketelitian.
2. Perkiraan Galat atau kesalahan Metode Euler Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematik hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak dari penyelesaian analitis. Galat atau kesalahan di definisikan sebagai selisih antara nilai sebenarnya dengan nilai hampiran. Secara matematis galat atau kesalahan di definisikan sebagai berikut: Galat = nilai sebenarnya
nilai hampiran
Ex = X-X
(2.14)
Dengan Ex : Galat X : nilai sebenarnya X : nilai hampiran Karena merupakan selisih antara nilai sebenarnya dan nilai hampiran maka nilai galat atau kesalahan dapat positif atau nol atau negatif, maka besar galat atau kesalahan didefinisikan sebagai harga mutlak nilai galat atau kesalahan. Salah satu tantangan metode numerik adalah menentukan taksiran galat atau kesalahan tanpa mengetahui nilai sebenarnya, karena nilai sebenarnya hanya dapat di cari jika fungsi yang di ketahui dapat di cari selesaiannya secara analitik. Untuk menentukan tafsiran atau nilai hampiran di gunakan pendekatan banyaknya selang, sedangkan galat atau kesalahan di taksir sebagai berikut: Galat = |hampiran sekarang
hampiran sebelumnya| atau galat = |yn+1 - yn|
dalam kasus nyata, besarnya galat atau kesalahan tidak dapat di hitung yang dapat di lakukan adalah menaksir atau memberi batas atas galat sekecil mungkin, misalnya batas galat sama dengan 10-9, sehingga |galat|
109 (Sa dijah,1991:5-7).
Dalam metode numerik galat atau kesalahan juga dipengaruhi dari masukan dan algoritma, kesalahan masukan dan algoritma terjadi di dalam semua pemakaian, pengaruh kesalahan ini pada keluaran yang dihitung hanya dapat diperkirakan sampai tahap tertentu. Tiga sumber galat atau kesalahan yang utama dalam numerik yaitu: a. Kesalahan masukan, timbul bila nilai-nilai y 0 ,
, y n yang diberikan
tidak eksak, sebagaimana biasanya nilai eksperimental atau nilai yang dihitung. b. Kesalahan pemotongan, adalah selisih y ( x)
p ( x) , yang diterima
pada saat memutuskan untuk menggunakan sebuah aproksimasi polinomial. Kesalahan pemotongan juga merupakan kesalahan algoritma c. Kesalahan pembulatan, terjadi karena komputer beroperasi dengan sejumlah angka yang tetap dan setiap angka yang berlebihan yang dihasilkan didalam perkalian atau pembagian akan hilang, kesalahan ini juga merupakan kesalahan algoritma yang lain. Kesalahan algoritma membuat konvergensi menjadi kabur yang secara teoritis harus terjadi, dan di dalam prakteknya didapatkan pengurangan h dibawah suatu tingkat tertentu akan menghasilkan kesalahan yang lebih besar. Jika kesalahan pemotongan diabaikan maka kesalahan pembulatan akan mengumpul,
yang akan membatasi ketelitian yang dapat diperoleh oleh sebuah metode yang diberikan (Scheid,1992:87). Konsep kesalahan dapat dianalogikan dengan dosa yang dilakukan manusia, hal ini tergantung dari perbuatan manusia di dunia, dan mereka akan mendapatkan balasannya kelak diakhirat, dosa yang kita lakukan baik ringan atau berat akan dihitung dengan sangat teliti dan tidak akan ada yang terlewatkan. Firman Allah:
Artinya: Sesungguhnya Allah Telah menentukan jumlah mereka dan menghitung mereka dengan hitungan yang teliti (Qs.Maryam / 19:94)
Ayat diatas menjelaskan bahwa Allah mengetahui kadar setiap peristiwa dan rinciannya, baik apa yang terjangkau oleh makhluk maupun yang mereka tidak dapat jangkau, seperti hembusan nafas, rincian perolehan rezeki dan kadarnya untuk masa kini dan mendatang (Quraish,2002:257). Selain itu ayat diatas juga menjelaskan bahwa Allah sangat cepat dalam menghitung dan sangat teliti, sedangkan dalam matematika, numerik adalah hitungan dengan bilangan yang dilakukan secara berulang-ulang dengan memerlukan ketelitian.
3. Algoritma Algoritma adalah prosedur yang terdiri atas himpunan berhingga aturan yang tidak boleh menimbulkan lebih dari satu penafsiran, yang merinci suatu
rangkaian berhingga operasi yang menyediakan penyelesaian atas suatu masalah.(Sa dijah,1991:12). Contoh: Tuliskan algoritma untuk perhitungan B
b1 , b2 ,
, bn
Sehingga algoritmanya dalam bentuk kalimat dapat ditulis sebagai berikut:
B
Langkah:
1
Untuk i 1,2,
B
,n
B * bi
Algoritma metode Euler untuk menghitung hampiran penyelesaian masalah nilai awal y '
f (t , y ) dengan y (t 0 )
y 0 pada t 0 b yaitu:
Masukan : nilai awal n, t 0 , b, y 0 dan fungsi f Keluaran : hampiran selesaian ( t i , y i ), dengan i 1,2, Langkah-langkah: Hitung h
b t0 n
untuk i 1,2, Hitung t i Selesai
ti
,n 1
h, y i
1
h * f t i 1 , yi
1
,n
G. Matlab Matlab (Matrik laboratory) adalah sebuah program untuk analisis dan komputasi numerik, yang merupakan suatu bahasa pemrograman matematika lanjutan yang di bentuk dengan dasar pemikiran dengan menggunakan sifat dan bentuk matriks (Arhami&Desiani,2005:1). Kegunaan Matlab secara umum adalah untuk: 1. Matematika dan Komputasi 2. Pengembangan Algoritma 3. Pemodelan, simulasi, dan pembuatan prototype 4. Analisis data, eksplorasi, dan visualisasi 5. Pembuatan aplikasi, termasuk pembuatan antarmuka grafis. Matlab adalah sistem interaktif dengan elemen dasar basis data array yang dimensinya tidak perlu dinyatakan secara khusus.
Hal ini di gunakan untuk
memecahkan banyak masalah perhitungan teknis, khususnya yang melibatkan matriks dan vektor (Hanselman&Littlefield,1997:VIII) Beberapa fungsi matematika umum dan kemampuan sains yang tersedia pada Matlab yaitu:
Tabel 2.1 Tabel fungsi matematika pada Matlab Fungsi Keterangan abs (x) absolute, harga mutlak atau besarnya bilangan kompleks acos (x) arc cos, invers cosinus acosh (x) arc cosh, invers cos hiperbolik angle (x) sudut suatu bilangan kompleks pada empat kuadran asin (x) arc sin, invers sinus asinh (x) arc sinh, invers sinus hiperbolik atan (x) arc tan, invers tangent atan2 (x) invers tangent untuk empat kuadran atanh (x) arc tanh, invers tangn hiperbolik ceil (x) pembulatan kea rah plus tak terhingga (keatas) conj (x) konjugat bilangan kompleks cos (x) Cosinus cosh (x) cosinus hiperbolik exp (x) eksponensial (ex) fix (x) pembulatan kearah nol floor (x) pembulatan kearah minus tak terhingga (ke bawah) gcd (x,y) faktor persekutuan terbesar dari bilangan bulat x dan y imag (x) bagian imajiner suatu bilangan kompleks lcm (x,y) kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan bulat x dan y log (x) logaritma natural (basis e) log10 (x) logaritma biasa (basis 10) real (x) bagian real suatu bilangan kompleks rem (x,y) sisa pembagian dari operasi x/y round (x) pembulatan ke arah bilangan bulat terdekat sign (x) menghasilkan tanda +,-,atau 0 untuk bilangan positif, negatif,dan nol sin (x) Sinus sinh (x) sinus hiperbolik sqrt (x) akar kuadrat tan (x) Tangent
Lembar kerja Matlab bukanlah merupakan suatu file yang dapat disimpan apalagi dibuka untuk waktu yang lain. Perintah-perintah dan data-data yang di ketikkan pada promt command line tidak dapat di edit dan hanya di simpan sementara waktu itu saja, yaitu selama memori penyimpanan tidak di hapus atau program di matikan.
Untuk membuat suatu file yang dapat di edit dan di simpan untuk di buka kembali, Matlab menyediakan tempat yang di namakan dengan M-file. Caranya buka menu File/ new/ M-file. Pada lembar kerja ini dapat mengetikkan perintahperintah dan data-data yng dapat di edit, di simpan dan di buka kembali. Dia dapat menyimpan M-file dengan membuka menu File/ Save di folder default work yang di sediakan Matlab, atau di folder pribadi anda. Selanjutnya anda dapat menjalankan dan mengetahui hasilnya setelah anda menjalankan (running) file pribadi (bukan folder work) tersebut dengan membuka pada menu Tools / Run. Jika M-file tersimpan di folder pribadi (bukan folder work)
maka sebelum
menjalankan program M-file buka dahulu menu File / set Path pada jendela kerja Matlab (Command Windows), kemudian klik tombol Browse untuk mengarahkan directory ke folder pribadi tempat M-file tersimpan.
BAB III PEMBAHASAN
Pada pembahasan ini penulis menguraikan sistem otonomus dengan metode Euler serta langkah-langkah atau algoritma dalam menyelesaikan sistem persamaan differensial non linear pada otonomus menggunakan metode Euler dan memberikan contoh serta menentukan selesaiannya dengan menggunakan bantuan program Matlab.
A. Sistem Persamaan Differensial Non Linear Pada Otonomus Dengan Metode Euler Bentuk umum sistem persamaan differensial non linear pada otonomus yaitu:
dx dt dy dt
f x, y (3.1)
g x, y Sistem tersebut dikatakan otonomus karena fungsi-fungsi f ( x, y ) dan
g ( x, y ) tidak tergantung dari t . Untuk mencari solusi eksak (solusi sebenarnya) dari sistem persamaan differensial (3.1) adalah sangat sukar bahkan tidak mungkin terutama bila f ( x, y ) dan g ( x, y ) non linear. Oleh karena itu yang dapat dilakukan adalah menyelidiki kelakuan solusi tersebut. Untuk penyelidikan solusi diperlukan gambar atau grafik dari solusi, grafik tersebut disebut juga sebagai lintasan atau trayektori dari solusi yang digambarkan dalam bidang xy yang disebut sebagai bidang fase. Untuk setiap x0 , y 0
dibidang xy terdapat solusi
tunggal yang melalui titik x0 , y 0
sebagai syarat awal. Pada skripsi ini penulis
hanya mengkaji grafik dari sistem persamaan differensial otonomus yang non linear hanya pada bidang phase, lintasan atau trayektori serta solusi dari sistem tersebut. Dari persamaan tersebut penulis menggunakan metode numerik khususnya metode Euler untuk menyelesaikannya, dimana metode ini merupakan pemecahan masalah dalam sistem karena lebih sederhana. Langkah-langkah metode Euler untuk menyelesaikan sistem persamaan differensial non linear pada otonomus yaitu: 1. Masukkan nilai awal x(t 0 ) , dan y (t 0 ) 2. Tentukan batas atas dan batas bawah untuk parameter t pada selang t0 , b
t0
t
b
3. Hitung nilai h dari iterasi sebanyak n yang diinginkan
xi
1
xi
f (t i , xi , y i ) * h
4. Hitung nilai y i
1
yi
g (t i , xi , y i ) * h
dengan t i
1
ti
h
5. Jika nilai x(t ) dan y (t ) dari fungsi f , g mempunyai kesalahan terkecil (mendekati nol) maka nilai x(t ) dan y (t ) dipakai untuk menganalisis sistem otonomus 6. Jika nilai kesalahan dari x(t ) dan y (t ) besar maka kita kembali pada item 3 (artinya kita mengulang sampai kita dapatkan selisih nilai x(t ) dan
y (t ) kecil (mendekati nol) dengan memperkecil h ). Secara umum rumusnya h
b t0 n
Dari langkah-langkah metode euler diatas penulis membuat bagan alur atau flow chart sebagai berikut:
Mulai
Masukkan nilai awal x(t 0 ) , dan y (t 0 )
Tentukan batas atas dan batas bawah pada selang t 0 t b
Hitung nilai h dari iterasi sebanyak n yang diinginkan
xi
1
xi
f (t i , xi , y i ) * h
Hitung y i
1
yi
g (t i , xi , y i ) * h
dengan t i
ti
1
h
Ya Apakah x(t ) dan y (t ) memenuhi?
Selesai
Tidak h
b t0 n
Gambar 3.1: Bagan Alur untuk Sistem persamaan Differensial non Linear pada otonomus menggunakan Metode Euler
B. Contoh Soal Pada Otonomus dan Penyelesaiannya Dengan Metode Euler dan Program Matlab Pada bab pembahasan ini penulis memberi contoh sistem persamaan differensial pada otonomus dengan menggunakan metode Euler. Penyelesaian dengan metode Euler ini tidak perlu mencari turunan-turunan fungsi terlebih dahulu. Penulis memberikan contoh yang ada tentang sistem otonomus non linear yaitu: dx dt
x 2 x 4 xy,
dy dt
2x 3y
xy
Untuk sistem ini berlaku nilai awal x(0) 1 dan y (0)
0
Penyelesaian dari contoh tersebut menggunakan langkah-langkah yang sudah diuraikan diatas yaitu: Langkah 1: Memasukkan nilai awal pada persamaan diatas yaitu x(t 0 ) =1 dan y (t 0 ) =0 untuk t 0
0 dan diselesaikan dengan metode Euler.
Langkah 2: Menentukan selang pada t 0 , b penulis memberikan selang 0
t
t0
t
b , dari persamaan diatas
2 untuk memperoleh grafik solusinya.
Langkah 3: Menghitung nilai h dari iterasi sebanyak n yang diinginkan, pada persamaan diatas penulis melakukan 5 iterasi maka diperoleh nilai h
2 0 5
0.4
Langkah 4: Menggunakan rumus Euler untuk melakukan perhitungan dari contoh yang sudah diberikan dengan diketahui fungsi f (t , x , y )
g (t , x, y )
2x 3y
xy maka diperoleh:
x
2x
4 xy
dan
Iterasi 1 x1
x0
f 1 (t 0 , x0 , y 0 ) * h
1 3 * 0,4 2,2 y1
y0
g1 (t 0 , x0 , y 0 ) * h
0 2 * 0 .4 0,8
t1
t0
h
0 0.4 0,4 Jadi x(0,4)
2,2 dan y (0,4)
0,8
Iterasi 2 x2
x1
f 1 (t1 , x1 , y1 ) * h
2,2 ( 0,4) * 0,4 2,024 y2
y1
g1 (t1 , x1 , y1 ) * h
0,8 3,76 * 0,4 2,304
t2
t1
h
0,4 0,4 0,8 Jadi x(0,8)
2,024 dan y (0,8)
Iterasi 3 x3
x2
f 1 (t 2 , x 2 , y 2 ) * h
2,024 ( 12,581184) * 0,4 3,0084736
2,304
y3
y2
g1 (t 2 , x 2 , y 2 ) * h
2,304 1,799296 * 0,4 3,0237184
t3
t2
h
0,8 0,4 1,2
Jadi x(1,2)
3,0084736 dan y (1,2)
3,0237184
Iterasi 4 x4
x3
f 1 (t 3 , x3 , y 3 ) * h
3,0084736 27,36168712 * 0,4 7,93620125
y4
y3
g1 (t 3 , x3 , y 3 ) * h
3,0237184 ( 24,18487938) * 0,4 6,650233352
t4
t3
h
1,2 0,4 1.6 Jadi x(1,6)
7,93620125 dan y (1,6)
6,650233352
Iterasi 5 x5
x4
f 1 (t 4 , x 4 , y 4 ) * h
7,93620125 234,9189648 * 0,4 101,9037872
y5
y4
g1 (t 4 , x4 , y 4 ) * h
6,650233352 ( 16,95448768) * 0,4 13,43202842 t5
t4
h
1,6 0,4 2
Jadi x(2) 101,9037872 dan y (2)
13,43202842
Langkah 5: Mencari nilai x(t ) dan y (t ) yang mempunyai kesalahan paling kecil (mendekati nol), dan nilai yang memenuhi untuk x(t ) dan y (t ) yaitu pada
(0,8) dengan x
t
2,024 dan y
2,304 dengan kesalahan sebesar 0,28
Dari perhitungan diatas, untuk mendapatkan nilai x(t 5 ) dan y (t 5 ) diperlukan informasi
dari
nilai
x(t 4 ), y (t 4 )
sedangkan
untuk
mendapatkan
nilai
x(t 3 ), y (t 3 ) diperlukan informasi dari nilai x(t 2 ), y (t 2 ) dan untuk mendapatkan nilai
x(t1 ), y (t1 )
diperlukan informasi dari nilai
Kesalahannya merupakan nilai dari x(t )
x(t 0 ), y (t 0 )
yaitu 1, 0 .
y (t ) . Untuk melakukan perhitungan
tersebut apabila partisinya semakin kecil maka akan memakan waktu, untuk itu diperlukan bantuan komputer. Sekarang penulis membandingkan metode Euler yang sudah dikerjakan diatas dengan program Matlab didapatkan: ========================================================== ======Program pencari solusi sistem persamaan differensial non linear==== =================Dengan Metode Euler====================== =================Rila Dwi Rahmawati======================= ================Nim:03510050============================== ========================================================== Sistem Persamaan Diferensial otonomus: f= Inline function:
f(t,x,y) = x+2*x-4*x.*y g= Inline function: g(t,x,y) = 2*x-3*y+x*y nilai awal,xo=1 nilai awal,yo=0 Masukkan jarak interval,h=0.4 Masukkan batas bawah interval pencarian=0 Masukkan batas atas interval pencarian=2 Hasil Komputasi: iterasi 1.0000 2.0000
t
y 0
0
x
Kesalahan
1.0000 1.0000
0.4000 0.8000 2.2000 1.4000
3.0000 0.8000 2.3040 2.0240 0.2800 4.0000
1.2000
3.0237 -3.0085 6.0322
5.0000 1.6000 -6.6502 7.9362 14.5864 6.0000 2.0000 -13.4320 101.9038 115.3358 ============================================== x = 2.024 y = 2.304 K = 0.28 t = 0.8 Waktu Komputasi = 0.3
Gambar 3.2 Grafik Metode Euler dengan h Apabila nilai partisinya semakin kecil yaitu dengan n
0,4
40 nilai h
2 0 40
0.05
maka hasil perhitungannya dengan Matlab yaitu: ========================================================== ======Program pencari solusi sistem persamaan differensial non linear==== =================Dengan Metode Euler====================== =================Rila Dwi Rahmawati======================= ================Nim:03510050============================== ========================================================== Sistem Persamaan Diferensial otonomus: f= Inline function: f(t,x,y) = x+2*x-4*x.*y g= Inline function:
g(t,x,y) = 2*x-3*y+x*y nilai awal,xo=1 nilai awal,yo=0 Masukkan jarak interval,h=0.05 Masukkan batas bawah interval pencarian=0 Masukkan batas atas interval pencarian=2 Hasil Komputasi: iterasi 1.0000
t 0
y
x
Kesalahan
0
1.0000 1.0000
2.0000 0.0500 0.1000 1.1500 1.0500 3.0000 0.1000 0.2057 1.2995 1.0938 4.0000 0.1500 0.3182 1.4410 1.1227 5.0000 0.2000 0.4375 1.5654 1.1279 6.0000 0.2500 0.5627 1.6632 1.1006 7.0000 0.3000 0.6914 1.7255 1.0342 8.0000 0.3500 0.8199 1.7458 0.9259 9.0000 0.4000 0.9430 1.7214 0.7784 10.0000 0.4500 1.0549 1.6549 0.6000 11.0000 0.5000 1.1494 1.5540 0.4046 12.0000 0.5500 1.2217 1.4299 0.2081 13.0000 0.6000 1.2688 1.2950 0.0262 14.0000 0.6500 1.2901 1.1606 0.1295 15.0000 0.7000 1.2875 1.0352 0.2523
16.0000 0.7500 1.2646 0.9239 0.3406 17.0000 0.8000 1.2257 0.8288 0.3969 18.0000 0.8500 1.1755 0.7500 0.4255 19.0000 0.9000 1.1183 0.6862 0.4321 20.0000 0.9500 1.0575 0.6356 0.4219 21.0000
1.0000 0.9961 0.5965 0.3995
22.0000 1.0500 0.9360 0.5672 0.3688 23.0000 1.1000 0.8789 0.5461 0.3328 24.0000 1.1500 0.8256 0.5320 0.2937 25.0000 1.2000 0.7770 0.5239 0.2530 26.0000 1.2500 0.7332 0.5211 0.2120 27.0000 1.3000 0.6944 0.5229 0.1715 28.0000 1.3500 0.6607 0.5287 0.1320 29.0000 1.4000 0.6319 0.5381 0.0938 30.0000 1.4500 0.6079 0.5508 0.0571 31.0000 1.5000 0.5886 0.5665 0.0221 32.0000 1.5500 0.5736 0.5848 0.0112 33.0000 1.6000 0.5628 0.6054 0.0426 34.0000 1.6500 0.5560 0.6281 0.0721 35.0000 1.7000 0.5528 0.6524 0.0996 36.0000 1.7500 0.5532 0.6782 0.1250 37.0000 1.8000 0.5568 0.7049 0.1481 38.0000 1.8500 0.5634 0.7321 0.1687
39.0000 1.9000 0.5727 0.7594 0.1867 40.0000 1.9500 0.5845 0.7864 0.2019 41.0000 2.0000 0.5984 0.8124 0.2139 ============================================== x = 0.58478 y = 0.57362 K = 0.011164 t = 1.55 Waktu Komputasi = 0.047
Gambar 3.3 Grafik Metode Euler dengan h
0,05
Dalam metode Euler dengan nilai h yang semakin kecil tetapi pada selang yang sama diperoleh nilai yang lebih baik dengan tingkat kesalahan semakin kecil. Berikut ini tabel hasil perhitungan metode Euler dengan h yang semakin kecil yaitu:
Tabel 3.4 Hasil perhitungan metode Euler untuk sistem persamaan Differensial non linear pada otonomus dengan nilai h yang semakin kecil Nilai Nilai Waktu Nilai h Nilai x Nilai y t kesalahan komputasi 0. 4 0 .8 2.024 2.304 0.28 0.016 0. 2 0 .1 0.05 0.025
1.8 1.5 1.55 1.55
0.089408 0.45889 0.58478 0.61782
0.06885 0.4754 0.57362 0.61725
0.020558 0.016512 0.011164 0.00056993
0.016 0.031 0.046 0.078
0.02 0.01 0.005
1.56 1.56 1.565
0.62656 0.63685 0.64302
0.62257 0.63724 0.64299
0.00039938 0.00039357 2.6415e 005
0.094 0.188 0.406
C. Analisis Penyelesaian Sistem Persamaan Differensial Non Linear Pada Otonomus Menggunakan Metode Euler Dengan Bantuan Matlab Dari hasil yang diperoleh dari sistem persamaan differensial non linear pada '
dengan
menggunakan metode Euler diatas, maka dapat dilakukan analisis
sebagai
otonomus
yaitu
x
'
xy
sistem
x 2 x 4 xy dan
y
2x 3y
berikut: Metode Euler merupakan metode satu langkah yang paling sederhana, dibanding dengan metode lainnya. Penulis menggunakannya untuk menganalisis sistem otonomus tentang bidang phase, lintasan dari sistem otonomus serta solusi dari sistem tersebut dimana dalam hal ini penulis memberikan selang tertentu yaitu 0 2 untuk nilai awal tersebut dan untuk mendapatkan grafik dan hasil solusi
yang
diinginkan.
Pada
persamaan
diatas
kondisi
awalnya
x(t 0 ) 1 dan f ( x0 , y 0 )
y (t 0 )
0 dan
0 , dimana syarat awal tersebut merupakan nilai
g ( x0 , y 0 )
0
sehingga
t0
0 .0 ,
dan
titik
( x0 , y 0 ) merupakan titik kritis dari sistem otonomus, sehingga nilai awal tersebut
merupakan nilai yang mendekati titik kritisnya agar diperoleh suatu perpotongan pada kurva persamaan, titik kritis atau titik kesetimbangan dari sistem otonomus yaitu titik pada saat x(t 0 ) dan
y (t 0 ) yaitu 0,0 , dalam perhitungan numerik
titik 0,0 akan membentuk sebuah garis linear, sehingga syarat awal untuk metode Euler diambil salah satu untuk memenuhi nilai x dan y , dan solusi untuk sistem persamaan differensial non linear pada otonomus. Dalam penyelesaian sistem ini
h
pada selang 0
0,4 dan n
t
2 analisis perhitungan pertama pada saat
5 nilai x(t ) dan y (t ) dari fungsi
f ,g
yang memenuhi
untuk sistem otonomus tentang bidang phase, lintasan dari sistem otonomus serta solusi dari sistem tersebut yaitu pada saat t
y
0.8 yaitu pada x
2.024 dan nilai
2,304 dengan nilai kesalahan terkecilnya 0,28 ini dapat dilihat pada tabel dan
gambar 3.2, bidang phase merupakan suatu bidang dari variabel x dan y yang menelusuri suatu kurva, sedangkan lintasan dari sistem otonomus merupakan suatu kurva dibidang x dan y yang didefinisikan oleh solusi x
f (t ), y
g (t )
dengan nilai x(t ) dan y (t ) pada kesalahan yang paling kecil, nilai tersebut merupakan lengkungan dari suatu kurva tersebut. Dan kurva tersebut akan bergerak sesuai dengan bertambah besarnya selang, sehingga lintasan dari sistem otonomus diatas membentuk suatu grafik yang digambarkan dalam bidang - xy , sedangkan solusi dari sistem otonomus merupakan suatu pasangan terurut dari
fungsi
f ,g
yang memenuhi kedua persamaan sistem otonomus tersebut
sehingga tampak terlihat jelas pada gambar 3.2 yaitu Pada saat t
0.8 nilai x dan
y berpotongan membentuk suatu kurva, dan nilai dari x(t ) dan y (t ) yang memenuhi merupakan solusi dari sistem otonomus dengan metode euler. Jadi solusi dari sistem otonomus terletak pada nilai x dan y pada saat t
0.8 dengan
nilai kesalahan yang terkecil. Pada hasil perhitungan kedua penulis memberikan nilai h yang semakin kecil yaitu 0.05 sehingga nilai n juga bertambah besar yaitu 40 dengan selang 0
t
2 . Disini terlihat jelas nilai x dan y pada nilai kesalahan terkecil untuk
solusi sistem otonomus terletak pada saat t
1.55 dapat dilihat dari tabel dan
gambar 3.3 diatas nilai x dan y yang memenuhi yaitu x
y
0.58478 dan nilai
0.57362 , dengan nilai kesalahan 0.011164 dimana bidang phase merupakan
suatu bidang dari variabel x dan y pada saat t , lintasannya membentuk suatu kurva atau gambar dari bidang - xy sedangkan solusi untuk sistem otonomus menggunakan metode euler yaitu nilai pada saat x(t ) dan y (t ) dengan tingkat kesalahan yang terkecil, dengan perpotongan suatu kurvanya juga terpenuhi pada nilai x dan y tersebut, Dari kedua tabel perhitungan dan gambar atau grafik untuk sistem persamaan differensial non linear pada otonomus menggunakan metode Euler tenyata hasilnya berbeda, untuk nilai h yang berbeda, terlihat pada tabel dan gambar diatas, untuk h yang lebih besar nilai x dan y terletak pada t yang besar dengan nilai kesalahannya juga relatif besar, sedangkan semakin kecil nilai
h maka nilai x dan y juga semakin kecil pada saat t yang lebih kecil dan nilai
kesalahannya juga relatif kecil, tetapi nilai x dan y akan konvergen berada pada t yang lebih kecil serta nilai kesalahan yang semakin kecil untuk h yang semakin
kecil. Hasil perhitungan dengan metode euler diatas dengan cara manual dan komputer dengan bantuan Matlab didapatkan hasil yang sama, hanya saja perhitungan dengan manual memakan waktu yang cukup lama, sedangkan dengan menggunakan Matlab perhitungan lebih cepat tetapi dengan nilai h yang semakin kecil akan mempengaruhi waktu komputasinya hal ini dikarenakan semakin kecil nilai h maka jumlah iterasinya semakin banyak, dapat di lihat dari hasil komputasi pada perhitungan diatas. Pada perhitungan pertama dengan h
0,4 diperlukan
waktu komputasi 0.3 sedangkan pada perhitungan kedua dengan nilai h yang semakin kecil yaitu 0.05 dibutuhkan waktu komputasi 0.047, sehingga apabila kita semakin memperkecil nilai h maka kita juga membutuhkan waktu komputasi yang lebih besar pula dan semakin baik untuk memperoleh solusi nilai x dan y dari sistem otonomus, hal ini dapat dilihat pada tabel 3.4 karena pada metode ini semakin kecil nilai h dan semakin besar n , maka semakin baik mendapatkan hasil yang diinginkan, tetapi apabila kita menggunakan nilai h yang sama tetapi dalam selang yang berbeda akan diperoleh hasil yang sama untuk x dan y pada saat t yang sama pula. Dalam metode Euler memang dibutuhkan ketelitian, dan metode ini merupakan metode numerik yang tertua dan terbaik untuk berbagai cara integrasi persamaan differensial. Pada perhitungan diatas, untuk menyelesaikan sistem persamaan differensial non linear dengan menggunakan metode Euler secara
manual dan Matlab terdapat kelebihan dan kelemahan. Kelebihan dengan manual yaitu dapat mengetahui langkah-langkah mengerjakan sistem persamaan differensial non linear pada otonomus menggunakan rumus Euler, sedangkan kelemahannya yaitu terlalu lama dalam proses perhitungannya apalagi dengan banyak iterasi serta kurang teliti. Sedangkan kelebihan dengan matlab yaitu jumlah iterasinya lebih teliti dan perhitungannya lebih cepat. Kelemahannya yaitu, langkah perhitungannya tidak dapat diikuti dan dengan iterasi yang besar matlab tidak dapat memperlihatkan hasil yang diinginkan.
BAB IV PENUTUP
Berdasarkan hasil pembahasan diatas dapat disimpulkan dan diberikan saran-saran sebagai berikut: A. Kesimpulan Untuk menyelesaikan sistem persamaan differensial non linear pada otonomus menggunakan metode Euler diperlukan langkah-langkah sebagai berikut: a. Memberikan nilai awal x(t 0 ) , dan y (t 0 ) yang sudah diketahui dari persamaan yang diberikan, dimana nilai x(t 0 ) , dan y (t 0 ) tersebut merupakan nilai titik kritis dari otonomus, dan salah nilai tersebut diambil dari titik kritisnya sehingga diperoleh nilai yang diinginkan yaitu nilai x dan y pada saat t b. Menentukan batas atas dan batas bawah untuk parameter t pada selang t 0 , b
t0
t
b
c. Menghitung nilai h dari iterasi sebanyak n yang diinginkan, semakin kecil nilai h maka akan memperoleh hasil yang lebih teliti.
d. Menghitung nilai x(t ) dan y (t ) dengan rumus euler yaitu:
xi
1
xi
f (t i , xi , y i ) * h
yi
1
yi
g (t i , xi , y i ) * h
dengan t i
1
ti
h
e. Jika nilai x(t ) dan y (t ) dari fungsi
f ,g
mempunyai nilai
kesalahan terkecil (mendekati nol) maka nilai x(t ) dan y (t ) dipakai untuk menganalisis sistem otonomus, tetapi jika nilai kesalahan
x(t ) dan y (t ) besar maka kita mengulang menghitung dengan h yang lebih kecil sampai kita dapatkan nilai kesalahan x(t ) dan
y (t ) kecil (mendekati nol) secara umum rumusnya h
b t0 , n
untuk mendapatkan hasil yang terbaik. Dalam metode Euler dibutuhkan ketelitian, semakin kecil nilai h maka akan didapatkan solusi penyelesaian yang lebih baik, karena metode ini merupakan metode satu langkah yang paling sederhana, dan semakin kecil nilai h perhitungannya memerlukan waktu yang lama.
B. Saran Berdasarkan temuan penelitian dan analisis maka saran untuk penelitian selanjutnya yaitu: 1. Bagi Pembaca diharapkan dapat mengembangkan analisis metode numerik yang lebih mendalam terutama pada metode Euler serta melakukan kajian lanjutan dengan metode numerik lainnya masalah sistem persamaan differensial non linear khususnya pada otonomus.
2. Mahasiswa yang sedang menempuh matakuliah metode numerik diharapkan dapat menggunakan hasil penelitian ini untuk dijadikan salah satu bahan rujukan dalam mempelajari metode numerik terutama yang berkaitan dengan sistem persamaan differensial non linear khususnya pada otonomus. 3. Bagi ahli matematika atau peneliti, diharapkan dapat melakukan penelitian lebih lanjut tentang metode numerik mengenai sistem persamaan differensial non linear yang masih dimungkinkan lagi untuk dilakukan dengan metode Euler.
DAFTAR PUSTAKA
Al-Maraghi, ahmad Mushthafa. 1987. Terjemah Tafsir Al-Maraghi. Semarang: CV.Toha Putra. Al-Qur an dan Terjemahannya.1989. Departemen Agama Republik Indonesia. Semarang: C.V.Toha Putra. Arhami, Muhammad& Desiani, Anita. 2005. Pemrograman Matlab. Yogyakarta: Andi. Ayres,Frank. 1995. Persamaan Differensial dalam Satuan SI metric. Jakarta: Erlangga. Conte, Samuel dan Carl de Boor. 1993. Dasar-Dasar Analisis Numerik Suatu Pendekatan Algoritma. Jakarta: Erlangga. Finizio Ladas. 1988. Diferensial biasa. Jakarta: Erlangga.
Hanselman, Duane. Littlefield, Bruce. 1997. Matlab Bahasa Komputasi Teknik. Yogyakarta: Andi Offset. Hariyanto. dkk. 1992. Persamaan Differensial Biasa. Jakarta: Universitas Terbuka. Kusumah, Yaya. 1989. Persamaan Differensial. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. Mathews, John H.D.Fink, Kurtis. 1981. Numerical methods using Matlab. Third edition. California state University. Fullerton. Nababan. 1987. Pendahuluan Persamaan Differensial Biasa. Jakarta: Universitas Terbuka. Nazir,Mohammad. 2003. Metode Penelitian. Jakarta: Ghalia Indonesia.
Pamuntjak & Santosa. 1990. Persamaan Diferensil biasa, fakultas MIPA. Bandung: Institut Teknologi Bandung.
Prastyoko, Abdul Munif Aries. 2003. Cara Praktis Penguasaan dan Penggunaan Metode Numerik, Edisi kedua. Surabaya: Guna Widya. Quthb, Sayyid. 2003. Tafsir Fi Zhilalil Qur an. Jakarta: Gema Insani.
Sa dijah.Cholis. 1991. Metode Numerik 1. Fakultas MIPA Malang: Universitas Negeri Malang. ___________. 1991. Metode Numerik 2. Fakultas MIPA Malang: Universitas Negeri Malang. Scheid, Francis. 1992. Analisis Numerik. Jakarta: Erlangga
Shepley L.Ross. 1984. Differential Equation. Newyork: John Wiley & Sons
Shihab, M.Quraish. 2002. Tafsir Al-Mishbah. Jakarta: Lentera hati.
Triatmodjo.Bambang.2002. Metode Numerik. Yogyakarta: Beta Offset.
This document was created with Win2PDF available at http://www.daneprairie.com. The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only.
