SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL
PENGERTIAN SOLUSI. Solusi dari suatu persamaan differensial adalah persamaan yang memuat variabelvariabel dari persamaan differensial dan memenuhi persamaan differensial yang diberikan. Jika f(x) merupakan solusi dari persamaan differensial, maka f(x) dan turunanturunannya akan memenihi persamaan differensial tersebut. Dalam hal ini f(x) disebut integral atau primitive dari persamaan differensial itu. Sedangkan yang dimaksud dengan solusi umum dari persamaan differensial order n adalah solusi dari persamaan differensial tersebut yang memuat n konstanta sebarang yang bebas liniear. Jika dari solusi umum itu, semua konstanta yang terdapat di dalamnya massing-masing diberi nilai tertentu, maka akan diperoleh solusi yang disebut solusi khusus persamaan differensial. Contoh 1 : Tunjukkan bahwa y x3 Ax B merupakan solusi dari persamaan differensial
d2y 6x . x2
Jawab : y x3 Ax B , maka
d2y dy 6x 3x 2 A dan dx 2 dx
d2y Ini menunjukkan bahwa y x Ax B merupakan solusi dari 2 6 x x 3
Misalkan A=1, B=2, maka akan diperoleh solusi khusus yaitu y x3 x 2
SOLUSI EKSPLISIT DAN IMPLISIT Definisi : Perhatikan persamaan differensial orde-n berikut : F[x, y, y’, y’’, …. , yn]=0
….. (1)
Dengan F adalah fungsi real yang memiliki (n + 2) argument, yakni x, y, y’,y’’, … , yn
Solusi Persamaan Differensial
1
1.
Misalkan f adalah fungsi bilangan real yang terdefinisi untuk semua x dalam suatu interval I dan mempunyai turunan ke-n untuk semua x yang ada di I. Fungsi f disebut solusi eksplisit dari persamaan (1) dalam selang I jika fungsi f memenuhi dua syarat berikut ini : a. F[x, f(x), f’(x), f’’(x), … , fn(x)], yang terdefinisi x I
….. (A)
b. F[x, f(x), f’(x), f’’(x), … , fn(x)] = 0, x I
….. (B)
Hal ini berarti bahwa substitusi f(x) dan variasi turunan untuk y dan turunannya yang berkorespondensi ke persamaan (1) akan membuat persamaan (1) menjadi suatu identitas di interval I. 2.
Suatu relasi g(x, y) = 0, disebut solusi implisit dari persamaan (1) jika relasi ini mendefinisikan sedikitnya satu fungsi bilangan real f dengan variabel x di interval I sedemikian sehingga fungsi ini adalah solusi eksplisit dari persamaan (1) pada interval ini
Latihan 1 : 1.
Selidikilah apakah f(x) = 2 sin x + 3 cos x merupakan solusi eksplisit untuk persamaan differensial
2.
Tunjukkan bahwa x3 + 3xy2 = 1 adalah solusi implisit dari persamaan differensial 2 xy
3.
dy x 2 y 2 0 pada interval 0 < x < 1. dx
Tunjukkan bahwa 5x2 y2 – 2x3 y2 = 1 adalah solusi implisit dari persamaan differensial x
4.
d2y y 0 untuk x R. dx 2
5 dy y x3 y 3 pada interval 0 < x < dx 2
Tunjukkan bahwa tiap fungsi f yang didefinisikan oleh f(x) = (x3 + c)e – 3 x dengan c adalah suatu konstanta, adalah solusi dari persamaan differensial
5.
dy 3 y 3x 2e3 x dx
Tunjukkan bahwa tiap fungsi f yang didefinisikan oleh f ( x) 2 ce2 x , dengan c 2
adalah suatu konstanta, adalah solusi dari persamaan differensial
Solusi Persamaan Differensial
dy 4 xy 8 x dx
2
MASALAH NILAI AWAL (MNA) Setelah mengenal solusi persamaan differensial dan jenisnya, maka muncul pertanyaan berikutnya : apakah setiap persamaan differensial mempunyai solusi? Jika persamaan differensial tersebut mempunyai solusi apakah solusinya tunggal? Sebelum menjawab pertanyaan-pertanyaan diatas dijelaskan dahulu tentang apa yang disebut dengan masalah nilai awal (initial value problem). Pada solusi umum suatu persamaan differensial, dalam banyak kasus kita bisa mencantumkan n konstanta jika diketahui n nilai-nilai y (x0), y’(x0), . . . , y(n-1)(x0).
Definisi Masalah nilai awal untuk PD order-n f(x, y, y’, y”, . . ., yn) = 0 yaitu menentukan solusi PD tersebut pada interval I yang memenuhi n syarat awal di x0 I subset dari real y (x0) = y0 y’(x0) = y1 . . . y(n-1) (x0) = y(n-1) dimana y0, y1, …, yn-1 konstanta yang diberikan. Jika syarat awal x0 I, berbeda-beda misalnya x0, x1, …, xn-1, maka MNA disebut masalah nilai batas (MNB). Masalah nilai awal dan masalah nilai batas sering disebut masalah syarat batas. Contoh 2 : Carilah suatu solusi f dari persamaan differensial
dy 2 x sedemikian sehingga di titik dx
x=1, solusi ini mempunyai nilai 4. Jawab : Diketahui
dy 2 x , maka dy 2 xdx sehingga : dy 2 xdx y x 2 c dx
Untuk x = 1, nilai y = 4, maka nilai c yang memenuhi adalah
Solusi Persamaan Differensial
3
y x2 c 4 12 c c3
Jadi solusi dari
dy 2 x nilai awal x = 0 dan f(1) = 4 adalah y x 2 3 dx
TEOREMA 1 : EKSISTENSI DAN KEUNIKAN Hipotesis : Diberikan persamaan differensial 1.
dy f ( x, y ) dengan dx
Fungsi f adalah fungsi yang kontinu dari x dan y di beberapa domain D pada bidang xy
2.
Turunan parsial
f juga fungsi kontinu dari x dan y di domain D, dan misalkan y
( x0 , y0 ) adalah titik di domain D Maka Ada solusi unik (tunggal) dari persamaan differensial yaitu ϕ yang didefinisikan pada beberapa interval |x – xo|≤ h, dengan h cukup kecil, yang memenuhi kondisi ( x0 ) y0
Contoh 3 : Apakah masalah nilai awal
dy x 2 xy 3 , y (1) 6 mempunyai solusi yang tunggal? dx
Jawab : f(x, y) = x 2 xy 3 dan
f 3xy 2 merupakan fungsi yang kontinu dalam segiempat yang y
memuat titik (1, 6). Berarti hipotesis dari teorema 1 dipenuhi. Akibatnya masalah nilai awal mempunyai solusi tungga dalam suatu interval di sekitar x = 1 dengan bentuk |x– 1|≤ h dengan h cukup kecil.
Solusi Persamaan Differensial
4
Contoh 4 : Apakah masalah nilai awal
dy 3 y 2/3 , y(2) = 0 mempunyai solusi yang tunggal? dx
Jawab : f(x, y) = 3y 2/3 sehingga
f f tidak kontinu dan tidak didefinisikan 2 y 1/3 , akan tetapi y y
di y = 0. Akibatnya tidak ada segiempat yang memuat titik (2, 0) dimana f dan
f y
keduanya kontinu. Karena hipotesis teorema 1 tidak dipenuhi, maka masalah nilai awal tidak mempunyai solusi.
Latihan 2 dy = 2y pada interval (- , ) dx 1 dy b. Buktikan bahwa y2 + x – 3 = 0 solusi = pada interval (- , ) dx 2y
1. a. Buktikan bahwa y = e2x solusi
c. Tunjukkan bahwa x3 + 3xy2 = 1 merupakan solusi implisit persamaan differensial 2xy
dy + x2 + y2 = 0 pada interval 0 < x < 1 dx
2. Tunjukkan bahwa setiap fungsi yang didefinisikan oleh f(x) = (x2 + c)e-3x, dengan c dy merupakan konstanta sebarang merupakan solusi persamaan differensial + 3y = dx 3x2e-3x Dalam soal 3 sampai 15, buktikan fungsi yang diberikan merupakan solusi PD yang diberikan disebelahnya:
3. y sin x x 2 , 4. x cos t 2 sin t
y " y x 2 2 x" x 0
5. y A cos x B sin x
y " y 0
6. y e 3e 2x
x
7. x 2 y 2 y 8. y ( x 2 c) 2 0
Solusi Persamaan Differensial
y " y ' 2 y 0 y '
x y
y ' xy 2
5
e xy y y ' xy e x 2 xy y" y 1
9. e y x 1 xy
10. y ln y x 2 1 11.sin y xy x 3 2
y"
dy y x 1 dx d2y dy 7 12 y 0 2 dx dx 3 d y dy 3 2 y 4x2 3 dx dx d2y dy (1 x 2 ) 2 4 x 2 y 0 dx dx
12.( x) x 3e x 13.( x) 2e3 x 5e 4 x 14.( x) e x 2 x 2 6 x 7 15. f ( x)
6 xy ' ( y ')3 sin y 2( y ') 2 3x 2 y
1 1 x2
16. Tentukan nilai m sehingga (x) = emx solusi PD : a. y” + 6y’ + 5y = 0 b. y’” + 3 y “ + 2 y’ = 0 c. y’” – 3y” – 4y’ + 12 y = 0 17. Fungsi ((x) = c1 e2x + c2 e-x solusi y” – y’ – 2y = 0 Untuk sebarang konstanta c1 dan c2. Tentukan c1 dan c2 yang memenuhi syarat awal a. y(0) = 2,
y’(0) = 1
b. y(0) = 1,
y’(0) = 0
Dalam soal 18 s.d 20 selidikilah apakah masalah nilai awal mempunyai solusi yang tunggal, dy x3 y3 , dx dy 19. y sin 2 , d dy 20. cos y sin x, dx 18.
Solusi Persamaan Differensial
y (0) 6 y ( ) 5 y ( ) 0
6
