SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN INTEGRO-DIFERENSIAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR MENGGUNAKAN FUNGSI TRIANGULAR Suci Dini Anggraini1∗ , Khozin Mu’tamar2 1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru 28293, Indonesia ∗
[email protected]
ABSTRACT This article discusses solutions of nonlinear Volterra-Fredholm integro-differential equations using a new representation of triangular functions to transform the original equation into a system of nonlinear equation. The System of nonlinear equation is then solved using iterative methods for obtaining the approximated solutions of nonlinear Volterra-Fredholm integro-differential equations. Some numerical examples are given to compare their accuracy with the exact solution. Keywords: Triangular functions, new representation of triangular functions, nonlinear integro-differential equation, system of nonlinear equation ABSTRAK Artikel ini membahas tentang solusi persamaan integro-diferensial Volterra-Fredholm nonlinear menggunakan suatu representasi baru dari fungsi triangular yang berfungsi untuk mentransformasikan persamaan asal ke suatu bentuk sistem persamaan nonlinear. Sistem persamaan nonlinear ini kemudian diselesaikan menggunakan metode iterasi untuk memperoleh solusi aproksimasi dari persamaan integrodiferensial Volterra-Fredholm nonlinear. Beberapa contoh numerik diberikan untuk membandingkan keakuratannya dengan solusi eksak. Kata kunci: Fungsi triangular, representasi baru fungsi triangular, persamaan integro-diferensial nonlinear, sistem persamaan nonlinear 1. PENDAHULUAN Banyak permasalahan yang muncul dalam metode numerik, salah satunya berupa persamaan integral. Secara umum, terdapat dua jenis persamaan integral [8, h.33], yaitu persamaan integral Volterra dan persamaan integral Fredholm. Selain itu dikenal juga persamaan integro-diferensial Volterra-Fredholm yang merupakan Repository FMIPA
1
superposisi dari persamaan Volterra dan Fredholm. Beberapa metode untuk memperoleh solusi persamaan integal baik linear maupun nonlinear diantaranya metode dekomposisi Adomian, metode komputasi langsung, metode iterasi variasional dan lain sebagainya telah diterapkan pada [1-8]. Artikel ini membahas mengenai solusi numerik persamaan integro-diferensial Volterra-Fredholm yang bentuk umumnya diberikan oleh ( Rs R1 x0 (s) + q(s)x(s) + λ1 0 k1 (s, t)F (x(t))dt + λ2 0 k2 (s, t)G(x(t))dt = y(s), x(0) = x0 , dimana fungsi F (x(t)) dan G(x(t)) merupakan polinomial dari x(t) dengan koefisien konstan. Asumsikan F (x(t)) = [x(t)]n1 dan G(x(t)) = [x(t)]n2 dengan n1 dan n2 bilangan bulat positif. Tanpa menghilangkan bentuk umumnya diambil interval integrasi [0, 1], karena setiap interval hingga [a, b] dapat ditransformasikan ke bentuk [0, 1] dengan suatu transformasi [6]. Untuk mendapatkan solusi numerik persamaan integro-diferensial VolterraFredholm nonlinear, digunakan representasi baru dari fungsi triangular yang diubah menjadi suatu sistem persamaan nonlinear, sebagaimana yang diuraikan oleh Babolian et al.[3]. Pada artikel ini di bagian 2 diuraikan mengenai fungsi triangular dan representasi baru fungsi triangular yang akan digunakan untuk perhitungan solusi numerik persamaan integro-diferensial Volterra-Fredholm nonlinear. Kemudian pada bagian 3 dibahas mengenai solusi numerik persamaan integro-diferensial Volterra-Fredholm nonlinear menggunakan sistem nonlinear yang dihasilkan dari transformasi fungsi triangular. Selanjutkan pada bagian 4 mengaplikasikan sistem nonlinear untuk menyelesaikan persamaan integro-diferensial Volterra-Fredholm nonlinear dalam bentuk contoh numerik, dan di bagian 5 merupakan kesimpulan. 2. REVIEW DAN REPRESENTASI BARU FUNGSI TRIANGULAR Pada bagian ini dibahas mengenai fungsi triangular dan representasi baru fungsi triangular [3]. Fungsi triangular merupakan suatu fungsi ortogonal baru dimana fungsi ini telah diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah variasional oleh Babolian et. al. Untuk mengoptimalkan perhitungan, dibuat representasi baru dari fungsi triangular. Dengan representasi baru, suatu persamaan integro-diferensial VolterraFredholm nonlinear dapat direduksi ke suatu bentuk sistem persamaan nonlinear yang kemudian diselesaikan untuk memperoleh solusi numerik. 2.1 Fungsi Triangular Definisi 1 Fungsi triangular [3] merupakan suatu fungsi yang terdiri dari 2m-himpunan fungsi, himpunan fungsi sisi kiri ke-i yaitu T 1i (t) dan himpunan fungsi sisi kanan ke-i yaitu
Repository FMIPA
2
T 2i (t). Fungsi triangular pada interval [0, T ) didefinisikan dengan ( 1 − t−ih , untuk ih ≤ t < (i + 1)h, h T 1i (t) = 0, untuk lainnya. ( t−ih , untuk ih ≤ t < (i + 1)h, h T 2i (t) = 0, untuk lainnya. Dengan i = 0, 1, ..., m − 1, m bilangan bulat positif dan m merupakan banyak T partisi berbentuk segitiga pada fungsi triangular. Misalkan h = m dan diasumsikan T = 1, maka fungsi triangular terdefinisi pada interval [0, 1) dengan h = m1 . Fungsi triangular memiliki sifat disjoint dan orthogonal [5]. Bentuk vektor fungsi triangular diberikan oleh [3] T1(t) = [T 10 (t), T 11 (t), . . . , T 1m−1 (t)]T ,
(1)
T2(t) = [T 20 (t), T 21 (t), . . . , T 2m−1 (t)]T ,
dengan T1(t) dan T2(t) berturut-turut merupakan vektor sisi kiri dan vektor sisi kanan dari fungsi triangular. Produk perkalian dua vektor fungsi triangular [5], yaitu T 10 (t) 0 ··· 0 0 T 11 (t) · · · 0 T T1(t)T1 (t) ' = diag(T1(t)), .. .. .. . . . . . . 0 0 · · · T 1m−1 (t) (2) T 20 (t) 0 ··· 0 0 T 2 (t) · · · 0 1 T2(t)T2T (t) ' = diag(T2(t)), .. .. .. . . . . . . 0 0 · · · T 2m−1 (t) T1(t)T2T (t) = T2(t)T1T (t) ' 0, Produk integral dua vektor fungsi triangular [5], yaitu Z 1 Z 1 h T T1(t)T1 (t)dt = T2(t)T2T (t)dt ' I, 3 Z0 1 Z0 1 h T1(t)T2T (t)dt = T2(t)T1T (t)dt ' I. 6 0 0
(3)
Untuk mentransformasikan suatu fungsi f (t) ke bentuk lain yang bergantung pada fungsi triangular, diambil ci = f (ih)dan di = f ((i + 1)h) sebagai koefisien fungsi triangular dengan i = 0, 1, . . . , m − 1. Transformasi suatu fungsi f (t) ditulis f (t) '
m−1 X
f (ih)T 1i (t) +
i=0 T
m−1 X i=0
f (t) ' c T1(t) + dT T2(t). Repository FMIPA
f ((i + 1)h)T 2i (t) =
m−1 X i=0
ci T 1i (t) +
m−1 X
di T 2i (t),
i=0
(4) 3
Pada operasi pengintegralan matriks fungsi triangular, didefinisikan P 1 dan P 2 sebagai matriks operasi berukuran m × m, 0 1 1 ··· 1 1 1 1 ··· 1 0 0 1 ··· 1 0 1 1 ··· 1 h h 0 0 0 ··· 1 P1 = (5) , P2 = 0 0 1 ··· 1 . 2 .. .. .. . . .. 2 .. .. .. . . .. . . . . . . . . . . 0 0 0 ··· 0 0 0 0 ··· 1 Matriks operasi P 1 dan P 2 pada persamaan (5) diperoleh dari integral dari sisi Rs Rs kiri dan sisi kanan fungsi triangular berturut-turut, 0 T1(τ )dτ dan 0 T2(τ )dτ [5], yaitu Z s
T1(τ )dτ ' P 1T1(s) + P 2T2(s), 0
Z
(6)
s
T2(τ )dτ ' P 1T1(s) + P 2T2(s), 0
Sehingga integral dari persamaan (4) menjadi Z s f (τ )dτ ' (c + d)T P 1T1(s) + (c + d)T P 2T2(s). 0
2.2 Representasi Baru Fungsi Triangular Fungsi triangular gabungan merupakan superposisi 2m-vektor fungsi triangular yang didefinisikan dengan T(t), T1(t) T(t) = , 0 ≤ t < 1, (7) T2(t) dengan T1(t) dan T2(t) yang telah didefinisikan pada persamaan (1). Berdasarkan transformasi fungsi triangular pada persamaan (4), didefinisikan F 1 dan F 2 sebagai representasi baru dari koefisien fungsi triangular sebelumnya ci dan di , dimana F 1i = f (ih) dan F 2i = f ((i + 1)h), untuk i = 0, 1, . . . , m − 1. 2m-vektor F yang berbentuk F1 F = , F2 sehingga fungsi f (t) dapat dituliskan menjadi f (t) ' F 1T T1(t) + F 2T T2(t) = F T T(t).
(8)
Selajutnya terdapat fungsi k(s, t) yang ditransformasikan ke bentuk fungsi triangular gabungan untuk mendapatkan koefisien K. Transformasi fungsi k(s, t) [3] berbentuk k(s, t) ' TT (s)KT(t), dengan T(s) dan T(t) adalah fungsi triangular gabungan berukuran 2m dan 2m dan K adalah matriks koefisien fungsi triangular gabungan berukuran 2m × 2m, dengan Repository FMIPA
4
K11, K12, K21, K22 adalah fungsi k(s, t) di titik si dan tj sedemikian sehingga si = ih dan tj = jh, untuk i, j = 0, 1, . . . m. Sehingga, matriks K dapat ditulis (K11)m×m (K12)m×m K= , (K21)m×m (K22)m×m 2m×2m dengan elemen-elemen matriks K, yaitu (K11)ij = k(si , tj ), i = 0, 1, . . . m − 1, j = 0, 1, . . . m − 1, (K12) = k(s , t ), i = 0, 1, . . . m − 1, j = 0, 1, . . . m, ij i j (K21)ij = k(si , tj ), i = 0, 1, . . . m, j = 0, 1, . . . m − 1, (K22)ij = k(si , tj ), i = 0, 1, . . . m, j = 0, 1, . . . m. Produk dengan sistem transformasi baru dari fungsi triangular gabungan dihasilkan dari perkalian 2m-vektor fungsi triangular gabungan dengan suatu vektor X dan dengan suatu matriks B. Asumsikan X adalah 2m-vektor yang ditulis dengan X T = (X1 X2)T dengan X1 dan X2 adalah vektor berukuran m. Lalu, direpresentasikan produk perkalian dari fungsi triangular gabungan dengan vektor X yang tidak diketahui seperti T(t)TT (t)X. Dengan menggunakan produk perkalian dua vektor fungsi triangular pada persamaan (2) dan persamaan (7), diperoleh T1(t) X1 T T T T(t)T (t)X = (T1 (t) T2 (t)) T2(t) X2 T(t)TT (t)X ' diag(T(t))X = diag(X)T(t) e T(t)TT (t)X ' XT(t),
(9)
e = diag(X) adalah matriks diagonal berukuran 2m × 2m. Persamaan (9) dimana X merupakan aproksimasi produk perkalian dengan sistem transformasi baru dari dua vektor fungsi triangular gabungan dengan suatu vektor. Misalkan terdapat matriks B berukuran 2m × 2m (B11)m×m (B12)m×m B= , (B21)m×m (B22)m×m matriks B juga dapat diaproksimasikan dengan menggunakan produk dua vektor fungsi triangular pada persamaan (2), seperti (B11) (B12) T1(t) T T T T (t)BT(t) = (T1 (t) T2 (t)) (B21) (B22) T2(t) ' T1T (t)B11T1(t) + T2T (t)B22T2(t) b T T1(t) + B22 b T T2(t), ' B11 b dan B22 b adalah m-vektor dengan elemen yang sama dengan entri dari dimana B11 matriks B11 dan B22, sehingga b T T(t), TT (t)BT(t) ' B Repository FMIPA
(10) 5
b dengan elemen yang sama dengan entri dari matriks untuk setiap 2m-vektor B B. Persamaan (10) merupakan aproksimasi produk perkalian dengan sistem transformasi baru dari dua vektor fungsi triangular gabungan dengan suatu matriks. Dari persamaan produk integral dua vektor fungsi triangular pada persamaan (3), diperoleh Z 1 Z 1 T1(t) T (T1T (t) T2T (t))dt T(t)T (t)dt = T2(t) 0 0 h Z 1 Im×m h6 Im×m T 3 T(t)T (t)dt ' = D, (11) h h I I 0 6 m×m 3 m×m dimana D adalah matriks berukuran 2m × 2m. Persamaan (11) merupakan hasil produk integral dengan sistem transformasi baru dari dua vektor fungsi triangular gabungan. Rs Menggunakan persamaan (6), integral fungsi 0 T(τ )dτ dapat diaproksimasikan dengan Z s Z s T1(τ ) T(τ )dτ = dτ T2(τ ) 0 0 Z s P 1T1(s) + P 2T2(s) T(τ )dτ ' P 1T1(s) + P 2T2(s) 0 Z s T(τ )dτ ' P T(s). (12) 0
Jadi, aproksimasi integral f (t) dapat dituliskan Z s Z s f (τ )dτ ' F T T(τ )dτ = F T P T(s). 0
0
3. SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN INTEGRO-DIFERENSIAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR MENGGUNAKAN FUNGSI TRIANGULAR Misalkan terdapat suatu persamaan integro-diferensial Volterra-Fredholm nonlinear dengan bentuk [3] ( Rs R1 x0 (s) + q(s)x(s) + λ1 0 k1 (s, t)[x(t)]n1 dt + λ2 0 k2 (s, t)[x(t)]n2 dt = y(s) (13) x(0) = x0 , 0 ≤ s < 1, n1 , n2 ≥ 1, dengan parameter λ1 dan λ2 dan fungsi-fungsi q(s), y(s), k1 (s, t) dan k2 (s, t) diketahui tetapi x(s) tidak diketahui. Solusi numerik dari persamaan integrodiferensial Volterra-Fredholm nonlinear dihitung dengan mengaproksimasi fungsi menggunakan fungsi triangular gabungan. Fungsi aproksimasi x(s), x0 (s), q(s), y(s),
Repository FMIPA
6
[x(s)]n1 , [x(s)]n2 , k1 (s, t), dan k2 (s, t) dalam bentuk fungsi triangular gabungan, dapat ditentukan seperti pada persamaan (8). Fungsi aproksimasi diperoleh seperti x(s) ' X1T T1(s) + X2T T2(s) = X T T(s) = TT (s)X, x0 (s) ' X10T T1(s) + X20T T2(s) = X 0T T(s) = TT (s)X 0 , q(s) ' Q1T T1(s) + Q2T T2(s) = QT T(s) = TT (s)Q, y(s) ' Y 1T T1(s) + Y 2T T2(s) = Y T T(s) = TT (s)Y, [x(s)]n1 ' XnT1 T(s) = TT (s)Xn1 ,
(14)
[x(s)]n2 ' XnT2 T(s) = TT (s)Xn2 , k1 (s, t) ' TT (s)K1 T(t), k2 (s, t) ' TT (s)K2 T(t), dengan X, X 0 , Q, Y, Xn1 , dan Xn2 berupa 2m-vektor dan K1 , K2 berupa matriks 2m × 2m adalah koefisien fungsi triangular gabungan dari x(s), x0 (s), q(s), y(s), [x(s)]n1 , [x(s)]n2 , k1 (s, t) dan k2 (s, t). Lemma 2 [3]: Misalkan X adalah 2m-vektor dan Xn adalah koefisien fungsi triangular gabungan dari x(s) dan [x(s)]n . Jika X = (X1 X2)T = (X10 , X11 , . . . , X1m−1 , X20 , X21 , . . . , X2m−1 )T , maka Xn = (X1n0 , X1n1 , . . . , X1nm−1 , . . . , X2n0 , X2n1 , . . . , X2nm−1 )T , dengan n ≥ 1 bilangan bulat positif. Bentuk representatif menggunakan fungsi triangular dari persamaan integrodiferensial Volterra-Fredholm nonlinear (13) adalah Z s T T T 0T T Y T(s) 'X T(s) + Q T(s)T (s)X + λ1 T (s)K1 T(t)TT (t)Xn1 dt+ 0 (15) Z 1 T T λ2 T (s)K2 T(t)T (t)Xn2 dt. 0
Substitusikan persamaan (9) dan persamaan (11) ke persamaan (15), diperoleh Z s T T 0T T e e Y T(s) 'X T(s) + (QT(s)) X + λ1 T (s)K1 Xn1 T(t)dt+ (16) 0 T λ2 T (s)K2 DXn2 , e adalah matriks diagonal. Oleh karena itu, Q eT = Q. e Selanjutnya, dengan dengan Q menggunakan matriks operasi P pada persamaan (12) ke persamaan (16), diperoleh e en1 P T(s) + λ2 (K2 DXn2 )T T(s). Y T T(s) 'X 0T T(s) + X T QT(s) + λ1 TT (s)K1 X (17) Repository FMIPA
7
en1 P = Xn1 sebagai matriks 2m × 2m dan mengikuti Dengan mengasumsikan λ1 K1 X persamaan (10), maka diperoleh en1 P T(s) = TT (s)Xn1 T(s) ' X b T T(s), TT (s)λ1 K1 X n1
(18)
ˆ n1 adalah 2m-vektor dengan komponen yang sama dengan entri diagonal dimana X en1 P . matriks λ1 K1 X Dengan mensubstitusikan persamaan (18) ke persamaan (17), diperoleh e b T T(s) + λ2 (K2 DXn2 )T T(s). Y T T(s) ' X 0T T(s) + X T QT(s) +X n1
(19)
Koefisien fungsi triangular gabungan dari persamaan (19) dapat ditulis e +X bn1 + λ2 K2 DXn2 , Y ' X 0 + QX atau e+X bn1 + λ2 K2 DXn2 . X0 ' Y − XQ
(20)
Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan (14) dan (12), diperoleh Z s x0 (τ )dτ, x(s) − x(0) = 0 0T
x(s) − x(0) ' X P T(s), x(s) ' X 0T P T(s) + x(0), x(s) ' X 0T P T(s) + X0T T(s), dengan X0 adalah 2m-vektor dari bentuk X0 = [x0 , x0 , . . . , x0 ]T . Akibatnya, dengan menggunakan persamaan (14) diperoleh koefisien fungsi triangular gabungan seperti X ' P T X 0 + X0 .
(21)
Dengan mensubstitusikan persamaan (20) ke persamaan (21), diperoleh e bn1 + λ2 P T K2 DXn2 = P T Y + X0 . (I + P T Q)X + PTX
(22)
Persamaan (22) merupakan sistem persamaan nonlinear dengan 2m komponen tidak diketahui yaitu X10 , X11 , . . . , X1m−1 , X20 , X21 , . . . X2m−1 untuk menghitung solusi numerik dari persamaan (13). Komponen dari X T = (X1 X2)T dapat dihasilkan dari perhitungan langsung atau dengan metode iteratif. Oleh karena itu, solusi aproksimasi x(s) ' X T T(s) atau x(s) ' X1T T1(s) + X2T T2(s) dapat dihitung dari persamaan (13) tanpa membutuhkan pengintegralan.
Repository FMIPA
8
4. CONTOH NUMERIK Contoh 1. Misalkan persamaan integro-diferensial nonlinear Z Z 1 s 2 1 1 3 0 x (s) + x(s) + sx (t)dt − tx (t)dt = y(s), 2 0 4 0 1 6 1 dengan y(s) = 2s + s2 + 10 s − 32 . Dengan kondisi awal diberikan x(0) = 0 dan 2 solusi eksak x(s) = s . Misalkan dipilih m = 16 dan m = 32, maka nilai setiap koefisien fungsi triangular gabungan pada persamaan (14) harus diperoleh terlebih dahulu. Solusi aproksimasi diperoleh seperti pada Tabel 1.
Tabel 1: Tabel Perbandingan Komputasi untuk Contoh 1 s 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Solusi Eksak 0.0000 0.0100 0.0400 0.0900 0.1600 0.2500 0.3600 0.4900 0.6400 0.8100 1.0000
Solusi Numerik (m = 16) (m = 32) 0.0000 0.0000 0.0109 0.0101 0.0407 0.0402 0.0907 0.0902 0.1610 0.1601 0.2501 0.2500 0.3611 0.3602 0.4908 0.4902 0.6408 0.6402 0.8111 0.8102 1.0001 1.0000
Contoh 2. Misalkan persamaan integro-diferensial nonlinear Z s Z 1 0 3 x (s) + 2sx(s) − (s + t)x (t)dt − (s − t)x(t)dt = y(s) 0
0
dengan y(s) = (− 32 s + 91 ) exp(3s) + (2s + 1) exp(s) + ( 43 − exp(1))s + 89 . Dengan kondisi awal x(0) = 1 dan solusi eksak x(s) = exp(s). Misalkan dipilih m = 16 dan m = 32, maka nilai setiap koefisien fungsi triangular gabungan pada persamaan (14) harus diperoleh terlebih dahulu. Solusi aproksimasi diperoleh seperti pada Tabel 2.
Repository FMIPA
9
Tabel 2: Tabel Perbandingan Komputasi untuk Contoh 2 s 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Solusi Eksak 1.0000 1.1051 1.2214 1.3499 1.4918 1.6487 1.8221 2.0137 2.2255 2.4596 2.7183
Solusi Numerik (m = 16) (m = 32) 1.0000 1.0000 1.1054 1.1050 1.2214 1.2212 1.3500 1.3498 1.4930 1.4921 1.6509 1.6502 1.8286 1.8265 2.0260 2.0234 2.2450 2.2415 2.4745 2.4726 2.6790 2.6795
5. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa proses untuk mendapatkan solusi numerik persamaan integrodiferensial Volterra-Fredholm nonlinear yaitu dengan menggunakan representasi fungsi triangular untuk mengubah sebuah persamaan integro-diferensial VolterraFredholm pada suatu bentuk sistem persamaan nonlinear. Untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinear ini hanya membutuhkan sampel fungsi, perkalian, penjumlahan matriks dan tidak membutuhkan pengintegralan. Selanjutnya dihasilkan solusi aproksimasi dengan perhitungan langsung atau menggunakan metode iteratif. Untuk menunjukkan konvergensi dan stabilitas, metode ini dijalankan dengan meningkatkan m sehingga hasil komputasi lebih akurat lagi. Metode ini dapat dijalankan dengan cepat bahkan untuk nilai m yang besar. Ucapan Terima Kasih Ucapan terima kasih diberikan kepada Dr. Leli Deswita, M.Si yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Babolian, E., R. Mokhtari, & M. Salmani. 2007. Using Direct Method for Solving Variational Problems via Triangular Orthogonal Functions. Applied Mathematics and Computation, 191: 206-217. [2] Babolian, E., Z. Masouri, & S. Hatamzadeh-Varmazyar. 2008. New Direct Method to Solve Nonlinear Volterra-Fredholm Integral and Integro-Differential Equation Using Operational Matrix with Block-Pulse Functions, Progress In Electromagnetics Research B, 8: 59-76. Repository FMIPA
10
[3] Babolian, E., Z. Masouri, & S. Hatamzadeh-Varmazyar. 2009. Numerical Solution of Nonlinear Volterra-Fredholm Integro-Differential Equations Via Direct Method Using Triangular Functions, Computers and Mathematics with Applications, 58: 239-247. [4] Brunner, H. 2004. Collocation Method for Volterra Integral and Related Functional Equation. Cambridge University Press, Cambridge. [5] Deb. A., A. Dasgubta, & G. Sarkar. 2006. A New Set of Orthogonal Functions and Its Application to the Analysis of Dynamic System, Journal of the Franklin Institute, 343: 1-26. [6] Delves, L. M. & J. L. Mohamed. 1985. Computational Methods for Integral Equations. Cambridge University Press, Cambridge. [7] Maleknejad, K. & Y. Mahmoudi. 2003. Taylor Polynomial Solution of High-Order Nonlinear Volterra-Fredholm Integro-Differential Equation. Applied Mathematics and Computation, 145: 641-653. [8] Wazwaz, A. M. 2011. Linear and Nonlinear Integral Equation. Higher Education Press, Beijing.
Repository FMIPA
11
