SOAL-SOAL PEMBAHASAN FUNGSI KOMPOSISI & INVERS FUNGSI

SOAL-SOAL PEMBAHASAN FUNGSI KOMPOSISI & INVERS FUNGSI Fendi Alfi Fauzi∗ 16 April 2014

1. Jika f (x) =

px ,

f x2 + x p konstanta positif, maka = ······ f (x + 1)

Jawab: f (x) = px 2 f x2 + x = px +x f (x + 1) = px+1 2 f x2 + x px +x = f (x + 1) px+1 2

=

px · px px · p

=

px p

2

2

= px · p−1 f x2 + x f (x + 1)

2 = p(x −1)

f x2 + x x2 −1) x ( Perhatikan pada ruas kanan menghasilkan p . Karena f (x) = p maka = f (x + 1) f x2 − 1 r x2 − 2x + 1 2. Fungsi f (x) = terdefenisi untuk ...... 16 − x2 Jawab: r x2 − 2x + 1 x2 − 2x + 1 Fungsi f (x) = terdefenisi jika ≥ 0. Perhatikan pada bagian pembi16 − x2 16 − x2 lang yaitu x2 − 2x + 1 = 0 dapat difaktorkan menjadi (x − 1)2 . Karena fungsi kuadrat selalu bernilai positif, maka kita hanya perlu meninjau penyebutnya yaitu 16 − x2 > 0. Perlu diketax2 − 2x + 1 tidak boleh bernilai negatif karena akar dari bilangan negatif akan hui juga bahwa 16 − x2 menghasilkan bilangan imajiner. Kembali pada 16 − x2 > 0 (4 − x) (4 + x) > 0 ∗

http://alfysta.blogspot.com

Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi

1

Fendi Alfi Fauzi


Dengan menguji pada garis bilangan, kita r mendapatkan batas-batas nilai x yaitu −4 < x < 4. x2 − 2x + 1 Jadi disimpulkan bahwa Fungsi f (x) = terdefenisi pada −4 < x < 4 16 − x2 f (x + 3) 2 x =...... 3. Jika fungsi f di defenisikan sebagai f (x) = 2 maka nilai f (x − 1) Jawab : Diketahui : f (x) = 2x , f (x + 3) = 2x+3 dan f (x − 1) = 2x−1 . f (x + 3) 2x+3 = f (x − 1) 2x−1 x+3 2 f (x + 3) 2 2 = f (x − 1) 2x−1 22x+6 = 22x−2 22x · 26 = 22x · (2)−2 26 = 2−2 = 26 · 22 = 64 × 4

f (x + 3) f (x − 1)

2 = 256

4. Jika f (x) = −x + 3 maka f x2 + f 2 (x) − 2f (x) =...... Jawab : f (x) = −x + 3 f x2 = −x2 + 3 f 2 (x) = (−x + 3) (−x + 3) = x2 − 6x + 9 2f (x) = −2x + 6 f x2 + f 2 (x) − 2f (x) = −x2 + 3 + x2 − 6x + 9 − (−2x + 6) = −6x + 12 + 2x − 6 = −4x + 6 5. Diketahui f (x + 1) = x2 − 1 dan g (x) = 2x maka (g ◦ f ) (x) =...... Jawab : Diketahui f (x + 1) = x2 − 1. Kita misalkan t = x + 1 → x = t − 1 sehingga f (t) = (t − 1)2 − 1 = t2 − 2t + 1 − 1 f (t) = t2 − 2t f (x) = x2 − 2x


2

Fendi Alfi Fauzi


(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = 2 x2 − 2x

= 2x2 − 4x 6. Jika f (x) = x3 + 2 dan g (x) = Jawab :

2 : x 6= 1 maka (g ◦ f ) (x) adalah ..... x−1

(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) 2 = 3 x +2−1 2 (g ◦ f ) (x) = x3 + 1 7. Jika f (x) = Jawab :

√ 2x dan g (x) = 2x maka (f ◦ g) (x) adalah ..... −4

x2

(f ◦ g) (x) = f (g (x)) √ 2 2x = √ 2 2x − 4 √ 2 2x = 2x − 4 √ 2 2x = 2 (x − 2) √ 2x (f ◦ g) (x) = x−2 8. Jika f (x) = −4x dan f (g (x)) = − x2 + 1 maka g (x) =...... Jawab : x +1 2 x − +1 2 − x2 + 1 −4 − x+2 2 −4 1 −x + 2 × 2 −4 1 − (−x + 2) 8 1 (x − 2) 8

f (g (x)) = − −4 (g (x)) = g (x) = = = = g (x) =

9. Diketahui (f ◦ g) (x) =

2x − 3 : x 6= −4 dan g (x) = (1 − x). Maka f (x) adalah .... x+4


3

Fendi Alfi Fauzi


Jawab : (f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (1 − x) =

2x − 3 x+4 2x − 3 x+4 2x − 3 x+4

Misalkan u = 1 − x maka x = 1 − u sehingga f (u) = = f (u) = f (x) =

2 (1 − u) − 3 (1 − u) + 4 2 − 2u − 3 5−u −2u − 1 5−u −2x − 1 5−x

10. Fungsi f : R → R dan g : R → R dinyatakan oleh f (x) = x + 2 dan (g ◦ f ) (x) = 2x2 + 4x + 1 maka g (2x) =...... Jawab : (g ◦ f ) (x) = 2x2 + 4x + 1 g (f (x)) = 2x2 + 4x + 1 g (x + 2) = 2x2 + 4x + 1 Misalkan x + 2 = y maka x = y − 2 sehingga g (y) = 2 (y − 2)2 + 4 (y − 2) + 1 = 2 y 2 − 4x + 4 + 4y − 8 + 1 = 2y 2 − 8y + 8 + 4y − 8 + 1 g (y) = 2y 2 − 4y + 1 g (x) = 2x2 − 4x + 1 g (2x) = 2 (2x)2 − 4 (2x) + 1 = 2 4x2 − 8x + 1 g (2x) = 8x2 − 8x + 1 11. Bila f (x) =

x+2 dengan x 6= 3 maka invers dari f (x) adalah f −1 (x) = ..... 3−x


4

Fendi Alfi Fauzi


Jawab: x+2 3−x x+2 y = 3−x 3y − xy = x + 2 f (x) =

3y − 2 = x + xy 3y − 2 = x (1 + y) 3y − 2 x = 1+y 3x −2 f −1 (x) = , x 6= −1 1+x 12. Invers dari f (x) = 1 − x3

1

5

+ 2 adalah....

Jawab: f (x) = y = y−2 =

1 − x3 1 − x3 1−x

1 5

1 5

+2 +2

1 3 5

(y − 2)5 = 1 − x3 x3 = 1 − (y − 2)5 q 3 x = 1 − (y − 2)5 1 5 3 x = 1 − (y − 2) 1 5 3 −1 f (x) = 1 − (x − 2) 13. Jika f (x) = 3x−1 maka f −1 (81) =.....


5

Fendi Alfi Fauzi


Jawab: f (x) = 3x−1 y = 3x−1 y = 3x · 3−1 1 y = 3x · 3 3y = 3x x =

3

log (3y)

f −1 (x) =

3

log (3x)

−1

(81) =

3

log (3 · 81)

=

3

f

log (243) = 3 log 35 = 5 ·3 log 3 = 5×1 f −1 (81) = 5 14. Fungsi f : R → R dan g : R → R dirumuskan dengan f (x) = (g ◦ f )−1 (10) adalah ....

1 x − 1 dan g (x) = 2x + 4 maka 2

Jawab : (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) 1 = 2 x−1 +4 2 = x−2+4 = x+2

(g ◦ f ) (x) = y y = x+2 x = y−2 (g ◦ f )−1 (x) = x − 2 (g ◦ f )−1 (10) = 10 − 2 = 8 15. Jika f −1 (x) =

3−x x−1 dan g −1 (x) = maka (f ◦ g)−1 (6) = .... 5 2


6

Fendi Alfi Fauzi


Jawab: (f ◦ g)−1 (x) =

=

=

= (f ◦ g)−1 (x) = (f ◦ g)−1 (6) = = =

16. Jika f (x) = Jawab :

f −1 ◦ g −1 (x) 3−x −1 2 5 3−x 2 − 2 2 5 1−x 2 5 1−x 10 1−6 10 −5 10 1 − 2

1 dan g (x) = x − 2 maka (g ◦ f )−1 (x)= ....... x−1

(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) 1 = −2 x−1 1 2 (x − 1) = − x−1 x−1 2x + 2 1 − = x−1 x−1 −2x + 3 (g ◦ f ) (x) = x−1 (g ◦ f ) (x) = y −2x + 3 y = x−1 xy − y = −2x + 3 xy + 2x = y + 3 x (y + 2) = y + 3 y+3 x = y+2 x+3 (g ◦ f )−1 (x) = , x 6= −2 x+2 17. Diketahui f (x) =5 log x dan g (x) =

x+3 maka (f ◦ g)−1 (x) = ....... 3x − 4


7

Fendi Alfi Fauzi


Jawab: (f ◦ g) (x) = f (g (x)) x+3 5 (f ◦ g) (x) = log 3x − 4 (f ◦ g) (x) = y x+3 5 y = log 3x − 4 x + 3 5y = 3x − 4 3x · 5y − 4 · 5y = x + 3 3x · 5y − x = 4 · 5y + 3 x (3 · 5y − 1) = 4 · 5y + 3 4 · 5y + 3 x = 3 · 5y − 1 4 · 5x + 3 (f ◦ g)−1 (x) = 3 · 5x − 1 18. Jika (f ◦ g) (x) = 4x2 + 8x − 3 dan g (x) = 2x + 4 maka f −1 (x) =...... Jawab : (f ◦ g) (x) = f (g (x)) f (g (x)) = 4x2 + 8x − 3 f (2x + 4) = 4x2 + 8x − 3 Misalkan u = 2x + 4 maka 2x = u − 4 ⇒ x =

u−4 2

u−4 u−4 2 +8 −3 f (u) = 4 2 2 1 2 = 4 u − 8u + 16 + 4u − 16 − 3 4

= u2 − 8u + 16 + 4u − 16 − 3 = u2 − 4u − 3 f (x) = x2 − 4x − 3


8

Fendi Alfi Fauzi


Misalkan f (x) = y maka y = x2 − 4x − 3 y = x2 − 4x + 4 − 7 y = (x − 2)2 − 7 y + 7 = (x − 2)2 p x−2 = y+7 p x = y+7+2 √ −1 f (x) = x+7+2 2x + 5 19. Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dengan f (x) = 2x + 4, g (x) = dan h (x) = x−4 g ◦ f −1 (x) dengan f −1 adalah fungsi invers dari f dan h−1 adalah invers dari h. Rumus fungsi h−1 (x) adalah .... Jawab : f (x) = 2x + 4 y = 2x + 4 2x = y − 4 y−4 x = 2 x − 4 f −1 (x) = 2 g ◦ f −1 (x) = g f −1 (x) x−4 +5 2 2 = x−4 −4 2 x−4+5 = x−4 8 − 2 2 x+1 = x − 12 2 2x + 2 h (x) = x − 12


9

Fendi Alfi Fauzi


Misalkan h (x) = y maka 2x + 2 x − 12 xy − 12y = 2x + 2 y =

xy − 2x = 12y + 2 x (y − 2) = 12y + 2 12y + 2 x = y−2 12x + 2 h−1 (x) = x−2 20. Fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh f (x) = x + 2 dan g (x) = 2x. Jumlah akar-akar persamaan (g ◦ f ) x2 − 24x = 0 adalah .... Jawab : (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = 2 (x + 2) (g ◦ f ) (x) = 2x + 4 y = 2x + 4 2x = y − 4 y−4 x = 2 x − 4 (g ◦ f )−1 (x) = 2 x2 − 24x − 4 (g ◦ f ) x − 24x = 2 x2 − 24x − 4 0 = 2 x2 − 24x − 4 = 0 −1

2

Berdasarkan teorema Vieta diperoleh b a (−24) = − 1 = 24

x1 + x2 = −

21. Ditentukan g (f (x)) = f (g (x)), jika f (x) = 2x + p dan g (x) = 3x + 120, maka nilai p adalah .... Jawab : g (f (x)) = 3 (2x + p) + 120 = 6x + 3p + 120 Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi

10

Fendi Alfi Fauzi


f (g (x)) = 2 (3x + 120) + p = 6x + 240 + p Karena g (f (x)) = f (g (x)) maka 6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p 2p = 120 p = 60 22. Jika f (3 + 2x) = 4 − 2x + x2 , maka f (1) = ..... Jawab : Diketahui : f (3 + 2x) = 4 − 2x + x2 . Misalkan y = 3 + 2x y−3 x = 2 y−3 2 y−3 + 4−2 2 2 1 2 4−y+3+ y − 6y + 9 4 y 2 6y 9 − + 7−y+ 4 4 4 28 4y y 2 6y 9 − + − + 4 4 4 4 4 y 2 10y 37 − + 4 4 4 x2 10x 37 − + 4 4 4 1 10 37 − + 4 4 4 28 4 7

f (y) = = = = = f (x) = f (1) = = f (1) =

23. Dari fungsi f : R → R dan g : R → R diketahui bahwa f (x) = x + 3 dan (f ◦ g) (x) = x2 + 6x + 7 maka g (−1) =. ....


11

Fendi Alfi Fauzi


Jawab : (f ◦ g) (x) = x2 + 6x + 7 f (g (x)) = x2 + 6x + 7 g (x) + 3 = x2 + 6x + 7 g (x) = x2 + 6x + 4 g (−1) = 1 − 6 + 4 g (−1) = −1 24. Diberikan fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh g (x) = x2 − 3x + 1. Jika (f ◦ g) (x) = 2x2 − 6x − 1 maka f (x) = .... Jawab : f (g (x)) = 2x2 − 6x − 1 f x2 − 3x + 1 = 2x2 − 6x − 1 Misalkan y = x2 − 3x + 1 y = (x − 1, 5) (x − 1, 5) − 1, 25 y = (x − 1, 5)2 − 1, 25 y + 1, 25 = (x − 1, 5)2 p y + 1, 25 = x − 1, 5 p x = y + 1, 25 + 1, 5

2 p p y + 1, 25 + 1, 5 − 6 y + 1, 25 + 1, 5 − 1 p p = 2 y + 1, 25 + 3 y + 1, 25 + 2, 25 − 6 y + 1, 25 + 1, 5 − 1 p p = 2y + 2, 5 + 6 y + 1, 25 + 4, 5 − 6 y + 1, 25 − 9 − 1

f (y) = 2

= 2y + 7 − 9 − 1 f (y) = 2y − 3 f (x) = 2x − 3 25. Suatu pemetaan f : R → R dengan (g ◦ f ) (x) = 2x2 + 4x + 5 dan g (x) = 2x + 3 maka f (x) =..... Jawab : g (f (x)) = 2x2 + 4x + 5 2f (x) + 3 = 2x2 + 4x + 5 2f (x) = 2x2 + 4x + 2 f (x) = x2 + 2x + 1 Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi

12

Fendi Alfi Fauzi

http://alfysta.blogspot.com 2

2

26. Jika fungsi f dan g adalah f : x → 2x 3 dan g : x → x 3 maka g ◦ f −1

√ 2 adalah ....

Jawab : 2

f (x) = 2x 3 2

y = 2x 3 y 3 = 2x2 y3 x2 = 2 r y3 x = r2 x3 f −1 (x) = 2 g ◦ f −1 (x) = g f −1 (x) r ! 32 x3 = 2 3 21 ! 23 x = 2 3 13 x = 2 x −1 g◦f (x) = 1 23 1 g ◦ f −1 (x) = x · 2− 3 √ 1 1 2 = 2 2 · 2− 3 g ◦ f −1 1

1

= 22−3 √ 1 g ◦ f −1 2 = 26 27. Dari fungsi f dan g diketahui f (x) = 2x2 + 3x − 5 dan g (x) = 3x − 2. Agar (g ◦ f ) (a) = −11 maka nilai a yang positif adalah ....


13

Fendi Alfi Fauzi


Jawab : (g ◦ f ) (x)

=

g (f (x))

=

3 2x2 + 3x − 5 − 2

=

6x2 + 9x − 15 − 2

=

6x2 + 9x − 17

(g ◦ f ) (a)

=

6a2 + 9a − 17

−11

=

6a2 + 9a − 17

6a2 + 9a − 6

=

0

2a2 + 3a − 2

=

0

(2a − 1) (a + 2) = 0 1 a= atau a = −2 2 Jadi a positif adalah a =

1 2

1−x untuk setiap bilangan Real x 6= 1. Jika g : R → R adalah suatu fungsi x sehingga (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = 2x + 1 maka fungsi invers g −1 (x) =....

28. Diketahui f (x) = Jawab :

(g ◦ f ) (x) = 2x + 1 g (f (x)) = 2x + 1 1−x f = 2x + 2 x Misalkan 1−x x tx = 1 − x t =

tx + x = 1 x (t + 1) = 1 x =

1 t+1


14

Fendi Alfi Fauzi

http://alfysta.blogspot.com g (t) = 2 = = g (x) = y = xy + y =

1 t+1

+1

2 t+1 + t+1 t+1 t+3 t+1 x+3 x+1 x+3 x+1 x+3

x − xy = y − 3 x (1 − y) = y − 3 y−3 x = 1−y x−3 g −1 (x) = , x 6= 1 1−x 29. Jika f (x) = Jawab :

2 1 dan g (x) = , x 6= 3 maka (f ◦ g)−1 (x) = ..... x+1 3−x

(f ◦ g) (x) = f (g (x)) 1 = 2 +1 3−x 1 = (3 − x) 2 + 3−x 3−x 1 = 5−x 3−x 3−x (f ◦ g) (x) = 5−x 3−x y = 5−x 5y − xy = 3 − x 5y − 3 = xy − x 5y − 3 = x (y − 1) 5y − 3 x = y−1 5x −3 (f ◦ g)−1 (x) = , x 6= 1 x−1 30. Jika f (x) =

√

x, x ≥ 0, dan g (x) =

x , x 6= 1 maka (g ◦ f ) (2) =...... x+1


15

Fendi Alfi Fauzi


Jawab : (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) √ x (g ◦ f ) (x) = √ x+1 √ x y = √ x+1 √ √ x y x+y = √ √ x−y x = y √ x (1 − y) = y √ y x = 1−y 2 √ 2 y x = 1−y 2 y x = 1−y 2 x −1 (g ◦ f ) (x) = 1−x 2 2 −1 (g ◦ f ) (2) = 1−2 = (−2)2 (g ◦ f )−1 (2) = 4 31. Diberikan fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh f (x) = x3 dan g (x) = 3x − 4. Jika a = g −1 ◦ f −1 (8) maka nilai dari f −1 ◦ g −1 (10a) adalah .... Jawab : g (x) = 3x − 4 y = 3x − 4 y+4 x = 3 x+4 −1 g (x) = 3 f (x) = x3 y = x3 √ x = 3y √ f −1 (x) = 3 x


16

Fendi Alfi Fauzi

http://alfysta.blogspot.com g −1 ◦ f −1 (x) = g −1 f −1 (x) √ 3 x+4 −1 −1 g ◦f (x) = 3 √ 3 8 +4 g −1 ◦ f −1 (8) = 3 2+4 a = 3 a = 2

f −1 ◦ g −1 (x) = f −1 g −1 (x) r 3 x + 4 = 3 r 3 10a + 4 f −1 ◦ g −1 (10a) = 3 r 3 10 (2) + 4 = 3 r 3 20 + 4 = 3 √ 3 8 = f −1 ◦ g −1 (10a) = 2 1 4 32. Fungsi f : R → R ditentukan oleh f (x) = 3x−1 dan g : R → R memenuhi (f ◦ g)−1 (x) = x − 6 3 maka g (x) =.... Jawab : f (x) = 3x − 1 y = 3x − 1 y+1 x = 3 x+1 −1 f (x) = 3 (f ◦ g)−1 (x) = f −1 g −1 (x) g −1 (x) + 1 1 4 = x− 3 6 3 3 12 −1 g (x) + 1 = x− 6 3 3 12 g −1 (x) = x− −1 6 3 3 15 g −1 (x) = x− 6 3 Kita sudah mengetahui bahwa g −1

−1

(x) = g (x) sehingga tugas kita tinggal meng inverskan


17

Fendi Alfi Fauzi


saja fungsi g −1 (x) diatas menjadi 3 15 x− 6 3 3 15 y = x− 6 3 3x − 30 y = 6 6y = 3x − 30

g −1 (x) =

3x = 6y + 30 6y + 30 x = 3 x = 2y + 10 g (x) = 2x + 10 Sekian dulu pembahasan yang dapat saya berikan. Mudah-mudahan dapat berguna bagi kita sekalian. Jika pembahasan diatas terdapat kesalahan agar kiranya dapat langsung menghubungi penulis lewat blog kami di http://alfysta.blogspot.com. Kesalahan penulisan maupun penger- jaan tidak terlepas dari kodrat kita sebagai manusia biasa. Jika anda memiliki ide yang lebih sederhana dapat langsung mengirimkannya juga di blog kami. Terima kasih

Minakarya, 9 Maret 2014 Penulis

Fendi Alfi Fauzi


18

SOAL-SOAL PEMBAHASAN FUNGSI KOMPOSISI & INVERS FUNGSI

Recommend Documents