SOAL LATIHAN Pra-Test Olimpiade Matematika2007 Written by : N4S4 1. Diketahui T= a. b. c. d. e.
T<1 T=1 12
, √ √√ √ √ √√ √√
maka…
3 √8√8 √7√7 √6√6 √5√5 √4
2. Jika P adalah hasil kali dari n bilangan yang membentuk barisan geometri, S merupakan jumlah dari n bilangan tersebut dan S’ adalah jumlah dari kebalikan masing-masing bilangan, maka nilai P dinyatakan dalam S,S’ dan n adalah..
a. !
"
b.
d.
e.
c. 3. Dua orang melakukan olahraga pagi di track yang berbentuk lingkaran.Orang pertama berjalan dengan kecepatan 5 m/s dan yang kedua 9 m/s.Mereka berangkat dari titik dan waktu yang sama,tetapi berbeda arah. Mereka berhenti setelah bertemu kembali dititik A,yaitu titik dimana mereka berangkat bersama.Berapa banyak mereka bertemu (tidak termasuk) pada saat berangkat dan selesai? a. 13 d. Tak hingga banyak b. 25 e. Tak ada yang benar c. 44 4. Misalkan # dan # dengan # $ # dan 3#% &#% ' untuk i = 1,2 .Nilai x1+x2 adalah.. ( d. 2b a. b. c.
( )
)
e.
5. Sekelompok bilangan positif memuat bilangan 68 mempunyai rata-rata 56.Jika bilangan 68 dibuang,maka rata-rata bilangan menjadi 55.Tentukan bilangan tebesar yang dapat muncul dalam kelompok tersebut. a. 520 d. 649 b. 565 e. Tidak ada yang benar c. 594 6. Jika Z menyatakan himpunan bilangan bulat dan f:Z f(n)=f(f(n+5)) jika n<1000. Tentukan f(84): a. 997 b. 998 c. 999
Z dengan sifat f(n)=n-3 untuk n>999 dan d. 1000 e. Tak ada yang benar
7. Suatu ujian terdiri dari 30 soal pilihan ganda.Seorang peserta menjawab benar sebanyak m pertanyaan, menjawab salah sebanyak n (tidak menjawab sebanyak 30-m-n) dan memperoleh nilai 30+4m-n.Seorang peserta memperoleh nilai N.Berdasarkan nilai N ini kita dapat menentukan banyaknya berapa banyak peserta tersebut menjawab pertanyaan dengan hasil yang benar, tetapi hal ini tidak benar untuk untuk nilai M yang memenuhi 80<M
a. 117 b. 118 c. 119
d. 120 e. Tidak ada yang benar
8. Berikut ini adalah bilangan real : x,y,z,w yang memenuhi : 2
2
2
untuk n=2,4,6,8 tentukan nilai x +y +z +w a. 16 b. 25 c. 36
2
*"
" "
+"
" "
,"
" "
-"
" "
=1 ,
d. 49 e. Tidak ada yang benar
9. Barisan bilangan bulat a1,a2,a3,…memenuhi an+2=an+1-an untuk n>0. Jumlah dari nilai suku sebanyak 1492 adalah 1985, jumlah dari nilai suku sebanyak 1985 adalah 1492 tentukan jumlah dari 2005 suku: a. -777 d. -1010 b. -888 e. Tak ada yang benar c. -999 10. Bilangan bulat positif A,B,C,D memenuhi . / , 1 2 dan C=A+19,carilah D-B a. 823 d. 757 b. 759 e. Tak ada yang benar c. 577 11. Diketahui persegi panjang ABCD dengan panjang sisi 6√2. Garis EF sejajar dengan persegi dan
mempunyai panjang 12√2.Sisi BCF dan ADE merupakan segitiga sama sisi. Hitung volume dari benda ABCDEF. d. 288 a. 18√2 b. 72 e. 288√2 c. 72√2
12. Hitung nilai minimum a. 12 b. 13 c. 14
5* " 6%" *7 * % *
dengan 0 : # : ;
d. 15 e. Tak ada yang benar
13. Diketahui 5 bilangan a,b,c,d,dan e sehingga a+b+c+d+e=8 dan < ' = > ? 16 tentukan nilai terbesar yang mungkin e: a. 16/5 d. 6/5 b. 2 e. Tak ada yang benar c. 8 14. Tentukan nilai minimum |# A| |# 15| |# A 15| jika x memenuhi A B # B 15 dengan 0 < p < 15 : a. 0 d. 30 b. 15 e. Tak ada yang benar c. -15
15. Pada gambar (tak diskala), Benda I dan III adalah segitiga sama sisi dengan luas masing-masing 32√3 dan 8√3 =C . Benda II adalah persegi panjang dengan luas 32 cm2, Jika panjang AD
menyusut sebanyak 12 %, tetapi panjang AB dan CD tetap tidak berubah demikian pula bentuknya.Berapa persen berkurangnya luas daerah persegi? a. 12,5 d. 75 b. 25 e. 87,5 c. 50
16. Diketahui persegi ABCD dan CMN adalah segitiga sama sisi. Jika luas persegi adalah 1 cm2, maka luas segitiga CMN adalah: a. 2√3 3 b. 1 c.
√
√
d.
√
e. 4 2√3
17. Titik sudut segiempat ABCD terletak pada lingkaran dengan sisi AD sebagai garis tengah lingkaran dan panjangnya 4, Panjang sisi AB dan BC adalah 1,maka sisi CD mempunyai panjang a. b.
√
d. √13 e. 2√3
c. √11 18. Nilai
√7√
E7√
a.
√
b. 1 c.
√
, adalah d. e.
5
19. Jika x menyatakan bilangan real dan 4F 4#F # 6 0 , maka nilai x yang mungkin agar y merupakan bilangan real adalah a. # B 2 atau # G 3 d. 3 B # B 2 e. 2 B # B 3 b. # B 2 atau # G 3 c. # B 3 atau # G 2 20. Misalkan m menyatakan bilangan bulat positif serta garis 13x+11y=700 dan y=mx-1 berpotongan dititik yang koordinatnya bilangan bulat.Tentukan banyaknya kemungkinan nilai m a. Hanya ada 4 nilai b. Hanya ada 5 nilai c. Hanya ada 6 nilai d. Hanya ada 7 nilai e. Salah satu dari bilangan bulat 4,5,6,7, dan salah satu bilangan positif lainnya
21. Diketahui a. b.
HIJ K L
M" L7O L7O M
HIJ ) M
HIJ N O
)"
log # dan # $ 1. Jika KN # + ,maka y =… c. 2q-p-r d. 2q-pr e. q2-pr
22. Misalkan m=10 32422 324 S 34 324 S 46 32458 324 dan n=4 32416 324 S 28 324 S 40 32452 324hitung m/n? a. 373 d. 573 b. 337 e. Tak ada yang benar c. 733 23. Pada gambar, dua persegi berada di dalam suatu segitiga siku-siku.Luas persegi yang pertama adalah 441 dan luas persegi yang kedua adalah 440, hitung jumlah dua sisi terpendek dari segitiga siku-siku a. 2.3.72 d. 2.3.112 b. 2.5.7.11 e. Tak ada yang benar c. 2.3.7.11 24. Diketahui bilangan real # , # , # , … , # U yang semuanya berbeda.Pertama kita bandingkan x1 dan x2. Jika x2 < x1 maka kita tukar urutannya yang lebih kecil diletakkan didepan.Selanjutnya bilangan kedua dan ketiga dibandingkan dan ditukar urutannya jika yang berikutnya lebih kecil nilainya, demikian seterusnya sampai membandingkan x39 dan x40, kita tukar jika yang terakhir lebih kecil. Jika barisan diatas disusun secara random, berapa peluang x20 akan berhenti sebagai suku ke 30? a. 1/31 d. 1/900 b. 1/30 e. 1/930 c. Tak ada yang benar 25. Diketahui persegi ABCD dengan panjang sisi 1. Titik A’,B’,C’,D’ berada di sisi AB,BC,CD,DA sehingga
VVW VX
XXW XY
YY W YZ
ZZ W ZV
dengan luas . Tentukan n a. 31 b. 32 c. 33
. Garis A’C dan AC’ serta BD’ dan B’D membentuk persegi d. 34 e. Tak ada yang benar
26. Tentukan nilai k terbesar sehingga 3 merupakan penjumlahan k bilangan positif berurutan a. 2.34 d. 2.35 b. 34 e. Tak ada yang benar c. 35
27. Berapa banyak bilangan di 1,2,3,…,1000 yang dapat dituliskan dalam bentuk [2#\ [4#\ [6#\ [8#\ untuk suatu bilangan real x? Catatan[F\ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan y a. 785 d. 800 b. 790 e. Tak ada yang benar c. 795 28. Misalkan f(n) adalah nilai dari pembagi bersama terbesar dari bilangan 100 ] dan 100 ] 1 untuk n=1,2,3,… Berapa nilai maksimum f(n) a. 41 d. 410 b. 401 e. Tidak ada yang benar c. 104 29. Seekor semut berjalan di sepanjang sisi bidang empat beraturanABCD dengan panjang sisi 1. Semut mulai dari titik A dan setiap sampai di titik sudut, semut memilih secara acak. Dengan demikian semut mempunyai peluang 1/3 untuk kembali ke sisi semula dia datang dan juga mempunyai masing-masing peluang 1/3 untuk memilih salah satu sisi yang lain.Carilah peluang setelah ia berjalan sepanjang 7 satuan panjang ia akan kembali ke A kembali. a. 61/243 d. 1645/6561 e. Tak ada yang benar b. 187/729 c. 542/2187 30. Jari-jari lingkaran terkecil yang dapat memuat 3 persegi satuan yang telah disusun sehingga mempunyai bentuk simetri (lihat gambar) adalah a. √2
b. E1,25 c. 1,25
d.
√
e. Tak ada yang benar
Kunci Jawaban: 1
Jawab : B T=
√5√
bc
√√
9 8
√√
√√
8 7
√ √
d
5 4
√9 √8 √8 √7 √5 √4 b c √9 √8 √8 √7 d √5 √4 b c √9 √4 3 2 1
2
Jawab : B
KO! O
< e f <. <e. <e … <e " d !gh K KO KO KO
K 1 O O" d O!gh
< <e <e d <e
Ki
W
h j
O
O !
f < e
O !
k K . O! O KO!gh O
KO ! O . <e . O! O
3
h
! j
!!gh "
< e !
< e "
!
" W
Jawab : E Misalkan keliling lingkaran adalah K maka: Jika t=0 : start t 1= waktu saat bertemu ke-1 m
m
Maka l 75
K 14.t1 (jadi bertemu ke 14 akan berada di tempat start)
4
Jawab :B 3#% &#% ' i = 1,2 i = 1 maka 3# &# ' 0 #
(p√( " 7)
…………….(1)
#
(p√( " 7)
…………..(2)
i = 2 maka 3# &# ' 0
Dari persamaan (1) dan (2)
# #
& p √& 12' & p √& 12' 6 6
& √& 12' & √& 12' p p 6 6 6 6
2& &
6 3
5
Jawab :D 56n = 55 (n-1)+68 56n = 55n – 55 +68 n= 13 i bilangan adalah 68 ii bilangan bisa jadi adalah 1 Maka maksimal 1 bilangan lagi adalah : 56.13 – 68 - 11 = 649
6
Jawab :A f (n) = n-3 ] G 1000 f (n) = f(f(n+5)) n < 1000 f (999) = f (f(1004)) = f (1001) =998 f (994) = f(f(999) = f(998) = f(f(1003)) =f(1000) =997 f (K.10+4) =f(84) ; q B r ; q B 100 Jadi f (84) = f (994) = 997
7
Jawab :C Jika jawab yang benar adalah 30-k Maka kemungkinan nilai adalah 30+4(30-k)-n=150-4k-n Dengan n = 0,1,2,…,k Tetapi bilangan 118,117 muncul 2 kali jadi N = 119
8
Jawab : C Kita ganti n dengan t maka:
*" s"
+"
,"
-"
s" s " s" 1
Samakan penyebutnya maka akan diperoleh : # l 3 l 5 l 7 F l 1 l 5 l 7 t l 1 l 3 l 7 u l 1 l 3 l 5 Persamaan ini mempunyai akar 22,42,62,82 selanjutnya l 1 3 5 7 # F t u l d Karena itu jumlah akar sama dengan: 2 4 6 8 1 3 5 7 # F t u dan # F t u 2 4 6 8 1 3 5 7 = 36 9
Jawab : C an+2 = an+1-an an+1 = an - an-1 + an+2=-an-1 an+2 + an-1 = 0 an+3+an=0 S1492 = 1985 b a1+a4+a7+…+a1492 +a2+a5+…+a1490 +a3+a6+…+a1491 v < 1985
a4+a7+…+a1492=0 0 0 + 1985
S1985 = 1492 b a1+a4+a7+…+a1984 +a2+a5+…+a1985 +a3+a6+…+a1983
13 Jawab : A a+b+c+d+e=8 , maka a+b+c+d=8-e a2+b2+c2+d2=16-e2 < ' = > 4 G < ' = > 16 ? 4 G 8 ? 64-4? G64-16e+? 16eG5? 16 ?B 5 14 Jawab : B |# A| |# 15| |# A 15|………….(1) b |# A| |# 15| |15 # A| B |# A # 15 15 # A| = |#| Minimum terjadi saat x=p yakni |# A| 0 Jika terjadi saat (1) = |# 15| 15 Saat x=15 maka (1) = |15 15| 15 15 15 Jawab : D
I. Luas segitiga = √3 32√3 64
III. Luas segitiga = 8√3 Maka AD = 16√2
32 =
dan . . 2√3
(s1 adalah sisi segitiga 1)
8√3
s3 adalah sisi segitiga 3
sehingga 4√2 ; II
Setelah dikurangi 12,5 % AD berubah menjadi 14√2
Panjang BC = 14√2 12√2 2√2 Jadi penyusutan : 100% -
# 2 √3 mungkin Luas ∆ MNC = Luas ABCD-(Luas NBC+Luas DCM+Luas AMN)
= 1 # # 1 #
= 1 # 1 2# # 2 √3 4 4√3
= 1 #
=
=
= {√y y
3
17 Jawab : A Layang-layang AOBC
L AOBC = . e. .1
= . 2. .1 .1 …….(1)
L AOBC = 2. . √15
= √15………….(2)
L∆ AOB = 2
= . .
1
√15
Dari (1) dan (2) AC = √15
.1 . 15
12 .2 .1
16
= CD
~ {
5
18 Jawab : D √7√
E7√
√2
<
√6 < E2 √3
√2 √6 < E2 √3
2 2√12 6 < E2 5 8 4√3 < 2 √3 5 2 √3 < 2 √3 5 7√ 5
.
7√ < 5
<
b <
√3
19 Jawab : A 4F 4#F # 6 0 adalah persamaan kuadrat dalam y dengan a = 4; b=4x dan c=x+6. Agar y real haruslah 2 G 0 2 ' 4<= G 0 = 4# 44# 6 G 0 = 16# 16# 166 G 0 = # # 6 G 0 Pembuat nol (x-3)(x+2)=0 x= 3 x=-2 +++ --+++ -2 3 Agar y real maka # B 2 atau # 3 20 Jawab : A 13x+11y=700 dan y=mx-1 berpotongan 13x+11(mx-1) = 700 13x+11mx-11 = 700 (13+11m) =
*
# 7 karena x bilangan bulat maka 13+11m haruslah factor dari 711 711 9 S 79 Misalkan 13m+11 = 9 (tidak mungkin) 13+11m = 79 11m = 66 m = 6 dan x=9 Misalkan 13+11m = 711 11m = 689 vm tidak merupakan bilangan bulat Kesimpulan hanya ada 1 solusi.
21 Jawab : C Log a = p log x Log b = q log x Log c = r log x )" KN
…….(1)
#+ )"
log KN log # +
Log b2-log ac =y log x 2 log b –log a-log c = y log x …………..(2) Subtitusikan persamaan 1 ke persamaan 2 2q log x-p log x-r log x = y log x (2q-p-r)log x = y log x 2q –p-r =y
22 Jawab : A Misalkan m = 10 32422 324 S 34 324 S 46 32458 324 n= 4 32416 324 S 28 324 S 40 32452 324 Perhatikan : < 4' < 4< ' 4' 4< '
< 2' 2<'
< 2<' 2' < 2<' 2' ………….(1) 324 4. 3 sehingga
< 324 < 4. 3
< 2. 3 2. <. 3< 2. 3 2. <. 3
< 6< 18< 6< 18
<< 6 18<< 6 18 ……..(2) Dengan menguraikan setiap suku dari m dan n menurut (2) dan melakukan pembagian m/n, nanti akan ada suku-suku yang saling menghilangkan,dan menyisakan : 58.64 18 3730
373 2.4 18 10 23 Jawab : C Dengan P,UQ,A,V menyatakan luas daerah Karena A dengan luas P sebangun dengan A luas Q dan A dengan luas U sebangun dengan A
luas V maka : U
Diketahui juga bahwa P+U+441 = Q+V+A +440 Misalkan L menyatakan luas seluruh segitiga, maka L = 441 A
Artinya sisi segitiga dengan luas A adalah dari sisi segitiga besar dengan luas L
Sisi miring dari segitiga besar adalah √440 S 21
s
Jika tinggi dari sisi miring itu dimisalkan t maka l √440
Jika dimisalkan panjang kedua sisi yang pendek dari segitiga besar masing-masing adalah a dan b maka : ab =
"
√ US U
22 S 21 dan
< ' 440 S 21 < ' < ' 2<' = 440.212+ 2.22.212 = 212(440+2.22) = 212.222 dan a + b = 21.22 = 3 x 7 x 2 x 11 24 Jawab : E x20 dapat menempati posisi 30 atau lebih jika x20 adalah bilangan terbesar dari x1, x2, x3,…,x30. Agar x20 tidak menempati posisi 31, maka haruslah x20 < x31. Probabilitas x31 merupakan yang
terbesar dari x1,…,x31 adalah . Probabilitas x20 yang terbesar dari x1,…,x30 adalah U Sehingga probabilitas x20 menempati posisi 30 adalah :
S U
25 Jawab : E AB=BC=CD=DA=1 VV VX
YY ZZ
ZV YZ Luas EFGH = AA’=BB’=CC’=DD’= . 1= EG=FA = A’A = Luas EFGH = . . "
XX XY
2] 2113 ]
26 Jawab : D Misalkan bilangan-bilangan itu adalah N+1,N+2,…,N+k sehingga (N+1)+(N+2)+…+(N+k)=3 ………….(1) Dapat ditunjukkan bahwa 77
(N+1)+(N+2)+…+(N+k)=
……….(2)
5U
Dari (1) dan (2) diperoleh :
77
3
Atau: 2r 1 2. 3 ………..(3) Karena semua bilangan harus positif maka N>0 Diketahui k<(2N+k+1) ……….(4) Dari (3) dan (4) diperoleh : : 2. 3
Atau : √2. 3 Dari (3) diketahui kalau k harus membagi 2. 3 …….(5) Nilai k terbesar yang memenuhi (3) dan (5) adalah 2.35 27 Jawab : E Kita lihat dari nilai yang terkecil:
0:#B
[2#\ [4#\ [6#\ [8#\ 0
[2#\ [4#\ [6#\ [8#\ 1
[2#\ [4#\ [6#\ [8#\ 2
[2#\ [4#\ [6#\ [8#\ 4
[2#\ [4#\ [6#\ [8#\ 5 [2#\ [4#\ [6#\ [8#\ 6
[2#\ [4#\ [6#\ [8#\ 10
[2#\ [4#\ [6#\ 8# 2. #
B#: B#: B#: B#: B#: #
:#: 4. #
=[1 2#\ [2 2#\ [3 3#\ [4 4#\ =10 [2#\ [3#\ [4#\ Jadi banyak bilangan = 600
d 8. #
28 Jawab : B ] A[100 ] 1 . 100 ] \ Analisa 1 : fpk akan maksimum jika salah satu bilangan merupakan pembagi dari yang lain. Misal : < 100 ] 1 b
Periksa apakah )
