SMR 1 Pavel Padevět
Přednáška č.5 VNITŘNÍ SÍLY PRUTU
Přednáška č.5
VNITŘNÍ SÍLY PRUTU Prut (nosník) konstrukční prvek, u něhož délka značně převládá nad dalšími dvěma rozměry. Při řešení tyto prvky modelujeme jejich střednicí – čárou tvořenou spojnicí těžišť příčných řezů.
Vnitřní síly obecného prutu Uvažujme obecný prut zatížený rovnovážnou soustavou sil (zatížení + reakce). V určitém místě prut rozdělíme myšleným řezem na dvě části (L; P). Účinek jedné části (P) na druhou (L) je v bodě O vyjádřen výsledným účinkem prostorové soustavy sil působících na danou část (L). Tento účinek je určen vektorem síly Fr,P a vektorem momentu M0,P .
Přednáška č.5
VNITŘNÍ SÍLY PRUTU L
0
P L
Body kladné poloosy x
+ 0 N
Vy (Qy)
y
Vz (Qz)
My
T (M)x Kladný průřez: x Ten, který je viditelný z bodů kladné poloosy x M0,p
Fr,p
Kladné vnitřní síly jsou orientovány shodně s kladnými poloosami lokálního souřadného systému (ss).
Mz z
Lokální s.s.: - osa x je tečnou ke střednici v bodě 0 - osy y, z leží v rovině řezu. Promítnutím výslednicových vektorů Fr a Mo do směru os lokálního s.s. získáme tzv. vnitřní síly. Přednáška č.5
r r N = Fr , p ⋅ e1 r r T = M 0, p ⋅ e1
r r r r V y = Fr , p ⋅ e2 Vz = Fr , p ⋅ e3 r r r r M y = M 0, p ⋅ e2 M z = M 0, p ⋅ e3
Vnitřní síly: N …… normálová síla Vy , Vz posouvající síly T …… kroutící moment Mz , My ohybové momenty Uvažujeme-li, že prut je zatížen rovnovážnou soustavou sil, pak pro libovolný řez je účinek jedné části pruhu na druhou (vyjádřený vnitřními silami) stejně velký, ale opačně orientovaný než účinek druhé části na prvou.
Přednáška č.5
Fr,L {N, Vy, Vz} M0,L {T, My, Mz}
L 0
N
Vy (Qy)
y
My
Mz
T (M)x x
Vz (Qz)
Fr,P {N, Vy, Vz} M0, P {T, My, Mz}
Vz (Qz)
My
T (M)x Vy (Qy)
Mz
N
z
0
P
Pro prut zatížený rovnovážnou soustavou sil je výsledný účinek této soustavy sil k libovolnému bodu nulový (podmínka rovnováhy). Tj. i pro bod „0“: Výslednice sil působících na části P {Fr,p , M0,p} musí být v rovnováze s výslednicí sil působících na části L {Fr,L , M0,L}. Přednáška č.5
r r r r Fr , L + Fr , p = 0 ⇒ Fr .L = -Fr , p r r r r M 0, L + M 0, p = 0 ⇒ M 0.L = -M 0, p Účinky vnějších sil z části jedné (např. P) vyjádřené silami {Fr,p = {N, Vy, Vz}, M0,p ={T, My, Mz}, které působí na část druhou (L) jsou v rovnováze s vnějšími silami působícími na tuto druhou část (L) {Fr,L , M0,L} .
r r r Fr , p {N , V y , Vz }+ Fr , L = 0
r r r M 0, p {T , M y , M z }+ M 0, L = 0
a obdobně r r r Fr , L {N , V y ,Vz }+ Fr , p = 0
r r r M 0, L {T , M y , M z }+ M 0, p = 0
Přednáška č.5
VNITŘNÍ SÍLY PŘÍMÉHO NOSNÍKU Uvažujme rovinný prut zatížený rovnovážnou soustavou vnějších sil, působících v rovině prutu – rovinnou soustavu sil. Vnitřní síly v určitém průřezu vyjadřují vzájemný účinek k danému průřezu přilehlých částí prutu. • Protože jde v tomto případě o účinek rovinné soustavy sil, které působí na průřezem oddělené části, je tento účinek popsán 3 složkami jejich výslednice (N, V – složky silové výslednice) a M – nenulová složka momentové výslednice.
j
i
I
xl
II
zl M
M N
i
V
xl
j N
I V zl Působení části II na část I
Přednáška č.5
II
Kladný průřez je viditelný z bodu kladné poloosy x (ten, z kterého vychází kladná poloosa x). Kladné vnitřní síly jsou orientovány shodně s kladnými poloosami s.s. Účinek levé části prutu I na pravou II je stejné velikosti, ale opačné orientace (zákon akce a reakce) než účinek části II na část I. →V řezu působí vnitřní síly N, V, M stejných velikostí, ale opačně orientované.
Princip řezu: Prut rozdělíme myšleným řezem a vzájemné působení obou částí nahradíme vnitřními silami. Je-li zkoumaný prut v rovnováze, musí být v rovnováze i každá jeho část. Jestliže známe vnější síly (tj. zatížení a reakce) můžeme vypočítat vnitřní síly z podmínek rovnováhy kterékoliv části.
Účel vnitřních sil: Reakce – jsou potřebné – zda podpory vydrží. Pro návrh – musí vydržet i nosník v každém průřezu → měřítkem namáhání jsou vnitřní síly. Vnitrní síly od zatížení < přípustné vnitřní síly dané pevností materiálu. Přednáška č.5
GRAFICKÉ ZOBRAZENÍ VNITŘNÍCH SIL Vynášíme hodnoty vnitřních sil (M, V, N) ve zvoleném měřítku, kolmo ke střednici prutu. •
Pořadnice momentů → zásadně na stranu tažených vláken. Pořadnice N,V = obvykle vynášíme shodně s orientací posouvající síly působící na uvažovaný záporně orientovaný průřez.
tažená vlákna +V
+N
-V
-N
Přednáška č.5
- výpočet reakcí → musíme znát všechny vnější síly.
Postup:
- výpočet a kreslení vnitřních sil.
Př: Stanovte průběh vnitřních sil. AH
F = 1 kN
F=1
a
b
2 A
8
z a) Výpočet reakcí a
-F. 2 + B . 8 =0
=> B = F / 4 kN
↑:
A+B–F=0
=> A = ¾ F kN
→: AH = 0 kN
1) X ∈ (0, 2)
b) Stanovení vnitřních sil x 3/4
o V
N
M
↑:
¾ - V = 0 => V = ¾
→:
N=0
o:
M - ¾ x = 0 => M(x) = ¾ x
Přednáška č.5
B
x
1) X ∈ (2, 8) 1 a
x 3/4
↑: ¾ - V - 1 = 0 => V = -¼ o
→: N = 0 N
M
V
Výpočet pro interval začínající ve vzdálenosti 2 od podpory a.
↑: V + ¼ = 0 => V = -¼
Nebo zprava: M
o: M + (x-2) – ¾ x = 0 => M(x) = ¾ x – x + 2 = 2 – x/4
→: N = 0
V
o: M – ¼ x = 0 N
o
x
x = 8 – x; x = 8 – x
M = ¼ x = ¼ (8 – x) = 2 – x/4 B=¼
Přednáška č.5
1
N 3/4
+
V
_
1/4
M ¾ * 2 = 1,5 kNm f
Př:
Reakce: x
AH
a -f . l . l/2 + B . l = 0 => B = (f l ) /2 ↑: A + B – f . l = 0 => A = (f l ) /2
A z
l
B
→: AH = 0
Přednáška č.5
Náhradní břemeno F=f*x
x/2 f
o M + fxx/2 – f.l x/2 = 0 N
Př:
fl/2
V
M(x) = fx (l/2 – x/2) ↑: f l /2 – f.x –V = 0 => V(x) = f (l/2 – x)
V
fl/2 z
x
o
x
M
f
+ _ fl/2
M 1/8 fl2 Přednáška č.5
Vztahy mezi vnitřními silami a zatížením (Schwedlerova věta ) M +dM
M
M
V x
N o
N +dN
V
N
V +dV
z Rovnováha na vyjmuté části:
m
fz
→: -N + fx (x) dx +N + dN = 0
fx
M
dN = − f x ( x) dx
M +dM V N
xo V +dV
N +dN ↓:
-V + fz (x) dx +V + dV = 0
dx o
Je-li m(x) = 0 : dM =Q dx
d 2M = dx
dV = − f z ( x) dx
dV = − f z ( x) dx
–M – V dx/2 + m(x) dx – V dx/2 – dV dx/2 +M + dM = 0
Přednáška č.5
dM = V − m( x ) dx
Pravidla plynoucí ze Schwedlerovy věty
fz
V
+
q
_
q
1 M
V
q
max
F
F
F
F
M
_
m
M Přednáška č.5
Poslední revize 7.11.2014
