SKEMA NUMERIK UNTUK MEMPEROLEH SOLUSI TAKSIRAN DARI KELAS PERSAMAAN INTEGRAL FREDHOLM NONLINEAR JENIS KEDUA Vanny Restu Aji1∗ 1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia ∗
[email protected]
ABSTRACT This article discusses a numerical scheme to obtain an estimated solution for a class of nonlinear Fredholm integral equations of the second kind. The process includes discretization, followed by checking the convergence of estimated solutions. If the convergence conditions are met, then the calculation of the discrete estimated solution for a class nonlinear Fredholm integral equation of the second kind is performed. To see the implementation of the method, some numerical examples are given at the end. Keywords: Nonlinear Fredholm integral equations, discretization with convergence condition. ABSTRAK Artikel ini membahas suatu skema numerik untuk memperoleh solusi taksiran dari kelas persamaan integral Fredholm nonlinear jenis kedua. Prosesnya meliputi pendiskritisasian, kemudian dilanjutkan dengan memeriksa kekonvergenan solusi taksiran. Apabila syarat kekonvergenan terpenuhi, maka dilakukan perhitungan solusi taksiran bentuk diskrit persamaan integral Fredholm nonlinear jenis kedua. Untuk melihat implementasi metode yang didiskusikan dibagian akhir diberikan beberapa contoh komputasi. Kata kunci: Persamaan integral Fredholm nonlinear, diskritisasi dengan syarat konvergensi. 1. PENDAHULUAN Persoalan mencari solusi persamaan integral sering ditemukan dalam ilmu matematika. Banyak persamaan integral yang mudah ditentukan solusinya, tetapi tidak sedikit juga yang rumit untuk mencari solusinya, Seperti mancari solusi untuk persamaan integral Fredholm. Persamaan integral Fredholm sendiri terbagi menjadi Repository FMIPA
1
dua bentuk yaitu linear dan nonlinear, yang masing-masing terdiri dari jenis pertama dan jenis kedua. Adapun metode-metode yang digunakan untuk mencari solusi persamaan integral Fredholm linear adalah metode Dekomposisi Adomian, metode Successive Approximation, metode Direct Computation, dan lainnya yang dapat ditemukan di [1, h. 121]. Sedangkan untuk mencari solusi dari persamaan integral Fredholm nonlinear baik jenis pertama maupun jenis kedua memerlukan perhitungan yang rumit sehingga penulis lebih tertarik membahas tentang persamaan integral Fredholm nonlinear jenis kedua. Artikel ini merupakan review dari artikel yang berjudul ”A numerical scheme for a class of nonlinear Fredholm integral equations of the second kind” oleh Akbar H. Borzabadi , Omid S. Fard. Selanjutnya akan dibahas skema numerik untuk memperoleh solusi taksiran dari kelas persamaan integral Fredholm nonlinear jenis kedua, kemudian dilanjutkan dengan memberikan contoh numerik. 2. SKEMA NUMERIK UNTUK MEMPEROLEH SOLUSI TAKSIRAN DARI KELAS PERSAMAAN INTEGRAL FREDHOLM NONLINEAR JENIS KEDUA Pada langkah pertama pandang bentuk persamaan integral Fredholm nonlinear jenis kedua berikut Z b
x(s) = y(s) +
k(s, t, x(t))dt,
pada [a, b].
(1)
a
dan misalkan s adalah sebuah partisi berjarak sama pada [a, b] yaitu {a=s0 , s1 ,· · · , sn−1 , sn =b} dimana ∆s = si+1 − si , i = 0, 1, · · · , n merupakan lebar partisi. Jika x∗ (t) adalah solusi analitik dari (1), dengan menggunakan partisi s di [a, b] maka persamaan (1) menjadi Z b ∗ x (si ) = y(si ) + k(si , t, x∗ (t))dt, i = 0, 1, · · · , n. (2) a
Interval [a, b] dipartisi menjadi {a = t0 , t1 , · · · , tn−1 , tn = b} dengan ∆t = tj+1 − tj . Taksir persamaan (2) dengan penjumlahan Riemann [4, h. 367] sehingga diperoleh bentuk diskrit dari persamaan (1) yaitu x∗i
= yi +
n X
k(si , tj , x∗j (t))∆t + O(∆t),
i = 0, 1, · · · , n,
(3)
j=0
dimana x∗i = x∗ (si ), yi = y(si ) dan suatu error O(∆t). Suatu persamaan nonlinear yang diperoleh dengan mengabaikkan error pada persamaan (2) yaitu ξ i = yi +
n X
k(si , tj , ξj )∆t,
i = 0, 1, · · · , n,
(4)
j=0
memiliki solusi n-tupel (ξ0∗ , ξ1∗ , · · · , ξn∗ ) dan mensubtitusikannya ke persamaan (4) dipeoleh n X ∗ ξ i = yi + k(si , tj , ξj∗ )∆t, i = 0, 1, · · · , n. (5) j=0
Repository FMIPA
2
~∗ ~∗ Langkah kedua akan dicari syarat kekonvergenan berupa x − ξ dengan x~∗ dan ∞ ξ~∗ adalah vektor-vektor berikut: x~∗ = (x∗0 , x∗1 , · · · , x∗n )T , ξ~∗ = (ξ0∗ , ξ1∗ , · · · , ξn∗ )T . Proposisi 1 Misalkan, (i) k(s, t, x(s)) ∈ C([a, b] × [a, b] × R) (ii) kx (s, t, x(s)) berada di ([a, b] × [a, b] × R) dan γ <
1 , dimana b−a
γ = sup |kx (s, t, x(s))|, s,t∈[a,b]
maka
~∗ ~∗
x − ξ
Bukti.
∞
≤
|O(∆t)| . 1 − γ(b − a)
(6)
Misalkan
~∗ ~∗
x − ξ
∞
= max |x∗i − ξi∗ | = x∗p − ξp∗ , 0≤i≤n
dimana 0 ≤ p ≤ n. Eliminasi (3) dan (5) untuk i = p diperoleh x∗p
−
ξp∗
=
n X
(k(sp , tj , x∗j ) − k(sp , tj , ξj∗ ))∆t + O(∆t).
(7)
j=0
Dengan menerapkan teorema nilai rata-rata [4, h. 262] maka bentuk k(sp , tj , x∗j ) − k(sp , tj , ξj∗ ) dapat diubah menjadi k(sp , tj , x∗j ) − k(sp , tj , ξj∗ ) =
∂k (sp , tj , ηj )(x∗j − ξj∗ ), ∂x
j = 0, 1, · · · , n,
(8)
dimana ηj merupakan suatu bilangan real antara x∗j dan ξj∗ . Dengan mensubtitusikan (8) dan menerapkan aturan nilai mutlak ke persamaan (7) maka diperoleh n ∗ X ∂k xp − ξp∗ ≤ (sp , tj , ηj ) x∗j − ξj∗ |∆t| + |O(∆t)| ∂x j=0 n X ∂k (sp , tp , ηp ) x∗j − ξj∗ |∆t| + |O(∆t)| , ≤ (9) ∂x j=0 berdasarkan hipotesis (ii) pada Proposisi 1 yaitu ∂k γ = sup |kx (s, t, x(s))| = (sp , tp , ηp ) , ∂x s,t∈[a,b]
Repository FMIPA
3
sehingga persamaan (9) menjadi n ∗ X xp − ξp∗ ≤ γ x∗j − ξj∗ |∆t| + |O(∆t)| .
(10)
j=0
Dengan bentuk x∗j − ξj∗ ≤ x∗p − ξp∗ untuk j = 0, 1, · · · , n, maka persamaan (10) menjadi ∗ xp − ξp∗ ≤ menggunakan
Pn
j=0
|O(∆t)| P , 1 − γ nj=0 ∆t
(11)
∆t = b − a untuk persamaan (11) didapatkan
|O(∆t)| , (12) 1 − γ(b − a)
serta mengubah bentuk x∗p − ξp∗ = x~∗ − ξ~∗ untuk persamaan (12) sehingga ∗ xp − ξp∗ ≤
∞
∗
xp − ξp∗ =
x~∗ − ξ~∗
∞
≤
|O(∆t)| . 1 − γ(b − a)
(13)
Persamaan (13) mengarah ke akibat
~∗ ~∗ Akibat 2 x − ξ → 0 ketika O(∆t) → 0. ∞
Langkah ketiga dilakukan perhitungan taksiran solusi dari bentuk diskrit persamaan integral Fredholm nonlinear jenis kedua. Persamaan (4) akan ditaksir solusinya dengan sebuah metode Successive-Subtitution. Metode Successive-Subtitution adalah proses iterasi untuk memperoleh solusi hampiran iterasi selanjutnya yaitu iterasi ke (k+1) digunakan iterasi sebelumnya yaitu iterasi ke (k) untuk k = 0, 1, · · · , N . Proses iterasi pada metode Successive-Subtitution mirip dengan proses iterasi pada metode Gauss-Seidel [3, h. 454]. Sehingga persamaan (4) menjadi (k+1)
ξi
= yi +
n X
(k)
k(si , tj , ξj )∆t,
i = 0, 1, · · · , n,
k = 0, 1, · · · .
(14)
j=0
Dengan mengambil tebakan awal berupa ξ~(0) . Syarat kekonvergensian barisan ξ~(k) akan dibuktikan pada Teorema 3. Teorema 3 Dengan memperhatikan asumsi pada Proposisi 1, barisan hasil ξ~(k) dari proses iterasi (14) akan menuju ke solusi eksak dari (4) yakni ξ~∗ , untuk sembarang vektor awal ξ~(0) .
Repository FMIPA
4
Bukti. Misalkan
~(k) ~∗
ξ − ξ
∞
(k) (k) = max ξi − ξi∗ = ξp − ξp∗ . 0≤i≤n
Dengan mengeliminasi (14) dan (5) diperoleh (k+1) ξi
−
ξi∗
=
n X
(k)
(k(si , tj , ξj ) − k(si , tj , ξj∗ ))∆t.
(15)
j=0
(k)
Menggunakan teorema nilai rata-rata maka bentuk k(si , tj , ξj ) − k(si , tj , ξj∗ ) dapat diubah menjadi ∂k (k) (k) (si , tj , ηj )(ξj − ξj∗ ), ∂x subtitusikan (16) ke persamaan (15) diperoleh (k)
k(si , tj , ξj ) − k(si , tj , ξj∗ ) =
(k+1) ξi
−
ξi∗
n X ∂k (k) (k) = ( (si , tj , ηj )(ξj − ξj∗ ))∆t, ∂x j=0
(k)
(16)
(17)
(k)
dimana ηj merupakan sebuah bilangan real diantara ξj dan ξj∗ . Dengan menerapkan aturan nilai mutlak maka persamaan (17) menjadi n X (k) ∂k (k+1) (k) ∗ ∗ − ξi ≤ ξi ∂x (si , tj , ηj ) ξj − ξj |∆t| j=0 n X (k) ∂k (k) ∗ (18) ≤ ∂x (si , tj , ηj ) ξj − ξj |∆t| . j=0
Dengan memisalkan bahwa hipotesis (ii) pada Proposisi 1 telah terpenuhi sehingga ∂k (k) γ = sup |kx (s, t, x(s))| = (sp , tp , ηp ) , ∂x s,t∈[a,b]
maka persamaan (18) menjadi n X (k+1) (k) − ξi∗ ≤ γ ξj − ξj∗ |∆t| . ξi
(19)
j=0
(k) (k) ∗ ∗ Misalkan ξj − ξj ≤ ξp − ξp maka persamaan (19) menjadi n (k) X (k+1) ∗ ∗ ξ − ξ ≤γ ξ − ξ ∆t. i i p p
(20)
j=0
P Karena pada setiap formula penjumlahan Riemann nj=0 ∆t = b − a, maka persamaan (20) menjadi (k+1) − ξi∗ ≤ γ ξp(k) − ξp∗ (b − a). (21) ξi Menggunakan bentuk
Repository FMIPA
5
(k) (k)
~(k) ~∗ ∗ ∗ ξj − ξj ≤ ξp − ξp = ξ − ξ
dan
~(k+1) ~∗ −ξ
ξ
∞
∞
(k+1) ∗ ∈ ξi − ξi ,
serta menetapkan λ = γ(b − a) dimana 0 < λ < 1, maka persamaan (21) menjadi (k+1) ∗ − ξi ≤γ ξp(k) − ξp∗ (b − a) ξi ≤λ ξp(k) − ξp∗
~(k+1) ~∗
~(k) ~∗ − ξ ≤λ ξ − ξ . (22)
ξ ∞
Untuk k = 0, 1, · · · , N , diperoleh
~(k+1) ~∗ −ξ
ξ
∞
∞
≤λ
(k+1)
~(0) ~∗
ξ − ξ . ∞
(23)
Karena 0 < λ < 1, k → +∞ mengimplikasikan bahwa ξ (k+1) − ξ ∗ ∞ → 0. Proses iterasi persamaan akan diperoleh dengan syarat
~(k+1) ~(k) − ξ < ǫ,
ξ ∞
untuk ǫ > 0.
3. SIMULASI NUMERIK Misalkan x∗ (s) adalah solusi eksak dari persamaan integral Fredholm nonlinear (1) dan ξˆi adalah solusi yang diperoleh dengan menggunakan algoritma yang diberikan dengan ǫ > 0 dan partisi [a, b]. Untuk membandingkan solusinya definisikan fungsi error diskrit e∆ (si ) = x∗ (si ) − ξˆi (si ),
i = 0, 1, · · · , n.
Contoh 1 Tentukanlah solusi taksiran dari persamaan integral Fredholm nonlinear jenis kedua berikut Z π s 1 2 x(s) = sin(s) − + tsx(t)dt, (24) 4 4 0 1 dengan solusi analitik x(t) = sin(t) dan tetapkan ǫ = 10−6 serta ∆s = ∆t = 100 . Solusi 1 2 ,s2 =t2 = 100 , · · · , π2 =s100 =t100 ]. SubPartisi batas [0, π2 ] menjadi [s0 =t0 =0,s1 =t1 = 100 titusikan nilai partisi si ke solusi eksak persamaan (24) dan taksir bagian integralnya menggunakan penjumlahan Riemann diperoleh 100
x∗i Repository FMIPA
si 1 X = sin(si ) − + tj si x∗j (t)∆t + O(∆t). 4 4 j=0
(25) 6
Apabila error pada persamaan (24) diabaikkan maka akan menjadi 100
si 1 X ξi = sin(si ) − + tj si ξj ∆t. 4 4 j=0
(26)
Selanjutnya dilihat terlebih syarat yang menjamin kekonvergensian solusi bentuk diskrit integral Fredholm nonlinear jenis kedua ke solusi eksaknya dengan menggunakan Proposisi 1 sehingga 1 b−a 2 sup |ts| < . π s,t∈[a,b]
sup |kx (s, t, x(t))| < s,t∈[a,b]
(27)
Karena hasil (27) tidak tergantung pada x(t), maka syarat pada Proposisi 1 akan terpenuhi untuk semua nilai pada interval [0, π2 ]. Selanjutnya akan dilakukan proses itersi dengan metode Successive-Subtitution dengan mengambil tebakan awal awal ξ~(0) = 0 menggunakan 100
(k+1)
= sin(si ) −
ξi
si 1 X (k) + tj si ξj ∆t, 4 4 j=0
(28)
sehingga dapat dibandingkan solusi eksak dan taksiran dari persamaan integral Fredholm nonlinear Contoh 1 pada Gambar 1 dan errornya pada Gambar 2. 1.4
eksak numerik 1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Gambar 1: Kurva titik memperlihatkan solusi taksiran dan kurva kontinu memperlihatkan solusi eksak Contoh 1. −3
0
x 10
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−3
−3.5
−4
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Gambar 2: Kurva error Contoh 1. Repository FMIPA
7
Contoh 2 Akan dihitung solusi taksiran dari persamaan integral Fredholm nonlinear jenis kedua berikut Z 1 1 es+2 (s) + + ets x2 (t)dt, (29) x(s) = e − s+2 s+2 0 1 dengan solusi analitik x(t)=exp(t) dan tetapkan ǫ = 10−6 serta ∆s = ∆t = 1000 . Solusi 1 2 Partisi batas [0,1] menjadi [s0 =t0 =0,s1 =t1 = 1000 ,s2 =t2 = 1000 , · · · ,1=s1000 =t1000 ]. Subtitusikan nilai partisi si ke solusi eksak persamaan (29) dan taksir bagian integralnya menggunakan penjumlahan Riemann diperoleh 1000
x∗i
=e
(si )
X esi +2 1 − + + etj si (x∗j (t))2 ∆t + O(∆t). si + 2 si + 2 j=0
(30)
Akan dilihat terlebih dahulu syarat yang menjamin kekonvergensian solusi bentuk diskrit integral Fredholm nonlinear jenis kedua (29) ke solusi eksaknya dengan menggunakan Proposisi 1 sehingga ∂ ts 2 1 sup e x (t) < 1−0 s,t∈[a,b] ∂x 1 |x(t)| < . (31) 2 Subtitusikan s = 1 dan x(t)=exp(t) ke persamaan (29) sehingga diperoleh Z 1 e1+2 1 (1) x(1) = e − + + et(1) e2t dt ≈ 54, 25. 1+2 1+2 0
(32)
Dari hasil (32) maka tidak terpenuhi syarat (31), sehingga batas yang diambil tidak 1 menimbulkan barisan konvergensi. Coba perkecil batasnya menjadi [0, 100 ] sehingga persamaan (29) menjadi Z 0,01 1 e0,01s+0,02 (s) x(s) = e − + + ets x2 (t)dt. (33) s+2 s+2 0 Berdasarkan syarat pada Proposisi 1 maka ∂ ts 2 1 sup e x (t) < 1 ( 100 − 0) s,t∈[a,b] ∂x |x(t)| <50.
Subtitusikan s = x(0, 01) = e
1 100
(0,01)
Repository FMIPA
(34)
= 0, 01 ke persamaan (29) sehingga e0,0001+0,02 1 − + + 0, 01 + 2 0, 01 + 2
Z
0,01
et(0,01) x2 (t)dt ≈ 0, 04.
(35)
0
8
Dari hasil (35) maka terpenuhi syarat (34), sehingga batas yang diambil menimbulkan barisan konvergensi. Sebuah persamaan nonlinear yang diperoleh dengan mengabaikan error pemotongan di (29) yaitu 1000
ξi = e
(si )
X e0,01si +0,02 1 − + + etj si (ξj )2 ∆t, si + 2 si + 2 j=0
(36)
akan dilakukan proses iterasi menggunakan metode Successive-Subtitution dengan 1 sehingga menjadi ∆t = 100000 1000
(k+1) ξi
=e
(si )
X e0,01si +0,02 1 (k) − + + etj si (ξj )2 ∆t. si + 2 si + 2 j=0
(37)
Dengan pendekatan awal ξ~(0) = 0 maka dapat dibandingkan solusi eksak dan taksiran dari persamaan integral Fredholm nonlinear Contoh 2 pada Gambar 3 dan erronya pada Gambar 4. 1.014
eksak numerik 1.012
1.01
1.008
1.006
1.004
1.002
1
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
Gambar 3: Kurva titik memperlihatkan solusi taksiran dan kurva kontinu memperlihatkan solusi eksak Contoh 2. −5
x 10
−1.0308
−1.0309
−1.0309
−1.0309
−1.0309
−1.0309
0
200
400
600
800
1000
Gambar 4: Kurva error Contoh 2. Contoh 3 Akan dihitung solusi taksiran dari persamaan integral Fredholm nonlinear jenis kedua berikut Z 1 1 7 x(s) = s + stx3 (t)dt, (38) 8 2 0 dengan solusi analitik x(t) = t dan tetapkan ǫ = 10−6 serta ∆s = ∆t =
Repository FMIPA
1 10
= 0, 1.
9
Solusi 1 2 Partisi batas [0,1] menjadi [s0 =t0 =0,s1 =t1 = 10 ,s2 =t2 = 10 , · · · ,1=s10 =t10 ]. Dengan mensubtitusikan nilai partisi si ke solusi eksak persamaan (38) dan menaksirnya menggunakan penjumlahan Riemann diperoleh 10
x∗i
1X 7 si tj (x∗j (t))3 ∆t + O(∆t). = si + 8 2 0
(39)
Akan dilihat syarat yang menjamin kekonvergensian solusi bentuk diskrit integral Fredholm nonlinear jenis kedua (39) ke solusi eksaknya dengan menggunakan Proposisi 1 sehingga ∂ 1 3 sup stx (t) < ∂x 1−0 s,t∈[a,b]
2 1 x (t) > . (40) 3 Subtitusikan nilai s = 1 ke persamaan (38) untuk melihat terpenuhi atau tidaknya persamaan (40) sehingga diperoleh Z 1 1 7 7 (1)tx3 (t)dt ≥ . x(1) = (1) + (41) 8 2 0 8 Dari hasil (41) maka syarat (40) terpenuhi karena ( 78 )2 > 31 . Sebuah persamaan nonlinear yang diperoleh dengan mengabaikkan error pemotongan di (38) yaitu 10
7 1X ξi = si + si tj (ξj )3 ∆t, 8 2 0
(42)
Akan dilakukan proses iterasi menggunakan metode Successive-Subtitution sehingga menjadi 10 7 1X (k+1) (k) ξi = si + si tj (ξj )3 ∆t. (43) 8 2 0 Dengan pendekatan awal ξ~(0) = 0 maka dapat dibandingkan solusi eksak dan taksiran dari persamaan integral Fredholm nonlinear Contoh 3 pada Gambar 5 dan errornya pada Gambar 6. 1.4
eksak numerik 1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Gambar 5: Kurva titik memperlihatkan solusi taksiran dan kurva kontinu memperlihatkan solusi eksak Contoh 3. Repository FMIPA
10
−3
0
x 10
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Gambar 6: Kurva error Contoh 3. Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Dr. Leli Deswita, M.Si. dan Khozin Mu’tamar, M.Si. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini. Daftar Pustaka [1] Wazwaz, A. M. 2011. Linear and Nonlinear Integral Equation. Springer, Chicago. [2] Borzabadi, A. H. & S. F. Omid. 2009. A Numerical Scheme For A Class of Nonlinear Fredholm Integral Equations of The Second Kind.Computational And Applied Mathematics. 232: 449-454. [3] Burden, R. L. & J. D Faires. 2010. Numerical Analysis,6th Ed. Brooks/Cole, CENGANGE LearningT M , USA. [4] Stewart, J. 1999. Calculus,4th Ed. Brooks/Cole Publishing Company, USA.
Repository FMIPA
11
