BAB V
Sistem Persamaan Linier
FTI-UY
•
Salah satu hal penting dalam aljabar linear dan dalam banyak masalah matematika terapan adalah menyelesaikan suatu sistem persamaan linear .
•
Representasi Sistem Persamaan Linear Sistem n persamaan linear dengan n variabel dapat dinyatakan sebagai berikut:
• Dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel. i b l FTI-UY
PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS SPL
BENTUK MATRIKS
STRATEGI MENYELESAIKAN SPL: mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai penyelesaian l i sama (ekuivalen) ( k i l ) tetapi t t i dalam d l bentuk b t k yang lebih sederhana.
FTI-UY
•
Contoh : Selesaikan SPL berikut 3x – 2y = 7 2x + y = 14
•
Penyelesaian permasalah di atas : – Substitusi – Eliminasi – Grafik – Determinan
FTI-UY
TIGA OPERASI STANDAR PENYELESAIAN SPL 1. Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta tak nol.
Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua persamaan sebarang. sebarang
Menukar posisi dua baris sebarang sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lainnya.
Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.
Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sederhana sehingga gg tercapai p 1 elemen tak nol p pada suatu baris FTI-UY
CONTOH DIKETAHUI
…………(i) …………(ii) …………(iii)
kalikan pers (i) dengan ((-2) 2), kemukemu dian tambahkan ke pers (ii).
kalikan baris (i) dengan g (-2), ( ), lalu tambahkan ke baris (ii).
kalikan pers (i) dengan (-3), kemudian tambahkan ke pers (iii).
kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii).
kalikan p pers ((ii)) dengan (1/2).
kalikan baris (ii) dengan (1/2). FTI-UY
kalikan pers (ii) dengan (1/2).
kalikan baris (ii) dengan (1/2).
kalikan pers (ii) dengan g (-3), ( ), lalu tambahkan ke pers (iii).
kalikan brs (ii) dengan g (-3), ( ), lalu tambahkan ke brs (iii).
kalikan pers (iii) dengan (-2).
kalikan brs (iii) dengan (-2).
kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i).
kalikan brs (ii) dengan ((-1) 1), lalu tambahkan ke brs (i).
FTI-UY
kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan b hk k ke pers (i).
kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke pers (ii)
kalikan brs (ii) dengan g (-1), ( ), lalu tambahkan ke brs (i). kalikan brs (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke brs (i) dan kalikan brs (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke brs (ii)
Diperoleh i l h x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat d kaitan k i menarik ik antara bentuk SPL dan representasi matriksnya. Metoda ini disebut g METODA ELIMINASI GAUSS. dengan FTI-UY
Eliminasi gauss g Prosedur P d penyelesaian l i d darii metoda d iinii adalah mengurangi sistem persamaan ke dalam bentuk segitiga g g sedemikian sehingga gg salah satu dari persamaan-persamaan tersebut hanya mengandung satu bilangan tak diketahui, diketahui dan setiap persamaan berikutnya hanya terdiri dari satu tambahan bilangan tak diketahui baru
FTI-UY
Metode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss • Matriks di rubah menjadi segitiga bawah dan atas (matriks identitas) • Variabel V i b l persamaan bi bisa llangsung dib dibaca
FTI-UY
Contoh : Selesaikan sistem persamaan berikut ini: 3 x - 0.1 y – 0.2 z = 7.85 0.1 x + 7 y – 0.3 z = -19.3 03x–0 0.3 0.2 2 y + 10 z = 71.4 71 4 Dalam bentuk bentuk matriks : 0 1 - 0.2 0 2 x 7.85 3 - 0.1 0.1 7 - 0.3 y = − 19.3 0.3 - 0.2 10 z 71.4
01 - 0.2 0 2 x 7.85 3 0.1 0 7.003 - 0.293 y = − 19.562 0 - 2.19 10.02 z 70.615 FTI-UY
3 0 0
1 0 0
1 0 0
0.1 7 003 7.003 0
- 0.0333 1 0
0 1 0
x 7.85 - 0.293 0 293 y = − 19.562 10.012 z 70.084
- 0.2
- 0.06667 x 2.61667 - 0.4188 0 4188 y = − 2.7932 1 z 7
- 0,0668 - 0,4188 1
x 2 ,5236 y = − 2 , 7932 z 7
FTI-UY
1 0 0 1 0 0
1 0 0
x 3 - 0,4188 0 4188 y = − 2,7932 1 z 7 0
0 1 0
0 x 3 0 y = − 2,5 1 z 7 FTI-UY
Metode Gauss Seidel • Metode ini menerapkan terkaan-terkaan terkaan terkaan awal dan kemudian diiterasi untuk memperoleh taksiran-taksiran yang diperhalus dari penyelesaiannya Contoh : Selesaikan sistem p persamaan berikut ini: 3 x - 0.1 y – 0.2 z = 7.85 0.1 x + 7 y - 0.3 z = -19.3 0.3 x – 0.2 y + 10 z = 71.4 FTI-UY
prosedur : ¾Nilai yang belum diketahui dianggap nol ¾Hasil dari perhitungan digunakan untuk perhitungan selanjutnya. selanjutnya Iterasii pertama It t ¾Dengan menganggap bahwa y dan z adalah nol, maka x dapat dihitung: g
7,85 + 0,1 y + 0,2 z 7,85 x= = = 2,61667 3 3
FTI-UY
Nilai y ini dengan anggapan nilai z adalah nol dan x adalah hasil yang barus saja dididapat, dididapat kemudian disubtitusikan ke persamaan berikut :
− 19,3 − 0,1x + 0,3 z − 19,3 − 0,1( 2,61667 ) = y= = −2,7945 7 7 Nilai y dan nilai x , disubtitusikan untuk mencari nilai z
71,4 − 0,3 x + 0,2 y 71,4 − 0,3(2,61667) + 0,2(2,7945) z= = 10 10 z = 7,0056 FTI-UY
Iterasi ke ke--2 7,85 + 0,1 y + 0,2 z 7,85 + 0,1(−2,7945) + 0,2(7,0056) x= = 3 3 = 2,99056 − 19,3 − 0,1x + 0,3z − 19,3 − 0,1(2,99056) + 0,3(7,0056) = 7 7 = −2,49962
y=
71,4 − 0,3 x + 0,2 y 71,4 − 0,3(2,99056) + 0,2(−2,49962) z= = 10 10 z = 7,00029 FTI-UY
Iterasi keke-3 7,85 + 0,1 y + 0,2 z 7,85 + 0,1(−2,49963) + 0,2(7,0029) x= = 3 3 = 3,00032 − 19,3 − 0,1x + 0,3z − 19,3 − 0,1(3,00032) + 0,3(7,0029) y= = 7 7 = −2,49999 71,4 − 0,3 x + 0,2 y 71,4 − 0,3(3,00032) + 0,2(−2,49999) = 10 10 z = 6,99999
z=
FTI-UY
Iterasi keke-4 7,85 + 0,1 y + 0,2 z 7,85 + 0,1(−2,499999) + 0,2(6,99999) x= = 3 3 =3 − 19,3 − 0,1x + 0,3z − 19,3 − 0,1(3) + 0,3(6,99999) y= = 7 7 = −2,5 71,4 − 0,3x + 0,2 y 71,4 − 0,3(3) + 0,2(−2,5) z= = 10 10 z=7 FTI-UY
FTI-UY
Subtitusi Mundur dan Subtitusi Maju Pandang SPL dengan matriks koefisisen berupa matriks segitiga atas berikut : a11x1 + a12x2+ ... a22x2+... ... ⋅
•
+ a1nxn = + a2nxn = ⋅ annxn = bn Algoritma Subtitusi Mundur xn = bn / ann Untuk k = n – 1, ... 1 bk − xk =
b1 b2
n
∑a
j = k +1
kj
xj
a kk
FTI-UY
•
Jika kita menyelesaikannya secara maju, algoritma yang berhubungan disebut subtitusi maju SPL nya berbentuk b1 a1nxn = a2n-1 + a2nxn = b2 2n 1xn-1 n1 ⋅ ⋅ an1x1 + an2x2+ ... + annxn = bn
•
Algoritma Subtitusi Maju xn = b1 / a11 Untuk k = 2, 2 3, 3 ... n k −1
xk =
bk − ∑ akj j =1
xj
akk
FTI-UY
