Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)

Pendahuluan

Pengertian Bilangan Kompleks

Operasi Aljabar Pada Bilangan Kompleks

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:[email protected], [email protected]

(Pertemuan Minggu I)

Pendahuluan



Outline

1

Pendahuluan

2


3


Pendahuluan



Pendauhuluan Di dalam sistem bilangan real R, x2 + 1 = 0

(1)

tidak mempunyai penyelesaian. Diperlukan sistem yang lebih besar dari R sehingga persamaan (1) mempunyai penyelesaian. Sistem yang dimaksud, selanjutnya akan dikenal sebagai sistem bilangan kompleks, harus mempunyai kejadian khusus (model) sistem bilangan real. Di dalam bab ini, akan dibicarakan sistem bilangan kompleks beserta sifat-sifat aljabar dan sifat-sifat geometrisnya. Untuk itu para pembaca dianggap sudah memahami sifat-sifat terkait di dalam R. Di samping itu, akan dibicarakan pula bentuk kutub, pangkat dan akar bilangan kompleks, dan pengertian-pengertian topologis di dalam sistem bilangan kompleks.

Pendahuluan



Pengertian bilangan kompleks Bilangan kompleks z didefinisikan sebagai pasangan berurutan z = (x, y )

(2)

dengan x, y ∈ R. x dan y pada persamaan (2) masing-masing dinamakan bagian real dan bagian imajiner dari z, dan ditulis x = Re(z)

dan

y = Im(z)

Himpunan semua bilangan kompleks ditulis dengan notasi C. Jadi, C = {(x, y ) : x, y ∈ R} Bilangan kompleks berbentuk (0, y ) disebut bilangan imajiner (khayal) murni.

Pendahuluan



Pengertian bilangan kompleks

Ada korespondensi 1-1 antara R dengan {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ C. Oleh karena itu, sistem bilangan real R dapat dipandang sebagai himpunan bagian di dalam C. Mengingat hal tersebut, setiap bilangan real x dapat disajikan sebagai (x, 0)

Pendahuluan



Operasi Alajabar Pada Bilangan Kompleks

Dua bilangan kompleks dikatakan sama jika bagian real dan bagian imajiner kedua bilangan tersebut masing-masing sama. Jadi, (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) ⇔ x1 = x2 y1 = y2 Diberikan dua bilangan kompleks z1 = (x1 , y1 ) dan z2 = (x2 , y2 ). Operasi penjumlahan z1 + z2 dan operasi perkalian z1 z2 , masing-masing didefinisikan sebagai berikut: (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) (x1 , y1 )(x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 )

(3) (4)

Pendahuluan




Khususnya, untuk bilangan-bilangan kompleks (x1 , 0) dan (x2 , 0) (yang notabene merupakan bilangan real), diperoleh (x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0) (x1 , 0)(x2 , 0) = (x1 x2 , 0), yang tidak lain merupakan operasi penjumlahan dan perkalian di dalam R. Dengan demikian, sistem bilangan kompleks merupakan perluasan sistem bilangan real.

Pendahuluan



Operasi Aljabar Pada Bilangan Kompleks Berdasarkan operasi jumlahan sebagaimana didefinisikan di awal, mudah dipahami bahwa (x, y ) = (x, 0) + (0, y )

(5)

Karena R ⊂ C, maka setiap k ∈ R dapat dinyatakan sebagai (k , 0) = k . Akibatnya, untuk sebarang bilangan kompleks z = (x, y ) dan k ∈ R, berlaku k (x, y ) = (k , 0)(x, y ) = (kx, ky ) Selanjutnya, apabila dinotasikan (0, 1) = i, maka berdasarkan persamaan (5) bilangan kompleks z = (x, y ) dapat pula dituliskan sebagai z = (x, y ) = x + iy

Pendahuluan



Operasi Alajabar Pada Bilangan Kompleks Seperti halnya di dalam R, untuk sebarang n ∈ N dan z ∈ C, didefinisikan z2

=

zz,

3

=

zz 2 ,

z4

=

zz 3 ,

z

... , z

n

=

zz n−1

Selanjutnya, diperoleh i 2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0), atau, dengan kata lain i 2 = −1

Pendahuluan




Menggunakan definisi penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks, dapat dibuktikan teorema berikut. Theorem Untuk sebarang z, z1 , z2 , z3 ∈ C berlaku i. Hukum komutatif: z1 + z2 = z2 + z1 dan z1 z2 = z2 z1 . ii. Hukum assosiatif: (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) dan (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ). iii. Hukum distributif: z(z1 + z2 ) = zz1 + zz2 .

Pendahuluan




Untuk sebarang bilangan kompleks (x, y ), berlaku: (0, 0) + (x, y ) = (x, y ), dan (1, 0)(x, y ) = (x, y )

(6) (7)

Jadi, ada elemen netral terhadap penjumlahan, yaitu (0, 0) = 0, dan ada elemen identitas terhadap perkalian, yaitu (1, 0) = 1. Jadi, untuk sebarang bilangan kompleks z ∈ C, z +0=z

dan

z.1 = z

Mudah ditunjukkan bahwa 0 dan 1 masing-masing tunggal adanya.

Pendahuluan



Operasi Aljabar Pada Bilangan Kompleks Selanjutnya, untuk sebarang (x, y ) ∈ C, maka (−x, −y ) ∈ C dan berlaku (x, y ) + (−x, −y ) = (0, 0) Jadi, untuk sebarang z ∈ C terdapat (dengan tunggal) −z ∈ C sehingga z + (−z) = 0

(8)

Berdasarkan (8) dapat diturunkan definisi operasi pengurangan pada bilangan kompleks, yaitu z1 − z2 = z1 + (−z2 ) Jadi, apabila z1 = (x1 , y1 ) dan z2 = (x2 , y2 ), maka z1 − z2 = (x1 − x2 , y1 − y2 ) = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 )

(9)

Pendahuluan




Example Tentukan penyelesaian persamaan z 2 − 2z + 2 = 0. Penyelesaian: Misalkan z = (x, y ), maka z 2 − 2z + 2 = 0 ⇔ (x, y )(x, y ) − 2(x, y ) + 2 = 0 ⇔ (x 2 − y 2 − 2x + 2, 2xy − 2y ) = 0 ⇔ x 2 − y 2 − 2x + 2 = 0 (I) dan 2xy − 2y = 0 (II)

Pendahuluan



Dari (II) diperoleh x = 1 atau y = 0. Untuk y = 0, maka (I) menjadi x 2 − 2x + 2 = 0 Persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian real karena diskriminannya negatif. Sedangkan untuk x = 1, maka (I) menjadi 1 − y 2 = 0 ⇔ y = ±1 Jadi, z = (1, 1) atau z = (1, −1).

Pendahuluan



Untuk sebarang bilangan kompleks (x, y ) 6= 0, maka −y x ( x 2 +y 2 , x 2 +y 2 ) ∈ C, dan berlaku (x, y )(

x −y , ) = (1, 0) x2 + y2 x2 + y2

Jadi, untuk sebarang bilangan kompleks z 6= 0 terdapat −y x (dengan tunggal) z −1 ∈ C, yaitu z −1 = ( x 2 +y 2 , x 2 +y 2 ) sehingga zz −1 = 1

(10)

Dengan kata lain, setiap bilangan kompleks tak nol mempunyai invers.

Pendahuluan



Berdasarkan persamaan (10), dapat didefinisikan operasi perbagian pada bilangan kompleks, yaitu z1 = z1 .z2−1 , z2

z2 6= 0

(11)

Pendahuluan



Dengan adanya inverse terhadap operasi perkalian, maka dapat ditunjukkan bahwa C tidak memuat pembagi nol sejati. Hal itu dinyatakan di dalam pernyataan berikut. Theorem Untuk sebarang z1 , z2 ∈ C: z1 z2 = 0 jika dan hanya jika z1 = 0 atau z2 = 0. Bukti:(⇒) : Diketahui z1 z2 = 0. Apabila z1 6= 0, maka terdapat z1−1 ∈ C sehingga z1−1 z1 = 1. Selanjutnya, diperoleh z2 = 1.z2 = (z1−1 z1 )z2 = z1−1 (z1 z2 ) = z1−1 .0 = 0 (⇐) : Mudah ditunjukkan.

Pendahuluan



Dengan adanya teorema di atas, maka Contoh terdahulu dapat diselesaikan dengan cara melakukan faktorisasi ruas kiri persamaan dalam contoh tersebut, yaitu: z 2 − 2z + 2 = 0 ⇔ (z − 1)2 + 1 = 0 ⇔ (z − 1 + i)(z − 1 − i) = 0 ⇔ z = 1 − i atau z = 1 + i

Pendahuluan



Apabila di dalam (11) diambil z1 = 1, maka diperoleh 1 = z2−1 z2

(12)

sehingga perbagian dapat pula dituliskan sebagai z1 1 = z1 ( ), z2 z2

z2 6= 0

Pendahuluan



Karena untuk sebarang z1 , z2 6= 0 berlaku (z1 z2 )(z1−1 z2−1 ) = (z1 z1−1 )(z2 z2−1 ) = 1 maka (z1 z2 )−1 = (z1−1 z2−1 ). Berdasarkan persamaan (12) diperoleh 1 1 1 = ( )( ), z1 z2 z1 z2

z1 , z2 6= 0

(13)

Selanjutnya, mudah dipahami z1 z2 z1 + z2 = + z3 z3 z3

;

z1 z2 z1 z2 = ( )( ), z3 z4 z3 z4

z3 , z4 6= 0

Pendahuluan



Example (

1 1 )( ) = 2 − i 3 + 2i

1 1 = (2 − i)(3 + 2i) 8+i 1 8−i 8−i 8 1 = ( )( )= = + i 8+i 8−i 65 65 65

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)

Recommend Documents