Akar Bilangan Kompleks
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:
[email protected],
[email protected]
(Pertemuan Minggu III)
Akar Bilangan Kompleks
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Outline
1
Akar Bilangan Kompleks
2
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Akar Bilangan Kompleks
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Akar Bilangan Kompleks Diberikan bilangan kompleks z dan n ∈ N . Bilangan kompleks w dikatakan merupakan akar pangkat n dari z jika w n = z. Selanjutnya, akar pangkat n dari z ditulis 1 dengan notasi z n . Misalkan z = r (cos θ + i sin θ) dan w = R(cos φ + i sin φ). Karena w n = z, maka berdasarkan rumus de Moivre R n (cos(nφ) + i sin(nφ)) = r (cos θ + i sin θ) sehingga R n cos(nφ) = r cos θ
dan
R n sin(nφ) = r sin θ
(1)
Karena R ≥ 0 maka dengan menyelesaikan (11) diperoleh 1
R =rn
dan
φ=
θ + 2k π , k ∈Z n
(2)
Akar Bilangan Kompleks
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Akar Bilangan Kompleks
Jadi, jika diberikan bilangan kompleks tak nol z = r (cos θ + i sin θ) dan n ∈ N , maka akar pangkat n dari z adalah bilangan-bilangan kompleks 1
zk = r n (cos(
θ + 2k π θ + 2k π ) + i sin( )), n n
k ∈Z
(3)
Tetapi karena cosinus dan sinus merupakan fungsi yang periodik dengan periode 2π maka persamaan (13) menjadi 1
zk = r n (cos(
θ + 2k π θ + 2k π ) + i sin( )), k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 n n
Akar Bilangan Kompleks
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Akar Bilangan Kompleks
Dari rumus di atas, dapat diketahui bahwa di dalam C, akar pangkat n merupakan fungsi bernilai sebanyak n (tidak tunggal). Hal ini berbeda dengan pengertian fungsi bernilai real yang selalu bernilai tunggal. Namun demikian, apabila yang diperhatikan salah satu cabangnya saja, yaitu untuk satu nilai n tertentu, maka akar pangkat n merupakan fungsi bernilai tunggal. Apabila pada rumus akar pangkat n, diambil −π < arg zk ≤ π, maka zk terkait dinamakan cabang 1 utama dari z n .
Akar Bilangan Kompleks
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Contoh-contoh Example 1
Tentukan (−8 − 8i) 3 . Example √ 1 Tentukan (8 − 8i 3) 4 . Example 1
Tentukan (−16) 6 . Example Tentukan semua nilai z sehingga z 4 + 2z 2 + 2 = 0.
Akar Bilangan Kompleks
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Persekitaran dan titik Untuk sebarang z0 ∈ C dan bilangan real r > 0, himpunan N(z0 , r ) = {z ∈ C : |z − z0 | < r } disebut persekitaran (neighborhood) z0 dengan jari-jari (radius) r . Titik z0 ∈ A ⊂ C disebut titik dalam (interior point) A jika terdapat r > 0 sehingga N(z0 , r ) ⊂ A. Titik z0 ∈ A ⊂ C disebut titik luar (exterior point) A jika z0 titik dalam Ac . Titik z0 disebut titik batas (boundary point) A ⊂ C jika z0 bukan titik dalam dan bukan titik luar A. Dengan kata lain, z0 disebut titik batas A ⊂ C jika untuk setiap r > 0 berlaku N(z0 , r ) ∩ A 6= ∅ dan N(z0 , r ) ∩ Ac 6= ∅.
Akar Bilangan Kompleks
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Himpunan terbuka/tertutup Himpunan A ⊂ C dikatakan terbuka (open) jika setiap titiknya merupakan titik dalam. Theorem Setiap persekitaran merupakan himpunan terbuka. Diberikan himpunan A ⊂ C. Titik z0 ∈ C disebut titik limit (limit point) A jika untuk setiap bilangan real r > 0, N(z0 , r ) ∩ A − {z0 } = 6 ∅. Himpunan A ⊂ C dikatakan tertutup (closed) jika A memuat semua titik limitnya. Theorem Himpunan A tertutup jika dan hanya jika AC terbuka
Akar Bilangan Kompleks
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Himpunan terhubung, himpunan terbatas, domain, dan region Himpunan A ⊂ C dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap dua titik berbeda z1 , z2 ∈ A dapat dihubungkan dengan sebanyak berhingga segmen (penggal) garis yang kesemuanya berada di dalam A. Himpunan terbuka yang terhubung disebut domain. Mudah dipahami bahwa setiap persekitaran merupakan domain. Suatu domain ditambah (atau tidak ditambah) beberapa atau semua titik batasnya disebut daerah (region). Himpunan A ⊂ C dikatakan terbatas (bounded) jika terdapat bilangan real M > 0 sehingga |z| ≤ M untuk setiap z ∈ A. Jadi, A terbatas jika ada lingkaran |z| = R sehingga setiap z ∈ A berada di dalam lingkaran tersebut.
