Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:
[email protected],
[email protected]
(Pertemuan Minggu II)
Penyajian Secara Geometris
Outline
1
Penyajian Secara Geometris Modulus Sekawan/Konjugat
2
Bentuk Kutub
Bentuk Kutub
Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Penyajian Secara Geometris
Setiap bilangan kompleks dapat dipasangkan dengan tepat satu titik di dalam bidang datar, sebaliknya setiap titik di dalam bidang datar berpasangan dengan tepat satu bilangan kompleks. Sebagai contoh, bilangan 2 + 3i dapat disajikan dengan titik (2, 3). Jadi, terdapat korespondensi 1-1 antara sistem bilangan kompleks C dengan bidang datar. Oleh karena itu, sebarang bilangan kompleks z = x + iy dapat atau sering disajikan sebagai titik (x, y ) atau sebagai vektor posisi dari titik asal ke titik (x, y ).
Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Penyajian Secara Geometris Karena sebarang bilangan kompleks z = x + iy secara geometris dapat dinyatakan sebagai titik (x, y ), maka bidang datar xy seringkali disebut sebagai bidang kompleks atau bidang-z. Sumbu-x dan sumbu-y masing-masing disebut sebagai sumbu real dan sumbu imajiner. Diberikan dua bilangan kompleks sebarang z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2 . Terkait dengan definisi penjumlahan dua bilangan kompleks, maka z1 + z2 dapat disajikan dengan titik (x1 + x2 , y1 + y2 ) atau dapat pula disajikan dengan vektor posisi OA, dengan A(x1 + x2 , y1 + y2 ). Dengan demikian z1 + z2 dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor z1 dan vektor z2 . Demikian pula, vektor z1 − z2 dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor z1 dengan vektor −z2 .
Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Modulus
Modulus Modulus atau nilai mutlak bilangan kompleks z = x + iy , ditulis dengan notasi |z|, didefinisikan sebagai q |z| = x 2 + y 2 (1) Mudah ditunjukkan bahwa untuk sebarang z ∈ C, |z| ≥ 0 dan |z| = 0 ⇔ z = 0 Secara geometris, |z| dapat diartikan sebagai jarak titik asal ke titik (x, y ), atau panjang vektor posisi z. Apabila y = 0, maka |z| = |x|, yaitu nilai mutlak di dalam sistem bilangan real R.
Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Modulus
Modulus Untuk dua bilangan kompleks sebarang z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2 , berlaku: q |z1 − z2 | = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 Oleh karena itu, secara geometris |z1 − z2 | berarti jarak antara titik z1 dan titik z2 . Hubungan antara |z|, Re(z), dan Im(z): |z|2 = (Re(z))2 + (Im(z))2 Akibatnya, Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z|,
Im(z) ≤ |Im(z)| ≤ |z|
(2)
Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Sekawan/Konjugat
Sekawan
Sekawan (konjugat) bilangan kompleks z = x + iy , ditulis dengan notasi z, didefinisikan sebagai bilangan kompleks x − iy . Jadi z = x − iy
(3)
Dari (16) dapat dilihat bahwa z disajikan oleh titik (x, −y ), yang tidak lain adalah pencerminan titik (x, y ) terhadap sumbu real.
Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Sekawan/Konjugat
Sekawan
Theorem Untuk sebarang z, z1 , z2 ∈ C berlaku: i. (z) = z dan |z| = |z|, ii. z1 + z2 = z1 + z2 , z1 − z2 = z1 − z2 , iii. z1 z2 = z1 z2 , ( zz12 ) = zz1 , z2 6= 0, 2
iv. z + z = 2Re(z), z − z = 2iIm(z)
Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Sekawan/Konjugat
Sekawan
Untuk sebarang z = x + iy ∈ C, zz = (x + iy )(x − iy ) = x 2 + y 2 = |z|2
(4)
Berdasarkan persamaan (17) dapat diberikan cara lain untuk menyatakan zz21 , yaitu dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan z 2 . Sebagai gambaran, perhatikan contoh berikut ini. Example 2+i 2 + i 2 + 3i 1 + 8i 1 8 = = = + i 2 − 3i 2 − 3i 2 + 3i 13 13 13
Penyajian Secara Geometris Sekawan/Konjugat
Modulus
Berdasarkan (17), mudah diperlihatkan sifat berikut ini. Theorem Untuk sebarang z1 , z2 ∈ C berlaku: i. |z1 z2 | = |z1 ||z2 |, 1| | zz21 | = |z |z2 | , z2 6= 0, ii. Ketaksamaan segitiga: ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 − z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.
Bentuk Kutub
Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Bentuk Kutub
Seperti telah dijelaskan pada pertemuan minggu lalu, bilangan kompleks z = x + iy dapat disajikan dengan titik (x, y ) di dalam bidang-xy . Sebarang titik tak nol (x, y ), di dalam sistem koordinat kutub, dapat disajikan sebagai (r , θ), dengan r menyatakan jarak titik tersebut ke titik asal dan θ sudut yang dibentuk oleh garis yang menghubungkan titik tersebut ke titik asal dan garis horisontal, arah berlawanan jarum jam.
Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Bentuk Kutub Karena x = r cos θ
dan
y = r sin θ
maka z dapat pula dinyatakan sebagai z = r (cos θ + i sin θ)
(5)
atau biasa pula ditulis z = r cisθ. Perhatikan bahwa q r = x 2 + y 2 = |z| Jadi, bilangan r merupakan modulus (panjang) bilangan kompleks z. Sedangkan θ disebut argument z, biasa ditulis arg z. Ruas kanan persamaan (1) disebut bentuk kutub bilangan kompleks z.
Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Bentuk Kutub Telah diterangkan bahwa setiap bilangan kompleks z 6= 0 dapat disajikan dalam bentuk kutub sebagai z = r (cos θ + sin θ). Karena r = |z|, maka r tidak diperkenankan bernilai negatif. Hal ini berbeda dengan penyajian suatu titik dalam sistem koordinat kutub sebagaimana di dalam kalkulus, yang memperbolehkan r negatif. Sedangkan nilai untuk θ bisa bermacam-macam (tak hingga banyak) nilainya, termasuk negatif. Perlu diperhatikan bahwa apabila bilangan kompleks z dinyatakan dalam bentuk kutub, maka selalu dimaksudkan z 6= 0, meskipun hal itu tidak dikatakan secara eksplisit.
Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Bentuk Kutub Secara geometris arg z menyatakan sudut yang dibentuk oleh vektor posisi z terhadap sumbu real positif dan diukur dalam radian. Apabila θ merupakan arg z, maka θ + 2k π, k ∈ Z, juga merupakan arg z. Jadi, arg z bernilai tidak tunggal. Untuk z = 0, arg z tidak didefinisikan. Sedangkan untuk z 6= 0, nilai arg z dapat ditentukan dengan rumus y θ = arctan( ) , x
x 6= 0
(6)
atau y x θ = arcsin( ) = arccos( ) r r Apabila menggunakan rumus (2), maka kuadran yang memuat z harus diperhatikan.
(7)
Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Bentuk Kutub Telah diterangkan di depan bahwa nilai arg z tidak tunggak. Suatu nilai arg z yang memenuhi −π < arg z ≤ π disebut nilai utama (principal value) arg z, ditulis dengan notasi Arg z. Dalam hal ini, nilai Argz tunggal. Perhatikan contoh berikut. Example
√ Untuk bilangan kompleks z = −1 − i 3, arg z =
4π + 2k π, 3
tetapi Arg z = −
2π 3
k ∈Z
Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Bentuk Kutub
Diberikan dua bilangan kompleks sebarang: z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 )
dan
z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 )
maka diperoleh z1 z2 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 )r2 (cos θ2 + i sin θ2 ) = r1 r2 (cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 + i sin θ2 ) = r1 r2 {(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 ) + i(sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2 )} = r1 r2 (cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 ))
Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Bentuk Kutub
Jadi, z1 z2 = r1 r2 (cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 ))
(8)
Dengan demikian diperoleh suatu persamaan arg z1 z2 = arg z1 + arg z2
(9)
Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Perhatikan bahwa persamaan (5) harus dipahami demikian: Apabila θ1 dan θ2 masing-masing adalah nilai arg z1 dan arg z2 , maka berdasarkan persamaan (5), θ1 + θ2 merupakan suatu nilai arg z1 z2 . Sebaliknya, jika diberikan sebarang nilai arg z1 dan nilai arg z1 z2 , misalkan masing-masing adalah arg z1 = θ1 + 2k π,
n ∈ Z, dan
arg z1 z2 = (θ1 + θ2 ) + 2nπ,
n ∈ Z,
karena (θ1 + θ2 ) + 2nπ = (θ1 + 2k π) + (θ2 + 2(n − k )π), maka persamaan (5) akan dipenuhi apabila nilai arg z2 = θ2 + 2(n − k )π. Jadi, sebarang arg z1 z2 sama dengan suatu arg z1 ditambah suatu arg z2 .
Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Bentuk Kutub Perlu diperhatikan bahwa sebarang arg z1 z2 tidak sama dengan sebarang arg z1 ditambah sebarang arg z2 . Demikian pula, Arg z1 z2 belum tentu sama dengan Arg z1 ditambah Arg z2 . Perhatikan contoh berikut ini. Example
√ √ Diberikan z1 = −1 dan z2 = −1 + i 3, maka z1 z2 = 1 − i 3. Berturut-turut diperoleh: arg z1 = π + 2k π, k ∈ Z, Arg z1 = π 2π 2π arg z2 = + 2k π, k ∈ Z, Arg z2 = , 3 3 π π arg z1 z2 = − + 2k π, k ∈ Z, Arg z1 z2 = − . 3 3
Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Diberikan sebarang bilangan kompleks tak nol z = r (cos θ + i sin θ), maka mudah ditunjukkan bahwa 1 1 = (cos(−θ) + i sin(−θ)) z r Demikian pula z = r (cos(−θ) + i sin(−θ))
(10)
(11)
Selanjutnya, berdasarkan persamaan (4) dan (6), maka untuk dua bilangan kompleks sebarang: z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 )
dan
z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 )
berlaku z1 r1 = ( )(cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 )) (12) z2 r2 Jadi, seperti halnya pada persamaan (5) dapat dikatakan bahwa sebarang arg( zz12 ) sama dengan suatu arg z1 dikurangi suatu arg z2 .
Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Bentuk Kutub Apabila diberikan zk = rk (cos θk + i sin θk ), k = 1, 2, . . . , n, maka secara induktif dapat ditunjukkan z1 z2 . . . zn = r1 r2 . . . rn (cos(θ1 + θ2 + . . . + θn ) + i sin(θ1 + θ2 + . . . + θn ))
(8a)
Apabila pada persamaan di atas, zk = z = (cos θ + i sin θ), k = 1, 2, . . . , n, maka diperoleh z n = (cos θ + i sin θ)n = (cos nθ + i sin nθ)
(13)
Selanjutnya, berdasarkan (6) dan (8a), maka untuk n ∈ N diperoleh z −n =
1 1 = = cos(−n)θ + i sin(−n)θ zn (cos nθ + i sin nθ)
Penyajian Secara Geometris
Bentuk Kutub
Bentuk Kutub Dari persamaan (9), kita mempunyai (cos θ + i sin θ)n = (cos nθ + i sin nθ)
(14)
untuk setiap n ∈ Z. Persamaan (10) di atas dikenal dengan nama rumus De Moivre. Dengan rumus De Moivre, kita dapat menyelesaikan beberapa persoalan di dalam sistem kompleks dengan sederhana. Example Tentukan Re(z) dan Im(z) jika diketahui z =
√ (1−i 3)2 √ . (1+i 3)6 (1+i)6
