SIMULASI MONTE CARLO

Bab III Simulasi Monte Carlo

BAB III

SIMULASI MONTE CARLO

Simulasi Monte Carlo dapat digunakan untuk memberikan suatu taksiran harga opsi, baik yang memiliki formula analitik maupun tidak. Contoh opsi yang biasanya tidak memiliki formula analitik adalah opsi exotic.

3.1 Simulasi Simulasi adalah sebuah teknik numerik untuk melakukan percobaan-percobaan dengan meniru sebuah situasi dengan menggunakan model-model matematika dan logika dengan tujuan menaksir berbagai macam keluaran yang mungkin pada periode waktu tertentu.

Terdapat beberapa situasi yang mendukung digunakannya teknik simulasi: •

Ketika sangat sulit atau tidak mungkin untuk memperoleh data dari prosesproses berkaitan di dunia nyata. Misalnya, efek dari kebijaksanaan pemotongan pajak terhadap ekonomi.

•

Tidak mungkin atau memerlukan biaya yang mahal untuk mengadakan percobaan-percobaan terkait dengan model-model matematikanya.

•

Sistem yang mungkin sangat kompleks dan tidak dapat dideskripsikan dengan persamaan matematika.

Simulasi komputer memungkinkan kita untuk mereplikasi sebuah percobaan. Replikasi artinya mengulang sebuah percobaan dengan perubahan-perubahan

Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo

13


yang dipilih untuk parameter-parameter terkait, tetapi tanpa mengubah keluarankeluaran. Meskipun simulasi menjadi alat yang tidak ternilai harganya dan sangat bermanfaat terhadap masalah-masalah yang tidak cukup hanya diselesaikan dengan teknik analitik, tapi pada dasarnya simulasi bukanlah alat yang ideal. Simulasi adalah teknik yang tidak teliti, hanya berlandaskan estimasi statistika daripada hasil eksak. Memerlukan waktu yang tidak sedikit dalam mempelajari suatu masalah, analisis dan membuat programnya.

Simulasi stokastik adalah percobaan yang berlandaskan model terhadap waktu dan melibatkan stokastik variate sampling dari sebuah distribusi peluang, yaitu sebuah percobaan statistika sampling. Sampling dari sebuah distribusi melibatkan penggunaan dari bilangan-bilangan acak. Simulasi statistik ini kemudian disebut simulasi Monte Carlo.

3.2 Metode Monte Carlo Metode Monte Carlo adalah sebuah teknik untuk menyelesaikan suatu masalah dengan menjalankan percobaan dalam jumlah banyak, disebut simulasi, dan menyimpulkan suatu solusi dari hasil-hasil kolektif dari percobaan-percobaan yang dijalankan tersebut.

Simulasi Monte Carlo telah diterapkan dalam berbagai bidang, termasuk dalam penilaian harga derivatif finansial. Metode ini dapat digunakan dalam memperkirakan harga opsi keuangan yang mempunyai formula analitik maupun yang tidak punya. Simulasi Monte Carlo memanfaatkan penilaian risk-neutral dimana ekspektasi payoff pada suatu dunia risk neutral dihitung menggunakan sebuah prosedur sampling, dan didiskontokan pada suku bunga tanpa resiko (riskfree interest rate). Penilaian harga dari sebuah opsi ekuivalen dengan menghitung ekspektasi dari payoff yang didiskontokan dibawah suatu ukuran tertentu.


14


Metode simulasi Monte Carlo menjadi populer karena: •

Mudah diterapkan pada berbagai masalah bahkan untuk model-model keuangan yang rumit ataupun yang berdimensi tinggi.

•

Memiliki performa yang baik pada masalah-masalah berdimensi tinggi. Rasio kekonvergenan dari suatu estimasi simulasi Monte Carlo tidak bergantung dimensi dari masalah tersebut.

•

Selang kepercayaan dari estimasi simulasi Monte Carlo memungkinkan kita mengetahui kualitas dari estimasi tersebut.

Dalam simulasi ini kita mengambil beberapa asumsi, yaitu: •

Pergerakan harga saham mengikuti distribusi lognormal.

•

Tidak terdapat kesempatan arbitrasi.

•

Harga saham dinilai pada suku bunga tanpa resiko.

Langkah yang perlu diikuti dalam menggunakan simulasi Monte Carlo adalah: •

Simulasikan sebuah lintasan harga saham di bawah kondisi tanpa resiko pada selang waktu tertentu.

•

Diskontokan payoff yang bersesuaian dengan lintasan pada suku bunga tanpa resiko.

•

Ulangi prosedur di atas untuk jumlah simulasi yang cukup besar.

•

Hitung rata-rata cash flow yang didiskontokan untuk mempoleh nilai opsi.[5]

Misalkan pergerakan harga saham mengikuti proses acak berikut dS = μ Sdt + σ SdWt


(3.1)

15


dengan dWt adalah sebuah proses Wiener dan S adalah harga saham. Jika δ S adalah kenaikan dari harga saham pada interval waktu berikutnya δ t yang kecil, maka

δS S

dengan

= μδ t + σ Z δ t ,

(3.2)

Z ∼ N ( 0,1) , σ adalah volatilitas dari harga saham dan μ adalah

ekspektasi return pada suatu risk-neutral word. Maka persamaan (3.2) dapat ditulis: S (t + δ t ) − S (t ) = μ S (t )δ t + σ S (t ) Z δ t

(3.3)

Kita dapat menghitung nilai dari S pada saat t + δ t dari nilai awal S, kemudian nilai S pada saat t + 2δ t dari nilai pada saat t + δ t , dan seterusnya. Kita gunakan N buah sampel acak dari distribusi normal untuk mensimulasikan lintasan S. Akan lebih akurat jika kita mensimulasikan lnS daripada S, kita transformasikan proses harga saham dengan menggunakan lemma Ito d ln S = ( μ − σ 2 / 2 ) dt + σ dWt

ln S ( t + δ t ) − ln S ( t ) = ( μ − σ 2 / 2 ) δ t + σ Z δ t

atau

S ( t + δ t ) = S ( t ) exp ⎡⎣( μ − σ 2 / 2 ) δ t + σ Z δ t ⎤⎦ .

(3.4)

simulasi Monte Carlo lebih relevan digunakan ketika payoff derivatif finansial tergantung pada lintasan dari harga saham selama masa hidup dari opsi tersebut, yaitu untuk opsi bergantung lintasan (path dependent options). Metode ini juga


16


bisa digunakan ketika nilai dari derivatif finansial hanya bergantung pada harga akhir saham. Contohnya adalah opsi Eropa, dimana payoff-nya bergantung pada nilai S pada saat jatuh tempo T. Pergerakan harga saham untuk opsi Eropa dapat dituliskan STi = S exp ⎡⎣( μ − σ 2 / 2 ) T + σ Z T ⎤⎦ .

(3.5)

dengan i = 1,2,…,M dan M melambangkan jumlah simulasi. Sejumlah M simulasi ini adalah lintasan-lintasan yang mungkin dari suatu harga saham pada saat jatuh tempo T. Dari persamaan (3.5) komponen yang tidak diketahui nilainya adalah σ (volatilitas), untuk itu nilai ini akan di estimasi dengan menggunakan metode hitorical volatility.

Volatilitas Historis

Volatilitas adalah ukuran simpangan baku dari potensi sebuah saham untuk berdeviasi dari harga saat ini. Semakin besar nilai volatilitas dari suatu saham, semakin besar pula nilai opsinya. Estimasi volatilitas adalah sebuah ukuran dari ketidakpastian return dari saham. Untuk penilaian harga opsi, volatilitas diasumsikan sebagai berikut: (1) Homogen terhadap waktu, yaitu sama sepanjang masa hidup saham. (2) Konstan antara tanggal kesepakatan opsi dan waktu jatuh tempo.

Metode estimasi voltilitas ini adalah dengan menghitung simpangan baku logaritma dari perubahan harga saham pada suatu selang waktu dari data historis harga saham. Return harian diberikan oleh, X t = ln ( St / St −1 ) . Variansi diestimasi oleh variansi sampel, yang dinormalkan oleh (n-1) untuk membuatnya statistic tak bias 2 = Var = σ day

1 ⎡ n ⎤ X t2 − X 2 ) ⎥ . ( ∑ ⎢ n − 1 ⎣ t =1 ⎦


17


Simpangan baku yang dihitung adalah volatilitas harian jika data yang dipakai adalah harian. Kemudian dibuat tahunan dengan

σ year = σ day × 252 dimana σ year adalah volatilitas tahunan, σ day adalah volatilitas harian dan X adalah mean dari return harian. Pada umumnya kita memakai 252 hari sebagai jumlah keseluruhan jam kerja perdagangan saham dalam satu tahun.

Jika saham membayarkan dividen, maka barisan harga saham bergerak tak homogen. Suatu pembayaran dividen meningkatkan return yang harus dibayarkan kepada pembeli. Jika pembeli memiliki sebuah saham yang membayarkan sebuah dividen D, maka harga return harian diberikan oleh ln ⎡⎣( St + D ) / St −1 ⎤⎦ .

3.2.1

Opsi Eropa

Estimasi nilai opsi call Eropa adalah

c=

M

1 M

∑e i =1

− rT

max ⎡⎣ STi − K , 0 ⎤⎦.

(3.6)

ini adalah estimator tak bias dari harga derivatif. Ketika jumlah simulasi M besar, teorema limit pusat memberikan sebuah selang kepercayaan untuk estimasi ini, berdasarkan variansi sampel dari payoff yang didiskontokan. Besarnya simulasi M yang saling bebas ditetapkan sesuai dengan akurasi yang diinginkan. Jika ω adalah deviasi standard an μ adalah mean dari payoff-payoff yang didiskontokan dari (3.6), maka kesalahan standar (standard error) diestimasi dengan ω / M . Sebuah selang kepercayaan 95% dari harga derivatif f diberikan oleh

μ−

1.96ω 1.96ω < f <μ+ , M M


(3.7)

18


dibawah asumsi bahwa f berdistribusi normal. Dari selang diatas dapat diperoleh informasi sebagai berikut: 1. Ukuran dari selang kepercayaan mengecil sebanding dengan invers akar kuadrat dari jumlah sampel yang dipakai. Dengan kata lain, untuk memperkecil error sebesar 10 kali lipat diperlukan ukuran sampel 100 kali lipat lebih besar. 2. Ukuran dari selang kepercayaan sebanding dengan simpangan baku, yaitu akar kuadrat dari variansi. Dari informasi ini, kita dapat memperkecil selang kepercayaan dengan cara melakukan transformasi peubah acak X menjadi peubah acak Y dengan syarat E ( X ) = E (Y ) tetapi Var (Y ) lebih kecil dari

Var ( X ) . Ide ini kemudian dikenal dengan nama reduksi variansi.

3.2.2

Opsi Amerika

Pada umumnya, Opsi Amerika sama seperti Opsi Eropa. Hanya saja pada Opsi Amerika pemegang opsi diperbolehkan untuk meng-exercise opsinya kapanpun dalam selang waktu antara awal masa berlakunya opsi sampai dengan waktu jatuh tempo opsi tersebut. Definisi Sebuah Opsi Call Amerika memberikan hak (bukan kewajiban) kepada pemegang opsi untuk membeli sebuah saham dari writer dengan harga yang telah disepakati (disebut strike price atau exercise price) kapanpun dalam selang waktu antara awal masa berlakunya opsi sampai dengan waktu jatuh tempo opsi tersebut (disebut maturity atau expiry date). Definisi Sebuah Opsi Put Amerika memberikan hak (bukan kewajiban) kepada pemegang opsi untuk menjual sebuah saham kepada writer dengan harga yang telah disepakati, kapanpun dalam selang waktu antara awal masa berlakunya opsi sampai dengan waktu jatuh tempo opsi tersebut.


19


Masalah yang dihadapi pemegang Opsi Amerika adalah kapan waktu yang tepat untuk melakukan exercise. Jika, pada saat t , nilai opsi adalah out-of-the-money maka tentu saja lebih baik tidak melakukan exercise. Jika nilai opsi adalah in-themoney, mungkin akan lebih menguntungkan untuk menunggu kesempatan exercise berikutnya karena payoff-nya mungkin lebih besar. Opsi Amerika lebih banyak diperdagangkan daripada Opsi Eropa. Hal ini dikarenakan fasilitas early exercise yang dimiliki oleh opsi Amerika lebih memberikan tantangan kepada para pemain saham untuk berlomba-lomba menentukan strategi exercise yang paling optimal. Untuk harga opsi tanpa dividen terdapat pernyataan, “ Bukanlah keputusan yang optimal jika kita melakukan exercise terhadap Opsi Call Amerika sebelum waktu jatuh temponya.” [2]. bukti dari pernyataan diatas adalah sebagai berikut: misalkan S ( t ) adalah harga saham pada saat t dan misalkan K adalah strike price. Misalkan pemegang opsi ingin melakukan exercise terhadap opsinya pada satu waktu t < T . Keadaan ini hanya akan memberikan keuntungan jika

S ( t ) > K , dan memberikan payoff sebesar S ( t ) − K pada saat t . Sedangkan, pemegang opsi dapat melakukan short selling terhadap saham di pasar pada saat t kemudian membeli kembali saham tersebut saat t = T . Maka dua hal yang dapat dilakukan: a. Melakukan exercise terhadap opsi pada saat t = T . b. Membeli dengan harga pasar saat T . Dengan melakukan strategi ini pemegang opsi memperoleh keuntungan S ( t ) > K pada saat t dan membayar biaya kurang dari atau sama dengan K pada saat T . Jelas lebih menguntungkan daripada memperoleh keuntungan S ( t ) − K pada saat t . Dengan pernyataan ini maka sebuah Opsi Call Amerika mempunyai nilai yang sama dengan sebuah Opsi Call Eropa. Dan seperti yang kita ketahui bersama bahwa Opsi Eropa dapat dihitung dengan mudah karena memiliki formulasi eksak, contohnya formulasi Black-Scholes. Pernyataan ini tidak berlaku untuk


20


opsi Put Amerika. Tidak terdapat formulasi eksak untuk opsi Put Amerika ini. Oleh karena itu, dipergunakanlah metode-metode numerik untuk menaksirnya. Salah satu metode yang bisa dipakai adalah metode Monte Carlo.

3.2.2.1

Metode Monte Carlo untuk menilai opsi Put Amerika

Banyak orang percaya bahwa pendekatan dengan metode Monte Carlo hanya dapat digunakan untuk menghitung nilai Opsi Eropa. Hal ini dikarenakan metode Monte Carlo mudah digunakan jika pekerjaan tersebut bersifat maju sesuai pertambahan waktu. Tetapi untuk pekerjaan yang bersifat mundur, metode ini menjadi susah untuk diterapkan. Di bawah asumsi kondisi tanpa resiko μ = r , nilai Opsi Put Amerika saat t = 0 adalah:

P Am ( S0 , 0 ) = sup E ⎡⎣e − rτ (Vτ ) ⎤⎦ 0 ≤τ ≤T

(3.8)

Dengan τ adalah stopping time dan Vτ adalah payoff saat τ . [2] Secara umum, terdapat dua cara untuk menilai opsi Amerika. Yang pertama adalah dengan parameterisasi. Ilmuwan yang memanfaatkan teknik ini adalah Andersen (2000). Cara yang kedua adalah dengan menaksir nilai kekontinuan dari opsi Amerika

melalui fungsi ekspektasi bersyarat. Salah satu ilmuwan yang

menggunakan teknik ini adalah Longstaff dan Schwartz (2001). Mereka memperkenalkan metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil atau Least-Squares Monte Carlo (LSM) sebagai cara yang mudah untuk memanfaatkan konsep ekspektasi bersyarat ini. Pada Tugas akhir ini hanya akan dibahas penilaian harga opsi Amerika dengan metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil ini.

3.2.2.2

Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil (Least-Squares Monte Carlo)

Longstaff dan Schwartz (2001) memperkenalkan simulasi Monte Carlo dengan metode kuadrat terkecil untuk menilai Opsi Amerika. Pada setiap titik waktu exercise, pemegang opsi membandingkan payoff dari early exercise dengan


21


ekspektasi payoff dari kekontinuan. Dengan mengasumsikan bahwa kesempatan melakukan exercise adalah diskret, nilai opsi dipenuhi oleh persamaan dinamik berikut:

Vn = max ( hn ( S ) , H n ( S ) ) ,

n = 0,1,..., N − 1,

(3.9)

Dengan H n ( S ) adalah nilai kekontinuan saat tn , S ( tn ) = S , hn ( S ) adalah payoff dari exercise. Jika payoff dari early exercise lebih tinggi, pemegang opsi akan meng-exercise opsinya. Sebaliknya, mereka akan membiarkan opsi tersebut (tidak meng-exercise). Saat jatuh tempo t N = T , kita dapatkan VN ( S ) = hN ( S ) (dengan kata lain H N ( S ) = 0 ). Ekspektasi payoff dari kekontinuan adalah bersyarat terhadap informasi yang ada pada titik waktu tersebut , atau secara rekursi dapat diperoleh sebagai berikut :

(

)

H n ( S ) = E max ⎡ hn +1 ( S ( tn +1 ) ) , H n +1 ( S ( tn +1 ) ) | S ( tn ) = S ⎤ . ⎣ ⎦ Ekspektasi bersyarat di atas dapat ditaksir dengan: M

H n ( S ) ≈ ∑ α nmφnm ( S ), m=0

Dengan φnm ( S ) adalah fungsi basis yang dipilih. Dan koefisien α nm ditentukan dengan proyeksi kuadrat terkecil dari data-data simulasi yang ada. Untuk memperoleh fungsi ekspektasi bersyaratnya, kita regresikan payoff dari kekontinuan yang mungkin terhadap sebuah fungsi basis. Nilai yang diperoleh adalah ekspektasi nilai kekontinuan. Sederhananya, kita membandingkan nilai kekontinuan ini dengan nilai early exercise dan menentukan keputusan exercise yang optimal. Kita gunakan algoritma ini secara rekursif dan diskontokan payoff optimal yang didapat ke waktu nol. Inilah harga opsi yang kita cari. Berdasarkan pada sebuah Opsi Amerika, yang dapat di-exercise kapanpun di selang waktu [ 0,T ] , kita gunakan diskretisasi. Misalkan kita gunakan N buah


22


titik yang membagi waktu menjadi 0 < t1 ≤ t2 ≤ ... ≤ t N = T . Pada saat jatuh tempo, strategi exercise sama dengan pada Opsi Eropa. Jika nilai opsi adalah inthe-money, pemegang opsi akan meng-exercise-nya. Sebaliknya, biarkan opsi tersebut berakhir. Sebelum jatuh tempo, pemegang opsi harus memilih untuk meng-exercise opsinya atau menahannya sampai waktu exercise selanjutnya. Misal terdapat sebuah ruang probabilitas ( Ω, F , P ) dan sebuah ukuran martingale yang ekivalen Q . Notasi C (ω , s; t , T ) adalah cash flow pada saat s yang dibangkitkan oleh opsi untuk lintasan sampel ω , bersyarat pada di-exercise atau tidaknya opsi pada saat t , dan pada pemegang opsi yang mengikuti aturan berhenti yang optimal untuk setiap s , t < s ≤ T . Misalkan H n (ω; tn ) adalah nilai kekontinuan saat tn . Dari prinsip no arbitrage,

H n (ω ) diberikan oleh ekspektasi dari diskonto payoff dibawah ukuran tanpa resiko. Saat tn , H n (ω ) diberikan oleh :

⎡ N − r ( t −t ) ⎤ H n ( ω ; tn ) = E ⎢ ∑ e j n C ( ω , t j ; tn , T ) ⎥ , ⎣ j = n +1 ⎦

(3.10)

dimana ekspektasi terdefinisi dibawah ukuran tanpa resiko bersyarat pada filtrasi saat tn . Misalkan kita pilih fungsi basis M , kemudian H n (ω ) ditaksri dengan meregresikan diskonto cash flow ke dalam fungsi basis untuk lintasan dimana nilai opsinya adalah in-the-money saat tn . Yang digunakan dalam penaksiran ini adalah hanya lintasan yang in-the-money karena keputusan exercise hanya relevan jika kondisinya adalah in-the-money. Nilai kekontinuan yang ditaksir dengan regresi tersebut dinotasikan Hˆ n (ω ) .

Tujuan kita adalah untuk memberikan aturan berhenti yang memaksimalkan nilai opsi pada setiap titik waktu sepanjang tiap lintasan harga saham. Kita mulai dari saat jatuh tempo t N , dan bergerak mundur seiring waktu. Di t N , cash flow diberikan oleh fungsi payoff yang telah diketahui. Satu langkah mundur, kita cari


23


lintasan yang in-the-money di t N −1 . Dari lintasan ini, kita hitung diskonto cash flow yang didapat saat t N jika diasumsikan opsi masih berlaku saat t N −1 . Berdasarkan langkah ke- k , harga saham pada saat t N −1 dan t N adalah S N( −)1 dan k

S N( ) , dengan k = 1,..., K , dimana K adalah jumlah keseluruhan lintasan yang ink

the-money saat t N −1 . Diskonto dari cash flow saat t N −1 untuk lintasan ke- k diberikan oleh e

− r ( t N −t N −1 )

hN S N( ) , dimana hN adalah fungsi payoff dari opsi. Dengan k

menggunakan informasi data K dan dengan memilih fungsi basis M , kita taksir k nilai kekontinuan Hˆ N( −)1 dengan meregresikan diskonto cash flow di t N −1 yang

sesuai dengan harga saham saat t N −1 . Early exercise saat t N −1 adalah optimal untuk lintasan in-the-money ω jika nilai exercise dini lebih besar atau sama dengan nilai kekontinuan yang ditaksir tersebut. Dalam kasus ini, cash flow di t N −1 ditetapkan sama dengan nilai exercise.

Setelah lintasan-lintasan cash flow dan aturan berhenti saat t N −1 telah ditentukan, kemudian secara rekursif mengulangi proses tersebut untuk t N − 2 ,..., t1 . Hasilnya, kita dapatkan aturan berhenti yang optimal untuk setiap waktu pada setiap lintasan. Setelah cash flow ditemukan, kita bisa menghitung taksiran dari nilai opsi dengan mendiskontokan tiap cash flow ke waktu nol dan merata-ratakan seluruh lintasan sampel harga saham yang mungkin. [5]

3.2.3

Opsi Exotic

Berbagai macam opsi exotic diciptakan untuk memenuhi kebutuhan pasar yang beraneka ragam. Kita dapat menggolongkan opsi-opsi exotic menjadi tiga bagian, yaitu: •

Opsi bergantung lintasan (path dependent options). Contohnya adalah, Asian, Barrier, dan Lookback.


24


•

Opsi korelasi (correlation options). Contohnya adalah, Basket, Exchange, Foreign-Equity, Quanto, dan Spread.

•

Opsi exotic lain. Contohnya, Digital, Chooser, dan Contingent premium.

Dalam tugas akhir ini hanya akan membahas contoh untuk opsi bergantung lintasan, yaitu opsi Asian dan Barrier sebagai contoh penerapan metode simulasi Monte Carlo dalam opsi exotic.

Opsi Bergantung Lintasan

Sebuah opsi bergantung lintasan adalah sebuah opsi yang nilainya bergantung pada barisan harga saham sebagian atau sepanjang masa hidupnya, tidak hanya pada harga saham di akhir periode.

Opsi Asian

Opsi Asian atau Average adalah opsi yang payoff-nya bergantung pada rata-rata harga saham selama paling sedikit beberapa bagian dari masa hidup opsi tersebut.

Misalkan N melambangkan jumlah hari dimana opsi diperdagangkan, T adalah waktu jatuh tempo opsi, dan S ( t j ) adalah harga saham pada akhir hari perdagangan j dimana j = 1,2,…,N, dan t N = T . Kemudian, rataan dari harga saham dapat dihitung dengan menggunakan dua metode, yaitu aritmatika dan geometrika. •

Rataan Aritmatik : Misalkan S A ( t ) adalah nilai rataan aritmatik dari saham yang dihitung sepanjang masa hidup opsi. Rataan aritmatik dihitung menggunakan:


25


S A (t ) =

S ( t1 ) + S ( t2 ) + ... + S ( t N ) N

=

•

1 N

∑ S ( t ). N

j =1

(3.11)

j

Rataan Geometrik : Misalkan SG ( t ) adalah nilai rataan geometrik dari saham yang dihitung sepanjang masa hidup opsi. Rataan geometrik dihitung menggunakan:

1/ N

⎡ N ⎤ SGt = ⎢∏ S ( t j ) ⎥ ⎣ j =1 ⎦

= ⎡⎣ S ( t1 ) S ( t2 ) ...S ( t N ) ⎤⎦

1/ N

.

(3.12)

Dua jenis opsi asia standar yang dihitung menggunakan rataan aritmatika dan geometrika dari harga saham adalah: •

Opsi Rataan Harga Saham o Payoff

sebuah

opsi

call

rataan

harga

saham

adalah

saham

adalah

max ⎡⎣ S ( t ) − K , 0 ⎤⎦ .

o Payoff

sebuah

opsi

put

rataan

harga

max ⎡⎣ K − S ( t ) , 0 ⎤⎦ .

•

Opsi Rataan Strike Price o Payoff sebuah opsi call rataan strike adalah max ⎡⎣ ST − S ( t ) , 0 ⎤⎦ . o Payoff sebuah opsi put rataan strike adalah max ⎡⎣ S ( t ) − ST , 0 ⎤⎦ .


26


Dimana S ( t ) adalah nilai rataan aritmatika yang diberikan pada persamaan (3.11) atau nilai rataan geometrika yang diberikan pada persamaan (3.12). [2]

Opsi Barrier

Payoff dari opsi Barrier ada nilainya atau tidak tergantung dari pernah atau tidaknya harga saham melewati suatu batas tertentu yang diberikan. −

Opsi call down-and-out mempunyai payoff nol jika harga saham pernah berada di bawah suatu nilai batas B < S0 pada selang waktu [ 0,T ] . Jika harga saham tidak melampaui batas tersebut, payoff dari opsi ini sesuai dengan opsi Call Eropa, max ( S (T ) − K , 0 ) .

−

Opsi call down-and-in mempuyai payoff nol jika harga saham tidak pernah berada di bawah suatu nilai batas B < S0 pada selang waktu

[0,T ] . Jika harga saham melampaui nilai batas tersebut, payoff dari opsi ini sesuai dengan opsi Call Eropa, max ( S (T ) − K , 0 ) . Opsi ini menjadi populer karena kesempatan payoff yang terbatas membuatnya lebih murah dari opsi Eropa.

Dengan mengubah ‘down’ dengan ’up’ maka opsi barrier yang lain adalah: −

Opsi up-and-out mempunyai payoff nol jika harga saham pernah berada diatas

suatu nilai batas B < S0 pada selang waktu [ 0,T ] . Jika harga

saham tidak melampaui batas tersebut, payoff dari opsi ini sesuai dengan opsi Call Eropa, max ( S (T ) − K , 0 ) . −

Opsi call up-and-in mempuyai payoff nol jika harga saham tidak pernah berada diatas suatu nilai batas B < S0 pada selang waktu [ 0,T ] . Jika harga saham melampaui nilai batas tersebut, payoff dari opsi ini sesuai dengan opsi Call Eropa, max ( S (T ) − K , 0 ) .


27


Juga terdapat opsi put barrier, yaitu dengan mengganti kata ‘call’ dengan kata ‘put’. [2]

Opsi Lookback

Payoff dari opsi lookback tergantung dari nilai maksimum atau nilai minimum dari aset. Terdapat dua pembagian, yaitu fixed dan floating strike. Yang dinotasikan sebagai berikut: S max = max S (t )

(3.13)

S min = min S (t )

(3.14)

[0,T ]

[0,T ]

Jenis-jenis opsi lookback adalah sebagai berikut: •

Sebuah opsi fixed strike lookback call memiliki payoff saat jatuh tempo T sebesar max ( S max − K , 0 ) .

•

Sebuah opsi fixed strike lookback put memiliki payoff saat jatuh tempo T sebesar max ( K − S min , 0 ) .

•

Sebuah opsi floating strike lookback call memiliki payoff saat jatuh tempo T sebesar S (T ) − S min .

•

Sebuah opsi floating strike lookback put memiliki payoff saat jatuh tempo T sebesar S max − S (T ) . [2]

3.3 Prosedur Reduksi Variansi Ketidakpastian nilai dari opsi keuangan berbanding terbalik dengan akar kuadrat dari jumlah simulasi. Kemudian, jika kita ingin simulasi ini memberikan hasil yang lebih akurat, dibutuhkan jumlah simulasi harga saham yang lebih besar.


28


Tentu saja hal ini tidak menguntungkan dari segi waktu komputasi. Teknik reduksi variansi memperbaiki dan meningkatkan efisiensi dari simulasi.

3.3.1

Teknik antithetic variable

Dalam teknik ini, sebuah simulasi percobaan melibatkan penghitungan dua buah nilai opsi. Nilai yang pertama f1 dihitung dengan cara biasa. Nilai yang kedua f 2 dihitung dengan mengubah tanda dari seluruh sampel-sampel acak dari distribusi normal baku. Jika Z adalah sebuah sampel yang digunakan untuk menghitung f1 , maka –Z adalah sampel yang digunakan untuk menghitung f 2 . Contohnya, jika kita gunakan (3.5) kita memiliki dua buah bentuk persamaan ST = S exp ⎡⎣( μ − σ 2 / 2 ) T + Zσ T ⎤⎦

ST = S exp ⎡⎣( μ − σ 2 / 2 ) T − Zσ T ⎤⎦

(3.15)

Kita lebih baik menggunakan masukan acak dalam bentuk (Z,-Z) daripada koleksi 2N. Kita notasikan f sebagai rata-rata dari f1 dan f 2 .

f =

f1 + f 2 2

(3.16)

Kemudian, 1 1 ⎡1 ⎤ 1 Var ( f ) = Var ⎢ ( f1 + f 2 ) ⎥ = Var [ f1 ] + Var [ f 2 ] + Cov [ f1 , f 2 ] . 4 2 ⎣2 ⎦ 4

Jika kovariansi, Cov [ f1 , f 2 ] , antara f1 dan f 2 adalah negatif maka estimasi dari variansi dari teknik ini akan semakin mengecil dari pada teknik biasa. [5]


29


3.3.2

Teknik control variate

Dalam teknik ini, kita menggantikan penilaian terhadap ekspektasi yang tidak diketahui dengan penilaian dari perbedaan antara kuantitas yang tidak diketahui dan sebuah kuantitas yang berkaitan, yang ekspektasinya diketahui.

control variate menggunakan estimasi kedua yang memiliki suatu korelasi tinggi positif dengan estimasi suku bunga. Kita lakukan simulasi dengan alur bilangan yang sama dan dengan δ t yang sama. Misalkan f A dan f B adalah nilai dari A dan B. Lalu kita dapat menuliskan f A = E ⎡ f A ⎤ dan f B = E ⎡ f B ⎤ dengan f A* dan ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ *

*

f B* adalah nilai estimasi dari A dan B.

Opsi A memiliki nilai f A . Opsi B memiliki nilai f B , sama seperti opsi A tetapi memiliki solusi analitik. Suatu variate acak f B adalah control variate untuk f A dengan f B berkorelasi dengan f A , maka: fˆA = f A* + ( f B − f B* ) ,

Dengan f B adalah nilai yang diketahui dari opsi B. Error

(3.17)

(f

B

− f B* ) digunakan

sebagai control pada estimasi f A . Kita bertujuan untuk menurunkan variansi, dan dengan membandingkannya dengan nilai opsi A dan B, maka: Var ⎡⎣ fˆA ⎤⎦ = Var ⎡⎣ f A* ⎤⎦ + Var [ f B ] + Var ⎡⎣ f B* ⎤⎦ − 2Cov ⎡⎣ f A* , f B* ⎤⎦

(3.18)

dan Var [ f B ] = 0 karena f B adalah nilai B yang diketahui dan bukan suatu peubah acak. Teknik control variate ini efektif digunakan jika kovariansi antara f A* dan f B* besar, sehingga, jika 2Cov ⎡⎣ f A* , f B* ⎤⎦ > Var ⎡⎣ f A* ⎤⎦ + Var ⎡⎣ f B* ⎤⎦ , maka variansi

akan mengecil. [5]


30

SIMULASI MONTE CARLO

Recommend Documents