Setelah mempelajari bab ini mahasiswa mampu dan kompeten, mengenai : Bilangan kompleks Operasi bilangan kompleks Aplikasi bilangan kompleks dalam

BILANGAN KOMPLEKS

1

Setelah mempelajari bab ini mahasiswa mampu dan kompeten, mengenai :  Bilangan kompleks  Operasi bilangan kompleks  Aplikasi bilangan kompleks dalam rangkaian elektronika  Tegangan, arus dan impedansi dengan menggunakan bilangan kompleks dan diagram fasor

2

BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan kompleks dituliskan sebagai berikut :

Z = a + jb

Dan “Lawan” dari Z dinamakan konyugasi kompleks (Complex Conyugate), Dituliskan : Z = Z∗ = a – jb Dan berlaku sebaliknya Keterangan : a= bagian riel (Re) b= bagian imajiner(Imj) 3

BILANGAN KOMPLEKS

j = −1=(−1)

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

j2 = (−1) (−1) =−1 1 2

j3 = (−1) (−1) (−1) =−j j4 = (−1) (−1) (−1) 1 2

1 2

(−1)

1 2

j (−j)= −(−1) (−1) = 1

4

1 2

=1

OPERASI BILANGAN KOMPLEKS Bilangan kompleks Z dapat juga dioperasikan secara matematika BAGAIMANA 1 ?! JIKA Z  Z1  Z2 Z

Z  Z1  Z2 Z  Z1 Z2 Z1 Z Z2

Z  Z12  Z1Z1 Hitunglah jika :

Z1  3 j  4 Z2  j  1 5

OPERASI BILANGAN KOMPLEKS Bilangan kompleks Z dapat juga dioperasikan secara matematika

Z  Z1*  Z 2* Z  Z1  Z 2 Z  Z1 Z1* Z1 Z * Z1 Z  Z1*2  Z1* Z1*

Hitunglah jika :

Z1  3 j  4 Z2  j  1 6

BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan komplex dapat digambarkan dalam sumbu tegak lurus dimana sumbu vertikal sebagai sumbu Imajiner dan sumbu horisontal sebagai sumbu Riel Dari gambar diperoleh :

modulus

a  Z cos b  Z sin  argumen

Sehingga Z dapat dituliskan:

Z  a  jb

 Z cos   j sin 

7

BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan kompleks Z dapat dituliskan juga :

Z  a  jb

 Z cos   j sin 

Z  Z e j Dimana :

e

j

 cos  j sin 

8

BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan konyugasi kompleks Z :

Z  a  jb

 Z cos   j sin 

Z  Z e j Dimana :

e

 j

 cos  j sin 

9

BILANGAN KOMPLEKS

BAGAIMANA JIKA Y  1 ?! Z

BAGAIMANA 1 GAMBAR Y  ?! Z

10

2/25/2015

BILANGAN KOMPLEKS

Kegunaan Bilangan kompleks atau diperluas dalam ruang kompleks, kita dapat bekerja “salah satunya” mendapatkan output besaran/norm Riel dari bilangan kompleks tersebut. Contoh : Diketahui : Z  4  3 j Besar/Norm Z dapat diperoleh dari rumusan

Z  ZZ*

Tentukan Z Jawab Diperoleh Z*  4  3 j Sehingga :

4  3 j4  3 j

Z

4

Z

Z 11

2



 12 j 12 j  32  j j

25  5

BILANGAN KOMPLEKS Resistor, induktor dan kapasitor dalam bilangan kompleks dan bilangan Euler. Resistor

Z  a  bj

Misalkan : R  40  Maka :

R  4000  ZR  40  j0   40 

Karena

b0

ZR  40e

Sehingga :

ZR  a 12

j00

BILANGAN KOMPLEKS Resistor, induktor dan kapasitor dalam bilangan kompleks dan bilangan Euler.

Induktor

ZL  a  bj

Misalkan :  L  70 

Karena

0   70  90  L Maka :

a0

ZL  0  j70   j70 

Sehingga :

ZL  bj

Z L  ZL e

 j 2

Z L  70e

13

j

 2

BILANGAN KOMPLEKS Resistor, induktor dan kapasitor dalam bilangan kompleks dan bilangan Euler.

Kapasitor

ZC  a  bj

Misalkan : C  40   C  40  900  Maka :

Karena

a0

ZC  0  j40    j40 

Sehingga :

ZC  bj ZC  ZC e

j

 2

ZC  40e

14

j

 2

BILANGAN KOMPLEKS

Informasi yang lengkap Sumber tegangan dan sumber arus dinyatakan dalam bilangan Euler. Misalkan sumber tegangan : jt  0  j0 jt

V  Vm e

 Vm e e  II I

V  Vm e jt 0 

    Vm cost  0   jVm sin t  0     bagian riel bagian imajiner  

Vm cost  0  bagian riel dari Vm e jt 0 

15

BILANGAN KOMPLEKS

Informasi yang lengkap Sumber tegangan dan sumber arus dinyatakan dalam bilangan Euler. Misalkan sumber tegangan : jt  0  j0 jt

V  Vm e

 Vm e e  II I

Suku I merupakan simpangan dengan sudut 0 dan besar amplitudo Vm dan suku II merupakan fungsi waktu dapat dinyatakan secara implisit. Sehingga penulisan:

V  Vme

j0

e

jt

Dapat diringkas menjadi :

V  Vm0

16

BILANGAN KOMPLEKS Jika Sumber tegangan atau sumber arus fungsi cosinus dapat dituliskan bagian Riel (Re) dari bilangan Euler .

Misalkan sumber tegangan :

 

V  Vm cost  0   Vm Re e jt 0 



Jika Sumber tegangan atau sumber arus fungsi sinus dapat dituliskan bagian Imajiner (Imj) dari bilangan Euler . Misalkan sumber arus :

 

I  I m sin t  0   I m I mj e 17

jt 0 



DIAGRAM FASOR

1. Gambarkan :

1. Gambarkan :

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

Y=sin (x) Y=2 sin (x) Y= sin (2x) Y= sin (4x) Y=2 sin (4x)

18

V=sin (t) V=2 sin (t) V= sin (2t) V= sin (4t) V=2 sin (4t)

DIAGRAM FASOR

2. Gambarkan :

2. Gambarkan :

a) Y=sin (x-450) b) Y= sin (x+900) c) Y= sin (x-1800)

a) I=sin (t -450) b) I= sin (t +900) c) I= sin (t -1800)

19

DIAGRAM FASOR

3. Gambarkan :

3. Gambarkan :

a) Y=3 cos (x-450) b) Y= 4 cos (x+900) c) Y= 5 cos (x-1800)

a) V=3 cos (t -450) b) V= 4 cos (t +900) c) V= 5 cos (t -1800)

20

Contoh-1

Gambarkan : a) sin(ωt); sin(ωt + 450); sin(ωt-300); sin(ωt + 900); -sin(ωt) a) sin(2ωt); sin(3ωt)

Penyelesaian-1

Penyelesaian-1 Gambar sin(ωt+450)

Penyelesaian-1 Gambar sin(ωt-300)

Penyelesaian-1 Gambar sin(ωt+900)

Penyelesaian-1 Gambar -sin(ωt)

Penyelesaian-1 Gambar sin(2ωt)

Penyelesaian-1 Gambar sin(3ωt)

Bagaimana ....???

Gambar sin(ωt)+cos(ωt)

Gambar sin(ωt)-cos(ωt)

Penyelesaian-1 Gambar sin(ωt)+cos(ωt)

Penyelesaian-1 Gambar sin(ωt)-cos(ωt)

DIAGRAM FASOR

Diagram fasor adalah diagram yang menggambarkan fungsi-fungsi yang mempunyai sifat vektor dan fase sudut, dimana digambarkan dalam besar amplitudo dan fase sudutnya saja, sedangkan sifat vektor (ruang, waktu) terkandung (included) didalamnya. Fungsi- fungsi tersebut biasanya fungsi sinus dan/atau cosinus. Atau fungsi dalam bilangan kompleks

31

DIAGRAM FASOR

Misalkan sumber tegangan AC, sebagai berikut Atau

VS t   Vm cos t  VS t   Vm sin t 

Gambar diagram fasornya : Penulisan yang lebih sederhana

VS  Vm 00 Diagram fasornya sama meskipun sinus atau cosinus 32

DIAGRAM FASOR

Misalkan sumber tegangan AC, sebagai berikut Atau

VS t   Vm cos t  0  VS t   Vm sin  t  0 

Gambar diagram fasornya : Penulisan yang lebih sederhana

VS  Vm0 Diagram fasornya sama meskipun sinus atau cosinus 33

DIAGRAM FASOR

Misalkan sumber tegangan AC, sebagai berikut Atau

VS t   Vm cos t  0  VS t   Vm sin  t  0 

Gambar diagram fasornya : Penulisan yang lebih sederhana

VS  Vm  0 Diagram fasornya sama meskipun sinus atau cosinus 34

DIAGRAM FASOR Diagram fasor dan cara penulisan fasor berlaku juga untuk arus dan impedansi Arus

I  I m Impedansi

Z  Zm Bagaimana, Diagram fasor dan cara penulisan fasor Resistor, Induktor dan Kapasitor ??!!

35

2/25/2015

DIAGRAM FASOR

Resistor Pada resistor, arus dan tegangan sefasa sehingga diagram fasornya berada pada sumbu mendatar 0=00 Misalkan

R  40 Ditulis lengkapnya

R  4000 

36

DIAGRAM FASOR

induktor Pada induktor, beda fasa arus dan tegangan sebesar +900, artinya jika diberikan arus maka oleh induktor fasa tegangannya diubah sebesar +900 Misalkan

 L  70 Ditulis lengkapnya

L  70  900 

37

DIAGRAM FASOR

Kapasitor

Misalkan

Pada kapasitor, beda fasa arus dan tegangan sebesar -900, artinya jika diberikan arus maka oleh kapasitor fasa tegangannya diubah sebesar -900

C  40

ADA ORANG DISINI ?!

Ditulis lengkapnya

 C  40  90 0 

38

2/25/2015

DIAGRAM FASOR

Soal dan pembahasan : Rangkaian seri RLC dengan sumber tegangan Vs(t), seperti gambar dibawah ini : Tentukan : a) Impedansi rangkaian b) Arus pada rangkaian c) Diagram fasor impedansi

39

2/25/2015

Soal dan pembahasan : Untuk menyelesaikan persoalan diatas, dijelaskan operasi matematik penulisan fasor

PERKALIAN Diketahui : Arus

I  I m

Impedansi

Z  Zm Maka Tegangannya

VI Z 40

Tegangannya

V  I Z  I mZm V  I m Zm  

GA NYAMBUNG ?!

V  Vm   Pada perkalian bilangan fasor bilangan skalar dioperasikan perkalian matematik seperti biasa, Sudut fase perkalian menjadi jumlah sudut fase 41

Soal dan pembahasan : Untuk menyelesaikan persoalan diatas, dijelaskan operasi matematik penulisan fasor

PEMBAGIAN Diketahui : Tegangan

I  Vm

Impedansi

Z  Zm Maka Arusnya adalah

V I Z 42

Arusnya adalah

NYAMBUNG NGGA ?!

V Vm I  Z Zm I  I m  

Pada pembagian bilangan fasor bilangan skalar dioperasikan pembagian matematik seperti biasa, Sudut fase pembagian menjadi pengurangan sudut fase 43

Soal dan pembahasan :

a) Impedansinya :

Z  R 2   L  C 

2

Z  402  70  40  50  2

Sudut

  arctan

 L  C   arctan 3  37 0 R

4

Dituliskan lengkapnya

Z  50370  44

DIAGRAM FASOR b) Arus pada rangkaian

I

V 5 cost   Z 5037 0

500 0 I  0 , 1   37 A 0 5037 Dituliskan dengan fungsi waktu





It   0,1cos t  370 A

45

DIAGRAM FASOR

c) Diagram fasor impedansi :

46

2/25/2015

DIAGRAM FASOR

Soal dan pembahasan : Sesuai dengan nomor soal diatas, tentukan : a) VR, VL dan VC b) Gambarkan diagram fasor tegangan

47

2/25/2015

Tegangan pada resistor VR







VR  I R  0,1  370 4000  4  370 V 0 Atau VR  4 cos t  37 V





Tegangan pada Induktor VL VL  I L  0,1  370 70  900  7  530 V 0 Atau VL  7 cos t  53 V











Tegangan pada Kapasitor VC

VC  I  C  0,1  37 0 40  900   4  127 0 V 0 Atau VC  4 cost  127 V 48

DIAGRAM FASOR TEGANGAN

49

BILANGAN KOMPLEKS

Perhatikan rangkaian berikut ini

a) b) c) d) e)

Tentukan Impedansi total rangkaian Tentukan Arus pada tiap komponen Tentukan Vab dan Vbe Gambarkan diagram fasor impedansi Gambarkan diagram fasor arus 50

2/25/2015