Tulisan ini telah dipresentasikan pada dipresentasikan dalam Seminar Nasional Aljabar, Pengajaran Dan Terapannya dengan tema “Kontribusi Aljabar dalam Upaya Meningkatkan Kualitas Penelitian dan Pembelajaran Matematika untuk Mencapai World Class University” pada tanggal 31 Januari 2009
Penyelenggara : Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Kerjasama dengan Himpunan Matematika Indonesia (Indo-MS) Wilayah Jateng dan DIY
Tim Penyunting Artikel Seminar : 1. Sukirman, M.Pd 3. R. Rosnawati, M.Si
ISBN : 978-979-16353-2-5
1
Modul Perkalian Samsul Arifin Jurusan Matematika FMIPA UGM Sekip Utara Yogyakarta 55281
Abstrak Di dalam teori modul terdapat modul khusus yang disebut modul perkalian (multiplication modules). Misalnya R adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan M adalah R-modul uniter, maka M disebut modul perkalian jika untuk setiap submodul N di M terdapat ideal presentasi I di ring R sehingga berlaku N = IM . Di pihak lain, juga dikenal submodul prima yang ada dalam suatu R-modul M, yang termotivasi dari definisi ideal prima dalam suatu ring R, yaitu dengan memandang ring R sebagai modul atas dirinya sendiri (R adalah R-modul). Tujuan dari penyusunan tulisan ini adalah untuk mempelajari modul perkalian beserta sifatsifatnya, dan kaitannya dengan submodul prima. Akan dipelajari juga sifat-sifat dari ideal prima mana saja yang dapat dibawa ke sifat-sifat submodul prima dalam suatu modul perkalian. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa beberapa sifat yang terdapat dalam ideal prima dalam suatu ring dapat dibawa menjadi sifat-sifat submodul prima dalam suatu modul perkalian. Kata kunci : modul perkalian, submodul prima.
Seminar Nasional Aljabar, Pembelajaran Aljabar dan Penerapannya
2
I. Pendahuluan Dalam teori modul dikenal modul khusus yang disebut modul perkalian (multiplication module). Jika R adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan M adalah R-modul uniter, maka M disebut modul perkalian jika untuk setiap submodul N di R-modul M terdapat ideal presentasi I di ring R sehingga berlaku N = IM .
Ideal I di ring R disebut ideal prima jika ideal I adalah ideal sejati ( I ≠ R ) dan untuk setiap a, b ∈ R berlaku jika ab ∈ I maka a ∈ I atau b ∈ I . Selanjutnya, dengan memandang R sebagai modul atas dirinya sendiri (R adalah R-modul), maka perkalian ab ∈ I dapat dipandang sebagai bentuk perkalian a ∈ R (R sebagai ring) dan b ∈ R (R sebagai modul), sehingga jika I ideal prima maka berlaku a ∈ I atau b ∈ AnnR ( R / I ) . Hal ini memotivasi adanya definisi submodul prima pada R-modul M. Selanjutnya, N disebut submodul prima di R-modul M jika N merupakan submodul sejati ( N ≠ M ) dan untuk setiap r ∈ R, m ∈ M berlaku jika rm ∈ N maka m ∈ N atau r ∈ AnnR ( M / N ) . Ring R disebut ring prima jika {0} adalah ideal prima di ring R. Dengan cara yang sama, yaitu dengan memandang R sebagai modul atas dirinya sendiri (R adalah R-modul), maka hal ini juga memotivasi adanya definisi modul prima pada R-modul M, yaitu R-modul M disebut modul prima jika {0} adalah submodul prima di R-modul M. Dalam tulisan ini akan dipelajari modul perkalian dan sifat-sifatnya, dan juga kaitan antara sifat-sifat submodul prima dalam modul perkalian. Akan dipelajari juga sifat-sifat dari ideal prima dan ring prima mana saja yang dapat dibawa ke sifat-sifat submodul prima dan modul prima dalam sebuah modul perkalian. Pembahasan sifat-sifat submodul prima dalam modul perkalian yang terdapat dalam tulisan ini diharapkan dapat menjadi pemantik dalam mengkaji modul perkalian lebih lanjut. Literatur utama yang menjadi acuan utama dalam tulisan ini adalah paper (artikel) karangan Tekir (2007) yang membahas tentang modul perkalian. Untuk mendukung paper di atas, penulis juga menggunakan paper lain, yaitu paper karangan Dauns (1978), yang membahas tentang ring, modul prima, dan submodul prima, yang juga dilengkapi dengan beberapa contoh. Selain paper tersebut, penulis juga menggunakan paper karangan Ameri (2003) yang membahas karakteristik submodul prima pada modul perkalian.
ISBN : 978-979-16353-2-5
3
Selain menggunakan paper, tulisan ini juga disusun dengan menggunakan beberapa buku acuan. Beberapa di antaranya adalah buku karangan Ash (2000) yang membahas pengertian dan dasar-dasar ring, lapangan, dan modul. Selain itu, penulis juga menggunakan buku karangan Fraleigh (1994) dan Rotman (2003) yang membahas dasar-dasar ring. Untuk lebih memahami teori ring dan modul, penulis juga mempelajari buku karangan Adkins-Weintraub (1992).
II. Metode Penelitian Dalam menyusun tulisan ini, pertama-tama dipelajari terlebih dahulu materi tentang teori ring dan teori modul, dimana kedua hal tersebut merupakan landasan utama definisi maupun teorema yang ada dalam tulisan ini. Selanjutnya, dipelajari pengertian dan sifat-sifat submodul prima dan modul prima. Kemudian, dibahas mengenai modul perkalian, sifat-sifatnya dan kaitannya dengan submodul prima.
III. Hasil Penelitian dan Pembahasan Dalam tulisan ini, semua ring yang diberikan diasumsikan sebagai ring komutatif dengan elemen satuan dan modul yang diberikan adalah modul uniter. Untuk sembarang submodul N di R-modul M, didefinisikan ( N : M ) = {r ∈ R | rM ⊆ N } . N disebut submodul prima di R-modul M jika N adalah submodul sejati M dan untuk setiap r ∈ R , m ∈ M berlaku jika rm ∈ N maka m ∈ N atau r ∈ ( N : M ) dengan
( N : M ) = {r ∈ R | rM ⊆ N } .
Definisi mengenai submodul
prima tersebut dapat dinyatakan juga dengan kalimat sebagai berikut. Untuk sebarang R-modul M dan N submodul di M, N disebut submodul prima jika N adalah submodul sejati dan untuk
setiap r ∈ R , m ∈ M \ N berlaku jika rm ∈ N maka r ∈ ( N : M ) Jika M adalah R-modul, maka M disebut modul perkalian jika untuk setiap submodul N di M terdapat ideal I di ring R sehingga berlaku N = IM . I disebut ideal presentasi dari submodul N atau lebih singkatnya I adalah presentasi dari N. Selanjutnya M adalah R-modul perkalian jika dan hanya jika untuk setiap m ∈ M , terdapat ideal I di ring R sehingga berlaku Rm = IM . Kemudian, jika diberikan M adalah R-modul perkalian, maka untuk setiap a, b ∈ M , perkalian
ab
didefinisikan sebagai hasil kali antara
( Ra )
dan
( Rb ) .
Lebih jelasnya adalah
ab = ( Ra )( Rb ) .
Seminar Nasional Aljabar, Pembelajaran Aljabar dan Penerapannya
4
Karena ( Ra ) = a dan ( Rb ) = b masing-masing adalah submodul yang dibangun oleh setiap a, b ∈ M maka akan terdapat ideal I (ideal presentasi dari presentasi dari
( Ra ) = IM
( Rb ) )
( Ra ) )
dan ideal J (ideal
di ring R (karena M adalah R-modul perkalian) sehingga berlaku
dan ( Rb ) = JM . Berdasarkan definisi hasil kali elemen-elemen a1 , a2 ,..., an di R-
modul perkalian tersebut, maka akan diperoleh : a1 a 2 ...a n = ( Ra1 )( Ra 2 ) ... ( Ra n ) = ( I1 M
)( I1 M ) ... ( I n M ) = ( I1 I1 ...I n ) M
= I 'M = N '
untuk suatu ideal I1 , I1 ,..., I n di ring R dan submodul N’ dengan ideal presentasinya adalah
I ' = I1 I1...I n , yang artinya perkalian elemen-elemen di R-modul perkalian M akan menghasilkan suatu submodul. Jika N dan K masing-masing adalah submodul-submodul di R-modul perkalian M dengan
N = I1M dan K = I 2 M untuk suatu ideal-ideal I1 dan I2 di ring R, maka hasil kali dari submodul N dan submodul K ditulis NK dan didefinisikan dengan NK = I1 I 2 M . Dengan demikian, dapat disimpulkan pula bahwa perkalian submodul-submodul dalam modul perkalian akan menghasilkan suatu submodul. Perlu diketahui bahwa definisi perkalian pada modul perkalian di atas berbeda dengan definisi perkalian ideal biasa. Akan diberikan ilustrasi sebagai berikut. Misalnya diberikan M adalah R-modul dengan R = , M = 2 , dan submodul N = K = 4 bulat
. Hal ini berarti terdapat ideal I = J = 2
untuk himpunan bilangan
sehingga berlaku N = IM = 2 2 = 4
dan
K = JM = 2 2 = 4 . Perhatikanlah perbedaan antara kedua definisi perkalian tersebut di bawah ini. (i).
NK = 4 4 = 16
(ii). NK = ( IJ ) M = ( 2 2
(definisi perkalian biasa)
)2
=8
(definisi modul perkalian)
Ideal presentasi untuk suatu submodul di dalam modul perkalian tidaklah tunggal. Sebagai contohnya adalah dalam
-modul
5
, ideal presentasi dari submodul {0} adalah ( 5n )
dengan
n ∈ , yaitu 5 , 10 , …, dan seterusnya. Karena itu perkalian submodul-submodulnya dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk perkalian ideal-ideal presentasi suatu submodul dengan modulnya. Misalnya N = I1M = I 2 M = I 3 M dan K = J1M = J 2 M = J 3 M maka hasil kali NK
ISBN : 978-979-16353-2-5
5
tidak
bergantung
dari
ideal
presentasinya
dan
dapat
dinyatakan
sebagai
NK = I1 J1M = I 2 J 2 M = I 3 J 3 M . Hal ini termuat dalam Teorema di bawah ini.
Teorema 1 Misalkan N = IM dan K = JM masing-masing merupakan submodul di R–modul perkalian M, maka hasil kali antara N dan K independen dari ideal-ideal presentasi di N dan K. Bukti : Misalkan N = I1M = I 2 M = N ' dan K = J1M = J 2 M = K ' untuk ideal-ideal I1 , J1 , I 2 , J 2 di ring
R. Akan ditunjukkan bahwa NK = I1 J1M = I 2 J 2 M = N ' K ' . Selanjutnya diambil sebarang rsm ∈ NK = I1 J1M untuk suatu
sm =
n i =1
pi mi ,
r ∈ I1 , s ∈ J1
n
pi mi =
i =1
dan karena rmi ∈ I1M = I 2 M , maka rmi = n
untuk
sebarang
I1 J1M ⊆ I 2 J 2 M .
n
pi ( rmi ) =
i =1
Karena
Dengan
i =1
n i =1
di mi ,
n
pi
j =1
k j =1
cara
r ( pi mi ) =
i =1
qjzj =
yang
n i =1
pi ( rmi )
q j ∈ I 2 , z j ∈ M sehingga diperoleh
qjzj, n
n
i =1
j =1
pi q j z j =
n
n
i =1
j =1
memberikan
sama seperti
a ∈ I2 , b ∈ J 2
dan
di
q j pi z j ∈ I 2 J 2 M
hasil atas,
rsm ∈ I 2 J 2 M ,
jika diambil
m ∈ M . Karena
maka
sebarang
J 2 M = J1M , maka
d i ∈ J 2 , mi ∈ M sehingga diperoleh : abm = a
n i =1
di mi =
dan karena ami ∈ I 2 M = I1M , maka ami =
abm =
n
rsm ∈ NK = I1 J1M ,
abm ∈ NK = I 2 J 2 M untuk suatu bm =
J1M = J 2 M , maka
pi ∈ J 2 , mi ∈ M sehingga diperoleh rsm = r
rsm =
m ∈ M . Karena
dan
n i =1
d i ( ami ) =
n i =1
di
n j =1
n i =1
a ( di mi ) =
k j =1
xj yj =
xj yj,
n
n
i =1
j =1
n i =1
d i ( ami )
x j ∈ I1 , y j ∈ M sehingga diperoleh di x j y j =
n
n
i =1
j =1
Seminar Nasional Aljabar, Pembelajaran Aljabar dan Penerapannya
x j d i y j ∈ I1 J1M
6
Karena
untuk
sebarang
abm ∈ NK = I 2 J 2 M ,
memberikan
hasil
abm ∈ I1 J1M ,
maka
I 2 J 2 M ⊆ I1 J1M . Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa I1 J1M ⊆ I 2 J 2 M dan I1 J1M ⊇ I 2 J 2 M . Dengan kata lain NK = I1 J1M = I 2 J 2 M = N ' K ' , yang artinya hasil kali NK independen dengan ideal-ideal presentasi dari N dan K. Selanjutnya, M disebut R-modul modul setia (faithful) jika AnnR ( M ) = {0} dan M adalah Rmodul sederhana jika M ≠ {0} dan submodulnya hanya {0} atau R-modul M sendiri.
Teorema 2 Misalkan P submodul sejati di R-modul perkalian M, maka submodul P merupakan submodul prima jika dan hanya jika UV ⊆ P
U ⊆ P atau V ⊆ P
untuk setiap submodul U dan V di modul M. Bukti : : Diketahui P submodul prima di R-modul perkalian M dengan UV ⊆ P . Misalkan I dan J masing-masing adalah ideal presentasi dari submodul U dan V, maka berlaku U = IM , V = JM , dan UV = ( IM )( JM ) = IJM ⊆ P . Selanjutnya diambil sebarang ( ab ) m ∈ IJM ⊆ P untuk suatu a ∈ I , b ∈ J dan m ∈ M . Karena P submodul prima maka
(P : M )
ideal prima dan untuk
sebarang m ∈ M \ P, r ∈ R berlaku jika ( ab ) m ∈ P maka ( ab ) ∈ ( P : M ) . Karena ( P : M ) ideal prima maka jika ( ab ) ∈ ( P : M ) maka a ∈ ( P : M ) atau b ∈ ( P : M ) , yang artinya am ∈ P atau bm ∈ P untuk setiap m ∈ M . Dari sini diperoleh U ⊆ P
atau V ⊆ P
(karena sebelumnya am ∈ IM = U
dan
bm ∈ JM = V ). Dengan demikian, terbukti bahwa jika P submodul prima di R-modul M maka berlaku jika UV ⊆ P maka U ⊆ P atau V ⊆ P untuk suatu submodul U, V di R-modul M. ⇐: Diketahui P submodul di R-modul perkalian M dengan P ≠ M dan berlaku jika UV ⊆ P maka U ⊆ P atau V ⊆ P untuk suatu submodul-submodul U dan V di R-modul M. Selanjutnya diambil sebarang rx ∈ P untuk sebarang r ∈ R dan x ∈ M \ P . Untuk suatu m ∈ M , jika rM ⊆ / P maka rm ∉ P . Misalkan I dan J masing-masing adalah ideal presentasi dari rx dan m, maka dapat dibentuk submodul yang dibangun oleh rx dan m yaitu: ISBN : 978-979-16353-2-5
7
rx m = ( Rrx )( Rm ) = ( Rx )( Rrm ) = IM .JM = IJM ⊆ P Berdasarkan hipotesis, maka berlaku
( Rx ) ⊆ P
atau
( Rrm ) ⊆ P
yang artinya x ∈ P atau
rm ∈ P . Hal ini merupakan kontradiksi karena x ∉ P atau rm ∉ P . Dari sini, diperoleh bahwa untuk setiap r ∈ R dan x ∈ M \ P , jika rx ∈ P maka r ∈ ( M : P ) , yang artinya P adalah submodul prima di R-modul M. Dengan demikian, terbukti bahwa jika UV ⊆ P maka U ⊆ P atau V ⊆ P untuk suatu submodul-submodul U dan V di R-modul M maka P adalah submodul prima.
Akibat 3 Misalkan P submodul sejati di R-modul perkalian M, maka P adalah submodul prima jika dan hanya jika mm ' ⊆ P
m ∈ P atau m ' ∈ P
untuk setiap m, m ' ∈ M . Bukti : Diketahui P submodul prima di R-modul M dan P ≠ M . Selanjutnya diambil sebarang m, m ' ∈ M dengan mm ' ⊆ P . Dari sini dapat dibentuk submodul yang dibangun oleh mm ' yaitu
mm ' = m m ' ⊆ P . Karena m, m ' ∈ M maka m , m ' adalah submodul-submodul di Rmodul M. Dari Teorema 2 di atas, maka diperoleh m m ' ⊆ P jika dan hanya jika m ⊆ P atau m ' ⊆ P , yang artinya m ⊆ P atau m ' ⊆ P . Dengan demikian, terbukti bahwa P submodul prima di R-modul M dan P ≠ M jika dan hanya jika mm ' ⊆ P
m ∈ P atau m ' ∈ P untuk setiap m, m ' ∈ M .
Definisi 4 Diberikan M adalah R-modul perkalian. Sebuah himpunan bagian tak kosong S * di modul M dikatakan tertutup terhadap perkalian (multiplicatively closed) jika berlaku mn ∩ S * ≠ ∅ untuk sebarang m, n ∈ S * .
Proposisi 5 Misalkan M adalah R-modul perkalian, maka submodul sejati N
di R-modul M merupakan
submodul prima jika dan hanya jika himpunan M \ N tertutup terhadap perkalian. Seminar Nasional Aljabar, Pembelajaran Aljabar dan Penerapannya
8
Bukti : Sebelumnya perhatikan ilustrasi gambar himpunan M di bawah ini untuk menggambarkan keadaan di atas.
: Diketahui submodul N merupakan submodul prima. Selanjutnya diambil sebarang a, b ∈ M \ N , yang berarti a, b ∉ N . Karena submodul N merupakan submodul prima, jika a ∉ N dan b ∉ N maka berlaku ab
N . Hal ini merupakan kontraposisi dari pernyataan
definisi submodul prima yang mengatakan bahwa untuk sebarang a, b ∈ M , jika ab ⊆ N maka a ∈ N dan b ∈ N . Dari sini, karena a, b ∉ N dan ab ⊆/ N , maka dapat diperoleh ab ⊆ M \ N , sehingga berlaku ab ∩ ( M \ N ) ≠ ∅ . Karena hal ini berlaku untuk sebarang a, b ∈ M \ N , maka himpunan M \ N tertutup terhadap perkalian. Dengan demikian, terbukti bahwa jika N adalah submodul prima pada R-modul perkalian M maka M \ N tertutup terhadap perkalian.
⇐ : Diketahui himpunan M \ N tertutup terhadap perkalian. Selanjutnya diambil sebarang a, b ∉ N yang berakibat a, b ∉ M \ N . Karena M \ N tertutup perkaliannya, maka untuk sebarang
a, b ∈ M \ N
berlaku
ab ∩ ( M \ N ) ≠ ∅ .
Dari
sini
karena
a, b ∉ N
dan
ab ∩ ( M \ N ) ≠ ∅ , maka berakibat ab ⊆/ N . Dengan kata lain, jika a ∉ N dan b ∉ N maka berlaku ab ⊆/ N , yang artinya N adalah submodul prima. Dengan demikian, terbukti bahwa jika M \ N tertutup terhadap perkalian maka N adalah submodul prima pada R-modul perkalian M .
Seperti halnya pada gelanggang (ring), dalam modul perkalian juga didefinisikan elemen pembagi nol dan daerah integral, yaitu sebagai berikut :
Definisi 6 Diberikan M adalah R-modul perkalian. Pembagi nol (zero divisor) di R-modul M adalah elemen 0 M ≠ a ∈ M dimana terdapat 0 M ≠ b ∈ M sehingga berlaku ab = ( Ra )( Rb ) = 0M . Jika M tidak memuat pembagi nol maka R-modul M disebut daerah integral. ISBN : 978-979-16353-2-5
9
Teorema 7 Misalkan M adalah R–modul dan N adalah submodul sejati di M, maka N merupakan submodul prima jika dan hanya jika M / N adalah daerah integral (tidak memuat pembagi nol). Bukti : : Diketahui N adalah submodul prima di R-modul perkalian M dan N ≠ M . Sebelumnya, perhatikan bahwa M / N adalah R-modul perkalian, dengan penjelasan sebagai berikut. Untuk sebarang m ∈ M dapat dibentuk submodul yang dibangun oleh m, yaitu m = Rm ⊆ M . Karena M adalah R-modul perkalian maka terdapat ideal I di ring R sehingga berlaku Rm = IM . Selanjutnya, untuk sebarang m ∈ M / N dapat dibentuk submodul yang dibangun oleh m , yaitu m = Rm ⊆ M / N . Perhatikan bahwa : Rm = R ( m + N ) = Rm + N = IM + N Perhatikan juga bahwa IM + N = I ( M / N ) . (karena untuk sebarang am ∈ IM + N berlaku am + N = am = am = a ( m + N ) ∈ I ( M / N )
yang artinya
IM + N ⊆ I ( M / N )
dan untuk
am ∈ I ( M / N ) berlaku am = am = am + N ∈ IM + N ). Dari sini diperoleh Rm = I ( M / N ) , yang artinya untuk sebarang m ∈ M / N terdapat ideal I di ring R sehingga berlaku Rm = IM . Dengan kata lain, M / N adalah R-modul perkalian. Selanjutnya diandaikan M / N memiliki pembagi nol. Selanjutnya diambil sebarang
0M / N ≠ a ∈ M / N pembagi nol di M / N dengan a ∈ M , maka terdapat 0M / N ≠ b ∈ M / N dengan b ∈ M sehingga berlaku a.b = 0 M / N = ab = 0M / N , yang artinya ab ∈ N . Karena N submodul prima maka berlaku a ∈ N atau b ∈ N . Hal ini kontradiksi dengan 0M / N ≠ a ∈ M / N dan 0M / N ≠ b ∈ M / N (yang berarti a ∉ N dan b ∉ N ). Dari sini diperoleh pengandaian salah dan haruslah M / N tidak memiliki pembagi nol, yang artinya M / N adalah daerah integral. Dengan demikian, terbukti bahwa jika N adalah submodul prima di R-modul M maka M / N adalah daerah integral. ⇐: Diketahui M / N tidak memuat pembagi nol. Misalkan ab ⊆ N dengan a, b ∈ M . Karena
ab = N diperoleh ab = 0 . Karena M / N tidak memiliki pembagi nol, maka a = 0M / N atau b = 0M / N . Dari sini diperoleh : Seminar Nasional Aljabar, Pembelajaran Aljabar dan Penerapannya
10
a = 0M / N ⇔ a + N = 0 + N ⇔ a + N = N ⇔ a ∈ N Dengan cara yang sama, maka diperoleh :
b = 0M / N ⇔ b + N = 0 + N ⇔ b + N = N ⇔ b ∈ N Dari sini diperoleh untuk a, b ∈ M jika ab ⊆ N maka a ∈ N atau b ∈ N , yang artinya N submodul prima. Dengan demikian, terbukti bahwa jika M / N tidak memuat pembagi nol maka N adalah submodul prima di R-modul perkalian M.
IV. Simpulan Beberapa hasil penting atau sifat-sifat yang dapat dijadikan sebuah kesimpulan dari tulisan ini adalah sebagai berikut : Kaitan antara modul perkalian dan submodul prima adalah sebagai berikut. Pada R-modul perkalian M jika P adalah submodul sejati di M maka pernyataan-pernyataan di bawah ini ekuivalen : 1. Submodul P adalah submodul prima. 2. Untuk setiap submodul U , V ⊆ M berlaku jika UV ⊆ P maka U ⊆ P atau V ⊆ P . 3. Untuk setiap m, m ' ∈ M berlaku jika mm ' ⊆ P maka m ∈ P atau m ' ∈ P . Selanjutnya, kaitan antara modul perkalian, submodul prima dan daerah integral adalah sebagai berikut. Pada R-modul perkalian M jika N adalah submodul sejati di M maka pernyataanpernyataan di bawah ini ekuivalen : 1. Submodul N adalah submodul prima. 2. R-modul perkalian M \ N tertutup terhadap perkalian (multiplicatively closed). 3. R-modul perkalian ( M / N ) adalah daerah integral. Itulah beberapa hal yang dapat dijadikan kesimpulan dari keseluruhan pembahasan tulisan ini.
V. Daftar Pustaka Adkins, W. A., and Weintraub S.H., Algebra : An Approach via Modul Theory, 1992, Springer Verlag, New York. Ameri, R, , 2003, On The Prime Submodules Of Multiplication Modules, International journal of Mathematics and mathematical Sciences, 27, 1715-1725. Ash, R. B. , Abstract Algebra: The Basic Graduate Year, 2000, New York. ISBN : 978-979-16353-2-5
11
Dauns, J., 1978, Prime modules, J.Reine Angew.Math., 298, 156-181. Fraleigh, J. B., A First Course in Abstract Algebra, 1994, Addison-Wesley Publishing Company inc., New York. Rotman, J. J., Advanced Modern Algebra, 2003, Prentice Hall, New York. Tekir, U, , On Multiplication Modules, 2007, International Mathematical Forum, 29, 1415 – 1420.
Seminar Nasional Aljabar, Pembelajaran Aljabar dan Penerapannya
12
