SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY

JMP : Volume 3 Nomor 1, Juni 2011

SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY Ari Wardayani dan Suroto Prodi Matematika, Jurusan MIPA, Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal Soedirman (email : [email protected], [email protected])

ABSTRAK. Pada makalah ini dibahas mengenai perluasan aljabar max-plus fuzzy pada polinomial dengan koefisien bilangan fuzzy. Selanjutnya, dibuktikan polinomial fuzzy tersebut merupakan semi modul atas aljabar max-plus fuzzy. Kata kunci : aljabar max-plus fuzzy, polinomial fuzzy, semi modul

ABSTRACT. In this paper, we discuss the extension of fuzzy max-plus algebra on polynomial with coefficient in fuzzy number. We also proof that fuzzy polynomial is semi modul over fuzzy max-plus algebra. Key word : fuzzy max-plus algebra, fuzzy polynomial, semi modul

PENDAHULUAN Aljabar max-plus merupakan struktur aljabar ℝmax = ℝ ∪ {−∞} yang disertai dengan dua operasi biner yakni maksimum dan penjumlahan. Struktur aljabar ℝmax yang disertai dengan operasi biner maksimum sebagai operasi ⊕ dan operasi penjumlahan sebagai operasi ⊗ adalah semi lapangan komutatif idempoten (Bacelli, 2001). Pada dasarnya, himpunan yang dibicarakan dalam pembahasan konsep aljabar max-plus lebih terpusat pada himpunan bilangan real ℝ. Namun, dalam perkembangan selanjutnya aljabar max-plus dapat diperluas himpunan pembicaraannya menjadi himpunan bilangan fuzzy (Rudhito, 2006). Bilangan fuzzy adalah himpunan fuzzy dalam semesta ℝ yang memenuhi sifat normal, mempunyai support terbatas, setiap α-cutnya merupakan selang

A. Wardayani dan Suroto

2

tertutup, dan konveks. Untuk selanjutnya himpunan bilangan fuzzy dilambangkan dengan R.

Operasi maksimum dan penjumlahan pada R dapat didefinisikan

dengan menggunakan prinsip perluasan atau dengan α-cut pada himpunan fuzzy (Zimmermann, 1991). Teorema dekomposisi merupakan landasan kerja pemanfaatan prinsip perluasan dan α-cut pada himpunan fuzzy yang dapat digunakan untuk menentukan operasi aritmatika pada bilangan fuzzy (Susilo, 2006). Untuk selanjutnya aljabar max-plus fuzzy dinotasikan dengan Rmax, dengan R adalah himpunan bilangan fuzzy. Pada tahun 2007, Rudhito membuktikan semi modul bilangan fuzzy atas aljabar max-plus fuzzy dan perluasannya pada matriks bilangan fuzzy. Pada tulisan ini, akan dibuktikan bahwa himpunan polinomial fuzzy merupakan semi modul atas semi ring aljabar max-plus fuzzy.

SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY Semi ring K merupakan suatu himpunan tak kosong yang disertai dengan dua operasi biner ⊕ dan ⊗ yang memenuhi (K,⊕) semi grup komutatif dengan elemen nol ε , (K,⊗) semi grup dengan elemen satuan e, elemen nol ε merupakan elemen penyerap terhadap operasi ⊗, dan ⊗ distributif terhadap ⊕. Suatu semi ring dikatakan idempoten jika operasi ⊕ bersifat idempoten dan dikatakan komutatif jika operasi ⊗ bersifat komutatif. Semi modul M atas semi ring K adalah himpunan tak kosong yang disertai operasi internal ⊕ dengan elemen nol 𝜀, dan operasi eksternal yang didefinisikan pada KxM dengan hasilnya pada M yang memenuhi operasi ⊕ bersifat assosiatif, komutatif dan untuk setiap 𝛼, 𝛽 ∈ K dan 𝑥, 𝑦 ∈ M berlaku

𝛼(𝑥 ⊕

𝑦) = 𝛼𝑥 ⊕ 𝛼𝑦, (𝛼 ⊕ 𝛽)𝑥 = 𝛼𝑥 ⊕ 𝛽𝑥 , 𝛼(𝛽𝑥) = ( 𝛼𝛽)𝑥 , 𝑒𝑥 = 𝑥 dan

𝜀𝑥 = 𝜀

Misalkan dibentuk suatu himpunan yang beranggotakan polinomialpolinomial dengan indeterminate γ dan koefisiennya bilangan fuzzy { p | p = ⊕𝑛𝑖=0 𝑎̃𝑖 𝛾 𝑖 , 𝑎̃𝑖 ∈Rmax }

Semi Modul Polinomial

3

untuk suatu n ∈ℕ. Untuk selanjutnya, himpunan ini di notasikan dengan Rmax[γ] dan dinamakan himpunan polinomial fuzzy. Misalkan p dan q elemen pada ̃ 𝑖 ̃ Rmax[γ] dengan p = ⊕𝑛𝑖=0 𝑎̃𝑖 𝛾 𝑖 untuk 𝑎̃𝑖 ∈Rmax,, q = ⊕𝑚 𝑖=0 𝑏𝑖 𝛾 untuk 𝑏𝑖 ∈Rmax.

Elemen p dan q dikatakan sama jika m = n dan 𝑎̃𝑖 = 𝑏̃𝑖 . Untuk menyelidiki sifat-sifat yang terdapat pada struktur Rmax[γ] terlebih dahulu didefinisikan dua operasi pada Rmax[γ] yakni operasi internal ⊕ sebagai operasi penjumlahan komponen demi komponen pada polinomial, dan operasi eksternal pergandaan dengan skalar pada Rmax. Untuk setiap p, p’, q, q’∈Rmax[γ] dengan p = p’ dan q = q’. Misalkan ̃ 𝑖 ̃ p = ⊕𝑛𝑖=0 𝑎̃𝑖 𝛾 𝑖 untuk 𝑎̃𝑖 ∈Rmax, dan p’= ⊕𝑚 𝑖=0 𝑏𝑖 𝛾 untuk 𝑏𝑖 ∈Rmax. Karena p = p’ ,

maka 𝑎̃𝑖 = 𝑏̃𝑖 diperoleh 𝑎̃𝑖 α = 𝑏̃𝑖

α

untuk setiap α ∈ [0,1], i = 1, 2, ..., n dan n = m.

Secara analog, misalkan q = ⊕𝑘𝑖=0 𝑐̃𝑖 𝛾 𝑖 untuk 𝑐̃𝑖 ∈Rmax , dan q’ = ⊕𝑙𝑖=0 𝑑̃_ 𝛾 𝑖 untuk 𝑑̃𝑖 ∈Rmax . Karena q = q’ , maka 𝑐̃𝑖 = 𝑑̃𝑖 diperoleh 𝑐̃𝑖 α = 𝑑̃𝑖 α untuk setiap α ∈ [0,1], i

= 1, 2, ..., k dan k = l. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan n ≥ k dan m ≥ l. Dengan demikian, ̃ 𝑐̃ p ⊕ q = (⊕獮 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) ⊕ (⊕𝑘𝑖=0 𝑐̃𝑖 𝛾 𝑖 ) = ⊕𝑛𝑖=0 𝑡̃𝑖 𝛾 𝑖 , dengan 𝑡̃𝑖 = 𝑎̃𝑖 ⊕ 𝑖 𝑖=0 𝑎 𝑙 𝑛 𝑖 ̃ 𝑖 ̃ 𝑖 ̃ ̃ ̃ p’⊕ q’= ( ⊕𝑚 𝑖=0 𝑏𝑖 𝛾 ) ⊕ (⊕𝑖=0 𝑑𝑖 𝛾 ) = ⊕𝑖=0 𝑠̃𝑖 𝛾 , dengan 𝑠̃𝑖 = 𝑏𝑖 ⊕ 𝑑𝑖

̃ 𝑐̃ merupakan himpunan fuzzy yang α-cutnya adalah interval Sementara itu, 𝑡̃𝑖 = 𝑎̃𝑖 ⊕ 𝑖

[𝑎𝛼 ⊕𝑐𝛼 , 𝑎𝛼 ⊕𝑐𝛼 ] untuk setiap α ∈[0,1] dan [𝑎𝛼 ⊕𝑐𝛼 , 𝑎𝛼 ⊕𝑐𝛼 ] = [𝑎𝛼 , 𝑎𝛼 ]⊕[𝑐𝛼 ,𝑐𝛼 ]. Karena 𝑎̃𝑖 =𝑏̃𝑖 , maka α-cutnya sama, yakni 𝑎̃𝑖 α = 𝑏̃𝑖 α. Dari sini diperoleh [𝑎𝛼 ,𝑎𝛼 ]=[𝑏𝛼 ,𝑏𝛼 ], sehingga 𝑎𝛼 = 𝑏𝛼 , 𝑎𝛼 = 𝑏𝛼 dan analog untuk 𝑐̃𝑖 = 𝑑̃𝑖 . Disisi lain, 𝑡̃𝑖

̃ 𝑐̃ 𝑖 = [𝑎𝛼 ⊕𝑐𝛼 , 𝑎𝛼 ⊕𝑐𝛼 ] = [𝑎𝛼 , 𝑎𝛼 ] ⊕[𝑐𝛼 , 𝑐𝛼 ] = [𝑏𝛼 , 𝑏𝛼 ] ⊕ [𝑑𝛼 , 𝑑𝛼 ] ̃𝑖 ⊕ =𝑎 ̃𝑑 ̃𝑖 ⊕ ̃ 𝑖 = 𝑠̃ 𝑖 = [𝑏𝛼 ⊕𝑑𝛼 , 𝑏𝛼 ⊕𝑑𝛼 ] = 𝑏

A. Wardayani dan Suroto

4

sehingga berlaku p⊕q = p’⊕q’. Dengan demikian, operasi internal ⊕ yang didefinisikan pada Rmax[γ] merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik. ̃, 𝑤 ̃ ∈Rmax dengan p = p’ Selanjutnya, untuk setiap p, p’∈Rmax[γ] dan 𝑣 ̃=𝑤 dan 𝑣 ̃, diperoleh 𝑛 𝑛 𝑛 ̃p = 𝑣 ̃( ⊕𝑖=0 𝑎 ̃𝑖 𝛾𝑖 ) = ⊕𝑖=0 𝑣 ̃𝑎 ̃𝑖 𝛾𝑖 = ⊕𝑖=0 𝑥 ̃ 𝑖 𝛾𝑖 𝑣

̃𝑖 = 𝑣 ̃𝑎 ̃𝑖 dengan 𝑥

𝑛 𝑛 ̃ 𝑖 𝛾𝑖 ) = ⊕𝑛 𝑤 ̃ 𝑖 ̃𝑖 𝛾𝑖 ̃ p’ = 𝑤 ̃ ( ⊕𝑖=0 𝑏 𝑤 𝑖=0 ̃ 𝑏𝑖 𝛾 = ⊕𝑖=0 𝑦

̃𝑖 ̃𝑖 = 𝑤 ̃𝑏 dengan 𝑦

̃𝑎 ̃𝑖 merupakan himpunan fuzzy yang α-cutnya adalah interval [𝑎𝛼 ⊗𝑣𝛼 , Disini, 𝑣

𝑎𝛼 ⊗𝑣𝛼 ] untuk setiap α∈[0,1] dan [𝑎𝛼 ⊗𝑣𝛼 , 𝑎𝛼 ⊗𝑣𝛼 ] = [𝑎𝛼 , 𝑎𝛼 ] ⊗ [𝑣𝛼 , 𝑣𝛼 ]. ̃𝑖 , maka α-cutnya, sama yakni 𝑎 ̃𝑖 α . Dari sini diperoleh [𝑣𝛼 , 𝑣𝛼 ̃𝑖 = 𝑏 ̃𝑖 α = 𝑏 Karena 𝑎

] = [𝑤𝛼 , 𝑤𝛼 ]. Akibatnya 𝑣𝛼 = 𝑤𝛼 dan 𝑣𝛼 = 𝑤𝛼 . Kemudian, ̃ ̃𝑎 ̃𝑖 = [𝑎𝛼 ⊗𝑣𝛼 , 𝑎𝛼 ⊗𝑣𝛼 ] = [𝑎α , 𝑎α ] ⊗ [𝑣𝛼 , 𝑣𝛼 ] 𝑥𝑖 = 𝑣 ̃𝑖 = 𝑦 ̃𝑖 ̃𝑏 = [𝑏𝛼 , 𝑏𝛼 ] ⊗ [𝑤𝛼 , 𝑤𝛼 ]= [𝑏𝛼 ⊗𝑤𝛼 , 𝑏𝛼 ⊗𝑤𝛼 ] = 𝑤 ̃p = 𝑤 ̃ p’. Dengan demikian, operasi eksternal yang sehingga diperoleh 𝑣

didefinisikan pada Rmax[γ] merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik. Untuk selanjutnya akan diselidiki sifat-sifat yang berlaku pada operasi ̃𝑖 𝛾𝑖 dengan 𝑎 ̃𝑖 ∈Rmax , q = . Misalkan, untuk p, q, r ∈ Rmax[γ] , p = ⊕𝑛𝑖=0 𝑎 ̃ 𝑖 ̃ ⊕𝑚 𝑖=0 𝑏𝑖 𝛾 dengan 𝑏𝑖 ∈Rmax

dan

r = ⊕𝑘𝑖=0 𝑐̃ 𝑖 𝛾𝑖 dengan 𝑐̃ 𝑖 ∈ Rmax. Tanpa

mengurangi keumuman, diambil n ≥ m ≥ k , sehingga ̃ 𝑖 ̃𝑖 𝛾𝑖 ) ⊕ (⊕𝑚 [ p q ] ⊕ r = [ (⊕𝑛𝑖=0 𝑎 𝑖=0 𝑏𝑖 𝛾 ) ] ̃ 𝑏 ̃𝑖 )𝛾𝑖 ) ] ̃𝑖 ⊕ = [ (⊕𝑛𝑖=0 ( 𝑎

( ⊕𝑘𝑖=0 𝑐̃𝑖 𝛾 𝑖 )

( ⊕𝑘𝑖=0 𝑐𝑖 𝛾 𝑖 )

̃ 𝑏𝑖 ) ⊕ ̃ 𝑐̃ 𝑖 ] 𝛾𝑖) = ⊕𝑛 [ 𝑎 ̃(𝑏 ̃ 𝑐̃ 𝑖 )] 𝛾𝑖 ̃𝑖 ⊕ ̃𝑖 ⊕ ̃𝑖 ⊕ = ⊕𝑛𝑖=0 [( 𝑎 𝑖=0 ̃ ̃ ̃ 𝑖 )𝛾𝑖 ) ] = ( ⊕𝑛𝑖=0 𝑎̃𝑖 𝛾 𝑖 ) ⊕ [ (⊕𝑚 𝑖=0 (𝑏𝑖 ⊕ 𝑐

Semi Modul Polinomial

5

𝑘 ̃ 𝑖 ̃ 𝑖 𝛾𝑖 ) ] = ( ⊕𝑛𝑖=0 𝑎̃𝑖 𝛾 𝑖 ) ⊕ [ ( ⊕𝑚 𝑖=0 𝑏𝑖 𝛾 ) ⊕ (⊕𝑖=0 𝑐

=p

[q

r] bersifat assosiatif pada Rmax[γ].

Dengan demikian, operasi

pada Rmax[γ]. Untuk

Berikutnya akan diselidiki sifat komutatif operasi setiap p, q ∈ Rmax[γ] berlaku p

𝑚 ̃ 𝑖 𝑛 ̃ 𝑏 ̃𝑖 )𝛾𝑖 ̃𝑖 𝛾𝑖 ) ⊕ (⊕𝑖=0 𝑏 ̃𝑖 ⊕ q = (⊕𝑛𝑖=0 𝑎 𝑖 𝛾 ) = ⊕𝑖=0 (𝑎 𝑚 ̃ 𝑖 𝑛 ̃ 𝑎 ̃𝑖 ⊕ ̃𝑖 )𝛾𝑖 = (⊕𝑖=0 𝑏 ̃𝑖 𝛾𝑖 ) = q ⊕ p = ⊕𝑛𝑖=0 (𝑏 𝑖 𝛾 ) ⊕ (⊕𝑖=0 𝑎

Dengan demikian, operasi

bersifat komutatif pada Rmax[γ].

̃𝑖 𝛾𝑖, Polinomial nol ε merupakan elemen pada Rmax[γ], karena ε = ⊕𝑛𝑖=0 𝑎 ̃𝑖 = ε adalah himpunan fuzzy dengan α-cutnya adalah interval [ε,ε ]. dengan 𝑎 ̃𝑖 𝛾𝑖 ∈ Rmax[γ] berlaku Untuk setiap p = ⊕𝑛𝑖=0 𝑎

p

𝑖

̃ 𝜀̃ ) 𝛾 = ⊕𝑛 𝑎̃𝑖 𝛾𝑖 = p ̃𝑖 𝛾𝑖 ) ⊕ (⊕𝑛𝑚=0 𝜀̃ 𝛾𝑖 )= ⊕𝑛𝑖=0 (𝑎 ̃𝑖 ⊕ ε =(⊕𝑛𝑖=0 𝑎 𝑖=0

Secara analog, juga berlaku ε ⊕ p = p. Dengan demikian, Rmax[γ] mempunyai elemen nol yaitu polinomial nol ε. Untuk selanjutnya akan diselidiki sifat yang yang berlaku pada operasi ̃, 𝑤 ̃ ∈ Rmax dan p, q ∈ Rmax[γ] pergandaan skalar. Untuk setiap 𝑣 ̃[p i. 𝑣

q]

̃ 𝑏̃𝑖 )𝛾𝑖 ] ̃ 𝑖 ̃ [(⊕𝑛𝑖=0 𝑎 ̃𝑖 𝛾𝑖 ) ⊕ (⊕𝑚 ̃ [⊕𝑛𝑖=0 (𝑎 ̃𝑖 ⊕ =𝑣 𝑖=0 𝑏𝑖 𝛾 ) ] = 𝑣 ̃ 𝑏 ̃𝑣 ̃𝑖 )𝛾𝑖 = ⊕𝑛 ( 𝑣 ̃𝑖 )𝛾𝑖 ̃( 𝑎 ̃𝑖 ⊕ ̃𝑎 ̃𝑖 ⊕ ̃𝑏 = ⊕𝑛𝑖=0 𝑣 𝑖=0

=

̃𝑎 ̃ 𝑖 𝛾𝑖 ) ⊕ (⊕𝑛𝑖=0 𝑣

̃ 𝑖 ̃ (⊕𝑚 𝑣 𝑖=0 𝑏𝑖 𝛾 ) ̃p =𝑣

̃q 𝑣

̃ 𝑖 𝛾𝑖 ̃𝑏 (⊕𝑚 𝑖=0 𝑣

𝑛 ̃ (⊕𝑖=0 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾𝑖 ) )=𝑣

A. Wardayani dan Suroto

6

𝑛 ̃𝑤 ̃𝑤 ̃ 𝑤 ̃⊕ ̃⊕ ̃𝑖 𝛾𝑖 ) = (⊕𝑛𝑖=0 [𝑣 ̃ ⊕ ̃ 𝑖 𝛾𝑖 ) ̃ ] p = [𝑣 ̃ ] ( ⊕𝑖=0 𝑎 ̃ ]𝑎 ii. [𝑣

̃ 𝑤 ̃𝑎 ̃𝑖 ⊕ ̃𝑖 ] 𝛾𝑖 ) = (⊕𝑛𝑖=0 𝑣 ̃𝑎 ̃𝑖 𝛾𝑖 ) ⊕ (⊕𝑛𝑖=0 𝑤 ̃ 〰 𝛾𝑖 ) ̃𝑎 ̃𝑎 = (⊕𝑛𝑖=0 [𝑣 ̃ (⊕𝑛𝑖=0 𝑎 ̃𝑖 𝛾𝑖 ) ⊕ 𝑤 ̃ 𝑖 𝛾𝑖 ) = 𝑣 ̃ p ⊕ 𝑣̃ p =𝑣 ̃ (⊕𝑛𝑖=0 𝑎

𝑛 ̃[𝑤 ̃[𝑤 ̃𝑖 𝛾𝑖 ) ] = 𝑣 ̃ [ ⊕𝑛𝑖=0 (𝑤 ̃𝑖 ) 𝛾𝑖 ] = [ ⊕𝑛𝑖=0 𝑣 ̃ (𝑤 ̃𝑖 ) 𝛾𝑖 ] ̃ p]=𝑣 ̃ ( ⊕𝑖=0 𝑎 ̃𝑎 ̃𝑎 iii. 𝑣

̃𝑤 ̃𝑖 𝛾𝑖 ] =(𝑣̃ 𝑤 ̃𝑖 𝛾𝑖 ] = (𝑣̃ 𝑤 ̃) 𝑎 = [ ⊕𝑛𝑖=0 (𝑣 ̃) [ ⊕𝑛𝑖=0 𝑎 ̃) 𝑝

̃𝑖 𝛾𝑖 ) = ⊕𝑛𝑖=0 𝑒̃ 𝑎 ̃𝑖 𝛾𝑖 = ⊕𝑛𝑖=0 𝑎 ̃𝑖 𝛾𝑖 = 𝑝 dengan 𝑒̃ adalah Selanjutnya 𝑒̃ p = 𝑒̃ ( ⊕𝑛𝑖=0 𝑎

elemen satuan pada Rmax , yakni himpunan fuzzy dengan α-cutnya adalah interval 𝑛 𝑛 ̃𝑖 𝛾𝑖 ) = ⊕𝑖=0 𝜀̃ 𝑎 ̃𝑖 𝛾𝑖 = ⊕𝑖=0 𝜀̃ 𝛾𝑖 = 𝜀̃ . [e,e]. Kemudian 𝜀̃ p = 𝜀̃ ( ⊕𝑛𝑖=0 𝑎

Dari uraian sebelumnya, terbukti bahwa operasi internal

pada Rmax[γ]

dan operasi eksternal pergandaan skalar yang dikerjakan pada Rmax[γ] dan Rmax ̃, 𝑤 ̃ ∈ Rmax , dan 𝑝, 𝑞 ∈ memenuhi ⊕ assosiatif , komutatif dan untuk setiap 𝑣 ̃(𝑝 ⊕ 𝑞) = 𝑣 ̃𝑝 ⊕ 𝑣 ̃𝑞 , (𝑣 ̃⊕w ̃𝑝 ⊕ w ̃(𝑤 ̃w ̃ )𝑝 = 𝑣 ̃ 𝑝, 𝑣 ̃ 𝑝) = ( 𝑣 ̃ )𝑝 Rmax[γ] berlaku 𝑣

, 𝑒̃ 𝑝 = 𝑝, serta 𝜀̃ 𝑝 = ε. Dengan demikian, memenuhi aksioma-aksioma pada semi modul atas semi ring. Jadi, Rmax[γ] merupakan semimodul atas Rmax. Dengan kata lain, himpunan polinomial fuzzy merupakan semi modul atas semi ring aljabar max-plus fuzzy.

KESIMPULAN Operasi internal pada himpunan polinomial fuzzy dan operasi eksternal pada himpunan polinomial fuzzy atas aljabar max-plus fuzzy memenuhi aksiomaaksioma pada semi modul atas semi ring. Dengan demikian, himpunan polinomial fuzzy merupakan semi modul atas semi ring aljabar max-plus fuzzy.

Semi Modul Polinomial

7

DAFTAR PUSTAKA Bacelli, F, et al. 2001. Synchronization and Linearity. New York : John Wiley & Sons. Rudhito, A, 2007. Semimodul Bilangan Fuzzy atas Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy. Prosiding Seminar Nasional Matematika, F MIPA UPI&IndoMS 2007 ------------ 2006. Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur. Artikel Berkala MIPA Susilo, F. 2006. Himpunan dan Logika Kabur serta Aplikasinya. Yogyakarta : Graha Ilmu Zimmermann, H.J. 1991. Fuzzy Set Theory and Its Applications. Kluwer Academic Publishers, USA

A. Wardayani dan Suroto

8