Segmentasi Citra dengan Menggunakan Modifikasi Robust Fuzzy C-Means

Segmentasi Citra dengan Menggunakan Modifikasi Robust Fuzzy C-Means Charista Christie Tjokrowidjaya1, Zuherman Rustam2 1,2

Departemen Matematika, Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia, Depok 16424, Indonesia [email protected], [email protected]

Abstrak Segmentasi merupakan sebuah proses yang penting dilakukan dalam menganalisa suatu citra. Dengan melakukan segmentasi, maka citra tersebut dapat dibagi menjadi beberapa bagian yang lebih sederhana yaitu bagian-bagian yang memiliki karakteristik visual yang serupa seperti warna, gerakan, dan tekstur. Fuzzy c-means (FCM) yang diperkenalkan oleh Dunn dan dikembangkan oleh Jim Bezdek, adalah algoritma yang populer digunakan dalam segmentasi citra karena algoritma ini mudah digunakan dan akurat. Lebih tepatnya, FCM sangatlah efektif digunakan untuk mensegmentasi citra yang tidak memiliki noise. Salah satu kelemahan FCM adalah sensitif terhadap noise dan outliers. Berbagai macam metode telah ditemukan untuk mengatasi kelemahan dari algoritma FCM, salah satunya menggunakan metode robust FCM (RFCM). Pada proses segmentasi menggunakan RFCM, hasilnya lebih baik dibandingkan dengan FCM. Hasil percobaan menunjukkan modifikasi RFCM memberikan hasil yang lebih baik terutama untuk data iris.

Image Segmentation Using Modified Robust Fuzzy C-Means Abstract Segmentation is an important process to analyze an image. With image segmentation, an image can be partitioned into several simpler parts, which is parts that have similar visual characteristics like colors, motions, and textures. Fuzzy c-means (FCM) is introduced by Dunn and developed by Jim Bezdek. FCM is a popular algorithm to be used on image segmentation because of its simplicity and accuracy. Moreover, FCM is highly effective to segment image that have no noise. One of FCM weakness is sensitive to noise and outliers. Several methods are founded to overcome FCM’s weaknesses, one of which is using robust FCM method. From research, RFCM’s result is better compared FCM. Reseach shows that modified RFCM gives better result especially for iris data. Keywords: Fuzzy c-means; image; robust fuzzy c-means; segmentation.

Pendahuluan Segmentasi adalah salah satu aplikasi dalam bidang ilmu digital image processing. Pada saat melakukan pengolahan citra, sering kali tidak keseluruhan informasi pada citra dibutuhkan, bahkan terkadang hanya sebagian kecil dari citra yang merupakan informasi yang penting untuk digunakan. Untuk mengatasi hal ini, digunakanlah segmentasi, agar citra tersebut dapat dibagi menjadi beberapa bagian (segmen) yang lebih sederhana. Segmentasi membagi suatu citra menjadi bagian-bagian yang memiliki ciri-ciri visual yang sejenis seperti warna, gerakan, dan tekstur (Horvath Juraj, 2006).

Segmentasi citra..., Charista Christie Tjokrowidjaya, FMIPA UI, 2014

Berbagai algoritma segmentasi telah dibuat untuk dapat menghasilkan segmentasi citra yang baik. Dari banyak algoritma yang telah ditemukan, algoritma-algoritma ini dapat dikategorikan menjadi tiga yaitu; region-based segmentation, data clustering, dan edge-base segmentation (Yu-Hsiang Wang, 2009). Dalam penelitian ini dibahas segmentasi citra dengan menggunakan algoritma clustering. Clustering adalah proses mengelompokkan objek atau pola sedemikian sehingga sampelsampel dari grup yang sama memiliki tingkat kemiripan yang lebih tinggi dibandingkan dengan sampel-sampel antar grup. Terdapat 2 jenis clustering yaitu crisp/hard dan soft. Pada hard clustering, sebuah data hanya dapat berada pada sebuah cluster saja. Pada penerapannya, sulit melakukan hard clustering untuk mencapai hasil segmentasi yang baik. Karena pada hard clustering terjadi kesulitan pada saat suatu data tidak jelas kemiripannya dengan cluster manapun, hal ini dapat berakibat kesalahan pada clustering dan dapat berakibat fatal pada segmentasi (Yong Yang, 2007). Pada tahun 1965, seorang matematikawan bernama Lotfali Askar Zadeh memperkenalkan istilah ”fuzzy logic”. Fuzzy clustering atau soft clustering dibuat berdasarkan logika tersebut. Berbeda dengan hard clustering, pada soft clustering ini, sebuah data berada pada beberapa cluster sekaligus. Algoritma fuzzy clustering yang paling populer digunakan adalah algoritma fuzzy c-means (FCM) (Omid Jamshidi, 2013). FCM pertama kali diperkenalkan oleh Dunn pada tahun 1973 dan dikembangkan oleh Jim Bezdek pada tahun 1981. Secara singkat, FCM mengklasifikasi data dengan mencari pusat-pusat data untuk masing-masing cluster yang diinginkan. Datadata tersebut lalu diklasifikasi berdasarkan jarak terdekat ke setiap pusat cluster. Akan tetapi FCM kurang efektif untuk mensegmentasi citra yang memiliki noise dan outliers. Nyatanya, sangatlah sulit untuk menemukan citra yang tidak memiliki noise maupun outliers (Yong Yang, 2007). Untuk mengatasi masalah ini, algoritma FCM biasanya digunakan sebagai tahap awal lalu kemudian dimodifikasi untuk mengatasi kekurangannya. Beberapa modifikasi yang dilakukan misalnya dengan menambahkan fungsi spasial pada fungsi membership-nya, atau menggunakan metode robust FCM (Charista C. T., 2014). Dalam penelitian ini digunakan algoritma modifikasi dari robust FCM untuk melakukan clustering pada citra. Citra tersebut disegmentasi berdasarkan cluster-cluster yang telah diperoleh.


Tinjauan Teoritis Pada bagian ini dijelaskan mengenai algoritma fuzzy c-means (FCM), robust m-estimator, dan robust fuzzy c-means (RFCM). Fuzzy C-Means (FCM) Algoritma FCM pertama kali diperkenalkan oleh Dunn pada tahun 1973 dan dikembangkan oleh Jim Bezdek pada tahun 1981, sebagai algoritma clustering yang menggunakan konsep fuzzy (Yong Yang, 2007). Dari sejumlah algoritma-algoritma fuzzy clustering yang ada, FCM merupakan algoritma yang paling digemari karena, algoritma mudah digunakan dan akurat (Omid Jamshidi, 2013). Misal diberikan himpunan data {!! , !! , … , !! } , setiap !! merupakan vektor data yang memiliki beberapa atribut. Data-data ini akan dikelompokkan menjadi ! cluster. FCM merupakan algoritma iteratif, dengan setiap iterasinya bertujuan untuk meminimalkan fungsi objektif dari model matematis FCM. Model matematis FCM : (Zeru Chi et al, 1996). !

! ! !!" !! − !!

! !, ! =

Fungsi objektif :

!

!!! !!! !

Kendala

!!" = 1 ! = 1, 2, … , !

: !!!

!

0<

!!" < ! ! = 1, 2, … , ! !!!

0 ≤ !!" ≤ 1 ! = 1, 2, … , !; ! = 1, 2, … , ! dimana : •

! adalah banyaknya cluster ! ≥ 2.

•

! adalah banyaknya data.

•

! adalah derajat ke-fuzzy-an ! > 1.

•

!! , !! , … , !! adalah data-data sampel.

•

! = {!! , !! , … , !! } adalah pusat-pusat cluster.

•

! = [!!" ] adalah matriks membership berukuran !×! . !!" berisikan nilai membership yang memetakan tingkat membership dari pusat cluster ! terhadap data ke-!.


Berikut ini langkah-langkah dari algoritma FCM (Yong Yang, 2007) : 1.

Tentukan banyaknya cluster yang ingin dibentuk ! ≥ 2, derajat fuzzy ! ≥ 1, kriteria berhenti ! > 0, serta batas iterasi ! ≥ 1.

2.

Buat matriks membership ! = [!!" ].

3.

Updating pusat data dengan menggunakan : ! ! !! !!! !!" ! ! !!! !!"

!! = 4.

Updating matriks membership dengan menggunakan : !

!!" = !!!

!!" !!"

! !! !!!

5. Ulangi langkah 3 dan 4 hingga kondisi berhenti terpenuhi. Robust M-Estimator Algoritma FCM memiliki kelemahan, salah satunya adalah FCM mudah terpengaruh oleh noise maupun outliers. Salah satu cara yang digunakan untuk mengatasi kelemahan dari FCM adalah dengan menggunakan robust estimators yaitu M-estimator. Tujuan dari M-estimator adalah menemukan estimasi ! sedemikian sehingga, !

! = argmin !∈!

! !! − !

(2.1)

!!!

Dengan ! ! = ln ! !

adalah fungsi robust loss yang terkait dengan fungsi probabilitas

berat !(!) untuk sampel data !! (! = 1,2, … , !). Estimasi ! dapat ditemukan dengan menghitung turunan parsial dari fungsi robust loss ! terhadap !. Fungsi ini disebut fungsi influence ! !, ! =

!" !,! !"

.

!

! !! − ! = 0

(2.2)

!!!

Dengan menghitung persamaan (2.2) maka dapat ditemukan solusi untuk meminimalkan estimasi ! pada persamaan (2.1). Definisi dari kedua persamaan M-estimator (2.1) dan (2.2) bersifat implisit sehingga diperlukan teknik iteratif untuk menghitung output-nya. Asumsikan lim!→!

! ! !

= ! , ! adalah konstanta, persamaan (2.2) dapat ditulis kembali

sebagai berikut,


!

! !! − ! = !!!

!! !!

! !! − ! (!! − !) !! − !

Untuk menghitung nilai ! digunakan persamaan : (Dante Mujica-Vargas, 2013) !

!!!

=

! ! !!! !!,! !! ! ! !!! !!,!

, !"#$%$ !!,!

! !! − ! !! ≠ 0 = !! − ! ! !"#$$%"

(2.3)

Salah satu cara mengurangi pengaruh outlier, Frigui dan Krisnhapuram mengajukan algoritma robust c-prototypes. Algoritma ini menggunakan fungsi robust loss !! . Fungsi !! ini diasosiasikan dengan setiap cluster ! , dengan fungsi objektif yang digunakan, (Frigui dan Krishnapuram, 1996), !

! ! !!" !!

! !, ! =

!! − !!

!

(2.4)

!!! !!!

Dan fungsi membership yang digunakan adalah : !

! !! − !!

!!" =

!

!!!

!! − !!

! !! !!!

!

(12)

!

dimana !

!!"

!

!!"

!

!!!

!

!! − !!

=0

!!!

(13)

dan

!!" =

!!! !

!

!! − !! !! − !!

!

(14)

Perhitungan pusat data yang digunakan pada algoritma robust c-prototypes ini sama dengan FCM. Robust Fuzzy C-Means (RFCM) Dante mengajukan algoritma robust fuzzy c-means (RFCM). Algoritma ini didasarkan pada robust c-prototypes yang diajukan oleh Figui dan Krishnapuram dengan beberapa perubahan. Pertama, untuk setiap cluster digunakan fungsi robust loss yang sama. Kedua, digunakan


fungsi influence ! untuk menghitung pusat-pusat data. Berikut ini fungsi objektif dari algoritma RFCM : (Dante Mujica-Vargas, 2013) !

! ! !!" ! !! − !!

! !, ! =

!

!!! !!!

untuk updating matriks membership dan pusat data menggunakan persamaan-persamaan : !

!!" = !!!

!! =

!

! !! − !! !

!! − !!

! !! !!!

!

! ! ! !!! !!" !( !! − !! ) !! ! ! ! !!! !!" !( !! − !! )

Perbedaan antara algoritma robust c-prototypes dengan algoritma RFCM terletak pada fungsi robust loss-nya. Pada algoritma robust c-prototypes, setiap cluster ! memiliki fungsi robust loss !! masing-masing. Sementara pada algoritma RFCM, digunakan fungsi robust loss ! yang sama untuk seluruh cluster. Pada penelitian ini, digunakan algoritma yang dimodifikasi dari algoritma FCM yang sudah dipaparkan sebelumnya. Algoritma FCM dimodifikasi untuk ‘mempermudah’ komputasi dengan meniadakan pembentukan matriks membership di awal program dan menggantinya dengan pembentukan pusat data awal. Selain langkah algoritma yang dimodifikasi, terdapat pula modifikasi dari algoritma RFCM. Modifikasi dilakukan pada fungsi robust loss dan fungsi influence. Pada penelitian ini dilakukan percobaan dengan menyamakan kedua fungsi tersebut. Selanjutnya, fungsi robust loss ! dan fungsi influence ! disebut sebagai fungsi robust !. Berikut algoritma yang digunakan pada penelitian ini: 1.

Tentukan banyaknya cluster yang ingin dibentuk ! ≥ 2, derajat fuzzy ! ≥ 1, kriteria iterasi berhenti ! > 0, serta batas iterasi ! ≥ 1.

2.

Cari ! buah pusat cluster mula-mula !!"!# = {!! } , yaitu dengan mengambil beberapa data dan mencari nilai rata-ratanya untuk masing-masing pusat cluster.

3.

Buat matriks membership ! dengan menggunakan !!"!# . !

!!" = !!!

!!" !!"

! !! !!!

! = 1, 2, … , !; ! = 1, 2, … , !


!!" = !( !! − !! ) ! = 1, 2, … , !; ! = 1, 2, … , ! Apabila pada perhitungan !!" di atas terdapat !!" = 0, maka nilai !!" -nya adalah 0. 4.

Hitung pusat-pusat cluster yang baru !!"#$ dengan menggunakan persamaan berikut, !! =

5.

! ! !( !! − !! ) !! !!! !!" ! ! !( ! − ! ) ! ! !!! !!"

! = 1, 2, … , !

Jika !!"!# − !!"#$ < ! maka algoritma berhenti; otherwise !!"!# = !!"#$ dan ulang dari langkah 3.

Metode Penelitian Penelitian dilakukan dengan melakukan percobaan pada data iris dan data citra. Pada data iris, dilakukan pengambilan !% data dari masing-masing kelas sebagai data training dan sisanya sebagai data testing. Pada penelitian ini dipaparkan hasil percobaan dengan menggunakan data training sebesar 10%, 20%, 30%,…, 90%. Keakuratan dihitung dengan menggunakan persamaan berikut : !"#$%&#'#( = dengan

!"#$!% ×100% !"#" !"#!$%&

!"#$!% adalah banyaknya data testing yang tepat diklasifikasikan dan

!"#" !"#!$%& adalah banyaknya dari keseluruhan data testing. Citra yang digunakan pada penelitian ini berukuran maksimal 100×100 pixel dan menggunakan model warna RGB. Setelah data-data diubah menjadi data numerik, dilakukan pengelompokkan berdasarkan warna. Dari masing-masing kelompok !% data untuk dijadikan data training dan data yang tersisa dinamakan data testing. Kemudian dari masing-masing kelompok data training diambil sebuah data atau rata-rata data training tersebut untuk dijadikan pusat data awal dari masing-masing kelompok. Lalu dicari pusat data yang tepat untuk masing-masing kelompok dengan menggunakan rumus yang telah dijelaskan di bagian sebelumnya. Pada makalah ini, fungsi robust yang digunakan dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1 Fungsi FCM dan fungsi-fungsi robust yang diujikan Fungsi !−! !−! !"# ! !−! +! ! !"# ! − ! + !


Untuk mengetahui keakuratan segmentasi dari penelittian ini, digunakan dua buah model keakuratan yaitu : !"#$%&#'#(_!"#$ = !"#$%&#'#!! = dengan

!"#$!% ×100% !"#" !"#!$%&

!"#" ×100% !"#" !"#

%$!"#$!% adalah banyaknya data testing yang tepat cluster-nya dan

!"#" !"#!$%&

adalah banyaknya dari keseluruhan data testing. Jika pixel !! merupakan pixel hasil pewarnaan pixel !! , maka pixel !! dikatakan mirip dengan !! jika !! − !! ≤ !. Maka !"#$%_!"#"$ adalah banyaknya pixel yang tingkat kemiripannya tinggi antara citra asli dengan hasil pewarnaan ulang dan

!"#" !"#$% adalah banyaknya dari keseluruhan data

pada citra. Selain itu digunakan juga perhitungan mean square error (MSE) untuk menghitung variansi dari cluster-cluster yang telah didapatkan. !"# =

! !!!

!∈!!

!! − !!

!

!"#" !"#

%$dengan !! adalah pixel-pixel yang dikelompokkan pada cluster ke-!, ! adalah banyaknya cluster, dan

!"#" !"#$% adalah banyaknya dari keseluruhan data pada citra.

Hasil Penelitian Pengujian dilakukan dengan menggunakan FCM dan beberapa fungsi robust yang dipaparkan pada Tabel 1. Pertama fungsi-fungsi ini akan diujikan terhadap data iris, untuk memeriksa fungsi-fungsi ini cukup baik digunakan atau tidak sebelum akhirnya fungsi-fungsi tersebut digunakan pada data citra. Hasil penggunaan fungsi-fungsi robust yang diajukan ditunjukkan pada Gambar 1. Gambar 2 menunjukkan citra-citra yang akan diuji pada penelitian ini. Pada masing-masing citra, digunakan derajat fuzzy ! = 5, batas error sebesar 0.01, dan presentase data training sebesar 0.2%.


Grafik hasil percobaan 1

0.9

0.8 FCM Fungsi 1 Fungsi 2 Fungsi 3

Tingkat keakuratan

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 Presentase data training

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Gambar 1 Grafik perbandingan FCM dan fungsi robust dengan menggunakan data iris

(a)

(b)

(c)

Gambar 2 Citra yang diuji. (a) Citra KOTAK, (b) citra OBJEK, (c) citra BUNGA.

Berikut ini hasil pengujian dari masing-masing citra beserta perbandingan antara citra asli dengan citra hasil pewarnaan ulangnya. Tabel 2 Hasil pengujian citra KOTAK Nama FCM Robust 1 Robust 2 Robust 3

Fungsi !−! !−! exp 3 !−! +1 ! exp ! − ! + 1

!"#$%&#'#(_!"#$ 100%

!"#$%&#'#(_!"# 99.93%

100%

99.93%

100% 100%

99.93% 99.93%


(a)

(b)

(c)

Gambar 3 Perbandingan untuk citra KOTAK. (a) Citra asli; (b) citra hasil pewarnaan kembali;

(c) perbedaan antara (a) dan (b).

Tabel 3 Hasil pengujian citra OBJEK Nama FCM Robust 1 Robust 2 Robust 3

Fungsi !−! !−! !"# ! !−! +! ! !"# ! − ! + !

(a)

!"#$%&#'#(_!"#$ 100%

!"#$%&#'#(_!"# 71.58%

MSE 890.89

51.03%

54.89%

3242.08

100% 51.03%

71.58% 54.89%

890.89 3242.08

(b)

(c)

(d)

(e)

Gambar 4 Perbandingan untuk citra OBJEK. (a) Citra asli; (b) citra hasil pewarnaan kembali

untuk FCM dan robust 2; (c) perbedaan antara (a) dan (b); (d) citra hasil pewarnaan kembali untuk robust 1 dan robust 3; (e) perbedaan antara (c) dan (d).


Tabel 4 Hasil pengujian Gambar 2(c) Nama FCM Robust 1 Robust 2 Robust 3

(a)

Fungsi !−! !−! exp 3 !−! +1 ! exp ! − ! + 1

!"# 593.9 904.23 593.9 593.9

(b)

(c)

(d)

(e)

Gambar 5 Perbandingan untuk citra BUNGA. (a) Citra asli; (b) citra hasil pewarnaan kembali

untuk FCM dan robust 2; (c) perbedaan antara (a) dan (b); (d) citra hasil pewarnaan kembali untuk robust 1 dan robust 3; (e) perbedaan antara (c) dan (d).

Pembahasan Dari hasil pengujian dengan menggunakan citra KOTAK, FCM dan ketiga fungsi robust memiliki tingkat keakuratan yang tinggi. Baik dalam pengecekan menggunakan data testing, pewarnaan kembali citra dan nilai MSE menampilkan hasil yang sangat baik. Pada Gambar 3 dapat dilihat perbandingan citra asli dengan citra hasil pewarnaan kembali citra KOTAK. Terlihat hanya ada beberapa titik kecil saja yang berbeda dari hasil pewarnaan kembali. Bagian yang berbeda ini adalah bagian pertemuan dari ketiga warna yang ada pada citra. Dari hasil pengujian dengan menggunakan citra OBJEK, FCM dan robust 2 memiliki tingkat keakuratan yang sama. Sementara fungsi robust 1 dan robust 3 memiliki tingkat keakuratan yang lebih rendah. Dalam pengecekan menggunakan data testing, FCM dan robust 2


memiliki tingkat keakuratan hingga 100%. Sementara robust 1 dan robust 3 hanya mampu mendapat tingkat keakuratan 50.03%. Dalam pengecekan dengan membandingkan citra asli dengan citra hasil pewarnaan kembali untuk FCM dan robust 2 didapat tingkat keakuratan sebesar 71.58% sementara untuk robust 1 dan robust 3 didapat tingkat keakuratan sebesar 54.89%. Nilai MSE yang diperoleh menunjukkan tingkat keakuratan yang tinggi memiliki nilai MSE yang lebih kecil, yaitu FCM dan robust 2 memiliki nilai MSE yang lebih kecil dan tingkat keakuratan yang lebih tinggi dibanding robust 1 dan robust 3. Pada Gambar 4 dapat dilihat perbandingan citra asli dengan citra hasil pewarnaan kembali dari citra OBJEK. Pada Gambar 4(d), warna merah dan hitam tercampur menjadi merah tua. Hal ini terlihat pula pada Tabel 3 dimana robust 1 dan robust 3 memiliki tingkat !"#!$%#&#'_!"#$ yang tidak sempurna. Pada Gambar 4(c), terlihat bagian yang berbeda adalah bagian perbatasan antar warna untuk dan untuk Gambar 4(e) terdapat pula perbedaan pada keseluruhan objek berwarna merah dan hitam. Dari hasil pengujian dengan menggunakan citra BUNGA, FCM dan ketiga fungsi robust tingkat keakuratan yang tidak begitu baik. Dari Tabel 4, terlihat FCM, robust 2, dan robust 3 memiliki nilai MSE yang lebih kecil dibanding robust 1. Pada Gambar 5 dapat dilihat perbandingan citra asli dengan citra hasil pewarnaan kembali daricitra BUNGA. Dapat dilihat pada Gambar 5(b), bagian dalam bunga yang berwana gradasi menjadi warna pink saja dengan sedikit warna putih di bagian ujung bunga. Pada Gambar 5(c) terlihat bagian yang berbeda hampir mencangkup keseluruhan bunga. Gambar 5(d) menampilkan hasil yang lebih drastis, hanya ada warna putih dan oranye saja pada citra hasil pewarnaan kembali. Sehingga dapat dilihat pada Gambar 5(e), bagian yang berbeda adalah keseluruhan bunga. Hasil percobaan dengan menggunakan data iris menunjukkan pada penggunaan data training yang kecil, ketiga fungsi robust memiliki tingkat keakuratan yang cenderung lebih tinggi dibandingkan dengan FCM. Pada saat ketiga fungsi tersebut dicoba pada data citra, robust 2, menampilkan hasil yang setara dengan FCM. Pada percobaan dengan menggunakan data citra, semua fungsi menunjukkan hasil yang baik pada citra KOTAK yang tidak memiliki noise. FCM dan ketiga fungsi robust menunjukkan hasil yang kurang baik pada citra OBJEK. Hal ini mungkin dikarenakan kedua gambar


tersebut memiliki banyak bagian yang tidak jelas (memiliki noise) sehingga terjadi kesulitan saat melakukan segmentasi.

Kesimpulan Berdasarkan percobaan, fungsi robust yang diajukan dapat digunakan untuk melakukan segmentasi citra. Sejauh ini fungsi robust yang diajukan menampilkan hasil yang baik untuk mensegmentasi citra yang tidak memiliki banyak noise. Sementara pada citra yang memiliki noise, beberapa fungsi robust dapat mencapai hasil yang setara dengan fungsi robust FCM. Semakin kecil nilai MSE yang didapat, semakin baik hasil segmentasi.

Saran Ada beberapa saran yang dapat dipaparkan untuk penelitian lebih lanjut mengenai topik ini. Pertama, sebaiknya dibuat program untuk melakukan preprocessing data citra secara otomatis. Kedua, dapat dicoba menggunakan fungsi yang berbeda antara fungsi robust !( !! − !! ) dan fungsi influence !( !! − !! ).

Daftar Referensi Babuska. (2011). Fuzzy Clustering Lecture, (hal. 55-71). Fikri, Akmal. (2009). Brain Cancer (Astrocytoma) Clustering Menggunakan Metode Fuzzy C-Means. Depok : Universitas Indonesia. Frigui, Hichem. Krishnapuram, Raghu. (1996). A Robust Algorithm for Automatic Extraction of an Unknown Number of Clusters from Noisy Data, Pattern Recognition Letters. Gonzalez, Rafael C. Woods, Richard E. (2002). Digital Image Processing (2nd ed.). New Jersey: Prentice Hall. Horvath Juraj. (2006). Image Segmentation Using Fuzzy C-Means. Jamshidi, Omid and Abdol Hamid Pilevar. (2013). Automatic Segmentation of Medical Images Using Fuzzy cMeans and the Genetic Algorithm, Journal of Computational Medicine. Mujica-Vargas, Dante. et al. (2013). Robust c-prototypes algorithms for color image segmentation, EURASIP Journal on Image and Video Processing. Tjokrowidjaya, Charista C. (2014, Juni). Segmentasi Citra Menggunakan Robust Fuzzy C-Means, makalah dipresentasikan di Konferensi Nasional Matematika XVII, Surabaya. Yong Yang. (2007). Image Segmentation by Fuzzy C-Means Clustering Algorithm with A Novel Penalty Term. Computing and Informatics. (Vol. 26, hal. 17–31). Yu-Hsiang Wang. (2009). Tutorial : Image Segmentation. Zheru Chi. et al. (1996) Fuzzy Algorithms : With Applications to Image Processing and Pattern Recognition. Singapore: World Scientific.


Segmentasi Citra dengan Menggunakan Modifikasi Robust Fuzzy C-Means

Recommend Documents