TEKNIK PENGINTEGRALAN • Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus, maka kita akan mendapatkan integral tak tentu dari fungsi-fungsi yang sudah kita ketahui TEKNIK PENGINTEGRALAN
– Beberapa yang telah kita ketahui adalah:
RUMUS INTEGRAL
RUMUS INTEGRAL
x n +1 ∫ x dx = n + 1 + C (n ≠ −1)
1 ∫ x dx = ln | x | +C
x x ∫ e dx = e + C
x ∫ a dx =
n
ax +C ln a
∫ sin x dx = − cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ sec
∫ csc dx = − cot x + C
2
dx = tan x + C
∫ sec x tan x dx = sec x + C
2
∫ csc x cot x dx = − csc x + C
1
RUMUS INTEGRAL ∫ sinh xdx = cosh x + C ∫ cosh xdx = sinh x + C ∫ tan xdx = ln | sec x | +C ∫x
2
1 1 x dx = tan−1 + C + a2 a a
∫ cot xdx = ln | sin x | +C ∫
1 a2 − x2
x dx = sin−1 + C a
TEKNIK PENGINTEGRALAN Integration by Parts (Pengintegralan Perbagian)
TEKNIK PENGINTEGRALAN • Aturan Integral Dasar • Integration by parts (Pengintegralan Perbagian) • Integral Fungsi Trigonometri • Substitusi Rasionalisasi • Integral Fungsi Rasional menggunakan Pecahan Parsial • Strategi Integrasi
TEKNIK PENGINTEGRALAN • Setiap aturan turunan pasti mempunyai aturan integral yang berhubungan – Contoh: Aturan Substitusi berhubungan dengan aturan rantai untuk turunan.
2
TEKNIK PENGINTEGRALAN • Aturan integrasi yang berhubungan dengan aturan kali para turunan adalahaturan pengintegralan perbagian.
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN • Penulisan integral tak tentu dari persamaan tsb menjadi
∫ [ f ( x) g '( x) + g ( x) f '( x)] dx = f ( x) g ( x) • atau
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN • Aturan Perkalian mengatakan, jika f dan g adalah fungsi yang bisa diturunkan, maka
d [ f ( x) g ( x)] = f ( x) g '( x) + g ( x) f '( x) dx
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN • Persamaan diatas bida kita atur kembali spt: Rumus 1
∫ f ( x) g '( x) dx = f ( x) g ( x) − ∫ g ( x) f '( x) dx
∫ f ( x) g '( x) dx + ∫ g ( x) f '( x) dx = f ( x) g ( x)
3
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Rumus 2
• Jika u = f(x) dan v = g(x).
• Shg, dgn aturan substitusi, maka rumus integral perbagian menjadi:
– Maka, turunannya adl:
∫ u dv = uv − ∫ v du
du = f’(x) dx and dv = g’(x) dx
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Contoh 1
Contoh 1
• Dapatkan ∫ x sin x dx – Misal f(x) = x dan g’(x) = sin x. – Maka, f’(x) = 1 dan g(x) = –cos x.
• Menggunakan rumus 1:
∫ x sin x dx = f ( x) g ( x) − ∫ g ( x) f '( x) dx = x (− cos x ) − ∫ (− cos x) dx = − x cos x + ∫ cos x dx = − x cos x + sin x + C – Coba turunkan fungsinya.
4
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
PERHATIKAN
Contoh 1, rumus 2
dv = sin x dx • Jika u = x • Maka, du = dx v = − cos x • Menggunakan rumus 2: v dv v du 47 4 8 }u 6 474 8 6 474 8} }u 6 x sin x dx = x sin x dx = x ( − cos x ) − ( − cos x ) dx ∫ ∫ ∫
• Tujuan kita menggunakan pengintegralan perbagian adl untuk mendapatkan bentuk integral yg sederhana, jadi jika bentuknya lebih rumit (sulit) untuk diselesaikan maka pengintegralan kurang benar.
= − x cos x + ∫ cos x dx = − x cos x + sin x + C
PERHATIKAN • Dari contoh 1 • Jika kita pilih u = sin x dan dv = x dx , maka du = cos x dx dan v = x2/2. • Jadi, pengintegralan perbagian menjadi:
∫ x sin x dx = (sin x )
x2 1 2 − x cos dx 2 2∫
– Walapun benar namun x2cos x dx lebih susah diintegalkan.
PERHATIKAN • Jadi, dalam memilih u dan dv, sehrsnya u = f(x) dipilih sdh sehingga menjadi fungsi yg lebih sederhana ketika diturunkan.
– Namun, pastikan juga bahwa dv = g’(x) dx bisa diintegralkan dengan mudah.
5
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Contoh 2
Contoh 2
• Dapatkan ∫ ln x dx u = ln x du =
∫ ln x dx = x ln x − ∫ x
dv = dx 1 dx x
= x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C
v=x
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Contoh 3
dx x
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Contoh 3
• Kita pilih
• Dapatkan ∫ t2etdt
u = t 2 dv = et dt
• maka,
du = 2t dt
v = et
• sehingga: – Dapatkan u
∫ t e dt = t e 2 t
– Dapatkan dv
2 t
− 2∫ tet dt
6
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Contoh 3
Contoh 3
• Kembalikan lagi
• Kali ini, kita pilih
∫ t e dt = t e 2 t
2 t
− 2 ∫ tet dt
= t 2 et − 2(tet − et + C )
u = t and dv = etdt
= t 2 et − 2tet − 2et + C1
– Maka, du = dt, v = et.
• dimana C1 = – 2C – Shg,
∫ te dt = te − ∫ e dt − te t
t
t
t
− et + C
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Contoh 4
• Dapatkan ∫ ex sinx dx
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Contoh 4
• Kita coba u = ex and dv = sin x
– ex tidak menjadi lebih sederhana ketika diturunkan.
– Maka, du = ex dx dan v = – cos x. – sin x juga tidak lebih sederhana ketika diturunkan.
7
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Contoh 4
• Shg, pengintegralan perbagiannya menjadi:
∫e
x
sin x dx = −e x cos x + ∫ e x cos x dx
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Contoh 4
• Integral mengandung, ∫ excos x dx, Tidak lebih sederhana atau lengkap diselesaikan. – Paling tidak, tidak menjadi lebih rumit. – Kita lakukan pengintegralan perbagian sekali lagi.
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Contoh 4
• Kita pilih u = ex and dv = cos x dx • Maka, du = ex dx, v = sin x, dan
∫e
x
cos x dx = e x sin x − ∫ e x sin x dx
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Contoh 4
• Kita kembalikan ke persamaan awal:
∫e
x
sin x dx = −e x cos x + e x sin x − ∫ e x sin x dx
– Kumpulkan bentuk yg sama kedalam satu ruas.
8
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Contoh 4
• Maka akan kita dapatkan:
2 ∫ e x sin x dx = −e x cos x + e x sin x
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI Bentuk Integral Trigonometri yang biasa kita temui
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Contoh 4
• Bagi dengan 2, maka:
∫e
x
sin x dx = 12 e x (sin x − cos x) + C
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI Ingat identitas fungsi trigonometri!!! sin 2 x = 2 sin x cos x cos 2 x = 2 cos cos tan
2
x − 1 = 1 − 2 sin
2
x + sin
2
x + 1 = sec 2 x
2
2
x = cos
2
x − sin
2
x
x =1
x + 1 = csc 2 x 1 cos 2 x = (1 + cos 2 x ) 2 1 2 sin x = (1 − cos 2 x ) 2 cot
2
9
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
∫ ∫ (cos x )cos xdx ∫ (1 − sin x )cos xdx
∫ sin ∫ (sin
u = sin x du = cos xdx
1 4 1 4
3
cos
xdx
2
2
2 ∫ 1 − u du
u3 sin 3 x u − = sin x − + C 3 3
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
∫ cos
2
∫
2
cos
x tan
2
sin x cos
xdx 2 2
∫ sin xdx ∫ 1 − cos 2 xdx
x x
2
x −
sin 2 x + C 2
=
dx
∫
1 4 3 8
4
xdx 2
x
1 − cos 2
∫ (1
)(sin
2
2 x
− 2 cos
)
x dx 2
dx
=
2 x + cos
∫ (1
1 4 2
− cos
)2
dx
)
2 x dx
1 cos 4 + 1 − 2 cos 2 x + 2 2 3 cos 4 x ∫ − 2 cos 2 x + 2 + 2 sin 2 x sin 4 x x − + + C 4 32
∫
2 x
x dx dx
CATATAN TTG INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI • Tidak ada aturan yang jelas tentang bentuk integral ini, namun, ingat: • 1) Jika ada campuran sinus dan cosinus, pecahkan shg menjadi bentuk integral yg lebih sederhana • 2) Gunakan idntitas fungsi trigonometri yang sesuai untuk membuat integrand lebih sederhana. • 3) Rubah semua dalam bentuk sinus dan cosinus.
10
