RUANG VEKTOR MATRIKS FUZZY

RUANG VEKTOR MATRIKS FUZZY Siti Robiatul Adawiyah1, Raden Sulaiman2 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, 60231 2 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, 60231 Email: [email protected], [email protected] 1

matriks fuzzy. Penjumlahan matriks fuzzy tidak seperti penjumlahan pada matriks pada umumnya. Misalkan A dan B adalah matriks fuzzy m x n, maka A  B didefinisikan sebagai maksimum dari elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks A dan matriks B. Sedangkan pada ruang vektor umum, penjumlahan vektor didefinisikan sebagai penjumlahan matriks dan perkalian skalar didefinisikan sebagai perkalian skalar matriks. Dari penjelasan mengenai perbedaan mengenai operasi penjumlahan dan perkalian pada ruang matriks umum dan matriks fuzzy tersebut, maka pada makalah ini akan dibahas tentang” Ruang Vektor Matriks Fuzzy”.

ABSTRAK Terdapat perbedaan antara operasi penjumlahan dan perkalian pada ruang vektor umum dan ruang vektor dari matriks fuzzy. Yang dimaksud dengan matriks fuzzy adalah matriks yang elemen-elemennya merupakan bilangan fuzzy, yakni bilangan antara 0 sampai 1. Semua matriks fuzzy merupakan matriks, namun sebarang matriks belum tentu matriks fuzzy. Pada ruang vektor fuzzy, operasi penjumlahan merupakan supremum dari elemenelemen pada matriks yang bersesuaian. Hal ini berbeda dengan penjumlahan pada ruang vektor umum. Dari perbedaan tersebut, maka penelitian ini bertujuan untuk mengetahui konsep ruang vektor matriks fuzzy pada ruang vektor matriks fuzzy dan diperkenalkan beberapa sifat pada ruang vektor matriks fuzzy. Berdasarkan pada pembuktian dari operasi penjumlahan dan perkalian dari matriks fuzzy, maka diperoleh kesimpulan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar matriks fuzzy maka merupakan ruang vektor fuzzy yang hanya memenuhi 9 teorema-teorema pada ruang vektor umum.

KAJIAN TEORI 2.1 Matrik Definisi 2.1.1 Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. (Howard Anton, 1987) Matriks disajikan sebagai berikut:  a11 a A   21     am1

a12



a22  am 2

  

a1n  a2 n    aij  , i  1, 2,, m    amn 

j  1, 2, , n

Kata kunci: operasi penjumlahan dan perkalian, matriks fuzzy, ruang vektor fuzzy, hasil kali dalam, norm .

Setiap matriks yang memiliki baris dan kolom sama disebut matriks persegi (square matrice).

PENDAHULUAN

Definisi 2.1.2 Misalkan

Pada tahun 2010 seorang ahli matematika memperkenalkan tentang ruang vektor fuzzy dari matriks fuzzy. Himpunan fuzzy merupakan himpunan yang anggota-anggotanya dalam selang interval [0,1]. Pada ruang vektor dari matriks fuzzy, penjumlahan vektor didefinisikan sebagai penjumlahan matriks fuzzy dan perkalian skalar vektor didefinisikan sebagai perkalian skalar

merupakan dua matriks berukuran 𝑚 × 𝑛. Jumlah matriks A dan B ditulis 𝐴 + 𝐵 adalah matriks berukuran m  n dengan elemennya merupakan jumlah elemen yang seletak dari kedua matriks, dengan A  B  (aij  bij ) Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak bisa ditambahkan. (Wono Setya Budhi,1995)

1

A  (aij ) dan

B  (bij )

Definisi 2.1.3 Jika B adalah sebarang matriks, maka −𝐵 akan menyatakan hasil kali −1 𝐵. Jika A dan B adalah dua matriks yang ukurannya sama, maka 𝐴 − 𝐵 didefinisikan dengan 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵) (Wono Setya Budhi,1995) Definisi 2.1.4 Jika A adalah sebuah matriks dan k adalah suatu skalar, maka hasil kali (product) kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing- masing elemen dari A oleh k . (Howard Anton, 1987) Definisi 2.1.5 Misalkan matriks 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 yang berukuran 𝑚 × 𝑝 dan matriks 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 yang berukuran 𝑟 × 𝑛. Hasil perkalian matriks C=AB terdefinisi jika 𝑝 = 𝑟 dan matriks 𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 berukuran 𝑚 × 𝑛 dengan elemen-elemen n

cij   aik bkj  ai1b1 j  ai 2b2 j    ainbnj , dengan k 1

i  1, 2,, m dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛. (Howard Anton, 1987)

2.2 Ruang Vektor Definisi 2.2.1 Misalkan V himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi jumlah dan perkalian skalar ( bilangan real) dengan anggota V . Artinya, diberikan dua elemen 𝒖 dan 𝒗 di V dan bilangan real s, kemudian jumlah 𝒖 + 𝒗 dan perkalian skalar 𝑠𝒖 didefinisikan dan terletak di V juga. Kemudian V dengan kedua operasi ini disebut ruang vektor jika kedua operasi tersebut memenuhi sifat: Untuk setiap 𝒖, 𝒗, 𝒘 ∈ 𝑉 dan 𝑘, 𝑙 ∈ 𝑅 1. Jika u dan v adalah vektor pada V, maka 𝒖+𝒗 ∈𝑉 2. 𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖 3. 𝒖 + 𝒗 + 𝒘 = 𝒖 + 𝒗 + 𝒘 4. ∃ 𝟎 ∈ 𝑉 ∋ 𝟎 + 𝒖 = 𝒖 + 𝟎 = 𝒖 5. ∀ 𝒖 ∈ 𝑉, ∃ − 𝒖 ∈ 𝑉 ∋ 𝒖 + −𝒖 = −𝒖 + 𝒖=𝟎 6. Jika k adalah sebarang skalar dan 𝒖 ∈ 𝑉, maka 𝑘𝒖 ∈ 𝑉 7. 𝑘 𝒖 + 𝒗 = 𝑘𝒖 + 𝑘𝒗 8. 𝑘 + 𝑙 𝒖 = 𝑘𝒖 + 𝑙𝒖 9. 𝑘 𝑙𝒖 = 𝑘𝑙 𝒖 10. 1𝒖 = 𝒖 (Wono Setya Budhi, 1995) Definisi 2.2.2 Misalkan V suatu ruang vektor real. Suatu hasil kali dalam di V adalah suatu pemetaan

dari 𝑉 × 𝑉 ke bilangan real, biasanya dilambangkan sebagai , yang memenuhi: , i. 𝒖, 𝒗 = 𝒗, 𝒖 untuk setiap 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑉. ii. 𝑘𝒖, 𝒗 = 𝑘 𝒖, 𝒗 untuk setiap 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑉 dan 𝑘 ∈ 𝑅. iii. 𝒖 + 𝒗, 𝒘 = 𝒖, 𝒘 + 𝒗, 𝒘 untuk setiap 𝒖, 𝒗, 𝒘 ∈ 𝑉. iv. 𝒖, 𝒖 ≥ 0 untuk setiap 𝒖 ∈ 𝑉 dan 𝒖, 𝒖 = 0 jika dan hanya jika 𝒖 = 0. (Wono Setya Budhi, 1995) Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam. Definisi 2.2.3 Suatu norm di sebuah ruang vektor real V adalah pemetaan dari V ke himpunan bilangan real, biasanya dilambangkan dengan  yang memenuhi, i. 𝑣 ≥ 0 untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑉, dan 𝑣 = 0 jika dan hanya jika 𝑣 = 0 ii. 𝑘𝑣 = 𝑘 ∙ 𝑣 untuk setiap skalar 𝑘 dan 𝑣 ∈ 𝑉 iii. 𝑢 + 𝑣 ≤ 𝑢 + 𝑣 untuk setiap 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉. (Howard Anton, 1987) Definisi 2.2.4 Jika 𝐹: 𝑉 → 𝑊 adalah sebuah pemetaan dari ruang vector V ke ruang vector W, maka F disebut transformasi linier (linear transformation) jika: a. F (u  v)  F  u   F  v  ,  u, v V b. 𝐹 𝑘𝑢 = 𝑘𝐹 𝑢 , ∀𝑢 ∈ 𝑉, ∀𝑘 ∈ 𝑅. (Howard Anton, 1987) Jika 𝑊 = 𝑉 maka 𝐹 disebut Operator Linier

2.3 Himpunan Definisi 2.3.1 Himpunan (himpunan klasik) adalah kumpulan objek yang terdefinisi dengan jelas. Artinya jika kita menunjuk suatu objek, maka dapat ditentukan apakah objek itu masuk pada kumpulan tersebut atau tidak. (Masriyah, 2007)

2.4 Himpunan Fuzzy Definisi 2.5.1 Misalkan X adalah himpunan semesta(himpunan klasik), himpunan fuzzy 𝐴 ≔ (𝑥, 𝑓 𝑥 : 𝑥 ∈ 𝑋) dengan 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 1. (Setiadji, 2009)

PEMBAHASAN

  ( A  B)  C     

3.1 Matriks Fuzzy Definisi  a11 a12  a a22  A   21       am1 am1  matriks orde m  n .

3.1.1 Misal a1n  a2 n  adalah , aij  R    amn  Jika aij  0,1 ,  i 1, 2,..., m dan j {1, 2,..., n} maka A disebut matriks fuzzy. (V. Kandasamy, 2007) Definisi 3.1.2 Misalkan Vm×n adalah himpunan semua matriks fuzzy m x n , untuk sebarang dua anggota 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 dan 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 ∈ 𝑉𝑚 ×𝑛 , 𝐴 + 𝐵 = 𝑠𝑢𝑝 𝑎𝑖𝑗 , 𝑏𝑖𝑗

i, j

1,2, … . , 𝑚 , 𝑗 ∈ 1,2, … . , 𝑛 .

(V. Kandasamy, 2007) Pada operasi penjumlahan matriks memenuhi beberapa sifat, a) Komutatif Misalkan Vm×n adalah himpunan semua matriks fuzzy m x n, untuk sebarang anggota A, B Vmxn maka A B  B  A

 sup{b11 , a11} sup{b12 , a12 }  sup{b , a } sup{b , a } 21 21 22 22       sup{bm1 , am1} sup{bm 2 , am 2 }

  

   

sup{a1n , b1n }  sup{a2 n , b2 n }     sup{amn , bmn }

sup{b1n , a1n }  sup{b2 n , a2 n }     sup{bmn , amn }

=𝐵+𝐴 ∎ Jadi pada operasi penjumlahan matriks fuzzy memenuhi sifat komutatif. b) Asosiatif Misalkan 𝑉𝑚 ×𝑛 adalah himpunan semua matriks fuzzy 𝑚 × 𝑛, untuk sebarang anggota 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 , 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ), 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗 ) ∈ 𝑉𝑚𝑥𝑛 , maka ( A  B)  C  A   B  C  , dimana ∀ aij , bij , cij [0,1] . Bukti:

sup{sup{a1n , b1n }, c1n } sup{sup{a2 n , b2 n }, c2 n }  sup{sup{amn , bmn }, cmn }

sup{a11 ,sup{b11 , c11}}

sup{a12 ,sup{b12 , c12 }} 

sup{a1n ,sup{b1n , c1n }}

sup{a21 ,sup{b21 , c21}}  sup{am1 ,sup{bm1 , cm1}}

sup{a22 ,sup{b22 , c22 }}    sup{am 2 ,sup{bm 2 , cm 2 }} 

sup{a2 n ,sup{b2 n , c2 n }}  sup{amn ,sup{bmn , cmn }}

     

     

=𝐴+ 𝐵+𝐶 ∎ Jadi pada operasi penjumlahan matriks fuzzy memenuhi sifat asosiatif. Definisi 3.1.3 Misalkan Vm×n adalah himpunan semua matriks fuzzy m x n , untuk sebarang anggota 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝑉𝑚𝑥𝑛 dan suatu skalar dimana aij [0,1] k [0,1], kA  (inf{k , a })    k , a  ij

ij

i, j

Pada perkalian skalar dua matriks berlaku sifat distributif 𝑘 𝐴 + 𝐵 = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵 Bukti pernyataan di atas adalah sebagai berikut: Misalkan Vm×n adalah himpunan semua matriks fuzzy m x n , untuk sebarang anggota dan suatu skalar A  (aij ), B  (bij ) Vmxn . k [0,1], kA  (inf{k , aij })    k , aij  dimana i, j

aij , bij [0,1]

Bukti: 

sup{sup{a12 , b12 }, c12 }  sup{sup{a22 , b22 }, c22 }    sup{sup{am 2 , bm 2 }, cm 2 } 

(S. Panayappan, 2010)

   aij , bij  ∀𝑖 ∈

 sup{a11 , b11} sup{a12 , b12 }  sup{a , b } sup{a , b } 21 21 22 22 A B        sup{am1 , bm1} sup{am 2 , bm 2 }

     

sup{sup{a11 , b11}, c11} sup{sup{a21 , b21}, c21}  sup{sup{am1 , bm1}, cm1}

Akan dibuktikan bahwa k  A  B   kA  kB Bukti:  inf{k , sup{a11 , b11}}  inf{k , sup{a , b }}

 

     inf{k , sup{am1 , bm1}} inf{k , sup{am 2 , bm 2 }}







inf{k , sup{amn , bmn }} 

21

21

 inf{k , (a11  b11 )} inf{k , (a12  b12 )}  inf{k , (a  b )} inf{k , (a  b )} 21 21 22 22       inf{k , (am1  bm1 )} inf{k , (am 2  bm 2 )}  {inf{k , a11}  inf{k , b11}} {inf{k , a12 }  inf{k , b12 }}  {inf{k , a }  inf{k , b }} {inf{k , a }  inf{k , b }} 21 21 22 22       {inf{k , am1}  inf{k , bm1}} {inf{k , am 2 }  inf{k , bm 2 }}

 inf{k , a11}  inf{k , a }

inf{k , a12 }



inf{k , a22 }



     inf{k , am1} inf{k , am 2 }





21

inf{k , sup{a1n , b1n }} 

inf{k , sup{a12 , b12 }} inf{k , sup{a22 , b22 }}

k  A  B  



inf{k , a1n } 

     

  

inf{k , ( a1n  b1n )} 

inf{k , ( a2 n  b2 n )} 

   inf{k , ( amn  bmn )}  

{inf{k , a1n }  inf{k , b1n }} 

{inf{k , a2 n }  inf{k , b2 n }} 

  







{inf{k , amn }  inf{k , bmn }} 

 inf{k , b11} inf{k , b12 }  inf{k , b } inf{k , b } 21 22         inf{k , amn }  inf{k , bm1} inf{k , bm 2 } inf{k , a2 n } 

inf{k , sup{a2 n , b2 n }} 

 

inf{k , b1n } 

inf{k , b2 n } 

  







inf{k , bmn }

= 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵 ∎ Jadi perkalian skalar dua matriks berlaku sifat distributi Definisi 3.1.4 Misalkan Vm×n adalah himpunan semua matriks fuzzy m x n, untuk sebarang dua anggota 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 dan 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 ∈ 𝑉𝑚𝑥𝑛 .

 



A  B  sup inf aik , bkj    (aik , bkj ) dimana

 inf{k ,inf{a11 , b11} inf{k ,inf{a12 , b12 }  inf{k ,inf{a , b } inf{k ,inf{a , b } 21 21 22 22  i, j      inf{k ,inf{am1 , bm1} inf{k ,inf{am 2 , bm 2 }

k

. aij , bij [0,1]

3.2 Ruang Vektor Matriks Fuzzy Definisi 3.2.1 Misalkan 𝑉𝑚 ×𝑛 adalah himpunan semua matriks fuzzy m n . A   aij  B   bij  dan C   cij  Vmn

𝐴 + 𝐵, 𝐶 =

   i, j   

𝐴, 𝐵 =  𝑎𝑖𝑗 ∧ 𝑏𝑖𝑗 … . (2). i, j

𝐴, 𝐵 = 𝐵, 𝐴 𝐴, 𝐵 =



 inf{b11 , a11} inf{b12 , a12 }  inf{b , a } inf{b , a } 21 21 22 22  i, j      inf{bm1 , am1} inf{bm 2 , am 2 }



=

i, j

      

inf{a1n , b1n }  inf{a2 n , b2 n }     inf{amn , bmn } inf{b1n , a1n }  inf{b2 n , a2 n }     inf{bmn , amn }

𝑏𝑖𝑗 ∧ 𝑎𝑖𝑗

= 𝐵, 𝐴

2.



𝑘𝐴, 𝐵 = 𝑘 𝐴, 𝐵 , 𝑘 ∈ 0,1 𝑘𝐴, 𝐵 =



i, j

𝑘𝑎𝑖𝑗 ∧ 𝑏𝑖𝑗

 inf{inf{k , a11}, b11}  inf{inf{k , a }, b } 21 21  i, j     inf{inf{k , am1}, bm1}

inf{inf{k , a12 }, b12 }



inf{inf{k , a22 }, b22 }  inf{inf{k , am 2 }, bm 2 }

  

inf{inf{k , a1n }, b1n ,}  inf{inf{k , a2 n }, b2 n ,}    inf{inf{k , amn }, bmn } 

𝑐𝑖𝑗 ∧ (𝑠𝑢𝑝{𝑎𝑖𝑗 , 𝑏𝑖𝑗 })

inf{c12 ,sup{a12 , b12 } 

inf{c1n ,sup{a1n , b1n }

inf{c22 ,sup{a22 , b22 }    inf{cm 2 ,sup{am 2 , bm 2 } 

inf{c2 n ,sup{a2 n , b2 n }  inf{cmn ,sup{amn , bmn }

   i, j   

sup  inf{c11 , a11},inf{c11 , b11} sup  inf{c21 , a21},inf{c21 , b21}  sup  inf{cm1 , am1},inf{cm1 , bm1}

   i, j   

inf{c11 , a11}  inf{c11 , b11} inf{c21 , a21}  inf{c21 , b21}  inf{cm1 , am1}  inf{cm1 , bm1}

=



i, j

𝑐𝑖𝑗 ∧ 𝑎𝑖𝑗 +

sup  inf{c12 , a12 },inf{c12 , b12 } sup  inf{c22 , a22 },inf{c22 , b22 }  sup  inf{cm 2 , am 2 },inf{cm 2 , bm 2 }



     

inf{c12 , a12 }  inf{c12 , b12 } 

inf{c1n , a1n }  inf{c1n , b1n }

inf{c22 , a22 }  inf{c22 , b22 }    inf{cm 2 , am 2 }  inf{cm 2 , bm 2 } 

inf{c2 n , a2 n }  inf{c2 n , b2 n }  inf{cmn , amn }  inf{cmn , bmn }

     



i, j

𝑐𝑖𝑗 ∧ 𝑏𝑖𝑗

𝑎𝑖𝑗 ∧ 𝑎𝑖𝑗

 min{a11 , a11} min{a12 , a12 }  min{a , a } min{a , a } 21 21 22 22  i, j      min{am1 , am1} min{am 2 , am 2 }



   

min{a1n , a1n }  min{a2 n , a2 n }     min{amn , amn }

𝐴, 𝐴 = 0 ⟹ 𝐴 = 0

 min{a11 , a11} min{a12 , a12 }  min{a , a } min{a , a } 21 21 22 22  i, j      min{am1 , am1} min{am 2 , am 2 }

   

min{a1n , a1n }  min{a2 n , a2 n }  0    min{amn , amn }

Sehingga diperoleh 𝑎 = 0, dengan kata lain vektor 𝐴 = 𝟎 ∎ 𝐴 = 0 ⟹ 𝐴, 𝐴 = 0 𝐴=0 Jika  0 0  0  , maka   0 A   0

0



 0

 

     

sup  inf{c1n , a1n },inf{c1n , b1n } sup  inf{c2 n , a2 n },inf{c2 n , b2 n }  sup  inf{cmn , amn },inf{cmn , bmn }

   

= 𝐴, 𝐶 + 𝐵, 𝐶 ∎ ∴ 𝐴 + 𝐵, 𝐶 = 𝐴, 𝐶 + 𝐵, 𝐶 4. 𝐴, 𝐴 = 0 ⇔ 𝐴 = 0



∎

inf{a1n , b1n }  inf{a2 n , b2 n }     inf{amn , bmn }

inf{c11 ,sup{a11 , b11}

i, j

 inf{a11 , b11} inf{a12 , b12 }  inf{a , b } inf{a , b } 21 21 22 22  i, j      inf{am1 , bm1} inf{am 2 , bm 2 }

  

inf{c21 ,sup{a21 , b21}  inf{cm1 ,sup{am1 , bm1}

𝐴, 𝐴 =

𝑎𝑖𝑗 ∧ 𝑏𝑖𝑗

ij



i, j

Definisi 3.2.2 Hasil kali dalam antara dua elemen 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 dan 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 ∈ 𝑉𝑚𝑥𝑛 didefinisikan sebagai

Operasi ini memenuhi beberapa kondisi berikut, 1. 𝐴, 𝐵 = 𝐵, 𝐴 2. 𝑘𝐴, 𝐵 = 𝑘 𝐴, 𝐵 , 𝑘 ∈ 0,1 3. 𝐴 + 𝐵, 𝐶 = 𝐴, 𝐶 + 𝐵, 𝐶 , 𝐶 ∈ 𝑉𝑚 ×𝑛 4. 𝐴, 𝐴 = 0 jika dan hanya jika 𝐴 = 0. (S. Panayappan, 2007) Bukti :



= 𝑘 𝐴, 𝐵 ∎ 𝐴 + 𝐵, 𝐶 = 𝐴, 𝐶 + 𝐵, 𝐶 , 𝐶 ∈ 𝑉𝑚 ×𝑛

3.

Ruang vektor matriks fuzzy adalah sistem yang terdiri dari himpunan matriks fuzzy Vm×n dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar matriks fuzzy dengan skalar k ∈ [0, 1]. (S. Panayappan, 2010)

1.

  

 inf{a11 , b11} inf{a12 , b12 }  inf{a , b } inf{a , b } 21 21 22 22 k i, j      inf{am1 , bm1} inf{am 2 , bm 2 }

(V. Kandasamy, 2007)

inf{k ,inf{a1n , b1n }  inf{k ,inf{a2 n , b2 n }     inf{k ,inf{amn , bmn }



0   0

Sehingga diperoleh 𝐴, 𝐴 = 0

Berdasar pembuktian dari dua sisi maka 𝐴, 𝐴 = 0  𝐴 = 0 ∎. Vmxn bersama hasil kali dalam pada persamaan 2 disebut ruang hasil kali dalam fuzzy. Definisi 3.2.3 Norm untuk setiap elemen 𝐴 ∈ 𝑉𝑚 ×𝑛 didefinisikan sebagai 𝐴 = 𝐴, 𝐴 … . . (3). Operasi pada persamaan 3 memenuhi beberapa kondisi berikut i. 0 ≤ 𝐴 ≤ 1, 𝐴 = 0 ⇔ 𝐴 = 0 ii. 𝑘𝐴 = 𝑘 𝐴 , 𝑘 ∈ [0,1] iii. 𝐴 + 𝐵 ≤ 𝐴 + 𝐵 . (S. Panayappan, 2007) Bukti: i. 0 ≤ 𝐴 ≤ 1, 𝐴 = 0  𝐴 = 0  𝐴 =0⟹𝐴=0 𝐴 =0 𝐴, 𝐴 = 0

 (𝑎𝑖𝑗 ∧ 𝑎𝑖𝑗 ) = 0

i, j

 inf{a11 , a11} inf{a12 , a12 }  inf{a , a } inf{a , a } 21 21 22 22  i, j      inf{am1 , am1} inf{am 2 , am 2 }

 a11 a   21     am1



inf{a1n , a1n }  inf{a2 n , a2 n }     inf{amn , amn }

   

a1n  a22  a2 n  0      am 2  amn  𝐴=𝟎 𝐴=0⟹ 𝐴 =0 𝐴=0 

a12

0 0 A   0

0 0

 

 0

 

∎

0 0    0

𝐴 = 𝐴, 𝐴 =  (𝑎𝑖𝑗 ∧ 𝑎𝑖𝑗 ) i, j

 inf{a11 , a11} inf{a12 , a12 }  inf{a , a } inf{a , a } 21 21 22 22  i, j      inf{am1 , am1} inf{am 2 , am 2 }  a11 a   21     am1

0 0    0

ii

a12



a22  am 2

  

0 0

 

 0

 

a1n  a2 n     amn 

0 0    0

𝐴 =𝟎 ∎ 𝑘𝐴 = 𝑘 𝐴 , 𝑘 ∈ [0,1] 𝑘𝐴 = 𝑘𝐴, 𝑘𝐴

   

inf{a1n , a1n }  inf{a2 n , a2 n }     inf{amn , amn }

=

 (𝑘𝑎𝑖𝑗 ∧ 𝑘𝑎𝑖𝑗 )

i, j

=

 (𝑘𝑎𝑖𝑗 )

i, j

iii

= 𝑘𝑎𝑖𝑗 = 𝑘 𝐴, 𝐴 =𝑘 𝐴 𝑘𝐴 = 𝑘 𝐴 ∎ 𝐴+𝐵 ≤ 𝐴 + 𝐵 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 + 𝐵, 𝐴 + 𝐵 =

 ((𝑎𝑖𝑗 ⋁𝑏𝑖𝑗 )⋀ (𝑎𝑖𝑗 ⋁𝑏𝑖𝑗 ))

i, j

≤

 (𝑎𝑖𝑗 ⋁𝑏𝑖𝑗 )

i, j

=

 (𝑎𝑖𝑗 )⋁  (𝑏𝑖𝑗 )

i, j

i, j

= 𝐴, 𝐴 + 𝐵, 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 𝐴+𝐵 ≤ 𝐴 + 𝐵

∎

Vmxn dengan norm diatas disebut ruang vektor fuzzy bernorm. Definisi 3.2.4 Misal Vmxn sebuah ruang vektor fuzzy bernorm dari matriks fuzzy. Pemetaan T dari Vmxn pada dirinya sendiri disebut operator linier fuzzy jika untuk setiap 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑉𝑚 ×𝑛 dan 𝑘 ∈ [0,1] memenuhi: i. 𝑇 𝐴 + 𝐵 = 𝑇 𝐴 + 𝑇(𝐵) ii. 𝑇 𝑘𝐴 = 𝑘𝑇(𝐴) (S. Panayappan, 2007) Proposisi 3.1 Misalkan Vmxn sebuah ruang vektor fuzzy bernorm. Maka 𝐿(𝑉𝑚𝑥𝑛 ) himpunan semua operator linier yang memetakan Vmxn ke dirinya merupakan ruang vektor fuzzy dengan penjumlahan serta perkalian fuzzynya didefinisikan sebagai berikut (i) 𝑇1 + 𝑇2 𝐴 = 𝑇1 𝐴 + 𝑇2 (𝐴) (ii) 𝛼𝑇1 𝐴 = 𝛼𝑇1 𝐴 Untuk setiap 𝑇1 , 𝑇2 ∈ 𝐿(𝑉𝑚𝑥𝑛 ), 𝐴 ∈ 𝑉𝑚𝑥𝑛 dan 𝛼 ∈ [0,1] Dibawah ini akan ditunjukkan bahwa 𝐿(𝑉𝑚𝑥𝑛 ) merupakan ruang vektor fuzzy, 1. Operasi penjumlahan bersifat tertutup Jika 𝑇1 , 𝑇2 ∈ 𝐿(𝑉𝑚𝑥𝑛 ) dan 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑉𝑚𝑥𝑛 maka (𝑇1 + 𝑇2 ) ∈ 𝐿(𝑉𝑚𝑥𝑛 ). Bukti: Untuk menunjukkan bahwa (𝑇1 + 𝑇2 ) ∈ 𝐿(𝑉𝑚𝑥𝑛 ) maka harus memenuhi dua sifat berikut,  (𝑇1 + 𝑇2 ) 𝐴 + 𝐵 = (𝑇1 + 𝑇2 ) 𝐴 + (𝑇1 + 𝑇2 )(𝐵) (𝑇1 + 𝑇2 ) 𝐴 + 𝐵 = 𝑇1 𝐴 + 𝐵 + 𝑇2 (𝐴 + 𝐵) = 𝑇1 𝐴 + 𝑇1 𝐵 + 𝑇2 𝐴 + 𝑇2 (𝐵)

= (𝑇1 + 𝑇2 ) 𝐴 + (𝑇1 + 𝑇2 ) 𝐵 ∎ (𝑇1 + 𝑇2 ) 𝑘𝐴 = 𝑘(𝑇1 + 𝑇2 )(𝐴) (𝑇1 + 𝑇2 ) 𝑘𝐴 = (𝑇1 ) 𝑘𝐴 + 𝑇2 (𝑘𝐴) = 𝑘𝑇1 𝐴 + 𝑘𝑇2 (𝐴) = 𝑘(𝑇1 + 𝑇2 ) 𝐴 ∎ Karena dua sifat diatas terpenuhi maka (𝑇1 + 𝑇2 ) ∈ 𝐿(𝑉𝑚𝑥𝑛 ) 2. Operasi penjumlahan besifat komutatif Jika 𝑇1 , 𝑇2 ∈ 𝐿(𝑉𝑚𝑥𝑛 ),dan 𝐴 ∈ 𝑉𝑚𝑥𝑛 maka, (𝑇1 + 𝑇2 ) 𝐴 = (𝑇2 + 𝑇1 )(𝐴). Bukti: (𝑇1 + 𝑇2 ) 𝐴 = 𝑇1 (𝐴) + 𝑇2 𝐴 𝑇2 𝐴 + 𝑇1 (𝐴) = (𝑇2 + 𝑇1 ) 𝐴 ∎ 3. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif Jika 𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 ∈ 𝐿(𝑉𝑚𝑥𝑛 ),dan 𝐴 ∈ 𝑉𝑚𝑥𝑛 maka, 𝑇1 𝐴 + 𝑇2 + 𝑇3 𝐴 = (𝑇1 + 𝑇2 ) 𝐴 + (𝑇3 ) 𝐴 . Bukti: 𝑇1 𝐴 + 𝑇2 + 𝑇3 𝐴 = 𝑇1 𝐴 + 𝑇2 𝐴 + 𝑇3 (𝐴) = 𝑇1 𝐴 + 𝑇2 𝐴 + 𝑇3 (𝐴) = 𝑇1 𝐴 + 𝑇2 𝐴 + 𝑇3 (𝐴) = (𝑇1 + 𝑇2 ) 𝐴 + 𝑇3 𝐴 ∎ 

4. Sifat identitas Ada 0 dalam

L(Vmxn ) , 0  T ( A)  T ( A)  0  T ( A) T ( A)  L(Vmxn ).

sedemikian

hingga

untuk

semua

Bukti: 0+𝑇 𝐴 =𝑇 𝐴 +0 =𝑇 𝐴 ∎ 5. Sifat invers Tidak terpenuhi. 6. Perkalian skalar bersifat tertutup Jika 𝑇1 ∈ 𝐿(𝑉𝑚𝑥𝑛 ) , 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑉𝑚𝑥𝑛 dan 𝛼 ∈ [0,1] maka 𝛼𝑇1 ∈ 𝐿(𝑉𝑚𝑥𝑛 ). Bukti: Untuk menunjukkan bahwa 𝛼𝑇1 ∈ 𝐿(𝑉𝑚𝑥𝑛 ) maka harus memenuhi dua sifat berikut,  𝛼𝑇1 𝐴 + 𝐵 = 𝛼𝑇1 𝐴 + 𝛼𝑇1 (𝐵) 𝛼𝑇1 𝐴 + 𝐵 = 𝛼 𝑇1 𝐴 + 𝑇1 (𝐵) = 𝛼𝑇1 𝐴 + 𝛼𝑇1 𝐵 ∎  𝛼𝑇1 𝑘𝐴 = 𝑘(𝛼𝑇1 (𝐴)) 𝛼𝑇1 𝑘𝐴 = 𝛼(𝑘𝑇1 𝐴 ) = 𝛼𝑘𝑇1 𝐴 = 𝑘𝛼𝑇1 𝐴 = 𝑘 𝛼𝑇1 𝐴 ∎ Karena dua sifat diatas terpenuhi maka 𝛼𝑇1 ∈ 𝐿(𝑉𝑚𝑥𝑛 ) 7. Perkalian skalar bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan Jika 𝑇1 , 𝑇2 ∈ 𝐿(𝑉𝑚𝑥𝑛 ) , 𝐴 ∈ 𝑉𝑚𝑥𝑛 dan 𝛼 ∈ [0,1] maka 𝛼(𝑇1 + 𝑇2 ) 𝐴 = 𝛼𝑇1 𝐴 + 𝛼𝑇2 𝐴

Bukti: 𝛼(𝑇1 + 𝑇2 ) 𝐴 = 𝛼(𝑇1 𝐴 + 𝑇2 𝐴 ) = 𝛼𝑇1 𝐴 + 𝛼𝑇2 𝐴 ∎ 8. Perkalian skalar bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan Jika 𝑇1 ∈ 𝐿(𝑉𝑚𝑥𝑛 ) , 𝐴 ∈ 𝑉𝑚𝑥𝑛 dan 𝛼, 𝛽 ∈ [0,1] maka 𝛼 + 𝛽 𝑇1 𝐴 = 𝛼𝑇1 𝐴 + 𝛽𝑇1 𝐴 Bukti: 𝛼 + 𝛽 𝑇1 𝐴 = (𝛼𝑇1 + 𝛽𝑇1 )(𝐴) = 𝛼𝑇1 𝐴 + 𝛽𝑇1 𝐴 ∎ 9. Perkalian skalar bersifat assosiatif Jika 𝑇1 ∈ 𝐿(𝑉𝑚𝑥𝑛 ) , 𝐴 ∈ 𝑉𝑚𝑥𝑛 dan 𝛼, 𝛽 ∈ [0,1] maka 𝛼(𝛽𝑇1 (𝐴)) = (𝛼𝛽)𝑇1 𝐴 Bukti: 𝛼(𝛽𝑇1 (𝐴)) = 𝛼𝛽(𝑇1 𝐴 ) = (𝛼𝛽)𝑇1 𝐴 ∎ 10. Perkalian dengan skalar 1 Jika 𝑇1 ∈ 𝐿(𝑉𝑚𝑥𝑛 ) , 𝐴 ∈ 𝑉𝑚𝑥𝑛 dan 1 ∈ [0,1] maka 1𝑇1 𝐴 = 𝑇1 𝐴 Bukti: 1𝑇1 𝐴 = 𝑇1 1 ∙ 𝐴 = 𝑇1 𝐴 ∎ Berdasarkan definisi ruang vektor 2.2.1, sifat invers tidak terpenuhi karena batasan skalar. Maka 𝐿(𝑉𝑚𝑥𝑛 ) himpunan semua operator linier yang memetakan Vmxn ke dirinya merupakan ruang vector fuzzy. Berdasar proposisi 3.1 maka ada beberapa sifat-sifat berikut : (i) 𝛼𝛽 𝑇1 = 𝛼(𝛽𝑇1 ) (sifat asosiatif pada perkalian skalar) (ii) 𝛼 + 𝛽 𝑇1 = 𝛼𝑇1 + 𝛽𝑇1 (sifat distributif pada perkalian skalar) (iii) 𝛼 𝑇1 + 𝑇2 = 𝛼𝑇1 + 𝛼𝑇2 (sifat distributif pada perkalian skalar) (iv) 𝑇1 + 0 = 𝑇1 (sifat identitas) SIMPULAN Kesimpulan yang diperoleh dari makalah ini yaitu bahwa operasi penjumlahan dan perkalian skalar matriks fuzzy dengan skalar k ∈ [0, 1] membentuk ruang vektor fuzzy yang hanya memenuhi 9 teorema ruang vektor umum. SARAN Dalam skripsi ini hanya dibahas konsep ruang vector matriks fuzzy. Oleh karena itu, penulis memberikan saran kepada pembaca yang tertarik pada permasalahan ini untuk menjelaskan tentang operator linier pada ruang vector matriks fuzzy.

DAFTAR PUSTAKA [1] Anton, Howard. 1987. Aljabar Linier Elementer, diterjemahkan oleh: Pantur Silaban, Ph. D. dan Drs. I. Nyoman Susila, M. Sc.. Jakarta: Erlangga. [2] Anton, H., dan Rorres, C., 2004, Aljabar Linier Elementer. Edisi kedelapan, jilid 1. Jakarta: Erlangga [3] Arifin, Achmad. 2001. Aljabar Linier. Edisi kedua. Bandung: ITB [4] Budhi W. Setya. 1995. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. [5] Kandasami, W. B. Vasantha, Smarandache, F., dan Ilanthenral, K.. 2007. Elementary Fuzzy Matrix Theory And Fuzzy Models For Social Scientists. (online). (http://www.lib.umi.com/. Diakses tanggal 06 September 2012, jam 13.00 WIB). [6] Masriyah. 2007. Pengantar Dasar Matematika. Surabaya: Unesa Press. [7] Panayappan, S.. 2010. Fuzzy Linier Operator on Vektor Spaces of Fuzzy Matrices. (online). (http://www.m-hikari.com. Diakses tanggal 13 Oktober 2012, jam 21.00 WIB) [8] Setiadji. 2009. Himpunan dan Logika Samar Serta Aplikasinya. Yogyakarta: Graha Ilmu.