Ring Bersih Kanan Right Clean Rings

Ring Bersih Kanan Right Clean Rings Cyrenia Novella Krisnamurti Program Studi Pendidikan Matematika FKIP USD Kampus III Paingan, Maguwoharjo,Sleman, [email protected]

ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk mengenal , memahami dan menunjukkan bahwa sifatsifat pada ring bersih berlaku untuk ring bersih kanan. Ring bersih kanan merupakan perluasan dari suatu ring bersih. Sifat-sifat dalam ring bersih berlaku juga pada ring bersih kanan. Penelitian ini merupakan penelitian studi pustaka. Hal-hal yang akan dibahas untuk mendukung tentang sifat-sifat ring bersih kanan sebelumnya akan dibahas tentang dekomposisi Pierce dan matrik yang diperumum, mempelajari tentang ring bersih dan sifatsifat ring bersih kanan. Penelitian ini menghasilkan beberapa hal yaitu : Setiap ring yang dibangun dari elemen-elemen idempoten adalah ring bersih kanan jika hanya jika ring utamanya merupakan ring bersih kanan, setiap ring yang merupakan gabungan himpunan semua elemen unit kiri, himpunan semua elemen unit kanan dan himpunan semua elemen nilpoten merupakan ring bersih kanan dan ring bersih kiri, setiap ring matriks atas ring bersih kanan merupakan ring bersih kanan. Kata kunci : idempotent orthogonal lengkap, unit kanan, nilpotent, ring bersih kanan.

ABSTRACT

This study aims to recognize, understand and demonstrate that the properties of the clean able to right clean rings. Right clean ring are explained clean rings. The properties of the clean rings also can be able to right clean rings. This research based to study literature. T hings that will be discussed for support of the properties right clean rings before will be discussed on Pierce decomposition and generalized matrix, learn about the ring clean and properties of right clean rings. The study produced several things: Each ring is constructed from elements idempotent are right clean rings if only if the ring is primarily right clean rings, each ring which is a combined set of all elements of the left unit, the set of all elements of the right unit and the set of all elements nilpotent a right clean ring and left clean ring, each ring matrix over right clean ring is right clean ring. Key words : orthogonal idempotenst , right unit, nilpotent,right clean rings.

1

Pendahuluan Ring merupakan struktur aljabar yang terhadap operasi penjumlahan merupakan grup abelian, terhadap operasi perkalian merupakan semigrup serta terhadap operasi perkalian

dan

penjumlahan

bersifat

distributif. Secara umum, dalam tulisan ini ring yang digunakan merupakan ring yang mempunyai elemen satuan.

Ring dengan

elemen satuan mempunyai elemen-elemen istimewa di antaranya elemen idempoten dan elemen unit.

Pada umumnya tidak semua ring mempunyai elemen unit dua sisi.

adalah ring yang mempunyai elemen unit satu sisi, elemen yang dapat dinyatakan sebagai

jumlah

sisi(kanan/kiri)

elemen

dan

elemen

elemen disebut elemen bersih jika elemen

unit

satu

idempoten

disebut elemen bersih kanan/kiri. Suatu ring yang elemen-elemennya merupakan elemen bersih satu sisi (kanan/kiri) disebut ring bersih satu sisi. Definisi dan sifat-sifat dari ring

bersih

satu

sisi

dikenalkan oleh

Călugăreanu pada tahun 2010.

Pada ring dengan elemen satuan, suatu

Jika R

Demikian

juga untuk modul juga terdapat modul yang bersifat bersih satu sisi.

tersebut merupakan hasil dari penjumlahan dari elemen idempoten dan elemen unit.

Metode Penelitian

Contoh dari elemen bersih adalah elemen 0

Penelitian ini dilakukan dengan studi

pada ring 6 karena 0  1  5 dimana 1

literatur dari beberapa buku dan artikel

adalah elemen idempoten dari ring 6 dan

ilmiah yang berhubungan dengan ring , ring bersih dan ring bersih kanan.

5 adalah elemen unit di ring  6 .

langkah penelitian yang dilakukan sebagai

Secara umum, ring R disebut ring bersih jika untuk setiap r  R

berlaku

berikut : 1.

r  e  u , untuk suatu elemen idempoten e dan elemen unit u. Contoh dari ring bersih

6

dapat

dinyatakan

sebagai

penjumlahan dari elemen idempoten dan elemen unit.

Mempelajari

tentang

dekomposisi

Pierce dan matriks yang diperumum. 2.

adalah ring 6 , karena setiap elemen dari ring

Langkah-

Mempelajari tentang ring bersih dan sifat-sifat yang berlaku pada ring bersih.

3.

Mempelajari tentang ring bersih kanan dan sifat-sifat yang berlaku pada ring bersih kanan.

2

Hasil dan Pembahasan

a  Id  R  , sehingga   r     uR  aR  .

Ring bersih kanan adalah kejadian yang lebih umum dari ring bersih. Berikut definisi dari ring bersih kanan. Definisi 1 (Călugăreanu, 2010) Diberikan

Karena



adalah

homomorfisma

diperoleh

  u R  aR     u R     a R 

ring R. Ring R disebut ring bersih kanan

Akan ditunjukkan bahwa   r   uS  aS

apabila setiap elemen dari ring tersebut

dengan uS U r  S  dan a  Id  S  .

dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari suatu elemen idempoten dan suatu elemen

a. Im   memuat elemen unit. Karena  adalah epimorfisma dan

unit kanan di R. Selanjutnya himpunan semua unit

uR  R dan R adalah ring dengan

kanan dari suatu ring dinotasikan U r  R  .

elemen satuan maka jelas bahwa

Berikut diberikan suatu sifat dari ring bersih

  u R   uS .

kanan.

memuat elemen unit di S.

Lemma 2 (Călugăreanu,2010) Diketahui R dan S adalah ring bersih kanan. pemetaan

 :RS

Sehingga

Im  S 

b. Im   memuat elemen idempotent.

Jika

Karena R adalah ring bersih kanan

suatu epimorfisma

berarti R memuat elemen idempotent.

maka Im    S adalah ring bersih kanan.

Diambil

1. Diketahui R adalah ring bersih kanan.

elemen idempotent di R sehingga

Hasil kali

 R merupakan ring bersih i

sebarang

aR  aR .aR .

Karena

aR  R



adalah

adalah

kanan jika dan hanya jika Ri adalah

homomorfisma ring, sehingga

ring bersih kanan untuk setiap i  I .

  aR     aR .aR     aR  .  aR  Karena

Bukti : 1. Diambil sebarang

x  Im   .

Oleh

karena itu terdapat pemetaan  : R  S suatu epimorfisma sehingga   r   x . Karena R adalah ring bersih kanan maka

r  uR  aR dengan

u R U r  R 

dan

  aR   aS maka diperoleh

bahwa aS  aS .aS . Sehingga Im  S  memuat elemen idempotent di S. Dari a dan b maka

  r     u R  aR 

  r     u R     aR 

2

  r   uS  aS .

2.

  Akan ditunjukkan jika Ri ring

b.

Sehingga Im    S adalah ring bersih

bersih kanan untuk setiap i  I maka

kanan.

R

i

 R adalah ring bersih kanan i

jika dan

adalah ring bersih kanan .

Diambil sebarang barisan

 ri iI

hanya jika Ri adalah ring bersih kanan

dengan ri  Ri .

untuk setiap i  I .

bahwa Ri adalah ring bersih kanan

a.

  Akan ditunjukkan jika

Karena diketahui

R

maka ri  ui  ai dengan ui  U r  Ri 

adalah ring bersih kanan maka Ri

adalah dan ai  Id  Ri  . Dilain pihak

i

adalah ring bersih kanan untuk setiap

 ri iI   ui  ai iI

iI .

 R   r  i

dapat

I

penjumlahan pada sistem barisan

dengan ri  R atau

diperoleh  ri iI   ui iI   ai iI .

 Ri   r I

dinyatakan

menurut definisi

Sehingga

diperoleh

adalah ring bersih kanan sehingga

 r I   u I   a I

dimana

u U r  R  dan a  Id  R 

 r I   u I   a I

ring bersih kanan. Dari a dan b terbukti.

Berikut

diberikan

yang

kanan. definisi

Teorema 3 (Călugăreanu, 2010) Diberikan

sistem barisan ring A, B , bimodul

diperoleh dimana u U r  R 

ring bersih kanan.

teorema

ring bersih kanan merupakan ring bersih

menggunakan

dan a  Id  R  .



menjelaskan tentang ring yang dibangun oleh

 r I   u  a I

r  u  a

adalah

menurut

barisan diperoleh

persamaan dalam

i

Dari 1 dan 2 Lemma terbukti.

definisi penjumlahan pada system

Dengan

R

Maka Ri adalah

A

A C CB dan R     0 B

dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada matriks. Ring R adalah ring bersih kanan jika dan hanya jika ring A dan B adalah ring bersih kanan. Bukti : 3

A C 1.   Akan ditunjukkan jika R     0 B

adalah ring bersih kanan maka ring A

 a c   f   1 1    a1   0 b1  

,

karena

a1  a2 maka diperoleh

dan B adalah ring bersih kanan. Dibentuk suatu pemetaan f dari R ke A yang didefiniskan

f : R  A dengan

 a c   definisi pemetaan f      a , dan  0 b  g

dari R ke B yang didefiniskan

g:RB

dengan definisi pemetaan

 a c   g    b dengan a  A, b  B dan 0 b   

c  C . Untuk menunjukkan bahwa ring

 a c   f   1 1    a2   0 b1  

 a c    a c   f  1 1  f  2 2  .   0 b1     0 b2  

f  A1   f  A2  . ii. Akan

membuktikan

bahwa

f,

g

merupakan epimorfisma. a. Akan ditunjukkan f

epimorfisma

yaitu

A1 , A2  R

Diambil

sebarang

berarti

a c  A1   1 1   0 b1 

a A2   2 0

,

dan

c2  dengan a1 ,a2  A b2 

b1 ,b2  B

dan

c1 ,c2  C .

Diperhatikan bahwa,

i. Akan ditunjukkan f

terdefinisi

dengan baik. Diambil sebarang A1 , A2  R .

f

homomorfisma

A dan B adalah ring bersih kanan cukup dengan

ditunjukkan

Hal

ini

 a c  a f  A1  A2   f   1 1    2   0 b1   0

c2    b2  

berarti

a c  a A1   1 1  dan A2   2  0 b1  0

c2  b2 

 a  a f  A1  A2   f   1 2  0

c1  c2    b1  b2  

dengan a1 ,a2  A , b1 ,b2  B dan

c1 ,c2  C

dengan

A1  A2 .

Menurut kesamaan 2 matriks maka a1  a2 , b1  b2 dan c1  c2 .

f  A1  A2   a1  a2  a c   f  A1  A2   f   1 1      0 b1  

 a f  2  0

f  A1  A2   f  A1   f  A2  .

4

c2    b2  

Selanjutnya, diambil sebarang

A dan A1  R .

Hal ini

a c  A1   1 1  dengan  0 b1 

berarti

a1  A

,

b1  B

c1  C .

,

Diperhatikan bahwa,

 a c   g   1 1    b1   0 b1  

,

karena

b1  b2 maka diperoleh  a c   g   1 1    b2   0 b1  

f  .A1    . f  A1  . iii. Akan ditunjukkan f surjektif. Diambil sebarang a1  A menurut f :R A

a1  A

Menurut kesamaan 2

c1  c2 .

 a c   f  .A1    . f   1 1     0 b1  

terdapat

c2  dengan a1 ,a2  A , b2 

matrik maka a1  a2 , b1  b2 dan

f  .A1    .a1

maka

a B2   2 0

B1  B2 .

  .a  .c1   f  .A1   f   1    0  .b1  

pemetaan

a c  Hal ini berarti B1   1 1  dan  0 b1 

b1 ,b2  B dan c1 ,c2  C dengan

 a c   f  .A1   f   .  1 1     0 b1  

definisi

Diambil sebarang B1 ,B2  R .

yang

 a c    a g  1 1  g   2   0 b1    0

c2   . b2  

g  B1   g  B2  . ii. Akan

ditunjukkan

g

a c  mengakibatkan A1   1 1   R  0 b1 

homomorfisma

untuk suatu b1  B dan c1  C

a c  Hal ini berarti B1   1 1  dan  0 b1 

sehingga f  A1   a1 .

Diambil sebarang B1 ,B2  R .

Dari i, ii, dan iii diperoleh bahwa f

a B2   2 0

epimorfisma.

,

Jadi terbukti bahwa f surjektif.

b. Akan ditunjukkan g epimorfisma

c2  dengan a1 ,a2  A b2 

b1 ,b2  B

dan

c1 ,c2  C .

Diperhatikan bahwa

i. Akan ditunjukkan g terdefinisi dengan baik. 5

 a c  a g  B1  B2   g   1 1    2   0 b1   0  a  a g  B1  B2   g   1 2  0

maka terdapat terdapat b1  B

c2    b2  

yang

mengakibatkan

a c  B1   1 1   R  0 b1 

c1  c2    b1  b2  

a1  A

dan

untuk

c1  C

suatu

sehingga

sedemikian sehingga g  B1   b1 .

g  B1  B2   b1  b2  a c    a g  B1  B2   g   1 1    g   2   0 b1    0

g  B1  B2   g  A1   g  A2  .

c2    b2  

Jadi terbukti bahwa g surjektif. Dari i, ii, dan iii diperoleh bahwa g epimorfisma Jadi f dan g epimorfirma. Jelas bahwa A dan B adalah ring bersih kanan.

Selanjutnya

B

diambil

sebarang

B1  R

berarti

dan

2.   Akan ditunjukkan berlaku jika ring A dan B adalah ring bersih kanan maka

a c  B1   1 1  dengan a1  A ,  0 b1 

b1  B , c1  C . Diperhatikan bahwa,

 a c   g   .B1   g   .  1 1     0 b1      .a g   .B1   g   1  0

 .c1     .b1  

A C R  adalah ring bersih kanan.  0 B

Diambil

sebarang

rR.

Karena

A C a c  maka r   R   untuk  0 B  0 b

suatu a  A , b  B , c  C . Karena A dan B adalah ring bersih kanan. Hal ini berarti a  u A  eA dengan u A U r  A  ,

g   .B1    .b1

eA  Id  A 

dan b  uB  eB dengan

 a c   g   .B1    .g   1 1     0 b1  

u B U r  B  ,

eB  Id  B  .

g   .B1    .g  B1  .

Diambil sebarang b1  B menurut pemetaan

berarti

terdapat

vA  A

sedemikian hingga u A .vA  1A dan karena

iii. Akan ditunjukkan g surjektif

definisi

u A U r  A 

Karena

g:RB

u B U r  B  sedemikian

berarti

terdapat

hingga

vB  B

uB .vB  1B .

Perhatikan bahwa, 6

a c  r   0 b u  e r A A  0 u r A 0

s vR   x c

c   eA  uB   0

Selanjutnya, u A 0 

u A 0 

 u B  eB 

bahwa

c merupakan elemen unit kanan u B  0C  merupakan elemen eB 

idempotent di R. i.

c  s . u B   x

sehingga t  1 0  y  0 1 

u A .s  c.x u A .t  c.y  1 0    u .x u B .y  0 1  B 

0C  . eB 

ditunjukkan

e di R dan  A 0

t y 

Diperhatikan bahwa,

Menurut kesamaan 2 matriks maka diperoleh

u A .s  c.x  1

... (i)

uB .x  0

…(ii)

u A .t  c.y  0

…(iii)

uB .y  1

…(iv)

Dari persamaan (ii) maka diperoleh eA 0 

0C  eA . eB   0

0C  eA .eA  eB   0

0C  eB .eB 

. Karena eA  Id  A  dan eB  Id  B  maka eA 0 

bahwa x  0 , dari persamaan (iv) maka diperoleh bahwa y  vB . Dari persamaan (i) dan x  0 maka diperoleh s  vA .

0 C   eA . eB   0

e Jadi  A 0 ii. Apakah

0C   e A  eB   0

0C  . eB 

0C   Id  R  . eB  u A 0 

c u B 

Dari persamaan (iii) maka diperoleh bahwa

u A .t  c.y  0 u A .t  c.vB  0 merupakan

t   vA .c  .vB

elemen unit kanan di R?

Dari hasil diatas maka diperoleh

Berarti terdapat vR sedemikian

s x 

sehingga

uR .vR  1 .

vR

berarti

t   vA  y  0 R

diperoleh

 v A .c  .vB  . vB

bahwa

 

u A 0 

Maka c u B 

merupakan elemen unit kanan di R. 7

Dari i dan ii jelas bahwa

A C R   0 B

adalah ring bersih kanan.

eR 1  e 

 a x   eRe  y b    1  e Re    

ini

berarti

 . Hal 1  e  R 1  e  

a  eRe ;



Dari 1 dan 2 teorema terbukti.

y  1  e  Re ;

x  eR 1  e 

;

dan b  1  e  R 1  e  .

Ring dengan elemen satuan terdapat

Karena ring eRe adalah ring bersih kanan

paling tidak terdapat dua elemen idempoten.

maka a  u  f dengan u  U r  eRe  dan

Elemen-elemen

idempoten

dapat

f  Id  eRe  . Karena ring

1  e  R 1  e

membangun struktur ring baru. Berikut ini, terdapat teorema yang menyatakan bahwa

adalah ring bersih kanan

v  U r  1  e  R 1  e  

ring bersih kanan yang dibangun oleh

dengan

elemen-elemen idempotent merupakan ring

g  Id  1  e  R 1  e   .

bersih kanan.

untuk suatu r1  R

ring

y  1  e  Re

dengan

mempunyai

idempoten e dan 1  e  .

1  e  R 1  e 

elemen

Jika eRe dan

adalah ring bersih kanan

maka R merupakan ring bersih kanan.

e  1  e   1

Karena

elemen

orthogonal lengkap diperoleh :  eRe R 1  e  Re

Diambil sebarang

eR 1  e 

 . 1  e  R 1  e 

y  1  e  r2 e

dan untuk

……(ii).

u  U r  eRe 

maka

terdapat suatu

r3  R ……(iii) dan

e 1  e   e  ee  e  e  0 , maka e dan merupakan

maka

suatu r2  R Karena

…...(i)

u 1  eRe berarti u 1  er3 e untuk

Bukti :

1  e 

dan

Karena x  eR 1  e  maka x  er1 1  e 

Teorema 4 (Călugăreanu, 2010) Diberikan R

maka b  v  g

idempoten

Dari persamaan i, ii dan iii, diperoleh yu 1 x   1  e  r2 e   er3 e   er1 1  e   yu 1 x  1  e  r2 er3   er1 1  e  

yu 1 x  1  e  r2 er3 er1 1  e  Karena

r2  R;e  R;r3  R;r1  R

r2 .er3 e.r1  R

maka

sehingga diperoleh bahwa

yu 1 x  1  e  R 1  e  . Lebih lanjut lagi, karena

b  1  e  R 1  e  .

Karena 8

1  e  R 1  e 

suatu

ring

b  y.u 1 .x  1  e  R 1  e  . asumsi,

1  e  R 1  e

bersih

kanan.

sehingga Berdasarkan

merupakan ring

Oleh

karena

1

b  yu x  v  g

itu,

dengan

v  U r  1  e  R 1  e  

dan

menggunakan

b  v  g  y.u 1 .x .

Operasi

x

 v  g  y.u .x 

Sekarang

f 0 

1

x  a x  u  f   y b   y v  y.u 1 .x    0     

0 g  .

Sekarang

ditunjukkan

tinggal

x u   y v  y.u 1 .x   U r  R  .  

tinggal

0  f . g   0

dengan

0  f  g   0

0  f . g   0

0 . g 

0  g.g 

dan

g  Id  1  e  R 1  e   maka f . f  f dan

sehingga

g.g  g

Hal ini berarti f 0 

0  f . g   0

0  f  g   0

menggunakan

Jadi

operasi

baris

elementer. Karena ring R adalah ring dengan elemen satuan maka diperoleh elemen satuan

bahwa,

Ekuivalen

f  Id  eRe 

Untuk mencari invers dari matriks tersebut

0

bahwa

0  f .f  g   0

f terbukti bahwa  0

e dari R adalah  0

Elementer

menunjukkan

0  Id  R  . g 

Karena

x u   y v  y.u 1 .x  mempunyai invers di R.  

metode

Baris

x u  bahwa  Ur  R  . 1   y v  y.u .x 

f menunjukkan  0

Dengan demikian,

0  dengan 1  e  

diperoleh bahwa

f 0 

g  Id  1  e  R 1  e   . Akibatnya

 a x  u  f  y b   y   

u e x  1  y v  y.u .x 0

 . 1  e 

Perhatikan

0 . Oleh karena itu, g 

0  Id  R  . g 

sebarang

 a x   e Re  y b    1  e Re    

eR 1  e 

 1  e  R 1  e  

merupakan elemen bersih kanan. berakibat

 e Re R 1  e  Re

Hal ini

bahwa

ring

eR 1  e   1  e  R 1  e 

maka

bahwa R merupakan ring bersih kanan. 

9

Berikut diberikan suatu akibat bahwa ring matrik yang dibangun oleh ring bersih kanan merupakan ring bersih kanan. Akibat 5 (Călugăreanu, 2010) Jika R adalah ring bersih kanan maka M nn  R 

dengan

 r.s  adalah

elemen

idempoten di R. Karena  r.s  adalah elemen idempoten

1   r.s   juga

di R dan diperoleh

merupakan elemen idempoten di R.

adalah ring bersih kanan. Ring

Diperoleh bahwa

elemen

satuan

Selanjutnya,

tinggal

 r   r.s   1 

mempunyai elemen-elemen istimewa sepeti

bahwa

elemen unit, elemen nilpotent.

elemen unit kanan di R.

Himpunan

menunjukkan merupakan

gabungan dari himpunan unit kiri, unit kanan

Dibentuk

dan himpunan nilpotent dari ring tersebut

x    r.s  s  r.s      r.s   1  R

merupakan ring bersih kanan sekaligus ring bersih kiri.

Untuk lebih jelasnya berikut

sehingga diperoleh

diberikan teorema yang menyatakan hal

  rs  s  rs    rs   1   r    rs   1  1

tersebut.

.

Teorema 6 (Călugăreanu, 2010) Setiap

Sehingga terbukti bahwa R adalah ring

R  U l  R   U r  R   N  R  adalah

ring

ring bersih kanan dan ring bersih kiri.

rR

sebarang

berarti

r U r  R  berarti

r U l  R   U r  R   N  R  . Misalkan

sedemikian

r U l  R  berarti terdapat s  R yang

s.r  R , maka

memenuhi

s.r  1

dan

r.s  R

berarti

rR

r U l  R   U r  R   N  R  . Misalkan

1. Akan ditunjukkan R ring bersih kanan. sebarang

2. Akan ditunjukkan R ring bersih kiri. Diambil

Bukti :

Diambil

bersih kanan.

.

terdapat

sehingga

sR

r.s  1

dan

 s.r  . s.r   s  r.s  r

Perhatikan bahwa,

 s.r  . s.r   s.1.r

 r.s  . r.s   r. s.r  .s

 s.r  . s.r   s.r

 r.s  . r.s   r.1.s

Diperoleh bahwa

 r.s  . r.s   r.s

idempotent di R.

 s.r  adalah

elemen

10

Karena  r.s  adalah elemen idempoten

1   r.s   juga

di R dan diperoleh

merupakan elemen idempoten di R. Tinggal

ditunjukkan

bahwa





elemen

r    s.r   1

Karena 1  r   R dan R adalah ring maka

  1  r    R ,

sehingga

diperoleh

dengan

1  Id  R  dan

r  1    1  r  

  1  r   U  R  . l

merupakan

Oleh karena itu, R

adalah ring bersih kiri.

unit kiri di R.

Jadi

Dengan cara yang analog dengan (1)

R  Ul  R  U r  R   N  R 

maka terbukti bahwa R adalah ring

terbukti

bahwa adalah 

bersih kanan dan ring bersih kiri.

bersih kiri. Sekarang diambil sebarang r  N  R  berarti r n  0 untuk n   .

Persamaan r n  0

ring

Kesimpulan Berdasarkan pembahasan di atas dapat

ekuivalen

dengan

ditarik kesimpulan sebagai berikut :

1  r  1  r  r 2  ...  r n1   1 .

Karena

1. Setiap ring yang dibangun dari elemen-

1  r  1  r  r

2

 ...  r

n 1

 1

1  r   U r  R  . r  1  1  r  .

elemen idempoten adalah maka Diperhatikan

Karena

1  r   R

dan R

kanan jika hanya jika ring utamanya merupakan ring bersih kanan. 2. Setiap ring yang merupakan gabungan himpunan

adalah ring maka

  1  r   R ,

diperoleh

r  1    1  r  

1  Id  R  dan

  1  r    U  R  .

sehingga

r

dengan Oleh

1  r  r

2

karena

 ...  r

n 1

 1  r   1

maka 1  r  r  ...  r 2

sehingga diperoleh

r  1  1  r  .

n 1

 1  r   1

semua

elemen

unit

kiri,

himpunan semua elemen unit kanan dan himpunan

semua

elemen

nilpoten

merupakan ring bersih kanan dan ring bersih kiri.

karena itu, R adalah ring bersih kanan. Selanjutnya,

ring bersih

3. Setiap ring matriks atas ring bersih kanan merupakan ring bersih kanan. Pustaka Călugăreanu.G., 2010, One-sided Clean Rings, Studia Matematica, No.3, vol.55, pp.83-86. Camillo, V.P., and Anderson, D.D., 2002, Commutative Rings whose elements 11

are a sum of unit and idempotent, Communications in Algebra, No.7, vol.30, pp.3327-3336. Han, J., and Nicholson, W. K., 2001, Extensions of clean rings, Comm. Algebra, No.6, vol.29, pp.2589-2595.

Hazenwingkel,M., Nadiya G., and Kirichenko, V.V., 2005, Algebras, Rings and Modules, vol. 1, Kluwer Academic, New York.

12