Relasi, Fungsi, dan Transformasi

Modul 1

Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si.

PE N DA H UL U AN

M

odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian dan sifat-sifat tentang relasi, fungsi, dan transformasi serta keterhubungan dari ketiganya. Semua bahasan tersebut merupakan dasar untuk mempelajari isi mata kuliah Geometri Transformasi secara keseluruhan. Oleh sebab itu, pelajarilah dengan saksama dan hati-hati materi yang terdapat dalam modul ini. Hal tersebut dilakukan supaya Anda terhindar dari kesulitan-kesulitan dalam mempelajari dan menyelesaikan secara tuntas mata kuliah Geometri Transformasi ini. Secara umum, setelah mempelajari modul ini, diharapkan Anda dapat menjelaskan konsep, macam, sifat relasi dan fungsi, serta konsep dan sifat transformasi. Sebagai penjabaran dari tujuan di atas, secara khusus, setelah mempelajari modul ini, diharapkan Anda dapat: 1. menentukan sebuah relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain; 2. menentukan domain/range sebuah relasi; 3. menentukan relasi refleksi; 4. menentukan relasi simetri; 5. menentukan relasi transitif; 6. menentukan relasi ekuivalen; 7. menganalisis sebuah fungsi; 8. menganalisis sebuah fungsi kepada; 9. menganalisis sebuah fungsi satu-satu; 10. menganalisis sebuah fungsi bijektif; 11. menganalisis sebuah transformasi; 12. menganalisis pernyataan berdasarkan sifat-sifat transformasi.

1.2

Geometri Transformasi 

Kegiatan Belajar 1

Relasi dan Fungsi A. PENGERTIAN RELASI Agar Anda dapat memahami pengertian relasi dengan baik, Anda harus mengetahui terlebih dahulu pengertian tentang “pasangan terurut dari dua objek a dan b, yang ditulis dengan (a, b)” serta “kalimat matematika terbuka dengan dua peubah x dan y, yang ditulis dengan P(x, y)”. Notasi (a, b) disebut pasangan terturut apabila tulisan ini memperhatikan urutan penulisan. Artinya, (a, b)  (b, a) sebab bagian pertama dari (a, b) ditempati oleh objek a, sedangkan bagian pertama dari (b, a) ditempati oleh b, dalam hal ini a  b. Begitu pula halnya dengan bagian kedua dari (a, b) ataupun (b, a). Jadi, pasangan terurut (a, b) = (b, a) jika dan hanya jika a = b. Notasi P(x, y) disebut kalimat matematika terbuka dengan dua peubah x dan y. Apabila nilai kebenaran dari P(x, y) belum dapat ditentukan, kecuali x diganti oleh sesuatu objek tertentu a dan y diganti oleh sesuatu objek b, barulah kebenarannya dapat ditentukan (pasti). Perhatikan contoh berikut ini. Contoh 1.1

A = {x|x <10, x suatu bilangan asli} P(x, y) = x habis membagi y Jelas bahwa P(1,2) bernilai benar sebab 1 habis membagi 2. Akan tetapi, P(3,7) bernilai salah sebab 3 tidak habis membagi 7.

Berdasarkan bekal pengetahuan di atas, diharapkan Anda dapat mempelajari dan memahami relasi dari dua himpunan A dan B, seperti ditetapkan pada definisi berikut. Definisi 1.1

Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong dan P(x, y) kalimat matematika terbuka, x  A ke y  A. Relasi R dari himpunan A ke B merupakan suatu himpunan yang anggotaanggotanya pasangan terurut (a, b) dengan a  A dan b  B serta P(a, b) bernilai benar.

1.3

 PEMA4213/MODUL 1

Untuk memperjelas maksud definisi di atas, cobalah Anda pelajari contoh berikut ini. Contoh 1.2

A = {z|z < 5, z suatu bilangan asli}, P(x, y) = x habis membagi y. Relasi R dari himpunan A ke A yang ditunjukkan oleh P(x, y) adalah {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (4,4)}, seperti Gambar 1.1 berikut.

Gambar 1.1

Ada beberapa istilah yang perlu Anda ingat kembali sehubungan dengan pengertian relasi di atas, yaitu peta, prapeta, domain, dan range. Misalkan R relasi dari himpunan A ke B. Apabila x  A maka peta dari x oleh relasi R adalah semua y  B sehingga (x, y)  R. Apabila y  B maka prapeta dari y oleh relasi R adalah semua x  A sehingga (x, y)  R disebut domain dari R. Sementara itu, himpunan terdiri atas semua y  B menyebabkan (x, y)  R disebut range dari R. Perhatikan Gambar 1.2.

Gambar 1.2

1.4


Untuk lebih jelasnya, cobalah Anda cermati contoh-contoh berikut ini. Contoh 1.3

Perhatikan relasi pada Contoh 1.2 di atas. Dari hasil relasi tersebut, dapat kita tentukan bahwa peta dari 1  A oleh relasi R adalah 1, 2, 3, dan 4 sebab (1,1), (1,2), (1,3), (1,4)  R. Kemudian, peta dari 2  A oleh relasi R adalah 2 dan 4 sebab (2,2), (2,4)  R. Sementara itu, prapeta dari 2  A oleh R adalah 1 dan 2 sebab (1,2), (2,2)  R. Dari contoh itu pula, terlihat bahwa domain dan range dari R adalah himpunan A sendiri.

Contoh 1.4

Misalkan A = {2,3,4,5} dan B = {2,3,7} dengan P(x, y) = x habis dibagi y, x  A ke y  A relasi R yang diakibatkan oleh P(x, y) dari A ke B adalah {(2,2), (4,2), (3,3)}. Dari hasil relasi tersebut, dapat terlihat bahwa peta dari 2 adalah 2. Sementara itu, prapeta dari 2 adalah 2 dan 4 sebab 2  A oleh relasi R hanya (2,2)  R, sedangkan 2  B oleh relasi R adalah (2,2) dan (4,2) yang keduanya anggota R. Domain dari R adalah {2,3,4}, sedangkan range dari R adalah {2,3} sebab R = {(2,2), (4,2), (3,3)}.

B. MACAM-MACAM RELASI Ada beberapa macam relasi yang akan dibahas di sini, yaitu relasi refleksi, relasi simetri, relasi transitif, relasi ekuivalen, dan relasi balikan (invers). Karena pengertian-pengertian ini akan dipakai pada bagian ruas garis berarah nanti, ada baiknya kita mulai mempelajarinya dari definisi dan contoh-contoh. Definisi 1.2

Misalkan A suatu himpunan tak kosong, R suatu relasi dari A ke A. R disebut relasi refleksi jika dan hanya jika untuk setiap x  A berlaku (x, x)  R.

Contoh 1.5

Misalkan A = {1,2,3,4} dengan R1 = {(1,1), (2,4), (4,1), (4,4)} dan R2 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}. R1 bukan relasi refleksi, sebab 2, 3  A, sedangkan (2,2), (3,3)  R1. Akan tetapi, R2 adalah relasi refleksi sebab untuk setiap


1.5

x  A maka (x,x)  R2, yaitu: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)  R2. Definisi 1.3

Misalkan A suatu himpunan tak kosong, R suatu relasi pada A (dari A ke A). Relasi R disebut relasi simetri jika dan hanya jika untuk setiap (x,y)  R berlaku (y,x)  R.

Contoh 1.6

R1 dan R2 pada Contoh 1.5 di atas, masing-masing bukan merupakan relasi simetri, sebab (2,4)  R1. Akan tetapi, (4,2)  R1 dan (4,1)  R2, tetapi (1,4)  R2.

Contoh 1.7

Misalkan A = {1,2,3,4} dengan R3 = {(1,2), (2,1)} dan R4 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}. Setiap (x,y)  R3 maka (y,x)  R3. Demikian pula untuk setiap (x,y)  R4 maka (y,x)  R4, dalam hal ini x = y. Jadi, R3 ataupun R4 merupakan relasi simetri. Sekarang, coba Anda renungkan apakah R3 dan R4 termasuk relasi refleksi? Anda benar bahwa R3 bukan relasi refleksi, tetapi R4 merupakan relasi refleksi sebab untuk setiap x  A berlaku (x,x)  R4.

Definisi 1.4

Misalkan A suatu himpunan tak kosong, R suatu relasi pada A. Relasi R disebut relasi transitif jika dan hanya jika untuk setiap (x,y), (y, z)  R berlaku (x,z)  R.

Contoh 1.8

Ambil relasi R1, R2, R3, dan R4, pada Contoh 1.5 dan Contoh 1.7. Dari contoh-contoh tersebut, dapat kita pastikan bahwa R1 dan R3 bukan merupakan relasi transitif, sebab (2,4), (4,1)  R1, tetapi (2,1)  R1. Sementara itu, (1,2), (2,1)  R3, tetapi (1,1)  R3. R2 dan R4 merupakan suatu relasi transitif karena keduanya berlaku bahwa setiap (x,y), (y,z)  R2 maka (x,z)  R2. Demikian pula untuk setiap (x,y), (y,z)  R4 maka (x,z)  R4 (x, y, dan z bisa ketiga-tiganya sama, x dan z sama, atau y dan z sama).

Definisi 1.5

Misalkan A suatu himpunan, R suatu relasi pada A. Relasi R disebut relasi ekuivalen jika dan hanya jika R adalah relasi refleksi, simetri, dan transitif.

1.6


Contoh 1.9

Di antara R1 sampai R4 dari contoh di atas, yang merupakan relasi ekuivalen hanya R4 sebab relasi tersebut mencakup relasi refleksi, simetri, dan transitif.

Contoh 1.10

Misalkan A = {1,2,3,4} dan R5 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2), (1,3), (3,1), (3,3), (4,4)}. Relasi ini merupakan relasi ekuivalen sebab R5 memenuhi syarat sebagai relasi refleksi, yaitu 1  A dan (1,1)  R5, 2  A dan (2,2)  R5, 3  A dan (3,3)  R5, 4  A dan (4,4)  R5. Jadi  x  A berlaku (x,x)  R5. R5 ini pun memenuhi syarat sebagai relasi simetri sebab (1,2)  R5 maka (2,1)  R5, (2,3)  R5 maka (3,2)  R5 dan (1,3)  R5 maka (3,1)  R5. Jadi, untuk setiap (x,y)  R5 maka (y,x)  R5. Kemudian, relasi ini juga memenuhi syarat sebagai relasi transitif sebab (1,2), (2,1)  R5 maka (1,1)  R5, (1,2), (2,3)  R5 maka (1,3)  R5, (2,1), (1,3)  R5 maka (2,3)  R5, (2,3), (3,2)  R5 maka (2,2)  R5, (2,3), (3,1)  R5 maka (2,1)  R5, (3,2), (2,3)  R5 maka (3,3)  R5, (3,2), (2,1)  R5 maka (3,1)  R5 dan (1,1), (1,3)  R5 maka (1,3)  R5. Jadi, untuk setiap (x,y), (y,z)  R5 berlaku (x,z)  R5 juga.

Definisi 1.6

Misalkan A, B dua himpunan, dan R relasi dari A ke B. Relasi balikan (invers) dari R yang ditulis dengan R-1 adalah {(x,y)|(y,x)  R}.

Contoh 1.11

Perhatikan R1 dan R2 pada Contoh 1.5. Dari contoh tersebut, dapat kita tentukan bahwa R11 = {(1,1), (4,2), (1,4), (4,4)} dan R 21 = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,4), (4,4)}.

C. PENGERTIAN FUNGSI Coba Anda perhatikan kembali relasi R1 sampai R5 dalam Contoh 1.5 sampai dengan Contoh 1.10 sebagai berikut. R1 = {(1,1), (2,4), (4,1), (4,4)} R2 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} R3 = {(1,2), (2,1)}


1.7

R4 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} R5 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2), (1,3), (3,1), (3,3), (4,4)} Jika Anda cermati, terlihat bahwa domain dari R1, R3 tidak sama dengan A = {1,2,3,4}. Sementara itu, domain dari R2, R4, dan R5 sama dengan A. Perhatikan R4, setiap unsur dari A pada relasi tersebut mempunyai peta masing-masing tunggal. Untuk R2 dan R5, ada unsur dari A yang petanya tidak tunggal. Untuk R2, dapat Anda lihat bahwa 4  A oleh R2 dipetakan ke 1 dan 4. Untuk R5, kita lihat bahwa 1  A oleh R5 dipetakan ke 1, 2, dan 3; 2  A oleh R5 dipetakan ke 1,2,3; dan 3  A oleh R5 dipetakan ke 2,1,3. Domain relasi, seperti R4 dari A ke A (pada A) yang mempunyai ketentuan, adalah A dan setiap unsur dari A mempunyai peta yang tunggal, selanjutnya ditetapkan sebagai fungsi dari A ke A. Secara umum, pengertian fungsi ditetapkan dalam definisi berikut. Definisi 1.7

Suatu relasi f dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi dari A ke B jika dan hanya jika setiap x  A ada dengan tunggal y  B sehingga (x,y)  f.

Jika suatu x  A dipetakan oleh f ke suatu y  B, dikatakan y adalah peta dari x oleh f atau x adalah prapeta dari y oleh f dan secara matematis ditulis sebagai y = f (x). Domain dari f adalah himpunan A, sedangkan Range dari f adalah setiap y  B sehingga y = f (x). Contoh 1.12

Misalkan R himpunan semua bilangan real. Ditetapkan relasi f dari R ke R sebagai berikut. 1 1. f ( x)  , xR x 1 2. f ( x)  x 2 , x  R 3.

f ( x)  x3 , x  R

Manakah di antara relasi di atas yang merupakan fungsi? Penyelesaian: 1. Kita ambil –1  R, kemudian kita substitusikan ke dalam f(x), yaitu 1 1 f (1)   . Ternyata, hasilnya tak didefinisikan, jadi –1 tidak 1  1 0

1.8

2.

3. 4.


mempunyai peta di R oleh relasi f. Karena ada x  R yang tidak 1 mempunyai peta di R oleh f maka f ( x)  , x  R bukan merupakan x 1 fungsi dari R ke R. Karena  x  R, x2 = x . x adalah anggota R dan juga merupakan hasil yang tunggal maka setiap x  R mempunyai peta, yaitu x2. Jadi, f merupakan fungsi dari R ke R. Karena  x  R, x3 = x . x . x  R, x . x . x merupakan hasil yang tunggal maka f adalah fungsi dari R ke R. Jadi, dari relasi-relasi yang ditetapkan di atas, yang merupakan fungsi adalah relasi f ( x)  x 2 , x  R dan f ( x)  x3 , x  R .

D. MACAM-MACAM FUNGSI Sesuai kebutuhan, yang dibicarakan dalam mata kuliah Geometri Transformasi ini hanya terfokus pada fungsi kepada, fungsi satu-satu, dan fungsi bijektif. Sebab, hal ini diperlukan sebagai landasan dalam rangka mempelajari transformasi. Setiap pembahasan fungsi-fungsi tersebut didahului dengan menyajikan definisi-definisi dan teorema. Kemudian, dibahas keterkaitan definisi-definisi tersebut dengan contoh-contoh soalnya. Definisi 1.8

Misalkan f fungsi dari himpunan A ke himpunan B. Fungsi ini disebut fungsi A kepada B (disingkat fungsi kepada) jika dan hanya jika setiap y  B ada x  A sehingga y = f(x).

Contoh 1.13

Dari Contoh 1.12, seperti kita ketahui, relasi f dari R ke R ditetapkan oleh rumus f(x) = x2,  x  R dan f(x) = x3,  x  R yang masing-masing merupakan fungsi. Manakah di antara kedua fungsi tersebut yang merupakan fungsi kepada?

Penyelesaian: Untuk fungsi f(x) = x2,  x  R. Misalkan kita ambil –2  R. Sekarang, yang menjadi permasalahannya, apakah ada x  R sehingga f(x) = –2, f(x) = x2 berarti x2 = –2.


1.9

Seperti kita ketahui bahwa x2  0,  x  R. Jadi, dari hubungan tersebut, dapat disimpulkan bahwa tidak ada x  R sehingga x2 = –2 atau dengan kata lain fungsi tersebut tidak mempunyai prapeta di R. Jadi, fungsi f dari R ke R yang ditetapkan oleh f(x) = x2,  x  R bukan fungsi kepada. Sekarang, perhatikanlah fungsi f(x) = x3,  x  R. Ambil unsur sebarang y  R, apakah ada x  R sehingga y = f(x)? y = f(x) dan f(x) = x3 maka y = x3 atau x = 3 y . Berdasarkan perhitungan dalam aljabar, tentunya Anda mengetahui bahwa hasil akar pangkat tiga dari sebarang bilangan real adalah bilangan real. Hal ini berarti bahwa setiap y  R ada x  R sehingga y = x3. Jadi, fungsi f dari R ke R yang ditetapkan oleh rumus f(x) = x3,  x  R merupakan fungsi kepada. Definisi 1.9

Misalkan f fungsi dari himpunan A ke himpunan B, fungsi ini disebut fungsi satu-satu dari A ke B jika dan hanya jika untuk setiap x, y  A, jika x  y maka f(x)  f(y).

Teorema 1.1

Misalkan f fungsi dari A ke B. Pernyataan  x, y  A, jika x  y maka f(x)  f(y) ekuivalen dengan pernyataan:  x, y  A jika f(x) = f(y) maka x = y.

Bukti: 1. Andaikan berlaku  x, y  A, jika x  y maka f(x)  f(y) ...*). Misalkan bentuk pernyataan berikut kita abaikan dulu, yaitu jika f(x) = f(y),  x, y  A maka x = y tidak berlaku, artinya ada x, y  A dengan f(x) = f(y) dan x ≠ y. Berdasarkan *), kalau x  y maka f(x)  f(y). Hal ini menunjukkan terjadinya kontradiksi dengan pernyataan bahwa ada x, y  A dengan f(x) = f(y) dan x  y. Jadi, pengandaian bahwa ada x, y  A dengan f(x) = f(y) dan x  y bernilai salah. Jadi, pernyataan  x, y  A dengan f(x) = f(y) maka x = y bernilai benar. 2. Andaikan berlaku  x, y  A jika f(x) = f(y) maka x = y. Kita andaikan lagi bahwa  x, y  A, jika x  y maka f(x)  f(y) tidak berlaku. Artinya, x, y  A dengan x  y dan f(x) = f(y). Berdasarkan hipotesis, kita telah ketahui bahwa jika f(x) = f(y) maka x = y. Hal ini bertentangan dengan pernyataan x, y  A dengan x  y dan f(x) = f(y). Maka itu, pengandaian bahwa x, y  A dengan x  y maka f(x) = f(y) bernilai salah. Artinya, x, y  A jika x  y maka f(x)  f(y) bernilai benar.

1.10


Teorema 1.2

Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah satu-satu jika dan hanya jika  x, y  A jika f(x) = f(y) maka x = y.

Bukti:

Akibat langsung dari Teorema 1.1.

Contoh 1.14

Perhatikan fungsi f dari R ke R dengan R sebagai himpunan semua bilangan real yang ditetapkan oleh rumus f(x) = x3,  x  R. Tunjukkan bahwa fungsi tersebut merupakan fungsi satu-satu.

Penyelesaian: Ambil dua unsur sebarang x, y  A sehingga f(x) = f(y). Karena f(x) = x3 dan f(y) = y3 maka x3 = y3. x3 = y3  x3 – y3 = 0  (x – y)(x2 + xy + y2) = 0  x = y atau x2 + xy + y2 = 0 Dari bentuk x2 + xy + y2 = 0, ternyata tidak ada x, y  R sehingga x2 + xy + y2 = 0, kecuali x = y = 0. Akibatnya,  x, y  R, jika f(x) = f(y) maka x = y. Jadi, berdasarkan Teorema 1.2, disimpulkan bahwa fungsi f dari R ke R untuk f(x) = x3,  x, y  R merupakan fungsi satu-satu. Definisi 1.10

Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika f merupakan fungsi kepada dan fungsi satu-satu.

Contoh 1.15

Berdasarkan kajian yang telah kita lakukan dalam Contoh 1.13 dan Contoh 1.14, tentunya Anda dapat menyimpulkan bahwa fungsi f dari R ke R (R himpunan semua bilangan real) yang ditetapkan rumus f(x) = x3 adalah fungsi kepada dan fungsi satu-satu. Oleh sebab itu, f merupakan fungsi bijektif.


1.11

LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Misalkan R relasi dari P = {1,2,3,4} ke Q = {1,3,5} yang ditetapkan oleh P(x,y) = x < y. Tentukan: a) R b) Domain dan Range dari R c) R–1 d) Domain dan range dari R–1 2) Misalkan A = {1,2,3}. Perhatikan relasi-relasi pada A berikut ini. R1 = {(1,1), (2,1), (2,2), (3,2), (2,3), (3,3)} R2 = {(1,1)} R3 = {(1,2)} Selidikilah apakah relasi R1, R2, dan R3 termasuk relasi refleksi, simetri, atau transitif? 3) Buktikan bahwa setiap relasi transitif R pada suatu himpunan maka relasi balikan R–1 juga merupakan relasi transitif pada himpunan itu! 4) Buktikan bahwa relasi-relasi berikut merupakan relasi ekuivalen. a) ““ (lebih kecil atau sama dengan) pada himpunan semua bilangan real R. b) “” Kongruen modulo n pada himpunan semua bilangan bulat B (a  b mod n, n > 0 jika dan hanya jika a – b habis dibagi n). c) Kesejajaran (//) pada himpunan semua garis. d) Kekongruenan () pada himpunan semua segitiga. e) Kekongruenan () pada himpunan semua sudut. 5) Manakah di antara relasi f dari R ke R di bawah ini (R himpunan semua bilangan real) yang merupakan fungsi. a) f (x,y) = {(x,y)| x2 + y2 = 1} 1 b) f (x) ,xR 2 x x 2 c) f(x) = 2x – 1,  x  R

1.12


6) Manakah di antara fungsi f dari B ke B di bawah ini (B himpunan semua bilangan bulat), yang merupakan fungsi bijektif. a) f(x) = 2x – 1,  x  B b) f(x) = 1– x,  x  B c) f(x) = x2 + x,  x  B 7) Manakah di antara fungsi f dari R ke R di bawah ini (R himpunan semua bilangan real) yang merupakan fungsi bijektif. a) f(x) = ax – 1, a  R, x  R b) f(x) = x + b, b  R, x  R Petunjuk Jawaban Latihan 1) a) R = {(1,3), (1,5), (2,3), (2,5), (3,5), (4,5)} b) Domain dari R adalah DR = {1,2,3,4} = P, Range dari R adalah RR = {3,5}. c) R–1 = {(3,1), (5,1), (3,2), (5,2), (5,3), (5,4)} d) DR 1 R R dan R R 1 DR 2) A = {1,2,3} untuk R1 = {(1,1), (2,1), (2,2), (3,2), (2,3), (3,3)} Karena setiap x  A maka (x, x)  R1 maka R1 relasi refleksi. Karena (2,1)  R1, tetapi (1,2)  R1, maka R1 bukan relasi simetri. Karena (3,2), (2,1)  R1, tetapi (3,1)  R1, maka R1 bukan relasi transitif. Untuk R2 = {(1,1)} Karena 2  A dan (2,2)  R2 maka R2 bukan relasi refleksi. Karena setiap (x,y)  R2 maka (y,x)  R2, yaitu (1,1)  R2. Jadi, relasi R2 suatu relasi simetri. Karena setiap (x,y)  R2 dan (y,z)  R2 maka (x,z)  R2. Di sini, x = y = z = 1 sehingga (1,1)  R2. Jadi, relasi R2 suatu relasi simetri. Untuk R3 = {(1,2)} Karena 1  A dan (1,1)  R3 maka R3 bukan relasi refleksi. Karena (1,2)  R3 dan (2,1)  R3 maka R3 bukan relasi simetri. Suatu relasi disebut relasi transitif apabila setiap (x,y), (y,z)  R berlaku (x, z)  R. Jadi, untuk kasus R3, relasi tersebut bukan relasi transitif.


1.13

3) Ambil himpunan sebarang A dan relasi transitif R. Artinya, untuk setiap (x,y) dan (y,z)  R, berlaku (x,z)  R dengan x,y,z  A. Karena R–1 = {(a,b)|(b,a)  R}, serta (x,y), (y,z) dan (x,z)  R maka (y,x), (z,y) dan (z,x)  R–1. Sehingga, untuk setiap (z,y), (y,x)  R–1 berlaku (z,x)  R–1 dengan x,y,z  A. Jadi, R–1 relasi transitif. 4) a)

Ambil sebarang unsur x  R dan tentunya Anda telah mengetahui bahwa x  x bernilai benar maka (x,x)  “”,  x  R. Jadi, relasi “” adalah relasi refleksi. Ambil dua unsur, yaitu 2 dan 3  R, maka (2,3)  “”, tetapi (3,2)  “”. Jadi, “” bukan relasi simetri. Dengan demikian, relasi “” bukan relasi ekuivalen.

b) Ambil sebarang unsur a  R maka (a, a)  “” sebab a – a = 0 dan n > 0, sedangkan 0 habis dibagi n. Jadi, ““ relasi refleksi. Ambil dua unsur sebarang a,b  R sehingga (a,b)  “”. Artinya, a – b habis dibagi n atau a – b = kn dengan k suatu bilangan bulat. Karena –a + b = –kn dan –k suatu bilangan bulat maka b – a habis dibagi n sehingga (b, a)  “”. Jadi, “” relasi simetri. Ambil tiga unsur a, b, dan c  R. Jika (a,b)  “” dan (b,c)  “” maka a – b = kn dengan k bilangan bulat b – c = ln dengan l bilangan bulat, berakibat (a – b) + (b – c) = kn + ln a – c = (k + l) n karena k bilangan bulat dan l bilangan bulat maka (k + l) bilangan bulat berakibat a  c (mod n) atau (a,c)  “”. Jadi, relasi “” adalah relasi transitif. Jadi, “” relasi ekuivalen. c)

Karena setiap garis l sejajar dengan dirinya sendiri maka relasi kesejajaran (//) merupakan relasi refleksi. Karena l // m dan m // l maka relasi kesejajaran (//) merupakan relasi simetri. Karena setiap l // m dan m // n berakibat l // n maka relasi kesejajaran merupakan relasi transitif. Jadi, relasi kesejajaran merupakan relasi ekuivalen.

d) Karena setiap segitiga kongruen dengan dirinya sendiri maka relasi kekongruenan merupakan relasi refleksi.

1.14


Karena setiap  ABC   DEF, dan  DEF   ABC maka relasi kekongruenan merupakan relasi simetri. Karena setiap  ABC   DEF dan  DEF  GHI berakibat  ABC   GHI maka relasi kekongruenan merupakan relasi transitif. Secara keseluruhan, dapatlah dikatakan bahwa relasi kekongruenan merupakan relasi yang ekuivalen. e) Alasannya serupa dengan d), tinggal mengganti  dengan . Maka, relasi kekongruenan pada himpunan semua sudut juga merupakan relasi ekuivalen. 5) a)

Misalkan kita tentukan satu bilangan 4  R dan tentunya jika (4,y)  f(x,y) maka 16 + y2 = 1. Jadi, y  1  16  15  R . Akibatnya, 4  R relasi ini tidak mempunyai peta anggota R. Jadi, relasi f ini bukan fungsi dari R ke R.

b) Bentuk x2 – x – 2 dapat difaktorkan menjadi (x – 2)(x + 1). 1 1 Perhatikan x = 2  R. Maka, hasil dari f(2) =  tak  2  2  2  1 0 terdefinisi. Artinya, 2  R tidak mempunyai peta di R. Oleh karena itu, relasi f bukan merupakan fungsi dari R ke R. c) Untuk setiap x  R, 2x  R, dan 2x – 1  R, setiap x  R mempunyai peta, yaitu 2x – 1  R. Berarti, untuk setiap x  R, 2x tunggal dan 2x – 1 juga tunggal. Jadi, relasi f ini merupakan suatu fungsi dari R ke R. 3 6) a) Untuk y = 2  B. Dari bentuk y = f(x) = 2x – 1, didapat x =  B. 2 Jadi, 2  B tidak mempunyai prapeta di B oleh fungsi f ini. Maka itu, fungsi f ini bukan fungsi kepada. Akibatnya, fungsi f ini bukan fungsi bijektif. b) Untuk setiap y  B. Dari bentuk y = f(x) = 1 – x, didapat x = 1 – y  B. Jadi, setiap y  B mempunyai prapeta 1 – y  B. Berarti, fungsi ini merupakan fungsi kepada. Sekarang, ambil dua unsur sebarang x,y  B dengan f(x) = f(y). Didapat 1 – x = 1 – y


1.15

=> x = y. Dari kenyataan tersebut, fungsi ini merupakan fungsi satusatu. Jadi, fungsi f ini merupakan fungsi bijektif. c) Ambil y = 1  B. Dari bentuk y = f(x), didapat 1 = x2 + x atau x2 + x – 1 = 0. Karena diskriminan persamaan kuadrat tersebut D = 1 + 4 = 5 bukan bilangan kuadrat maka x yang memenuhi x2 + x – 1 = 0 bukan suatu bilangan bulat. Jadi, 1  B tidak mempunyai prapeta di B oleh fungsi f. Maka itu, fungsi f ini bukan fungsi kepada. Akibatnya, fungsi f ini bukan fungsi bijektif. 7) a) Tinjauan kasus: jika a = 0 maka f(x) = –1. Seandainya kita tentukan y = 2  R, berarti tidak ada x sehingga f(x) = 2 sebab f(x) = –1,  x  R. Jadi, f bukan fungsi kepada. Akibatnya, fungsi ini tidak bijektif untuk a = 0. Tinjauan kasus: jika a  0, ambil sebarang unsur y  R sehingga y 1 y = f(x) = ax – 1. Dari bentuk ini, didapat x = . Karena, setiap a y 1 y  R ada x  R, yaitu , maka fungsi f ini merupakan fungsi a kepada. Sekarang, ambil x,y sebarang bilangan real dengan f(x) = f(y). Akibatnya, diperoleh ax – 1 = ay – 1  a(x - y) = 0  x – y = 0 sebab a  0. Maka dari itu, x = y sehingga fungsi ini merupakan fungsi satu-satu. Jadi, f ini fungsi bijektif. Dari uraian di atas, dapatlah dikatakan bahwa jika a = 0 maka fungsi f(x) = ax – 1 bukan fungsi bijektif dari R ke R. Jika a ≠ 0 maka fungsi f(x) = ax – 1 merupakan fungsi bijektif dari R ke R. b) Ambil sebarang unsur y  R sehingga dari bentuk f(x) = y didapatlah x = y – b. Jadi, untuk setiap y  R, didapat x = y – b  R. Berarti, fungsi ini merupakan fungsi kepada. Jika kita ambil dua unsur sebarang x,y  R dengan f(x) = f(y), didapat x + b = y + b  x = y. Jadi, fungsi f ini merupakan fungsi satu-satu. Akibatnya, fungsi ini juga disebut sebagai fungsi bijektif.

1.16


R A NG KU M AN 1.

2.

3. 4. 5. 6.

7.

Relasi R dari himpunan A ke B mempunyai suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah pasangan terurut (a,b) dengan a  A ke b  B dan R(a,b) berarti benar. Relasi ekuivalen adalah a. relasi refleksi; b. relasi simetri; c. relasi transitif. Setiap relasi R dari himpunan A ke B mempunyai relasi balikan (invers), yaitu R–1 = {(a,b)|(b,a)  R}. Relasi f dari himpunan A ke B disebut fungsi jika dan hanya jika setiap x  A ada tunggal y  B sehingga f(x) = y. Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi kepada jika dan hanya jika setiap unsur y  A ada x  A sehingga f(x) = y. Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk setiap x,y  A dengan x  y maka f(x)  f(y) atau untuk setiap x,y  A menjadi f(x) = f(y) maka x = y. Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika f merupakan fungsi kepada dan fungsi satu-satu. TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1) Diberikan A = {1,2,3,4} dan B = {2,3,5}. Relasi R di bawah ini yang merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah .... A. {(2,3), (3,2), (5,2)} B. {(2,3), (3,1), (4,5)} C. {(2,3), (3,2), (2,5)} D. {(2,3), (2,2), (5,5)} 2) Diberikan A = himpunan semua bilangan asli, R = {(x,y)|x,y  A, dan 2x + y = 10}. Domain dan Range dari relasi R adalah .... A. Domain = {(1,8), (2,6), (3,4), (4,2)}, Range = {8,6,4,2} B. Domain = {1,2,3,4}, Range = {8,6,4,2} C. Domain = {(8,1), (6,2), (4,3), (2,4)}, Range = {1,2,3,4} D. Domain = {2,4,6,8}, Range = {1,2,3,4}


1.17

3) Diberikan A = {2,4,6,8}. Relasi pada A yang merupakan relasi refleksi adalah ... A. {(2,2), (2,4), (2,6), (4,6), (6,8), (8,2), (8,4)} B. {(2,2), (2,4), (2,6), (4,6), (6,8), (8,2), (8,8)} C. {(2,4), (4,4), (2,6), (4,6), (6,6), (6,8), (8,8)} D. {(2,2), (2,4), (4,4), (2,6), (6,6), (6,8), (8,8)} 4) Diberikan B = {1,2,3}. Relasi pada B yang merupakan relasi simetri adalah .... A. {(1,1), (2,2)} B. {(1,2), (2,3), (2,1)} C. {(1,1), (3,2)} D. {(2,2), (1,2), (2,1), (1,3)} 5) Diberikan C = {a,b,c,d}. Relasi pada C yang merupakan relasi transitif adalah .... A. {(a,a), (c,c), (d,d)} B. {(a,b), (b,c), (c,d), (a,c)} C. {(b,c), (d,c), (c,a), (b,d)} D. {(d,c), (c,c), (d,e), (c,a), (b,d), (d,a)} 6) Diberikan A = {3,4,5}. Di antara relasi-relasi di bawah ini yang merupakan relasi ekuivalen pada A adalah .... A. {(3,3), (3,1), (1,3), (5,5)} B. {(3,1), (1,4), (3,4), (3,3), (4,4), (5,5)} C. {(3,3), (4,4), (5,5)} D. {(3,3), (4,4), (3,4), (5,5), (4,5)} 7) Diberikan R = himpunan semua bilangan real. Relasi-relasi f di bawah ini yang merupakan fungsi pada R adalah .... x 1 A. f(x) = 2 x 5x 6 B. f(x,y) = {(x,y)|2x2 + y2 = 1, x  R, y  R} C. f(x,y) = {(x, y)| xy = 1} D. f(x) = x – 2 8) Diberikan B = himpunan bilangan bulat. Di antara fungsi-fungsi f di bawah ini yang merupakan fungsi dari B kepada B adalah .... A. f(x) = 3x – 1 B. f(x) = x + 4

1.18


C. f(x) = x2 + x D. f(x) = x2 9) Diberikan R = himpunan bilangan real. Di antara fungsi-fungsi f di bawah ini yang merupakan fungsi satu-satu dari R ke R adalah .... A. f(x) = –x2 B. f(x) = x2 + 1 C. f(x) = 4x – 2 D. f(x) = x4 10) Diberikan R = himpunan bilangan real. Di antara fungsi-fungsi f di bawah ini yang merupakan fungsi bijektif dari R ke R adalah ... A. f(x) = 3x2 B. f(x) = x3 – x C. f(x) = –4x2 + x D. f(x) = x3 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Tingkat penguasaan =

Jumlah Jawaban yang Benar

 100%

Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.

1.19


Kegiatan Belajar 2

Transformasi A. PENGERTIAN TRANSFORMASI Tentunya, Anda masih ingat bahwa pengertian transformasi yang dibahas dalam mata kuliah Geometri Analitik hanyalah translasi (penggeseran) sumbu yang sejajar atau rotasi sumbu dengan pusat sumbu koordinat. Sekarang, timbul pertanyaan, apakah yang akan Anda pelajari dalam modul ini hanya yang seperti itu? Pertanyaan ini dapat dijawab apabila Anda telah memahami pengertian transformasi yang ditetapkan dalam definisi berikut. Definisi 1.11

Misalkan V bidang Euclides. Fungsi T dari V ke V disebut suatu transformasi jika dan hanya jika T sebuah fungsi bijektif.

Untuk lebih memantapkan pengertian yang Anda simak dari definisi di atas, pelajarilah dua contoh berikut ini. Contoh 1.16

Misalkan V bidang Euclides dan A sebuah titik tertentu pada V. Ditetapkan relasi T sebagai berikut. i) T(P) = A, jika P = A ii) Jika P  V dan P  A, T(P) = Q dengan Q merupakan titik tengah ruas garis AP . Apakah relasi T merupakan suatu transformasi?

Penyelesaian: Karena yang harus diteliti relasi T sehubungan dengan suatu transformasi, berdasarkan Definisi 1.11, diperoleh persyaratan suatu transformasi, yaitu 1. T suatu fungsi dari V ke V 2. T suatu fungsi bijektif.

1.20


Dari Definisi 1.10, diperoleh persyaratan bahwa suatu fungsi bijektif adalah 1. fungsi tersebut harus merupakan fungsi kepada 2. fungsi tersebut harus merupakan fungsi satu-satu. Jadi, dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa yang harus Anda lakukan adalah penelitian tentang relasi T yang memenuhi hal-hal berikut. 1. T fungsi dari V ke V 2. T fungsi bijektif, yakni a. T fungsi kepada b. T fungsi satu-satu. Sekarang, perhatikanlah bagaimana caranya menjabarkan jawaban soal Contoh 1.16 tersebut. 1.

Akan ditunjukkan bahwa T fungsi dari V ke V. Artinya, harus dijelaskan bahwa setiap unsur V mempunyai peta dari V juga. Untuk hal itu, ambil sebarang titik P  V. Karena sudah ada satu titik tertentu A  V maka terdapat dua kasus, yaitu P = A atau P  A. Untuk P = A, berdasarkan ketentuan di atas, ada titik A  V (tunggal) yang merupakan peta dari P sehingga A = T(P). Untuk P  A, berdasarkan geometri, ada AP  V (tunggal) dan setiap AP mempunyai titik tengah Q (tunggal). Karena Q  AP dan AP  V maka Q  V. Jadi, untuk P  A, ada Q  V sehingga T(P) = Q dan Q titik tengah AP .

Gambar 1.3

Karena setiap P  V ada T (P)  V yang tunggal maka T merupakan fungsi dari V ke V.

1.21


2.

Akan ditunjukkan bahwa T fungsi bijektif. a) T fungsi kepada Ambil sebarang titik R  V. Karena di V sudah ada satu titik A maka keadaan R dan A ada dua kasus, yaitu R = A dan R  A. Untuk R = A, berdasarkan ketentuan T bagian pertama, R mempunyai prapeta, yaitu A sendiri. Untuk R  A, berdasarkan geometri Eucledes, ada AR dan setiap ruas garis AR selalu mempunyai titik tengah, misalkan M. Jadi, M prapeta dari R. Akibatnya, untuk R  A, ada M  V sehingga T(M) = R dan M titik tengah AR .

Gambar 1.4

Karena setiap R  V mempunyai prapeta oleh fungsi T maka T merupakan suatu fungsi kepada. b) Ambil dua titik sebarang, misalnya P dan Q  V sehingga T(P) = T(Q). Dari keadaan ini, terdapat kasus, yaitu P = A, Q = A, P  A, dan Q  A. Untuk P = A, T(P) = P = A. Sementara itu, T(P) = T(Q) berarti T(Q) = A. Jadi, Q = A dan P = Q. Untuk Q = A, T(Q) = Q = A. Telah diketahui bahwa T(P) = T(Q) maka T(P) = A. Jadi, P = A dan P = Q. Untuk P  A dan Q  A. Misalkan T(P) = P dan T(Q) = Q maka P  PA dan Q  QA . Karena P  PA maka PA Karena Q  QA maka QA

AP .

AQ . Karena T(P) = T(Q) berarti

AQ . Dengan demikian, PA QA . Jadi A, P, P = Q dan AP dan Q kolinear. Karena A, P, dan Q kolinear. Sementara itu, P = Q dengan P titik tengah PA dan Q titik tengah AQ maka P = Q.

Jadi, setiap P, Q  V, T(P) = T(Q) mendapatkan P = Q. Dengan demikian, T dikatakan sebagai fungsi satu-satu. Karena T fungsi kepada

1.22


dan fungsi satu-satu maka T merupakan fungsi bijektif. Dengan demikian, dapatlah kita katakan bahwa T merupakan suatu transformasi. Contoh 1.17

Diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari r dan pusat titik A pada bidang Euclides. Ditetapkan relasi T sebagai berikut. Untuk setiap P  V, T (P) = Q sehingga AP . AQ = r2. Apakah T suatu transformasi?

Penyelesaian: Agar sampai kepada pemecahan yang benar, Anda harus melakukannya seperti Contoh 1.16. Artinya, Anda harus menyelidiki fungsi tersebut ke arah persyaratannya, yaitu 1. T suatu fungsi dari V ke V 2. T suatu fungsi bijektif. a. suatu fungsi kepada b. suatu fungsi satu-satu. Sekarang, perhatikan lagi bagaimana caranya menjawab soal tersebut. 1. T suatu fungsi dari V ke V. Ambil sebarang titik P. Kedudukan P terhadap lingkaran dan titik pusatnya memiliki empat kemungkinan, yaitu P = A, P  A tetapi di dalam lingkaran, P pada lingkaran dan P di luar lingkaran. Untuk P = A, misalnya Q = T (P = A)  AA . AQ = r2  0 . AQ = r2 

r2 , hasilnya tak didefinisikan. Artinya, tak ada Q sehingga 0 AA . AQ = r2. Hal ini berakibat bahwa apabila P = A, tak ada Q  V sehingga AP . AQ = r2. Jadi, T bukan fungsi dari V ke V. Karena salah satu syarat (syarat pertama) dari suatu transformasi sudah tidak dipenuhi, dapatlah disimpulkan bahwa T bukan suatu transformasi. Sekarang, timbul pertanyaan, setelah Anda mempelajari Contoh 1.17, mungkinkah T seperti ini bisa diatur sehingga menjadi suatu transformasi? Dengan kata lain, syarat apa yang harus diberikan agar T ini merupakan suatu transformasi. Masalah ini diberikan sebagai tugas latihan. AQ =


1.23

Kembali ke pertanyaan awal pembicaraan pada pengertian transformasi. Apakah Anda sudah dapat menjawab pertanyaan awal Anda itu? Apabila belum dapat menjawab, tidak menjadi masalah besar. Namun, setelah selesai Kegiatan Belajar 2 ini, Anda diharapkan dapat menjawabnya. Untuk itu, kita lanjutkan saja dengan mempelajari komposisi transformasi. B. KOMPOSISI TRANSFORMASI Adapun komposisi transformasi yang dibicarakan dalam modul ini dituangkan dalam definisi berikut. Definisi 1.12

Andaikan diberikan dua transformasi T 1 dan T2, komposisi dari T1 dan T2 yang ditulis dengan notasi T 1  T2 ditetapkan sebagai: T1 T2 P T1 T2 P , P V .

Berdasarkan definisi di atas, terlihat komposisi dari dua transformasi T1 dan T2 yang ditulis dengan T1  T2 mempunyai arti bahwa transformasi T2 dioperasikan terlebih dahulu. Kemudian, diikuti oleh transformasi T 1. Dengan demikian, jika Anda menemukan bentuk transformasi T 2  T1, berarti Anda harus melakukan transformasi T 1 terlebih dahulu yang diikuti oleh transformasi T2. Sekarang, timbul pertanyaan, apakah selalu dapat disusun kedua macam komposisi T1  T2 dan T2  T1 apabila masing-masing komposisi itu merupakan suatu transformasi? Jawabnya, selalu ada sebab T1  T2 = V. Karena T1 transformasi, daerah asal (kodomain)nya merupakan bidang V. Begitu pula daerah asal dan range dari T 2 yang seluruhnya merupakan bidang V sebab T2 juga transformasi. Kemudian, muncul pertanyaan lagi, apakah komposisi dua transformasi ini merupakan suatu transformasi lagi? Untuk menjawab hal ini, pelajari sifat yang dituangkan dalam teorema berikut ini. Teorema 1.3

Apabila diberikan dua transformasi T 1 dan T2, komposisi dari T1 dan T2 merupakan suatu transformasi. (Teorema ini disebut pula teorema ketertutupan transformasi).

1.24


Bukti: Komposisi dari T1 dan T2 ada dua macam, yaitu T1  T2 dan T2  T1. Namun, pada prinsipnya, pembuktiannya sama saja. Dengan demikian, dalam modul ini, akan ditunjukkan satu saja, yaitu T 1  T2. Untuk membuktikan transformasi ini, yang harus ditunjukkan adalah 1. T1  T2 fungsi dari V ke V 2. T1  T2 fungsi bijektif, yaitu a. T1  T2 fungsi kepada b. T1  T2 fungsi satu-satu. 1.

Ditunjukkan T1  T2 fungsi dari V ke V Karena T2 suatu transformasi maka T 2 merupakan fungsi dari V ke V sehingga daerah asal dari T 1  T2 sama dengan daerah asal T2 (simak arti komposisi T1  T2). Sekarang, ambil sebarang unsur X  V. Karena T2 transformasi, berarti ada Y  V sehingga T2(X) = Y. Seperti kita ketahui bahwa T1 merupakan transformasi, berarti ada Z  V sehingga T1(Y) = Z. Berdasarkan informasi ini, diperoleh keadaan Z = T 1(Y), Y = T2(X)  Z = T1 [T2(X)] = (T1  T2)(X). Oleh karena itu,  X  V nilai dari (T1  T2) (X) adalah Z  V. Akibatnya, transformasi ini dikatakan sebagai fungsi dari V ke V. 2. a.

Ditunjukkan T1  T2 fungsi bijektif T1  T2 fungsi kepada. Ambil Z  V. Karena T1 transformasi maka T1 fungsi kepada. Akibatnya, ada Y  V sehingga T1(Y) = Z. Kemudian, karena T 2 juga transformasi maka T2 juga fungsi kepada. Akibatnya, untuk Y  V, ada X  V sehingga T2 (X) = Y. Jadi, untuk sebarang Z  V, ada X  V sehingga Z = T1(Y) = T1[T2(X)] = (T1  T2)(X). Maka dari itu, setiap unsur dari V mempunyai prapeta oleh T1  T2. Akibatnya, T1  T2 suatu fungsi kepada.

b.

T1  T2 fungsi satu-satu. Ambil X, Y sebarang unsur pada V sehingga (T1  T2)(X) = (T1  T2)(Y). Karena (T1  T2)(X) = (T1  T2)(Y) maka T1 [T2(X)] = T1 [T2(y)]. Kita telah ketahui bahwa T1 transformasi maka T1 fungsi satu-satu dan T1 [T2(X)] = T1 [T2 (Y)]. Dari hubungan ini, didapat T 2(X) = T2(Y).


1.25

Karena T2 transformasi maka T2 fungsi satu-satu dan T2(X) = T2 (Y) berakibat X = Y. Untuk sebarang X,Y  V, jika (T1  T2)(X) = (T1  T2)(Y) berakibat X = Y, T1  T2 merupakan fungsi satu-satu. Dari a) dan b), disimpulkan T 1  T2 suatu fungsi bijektif. Jadi, kesimpulan uraian di atas: karena T 1  T2 fungsi dari V ke V dan T1  T2 fungsi bijektif maka T1  T2 suatu transformasi. Teorema di atas dinyatakan lengkap apabila Anda telah membuktikan bahwa T2  T1 juga suatu transformasi (lihat latihan). Setelah Anda mempelajari Teorema 1.3 di atas, timbul pertanyaan lagi, apakah T1  T2 = T2  T1? Artinya, apakah pada komposisi transformasi berlaku sifat komutatif? Untuk melihat keberlakuan sifat tersebut, pelajari contoh berikut ini. Contoh 1.18

Ambil transformasi T1 yang ditetapkan sebagai berikut (lihat contoh 1.16). Misalkan V bidang Euclides, sedangkan A suatu titik tertentu. T1 ditetapkan untuk setiap P  V, 1.1 jika P = A, T1 (P) = A 1.2 jika P ≠ A, T1 (P)= P dengan P titik tengah AP . Selanjutnya, kita ambil relasi T 2 yang ditetapkan sebagai berikut, misalnya V bidang Euclides dan g suatu garis tertentu. Untuk setiap P  V 2.1 jika P  g, T2(P) = P 2.2 jika P  g, T2(P) = P dengan P titik tengah ruas garis tegak lurus dari P ke g. Selidiki: a) apakah T2 suatu transformasi? b) apakah T1  T2 = T2  T1?

Penyelesaian: 1. Ditunjukkan bahwa a. T2 fungsi dari V ke V

1.26


b.

T2 fungsi bijektif: 1) T2 fungsi kepada 2) T2 fungsi satu-satu. Coba Anda pelajari dan pahami uraian berikut. a. T2 fungsi dari V ke V Berdasarkan 2.1,  X  V dan X  g maka X tunggal dari X oleh T2. Berdasarkan 2.2,  X  V dan X  g, ada tunggal garis tegak lurus kepada g melalui X. Hal ini mengakibatkan tunggalnya titik tengah ruas garis tegak lurus dari X ke g. Jadi, untuk X  V dan X  g, ada tunggal peta anggota V yang memenuhi 2.2. Jadi, T 2 suatu fungsi dari V ke V. b. T2 fungsi bijektif 1) T2 fungsi kepada Ambil sebarang Y  V. Apabila Y  g, ada prapeta Y oleh T2. Apabila Y  g, ada tunggal garis l yang tegak lurus g melalui Y. Misalnya, {N} = g  l. Akibatnya, ada garis NY . Hal ini mengakibatkan ada ruas garis NX sehingga Y  NX dan YN

XY . Dari uraian ini, ada X sehingga YX  g dan Y = T(X).

Jadi, T2 fungsi kepada. 2) T2 fungsi satu-satu Ambil dua titik sebarang X, Y  V sehingga X  Y. Untuk X, Y pada sisi yang berbeda oleh garis g, T 2 (X)  T2 (Y) sebab T2 (X) dan T2 (Y) terletak pada sisi yang berbeda oleh garis g. Lihat Gambar 1.5.

Gambar 1.5

1.27


Untuk X, Y pada sisi yang sama dengan g, dengan XY  g. Karena XY  g maka jarak dari X ke g dengan jarak dari Y ke g berbeda. Akibatnya, T2(X)  T2(Y) sebab jarak dari T2(X) ke g separuh jarak dari X ke g. Sementara itu, jarak dari T 2 (Y) ke g separuh jarak dari Y ke g. Perhatikan Gambar 1.6.

Gambar 1.6

Untuk X, Y pada sisi yang sama oleh g, XY tidak tegak lurus g. Hal ini berakibat ada garis l melalui X tegak lurus g dan garis m melalui Y tegak lurus g, g // l. Karena T2(X)  l, T2(Y)  m, dan l // m maka T2(X)  T2(Y). Perhatikan Gambar 1.7. Jadi, T 2 fungsi satu-satu.

Gambar 1.7

Karena T2 fungsi kepada dan satu-satu, T2 pun suatu fungsi bijektif. Dengan demikian, T2 merupakan fungsi dari V kepada V dan bijektif sehingga T2 disebut sebagai suatu transformasi.

1.28

2.


Ambil sumbu x sebagai garis g dan sumbu y sebagai garis yang melalui titik A tegak lurus garis g. Akibatnya, titik A dapat dimisalkan berkoordinat (0, b). Ambil sebarang titik P(x, y)  V, didapat 1 1 T1 (P) x, b y merupakan titik tengah AP,  P  x, y  V . 2 2  1  T2 (P)   x, y  ,  P  x, y V .  2  Pandang 1 1 1 1 T1 T2 P T1 T2 P T1 x, y x, b y 2 2 2 2

 T2

1 1 1  1  T1  P   T2 T1  P   T2  x,  b  y     x,  b  y   . 2 4 2  2 

Jadi, (T1  T2)(P) ≠ (T2  T1)(P),  P(x, y)  V. Maka itu, T1  T2  T2  T1. Akibat dari contoh ini, dapat ditarik kesimpulan bahwa pada komposisi transformasi tidak berlaku sifat komutatif. Teorema 1.4

Komposisi transformasi bersifat asosiatif.

Bukti: Ambil tiga transformasi sebarang T 1, T2, dan T3. Misalkan, A titik sebarang pada bidang Euclides. [(T1  T2)  T3] (A) = (T1  T2)[T3 (A)] = T1 [T2 {T3(A)}] = T1 [(T2  T3)(A)] = [T1  (T2  T3)(A)],  A  V. Jadi, (T1  T2)  T3 = T1  (T2  T3). Dengan kata lain, komposisi transformasi bersifat asosiatif. C. TRANSFORMASI BALIKAN (INVERS) Apabila Anda akan mempelajari transformasi balikan (invers), Anda harus mempelajari dahulu apa yang disebut dengan transformasi identitas yang dinotasikan oleh  (dibaca “epsilon”) serta sifatnya.


1.29

Adapun ketentuan transformasi identitas dan sifatnya dituangkan pada definisi dan teorema berikut ini. Definisi 1.13 Suatu transformasi  disebut transformasi identitas jika dan hanya jika setiap P  V berlaku  (P) = P. Teorema 1.5

Jika T suatu transformasi dan  suatu transformasi identitas, berlaku T   =   T = T.

Bukti: Ambillah sebarang titik P  V. Karena (T  )(P) = T[ (P)]= T(P) (  T)(P) =   [T(P)] = T(P) maka (T  )(P) = (  T)(P) = T(P),  P  V Jadi, T   =   T = T. Setelah Anda mengerti apa yang dimaksud dengan transformasi identitas dan bagaimana sifatnya, barulah Anda dapat mempelajari transformasi balikan yang ditetapkan seperti dalam definisi berikut ini. Definisi 1.14

Suatu transformasi T1 disebut transformasi balikan (invers) dari transformasi T jika dan hanya jika berlaku T1  T = T  T1 = .

Kemudian, timbul pertanyaan, apabila T sebarang transformasi, apakah ada balikan dari transformasi T? Apabila ada, apakah ia suatu transformasi? Apabila suatu transformasi ada, berapa banyak balikan itu? Untuk menjawab pertanyaan yang beruntun itu, Anda pelajarilah teorema berikut. Teorema 1.6

Setiap transformasi T mempunyai satu transformasi balikan (invers).

Bukti: Makna dalam pernyataan di atas harus ditunjukkan berturut-turut: 1. adanya balikan dari T, 2. balikan dari T merupakan suatu transformasi, 3. balikan dari T tidak lebih dari satu buah.

1.30


Sekarang, marilah kita bahas satu per satu pernyataan-pernyataan di atas. Adanya Balikan dari T Tetapkan T1 sebagai fungsi berikut. Andaikan X  V dengan V bidang Euclides. Karena T suatu transformasi maka ada prapeta Y  V sehingga T(Y) = X. Ambil T1(X) = Y. Artinya, T 1(X) prapeta dari X oleh T. Jadi, dari T(Y) = X maka T [T1 (X)] = X. Karena T [T 1 (X)] = (T  T1)(X) = X =  (X),  X  V, jadi T  T1 = . Selanjutnya, (T1  T)(X) = T1  [T(X)]. Misalkan T(X) = B maka T1(B) = X. Jadi, (T 1  T)(X) = X =  (X),  X  V. Maka itu, T1  T = . Jadi, ada balikan dari T, yaitu T1. 1.

2.

Balikan dari T, yaitu T1 suatu transformasi Berdasarkan uraian penetapan T1 di atas, jelas bahwa T1 suatu fungsi kepada dari V ke V. Jadi, cukup menunjukkan T 1 suatu fungsi satu-satu saja. Untuk itu, ambil sebarang unsur X1 dan X2 pada V sehingga T1(X1) = T1(X2). Kemudian, misalkan A = T 1(X1) = T1(X2). Karena T(A) = T[T 1 (X1)] = X1 dan T(A) = T [T1(X2)] = X2 maka X1 = X2. Jadi, T1 suatu fungsi satu-satu. Karena T1 fungsi dari V kepada V dan satu-satu maka T1 fungsi bijektif. Akibatnya, T1 suatu transformasi. 3.

Transformasi balikan dari T tidak lebih dari satu Andaikan ada dua transformasi balikan dari T, selain T 1, yaitu T2, T2  T = T  T2 = . Ambil T1  T =   (T1  T)  T2=   T2  T1  (T  T2)= T2  T1   = T2 , T2 transformasi balikan dari T  T1 = T2 Jadi, hanya satu transformasi balikan dari T, yaitu T 1. Berdasarkan Teorema 1.6, ditetapkan penulisan transformasi balikan dari T dengan notasi T-1. Selanjutnya, timbul pertanyaan bagaimana sifat transformasi balikan ini? Untuk menjawab pertanyaan ini, silakan Anda pelajari teorema berikut ini. Teorema 1.7

Misalkan diberikan dua buah transformasi T1 dan T2, maka (T1  T2)-1 = T2-1  T1-l.

1.31


Bukti: T2 1 T1

1

T1

T2 1

T2

T1

1

T1

T2

T2 1 ε T2 T2 1

ε T2

T2 1 T2 ε

dan

T1

T2 1 T1

T2

1

T1 T1 T1 T1

T2 T2 1 ε T1 ε T1 T1

T1

1

1 1

1

ε Jadi, T2 1 T1

1

T1 T2

T1 T2

T2 1 T1

1

ε . Maka, T2 1 T1

1

merupakan balikan dari transformasi T1 T2 . Tentunya, Anda telah mengetahui bahwa transformasi balikan T1 T2 ditulis oleh notasi

T1 T2

1

dan tunggal. Akibatnya, T1 T2

1

T2 1 T1 1 .

LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Diberikan garis g pada bidang Euclides V. Ditetapkan relasi T sebagai berikut. Untuk setiap titik P  V: a) T(P) = P jika P  g b) T(P) = Q jika g sumbu dari PQ . Apakah relasi T merupakan suatu transformasi?

1.32


2) Diberikan suatu titik A pada bidang Euclides V. Ditetapkan relasi T sebagai berikut. Untuk setiap P  V: a) T(P) = A jika P = A b) T(P) = P sehingga P titik tengah AP jika P  A. Apakah relasi T merupakan suatu transformasi? 3) Diberikan suatu garis g pada bidang Euclides V. Ditetapkan relasi T sebagai berikut. Untuk setiap P  V: a) T(P) = P jika P  g b) T(P) = Q sehingga P titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q ke garis g, jika P  g. Apakah relasi T merupakan suatu transformasi? 4) Diberikan suatu titik A pada bidang Euclides V. Ditetapkan relasi T sebagai berikut. Untuk setiap P  V: a) T(P) = A jika P = A b) T(P) = Q sehingga A titik tengah PQ , jika P  A. Apakah T suatu transformasi? 5) Pada bidang Euclides V diberikan sebuah lingkaran L dengan jari-jari r dan pusat di titik A. Ditetapkan relasi T sebagai berikut. Untuk setiap titik P  V: a) T(P) = A, jika P = A b) T(P) = P, jika P  L c) T(P) = Q sehingga AP . AQ = r2 jika P  A, P  L. Apakah T suatu transformasi? 6) Diberikan relasi T: V  V yang ditetapkan sebagai berikut. Apabila P(x, y)  V maka: a) T(P) = (x + 1, y) untuk x ≥ 0 b) T(P) = (x – 1, y) untuk x < 0 Apakah T suatu transformasi? 7) Diberikan relasi T: V  V yang ditetapkan sebagai berikut. Untuk setiap P(x, y)  V, T(P) = (x + a, y + b) Apakah T suatu transformasi?

1.33


8) Diberikan relasi T: V  V yang ditetapkan sebagai berikut. Untuk setiap P(x, y)  V, T(P) = (ax, y) dengan a  0. Apakah T suatu transformasi? 9) Apabila T1, T2, dan T3 masing-masing transformasi, buktikan bahwa T1

1

T2 T3

T3 1 T2 1 T1 1 .

10) Apabila T1 , T2, ... Tn masing-masing transformasi, buktikan bahwa T1

T2

Tn

1

Tn 1 Tn 11

T2 1 T1 1 .

Petunjuk Jawaban Latihan 1) Untuk sebarang P  V dapat ditinjau kasus P  g atau P  g. Untuk P  g, berdasarkan a) T(P) ada tunggal, yaitu P sendiri. Akibatnya, T(P)  V. Untuk P  g, ada tunggal garis l melalui P  g. Akibatnya, ada tunggal Q  l sehingga g sumbu PQ . b) T(P) = Q. Karena l  V, Q  l maka Q  V. Jadi, untuk setiap P  V, T(P) ada dan tunggal serta T(P)  V. Jadi, relasi T suatu fungsi dari V ke V. Ambil sebarang unsur Q  V. Dalam hal ini, ada dua kasus: Q  g dan Q  g. Untuk Q  g, berdasarkan a), ada prapeta dari Q, yaitu Q sendiri. Untuk Q  g, ada garis m melalui Q sehingga m  g. Akibatnya, ada titik P  m sehingga g sumbu dari PQ . Artinya, T(P) = Q atau P prapeta dari Q. Jadi, fungsi T merupakan fungsi kepada. Ambil dua unsur sebarang A dan B pada V sehingga T(A) = T(B). Misalkan X = T(A) = T(B) maka g sumbu dari AX dan BX . Akibatnya, B = A. Jadi, fungsi T merupakan fungsi satu-satu. Kesimpulan: dari uraian di atas, dapat dikatakan bahwa T merupakan suatu transformasi. 2) Untuk sebarang P  V, dapat ditinjau kasus P = A atau P  A. Untuk P = A, berdasarkan a), ada tunggal T(P) = A  V.

1.34


Untuk P  A, ada tunggal AP dan ada tunggal AP . Akibatnya, ada tunggal P  AP sehingga P titik tengah AP . Karena P  AP  V maka P  V. Jadi, untuk setiap P  V, ada tunggal T(P)  V sehingga memenuhi ketentuan relasi T. Maka itu, relasi T merupakan fungsi dari V ke V. Ambil sebarang unsur Q  V. Dalam hal ini, ada dua kasus: Q = A atau Q  A. Untuk Q = A, berdasarkan a), ada prapeta Q, yaitu A. Untuk Q  A, ada QA  V yang mengakibatkan QA  V. Dengan sendirinya, ada P  QA sehingga P titik tengah QA . Artinya, ada prapeta dari Q oleh T, yaitu P. Karena P  QA  V maka P  V. Jadi, fungsi T merupakan fungsi kepada. Ambil dua titik sebarang X, Y  V sehingga T(X) = T(Y). Misalkan Z = T(X) = T(Y), artinya X titik tengah dari AZ dan Y titik tengah dari AZ . Jadi, X = Y. Maka dari itu, fungsi T merupakan fungsi satu-satu. Kesimpulan: dari uraian di atas, dapat dikatakan bahwa T suatu transformasi. 3) Ambil titik sebarang P  V. Ada dua kasus: P  g atau P  g. Untuk P  g, berdasarkan a), ada tunggal peta dari P, yaitu P sendiri. Untuk P  g, ada tunggal garis l tegak lurus g melalui P terhadap g. Misalkan {N} = g  l. Akibatnya, ada tunggal PN  l. Dengan sendirinya, ada tunggal Q  l sehingga P titik tengah NQ , berarti T(P) = Q  V. Karena setiap P  V ada tunggal T(P)  V maka relasi T merupakan fungsi dari V ke V. Ambil sebarang titik Q  V, dalam hal ini ada dua kasus: Q  g atau Q  g. Untuk Q  g, berdasarkan a), ada prapeta dari Q, yaitu Q sendiri. Untuk Q  g, ada garis m melalui Q tegak lurus g. Misalkan {M} = g  m. Akibatnya, ada QM  m. Hal ini berakibat ada P  m sehingga P titik tengah QM  m. Hal ini berakibat ada P  m yang menyebabkan P titik tengah QM sehingga P prapeta dari Q oleh T. Jadi, fungsi T merupakan fungsi kepada.


1.35

Ambil dua titik sebarang A, B  V sehingga T(A) = T(B). Misalkan X = T(A) = T(B). Artinya, A dan B masing-masing merupakan titik tengah ruas garis yang tegak lurus dari X ke garis g. Akibatnya, A = B. Jadi, fungsi T merupakan fungsi satu-satu. Kesimpulan: dari uraian di atas, dapatlah dikatakan bahwa T merupakan suatu transformasi. 4) Ambil sebarang titik P  V. Ada dua kasus: P = A atau P  A. Untuk P = A, berdasarkan a), ada tunggal peta dari P, yaitu A. Untuk P  A, ada PA  V. Akibatnya, ada tunggal PA . Hal ini berakibat bahwa ada tunggal Q  PA sehingga A titik tengah PQ . Karena Q  PA  V maka Q  V. Jadi, untuk P  A ada Q  V sehingga T(P) = Q. Maka itu, relasi T merupakan suatu fungsi dari V ke V. Ambil unsur sebarang Q  V. Dalam hal ini, ada dua kasus: Q = A atau Q  A. Untuk Q = A, berdasarkan a), ada prapeta dari Q oleh T, yaitu A. Untuk Q  A, ada AQ yang mengakibatkan ada AQ . Hal ini mengakibatkan pula ada P  AQ sehingga A titik tengah PQ . Jadi, ada prapeta dari Q, yaitu P  V, sebab P  AQ  V. Jadi, fungsi T merupakan fungsi kepada. Ambil dua titik sebarang X, Y  V sehingga T(X) = T(Y). Misalkan Z = T(X) = T(Y). Akibatnya, A titik tengah dari XZ dan YZ sehingga X = Y. Jadi, fungsi T merupakan fungsi satu-satu. Kesimpulan: dari uraian di atas, dapatlah dikatakan bahwa T merupakan suatu transformasi. 5) Ambil sebarang titik P  V. Terdapat tiga kasus, yaitu P = A, P  L, atau P  A dan P  L. a) Untuk P = A, berdasarkan a), ada tunggal peta dari P, yaitu A. b) Untuk P  L, berdasarkan b), ada tunggal peta dari P, yaitu P. c) Untuk P  A, P  L terdapat dua kasus, yaitu P di dalam daerah L atau P di luar daerah L. Untuk P di dalam daerah L, ada tunggal AP yang mengakibatkan ada tunggal garis l melalui P tegak lurus AP . Misalkan l  L = {Q, R}. Berdasarkan Geometri Euclides, kedua garis singgung di R dan Q

1.36


berpotongan di satu titik dengan AP , namakan titik S. Berdasarkan Geometri Euclides pula, didapat hubungan AP . AS = r 2. Jadi, S peta dari P. Jelas dari uraian di atas P  V dan tunggal (Gambar 1.8). Untuk P di luar lingkaran, ada dua garis singgung melalui P terhadap lingkaran L. Misalkan titik singgung ini B dan C. Akibatnya, ada tunggal BC . Misalkan BC  AP = {D}. Jelas, D  V ada dan tunggal. Berdasarkan Geometri Euclides, dapat ditunjukkan bahwa AP . AD = r 2. Jadi, D peta dari P (Gambar 1.9) sehingga dapat disimpulkan bahwa  P  V ada tunggal peta dari P juga di V. Artinya, relasi T ini merupakan fungsi dari V ke V.

Gambar 1.8.

Gambar 1.9.

Dari uraian di atas, dapat disimak bahwa apabila T(P) = D, berarti AP . AD = r2 atau B titik kutub dari garis melalui D yang tegak lurus AP , D  AP , bahkan {D} adalah irisan dari AP dengan garis kutub dari P terhadap L. Diambil dua titik sebarang B dan C unsur dari V sehingga T(B) = T(C) dan misalkan X = T(B) = T(C). Karena garis l

melalui X yang tegak lurus AX hanya ada satu, titik kutub dari l ini juga hanya ada satu. Akibatnya, B = C. Jadi, fungsi T merupakan fungsi satusatu. Kesimpulan: dari uraian di atas, dapatlah dikatakan bahwa relasi T merupakan suatu transformasi. 6) Bukti bahwa relasi T adalah fungsi dari V ke V sebagai berikut. Ambil sebarang titik P(x, y)  V, lalu ada dua kasus seperti di bawah ini.


1.37

Untuk x  0, x + 1  R dan tunggal, akibatnya (x + 1, y)  V dan tunggal. Untuk x < 0, x – 1 R dan tunggal, akibatnya (x – 1, y)  V dan tunggal. Jadi, P  V selalu mempunyai peta di V dan tunggal. Maka itu, relasi T merupakan fungsi dari V ke V. Ambil (0, 0)  V sehingga berdasarkan a), (0, 0) = T(P) = (x + 1, y), jika x  0, didapat x = –1 dan y = 0. Dalam hal ini, terjadi kontradiksi dengan persyaratan x  0. Akibatnya, (–1,0) bukan prapeta dari (0,0). Berdasarkan b), (0, 0) = T(P) = (x – 1, y), jika x < 0, didapat x = 1 dan y = 0. Ini pun terjadi kontradiksi dengan persyaratan x < 0. Akibatnya, (1,0) bukan prapeta dari (0,0). Maka itu, (0,0) tidak mempunyai prapeta oleh T. Jadi, fungsi T bukan fungsi kepada. Oleh karena itu, relasi T bukan suatu transformasi. 7) Ambil sebarang P(x, y)  V. Berdasarkan ketentuan T, selalu ada peta Q (x + a, y + b) yang tunggal dan Q  V. Sebab, (x + a, y + b) untuk setiap x, y, a, b  R (R = himpunan semua bilangan real) nilainya masing-masing tunggal dan (x + a, y + b  R). Jadi, relasi T ini fungsi dari V ke V. Ambil sebarang titik Q (x0, y0) sehingga Q = T(P) maka (x0, y0) = (x + a, y + b) atau x = x0 – a, y = y0 – b. Karena setiap x0 , y0 , a, b  R maka P(x, y)  R. Jadi, fungsi T ini merupakan fungsi kepada. Ambil dua titik sebarang Q (x0, y0) dan S (x1, y1) pada V sehingga T(Q) = T(S). Karena T(Q) = (x0 + a, y0 + b), T(S) = (x1 + a, y1 + b) maka (x0 + a, y0 + b) = (x1 + a, y1 + b) atau x0 + a = x1 + a, y0 + b = y1 + b atau x0 = x1 dan y0 = y1. Jadi, Q = S. Akibatnya, fungsi T ini merupakan fungsi satu-satu. Kesimpulan: dari uraian di atas, dapatlah dikatakan bahwa relasi T ini merupakan suatu transformasi. 8) Ambil titik sebarang P(x, y)  V. Karena ax  R tunggal maka prapeta dari P selalu ada dan tunggal oleh T. Karena (ax, y)  R, setiap x, y  R, jadi (ax, y)  V. Maka itu, relasi T ini merupakan fungsi dari V ke V. Ambil sebarang titik Q(x0, y0)  V, misalkan (x0, y0) = (ax, y). x0 x0 Akibatnya, x , y0 , dan y y0 . Karena setiap (x0, y0)  R, a a

1.38


ada dan anggota R maka setiap Q(x0, y0)  V ada prapeta P

x0 , y0 a

oleh T. Jadi, fungsi T ini merupakan fungsi kepada. Ambil dua titik sebarang Q(x0, y0) dan S(x1, y1) dengan T(Q) = T(S). Maka, (ax0, y0) = (ax1, y1) atau ax0 = ax1 dan y0 = y1 atau x0 = x1 dan y0 = y1 sebab a  0. Jadi, Q = S. Akibatnya, fungsi T ini merupakan fungsi satu-satu. Kesimpulan: dari uraian di atas, dapatlah dikatakan bahwa relasi T ini suatu transformasi. 9)

T1

T2

T3

1

1

T1

T3 1 = T3

10) Untuk membuktikan sebaiknya

1

T2

asosiatif

T3 1

T1 T2 T2

 T1

1

T1

Teorema 1.7

1

Teorema 1.7 1

T2 o ... o Tn 

gunakan prinsip

= Tn1 Tn11

induksi

matematika,

1

Tn11 o

pernyataan Pn   T1 T2 o ... o Tn 

= Tn1

o

... o T21 T11 ,

yaitu pandang

... o T21 T11 , untuk

n  A (A = himpunan semua bilangan asli). 1

Perhatikan untuk n = 2 maka P2   T1 T2 

 T21 T11 bernilai benar

(Teorema 1.7). Andaikan n = k maka Pk = (T1 o T2 o ... o Tk)-1 = (Tk-1 o Tk-1-1 o ... o T2-1 o T1-1) bernilai benar. Perhatikan untuk n = k + 1, Pk+1 = (T1 o T2 o ... o Tk o Tk-1)-1 = [(T1 o T2 o ... o Tk ) o Tk+1]-1, asosiatif = T k+1-1 o (T1 o T2 o ... o Tk)-1, Teorema 1.7 = T k+1-1 o (Tk-1 o ... o T2-1 o T1-1), hipotesis = T k+1-1 o Tk-1 o T k-1-1 o ... o T2-1 o T1-1, asosiatif yang juga benilai benar. Maka, menurut prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan Pn = (T1 o T2 o...o Tn)-1 = Tn-1 o Tn-1-1 o...o T2-1 o T1-1 bernilai benar untuk setiap n  A.


1.39

Mudah-mudahan pekerjaan Anda tidak terlalu berbeda dengan petunjuk di atas. R A NG KU M AN 1. 2.

3. 4. 5. 6.

Himpunan semua transformasi terhadap operasi komposisi “o” membentuk grup yang disebut grup transformasi. Langkah pengkajian untuk menyatakan suatu relasi T merupakan suatu transformasi adalah analisis sebagai berikut. a) T fungsi dari V ke V b) T fungsi bijektif 1) T fungsi kepada 2) T fungsi satu-satu. Jika T1 dan T2 transformasi, T1 o T2 juga merupakan transformasi. Untuk setiap transformasi T1, T2, dan T3, berlaku (T1 o T2) o T3 = T1 o (T2 o T3). Jika T1 dan T2 suatu transformasi, (T2 o T1)-1 = T1-1 o T2-1. Jika T1 dan T2 transformasi, maka komposisi transformasi dari

T1 dan T2 ditetapkan sebagai:  T1 T2  P   T1 T2  P   , P  V . 7.

T1 disebut transformasi balikan (invers) dari transformasi T jika dan hanya jika T1 T  T T1   . TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1) Diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari r dan pusatnya di titik A. Ditetapkan relasi T sebagai berikut untuk setiap titik P  V. i) T(P) = A, jika P = A. ii) T(P) = Q sehingga AP . AQ = r2, jika P  A. Pernyataan yang benar berikut ini adalah …. A. T bukan fungsi dari V ke V B. T fungsi dari V ke V C. T suatu transformasi D. T mempunyai balikan 2) Diberikan T1 dan T2 merupakan suatu transformasi. Pernyataan yang benar adalah …. A. (T1-1)-1 = T1

1.40


B. (T1 o T2)-1 = T1-1 o T2-1 C. T1-1 dan T2-1 belum tentu transformasi D. T1 o T2 = T2 o T1 3) Diberikan T suatu transformasi. Pernyataan yang benar adalah …. A. semua titik pada bidang V berpindah tempat oleh T B. ada titik pada bidang V yang tidak berpindah tempat oleh T C. semua titik pada V mempunyai peta oleh T D. tidak semua titik pada V mempunyai prapeta oleh T Untuk soal nomor 4) sampai 9) pilihlah A. jika 1 dan 2 benar B. jika 1 dan 3 benar C. jika 2 dan 3 benar D. jika 1, 2, dan 3 semuanya benar 4) Diberikan garis g dan titik A pada bidang Euclides V. Ditetapkan relasi T sebagai berikut. Untuk setiap P  V i) T(P) = A jika P  g ii) T(P) = Q sehingga P titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q ke garis g jika P  g. Pernyataan yang benar adalah …. 1. T fungsi dari V ke V 2. T fungsi kepada 3. T suatu transformasi 5) Diberikan relasi T: V  V, V bidang Euclides yang ditetapkan sebagai berikut. Setiap P (x, y)  V, a) T(P) = (x, y + 2) untuk y  –1 b) T(P) = (x, y – 1) untuk y < –1. Pernyataan yang benar adalah …. 1. T fungsi dari V ke V 2. T fungsi kepada 3. T fungsi satu-satu 6) Diberikan titik A dan relasi T yang ditetapkan sebagai berikut. Setiap P  V, a) T(P) = A, jika P = A b) T(P) = Q sehingga AQ = 3AP, Q

PA , jika P  A.

1.41


Pernyataan yang benar adalah …. 1. T fungsi dari V ke V 2. T fungsi kepada 3. T fungsi satu-satu 7) Diberikan  himpunan semua transformasi dan “o” operasi komposisi. Pernyataan yang benar adalah …. 1. jika T   maka T-1   2. operasi “o” bersifat asosiatif pada g 3. operasi “o” bersifat komutatif pada g 8) Diberikan  himpunan semua transformasi dan “o” operasi komposisi. Pernyataan yang benar adalah …. 1. relasi identitas  yang ditetapkan  (P) = P,  P  V maka   g 2. “o” tertutup pada  3. jika T1 dan T2   maka T1 o T2   9) Jika V bidang Euclides, relasi-relasi dari V ke V berikut ini yang merupakan transformasi adalah …. 1. T1 (P) = (x + 1, 2y),  P (x, y)  V 2. T2 (P) = (x, y – 1),  P (x, y)  V 1 3. T3 (P) = ( x, y – 2),  P (x, y)  V 2 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2. Tingkat penguasaan =

Jumlah Jawaban yang Benar

 100%

Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.

1.42


Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) C. A, B, dan D bukan relasi dari himpunan A ke himpunan B. 2) B. A dan C bukan domain dari relasi R. D juga bukan domain dari relasi R sebab x = 6 mengakibatkan y = –2  A. 3) D. Perhatikan Definisi 1.2. 4) A. Perhatikan Definisi 1.3. 5) A. Perhatikan Definisi 1.4. 6) C. A tidak refleksi, B tidak simetri, dan D tidak transitif. Sementara itu, C refleksi, simetri, dan transitif. 7) D. A : x = 2 maka f(2) tak terdefinisi. B : x = 0 maka f(y) = 1 dan f(y) = –1. C : x = 0 maka f(0) tak terdefinisi. D :  x  R, f(x) terdefinisi dan juga unsur dari R. 1 8) B. A : f(x) = 0 maka x =  B. 3 1 1 5 dan C : f(x) = 1 maka x2 + x = 1 sehingga nilai x = 2 2 1 1 5 . Kedua x ini bukan bilangan bulat. x= 2 2 D : f(x) = –1 maka x2 = –1. Akibatnya, tidak ada x bilangan bulat yang memenuhi x2 = –1. B : Ambil y  B maka y = f(x) = x + 4. Berakibat x = 4 – y karena y  B maka x  B dan tunggal. Jadi, f(x) = x + 4 fungsi dari B kepada B. 9) C. A : Ambil x = 1 dan x = –1 maka f(l) = f(–1) = –1. B : Ambil x = l dan x = –l maka f(l) = f(–1) = 2. D : Ambil x =1 dan x = –1 maka f(l) = f (–1) = 1. C : Ambil xl, x2  R sehingga f(x1) = f(x2) maka 4x1 – 2 = 4x2 – 2. Hal ini mengakibatkan xl = x2. Jadi, f(x) = 4x – 2 fungsi satusatu dari R ke R. 10) D. A, C fungsi tak satu-satu dan tak kepada. B fungsi tidak satu-satu. D fungsi satu-satu dan kepada.


1.43

Tes Formatif 2 1) A. Untuk suatu titik P pada lingkaran dengan pusat A jari-jari r, T(P) merupakan seluruh titik pada lingkaran tersebut. Akibatnya, T bukan fungsi dari V ke V. 2) A. A. (T1-1)-1 benar. B. (T1 o T2)-1 = T1-1 o T2-1 salah seharusnya T2-1 o T1-1. C. Salah seharusnya T1-1 dan T2-1 suatu transformasi. D. Salah seharusnya T1 o T2  T2 o T1. 3) C. A dan B keduanya bernilai salah, sebab ada transformasi yang tidak memiliki titik dan tidak berpindah tempat, tetapi ada juga transformasi yang semua titiknya berpindah tempat. Perhatikan contoh-contoh dan soal-soal latihan. Sementara itu, C benar dan D salah. 4) A. T fungsi dari V ke V, T fungsi kepada, tetapi T tidak fungsi satusatu. 5) B. T fungsi dari V ke V, T bukan fungsi kepada, dan T fungsi satu-satu. 6) D. T suatu transformasi maka jelas 1, 2, dan 3 masing-masing benar. 7) A. Lihat Teorema 1.6 beserta buktinya dan Teorema 1.4 serta akhir uraian contoh 1.18. 8) A. 1. Bernilai benar dan jelas. 2. Bernilai benar, jelas, tetapi 3 bernilai salah. 9) D. Jelas bahwa T1, T2, dan T3 suatu transformasi.

1.44


Daftar Pustaka Eecles, Frank M. (1971). An Introduction to Transformational Geometry. Phillips Academy, Andorn, Massachusetts: Addison-Wesley, Publishing Company. Martin, George E. (1982). Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry. New York: Springer-Verlag. Rawuh. R. (1990). Geometri Transformasi: Bandung: FMIPA-ITB.

Relasi, Fungsi, dan Transformasi

Recommend Documents