Relasi dan Fungsi. Panca Mudjirahardjo, ST.MT. Relasi dan fungsi

Relasi dan Fungsi Panca Mudjirahardjo, ST.MT.

Relasi dan fungsi Definisi | Menyatakan relasi | Sifat-sifat relasi biner | Kombinasi relasi | Komposisi relasi | Relasi n-ary |

1

Definsi | |

Definisi: Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. Notasi : R ⊆ (A x B) z z

|

Jika (a,b) ∈ R, digunakan notasi a R b, yang artinya a dihubungkan dengan b oleh R. dan jika (a,b) ∉ R, digunakan notasi a R b, yang artinya a tidak dihubungkan dengan b oleh R.

Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daearah hasil (range) dari R.

Definisi |

Contoh

2

Menyatakan relasi Menggunakan tabel | Menggunakan matriks | Menggunakan graf berarah |

Relasi dengan tabel domain

|

range

Contoh

3

Relasi dengan matriks |

Misalkan R adalah relasi dari A = {a1,a2, … ,am} dan B = {b1,b2, … bn}. Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij]. b1

b2

...

m11 m 21

m12 m 22

... m1n ... m 2 n

:

:

:

am

m m1

mm2

a1 M = a2

bn

:

:

⎧1 mij = ⎨ ⎩0

(ai , b j ) ∈ R (ai , b j ) ∉ R

... m mn Contoh

Relasi dengan graf berarah |

Contoh 2.5: Misalkan R = {(a,b),(a,c),(b,b),(b,c),(b,d),(c,c),(d,a),(d,c)} adalah relasi pada himpunan {a,b,c,d}. a

b

c

d

4

Sifat-sifat relasi biner Refleksif | Setangkup (simetris) | Menghantar (transitif) |

Sifat relasi biner - Refleksif |

Refleksif z z

Relasi R pada himpunan A disebut REFLEKSIF jika (a,a) ∈ R untuk setiap a ∈ A. Dalam bentuk matriks :

⎤ ⎡1 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎢ O ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎦ ⎣

5

Sifat relasi biner - Refleksif |

Contoh 2.6: • Relasi “habis dibagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif, karena setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a,a) ∈ R untuk setiap a ∈ A.

|

Contoh 2.7: • Misalkan A = {a,b,c,d}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: • R = {(a,a),(a,b),(a,d),(b,b),(b,c),(b,d),(c,c),(d,d)}; adalah bersifat REFLEKSIF karena terdapat elemen yang berbentuk (a,a), yaitu (a,a), (b,b), (c,c) dan (d,d). • R = {(a,a),(a,b),(a,d),(b,c),(b,d),(c,c),(d,d)}; adalah TIDAK bersifat REFLEKSIF karena elemen (b,b) ∉ R.

Sifat relasi biner – Setangkup (simetris) |

Relasi R pada himpunan A disebut SETANGKUP jika untuk semua a,b ∈ A, jika (a,b) ∈ R, maka (b,a) ∈ R.

⎡− ⎢1 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣

⎤ 1 ⎥⎥ ⎥ 1 − ⎥ −⎦ 1

1 1 − 1

6

Sifat relasi biner – Setangkup (simetris) |

Contoh 2.8: z

Relasi “habis dibagi” pada himpunan bilangan bulat positif tidak bersifat setangkup, karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b.

Sifat relasi biner – Menghantar (transitif) |

Relasi R pada himpunan A disebut MENGHANTAR jika (a,b) ∈ R dan (b,c) ∈ R, maka (a,c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.

⎡− 1 1 1 ⎤ ⎢ ⎥ − 1 1 ⎢ ⎥ ⎢ − 1⎥ ⎢ ⎥ −⎦ ⎣

7

Sifat relasi biner – Menghantar (transitif) |

Contoh 2.8: z

Relasi “habis dibagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positif m dan n sedemikian hingga b = ma dan c = nb. Disini c = nma. Sehingga a habis membagi c.

Kombinasi relasi |

Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang menyatakan gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah: MR1 ∪ R2 = MR1 ∨ MR2 z MR1 ∩ R2 = MR1 ∧ MR2 z operator ‘∨’ berarti ‘atau’, dan ‘∧’ berarti ‘dan’. z

8

Kombinasi relasi | |

Contoh 2.9: Misalkan A = {tuner, demodulator, penguat horisontal, catu daya, pre-amp head, penguat audio} dan B = {radio, tape, TV}. z Relasi R1, yang menyatakan diagram blok yang digunakan dalam sistem.

M R1

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢1 ⎢0 ⎢ ⎣⎢1

0 1⎤ 0 1⎥⎥ 0 1⎥ ⎥ 1 1⎥ 1 0⎥ ⎥ 1 1⎦⎥

Kombinasi relasi | |

Contoh 2.9: Misalkan A = {tuner, demodulator, penguat horisontal, catu daya, pre-amp head, penguat audio} dan B = {radio, tape, TV}. z Relasi R2, yang menyatakan diagram blok yang digunakan dalam sistem radio tape dengan eksternal catu daya.

M R2

⎡1 ⎢1 =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣1

0⎤ 0⎥⎥ 1⎥ ⎥ 1⎦

9

Kombinasi relasi

M R2

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢⎣1

0 0⎤ 0 0⎥⎥ 0 0⎥ ⎥ 0 0⎥ 1 0⎥ ⎥ 1 0⎥⎦

Kombinasi relasi |

R1 ∩ R2 = R2

M R1

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢1 ⎢0 ⎢ ⎣⎢1

0 1⎤ 0 1⎥⎥ 0 1⎥ ⎥ 1 1⎥ 1 0⎥ ⎥ 1 1⎦⎥

M R2

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎣⎢1

0 0⎤ 0 0⎥⎥ 0 0⎥ ⎥ 0 0⎥ 1 0⎥ ⎥ 1 0⎦⎥

M R1∩ R 2

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎣⎢1

0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ = M R2 0⎥ 1 0⎥ ⎥ 1 0⎦⎥ 0 0 0 0

10

Kombinasi relasi |

R1 ∪ R2 = R1

M R1

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢1 ⎢0 ⎢ ⎢⎣1

0 1⎤ 0 1⎥⎥ 0 1⎥ ⎥ 1 1⎥ 1 0⎥ ⎥ 1 1⎥⎦

M R2

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢⎣1

0 0⎤ 0 0⎥⎥ 0 0⎥ ⎥ 0 0⎥ 1 0⎥ ⎥ 1 0⎥⎦

M R1∪ R 2

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢1 ⎢0 ⎢ ⎢⎣1

1⎤ 1⎥⎥ 1⎥ ⎥ = M R1 1⎥ 1 0⎥ ⎥ 1 1⎥⎦ 0 0 0 1

Kombinasi relasi |

R1 - R2 = {(catu daya,radio),(catu daya,tape),(tuner,TV), (demodulator,TV),(penguat horisontal,TV),(catu daya,TV),(penguat audio,TV)}.

M R1

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢1 ⎢0 ⎢ ⎣⎢1

0 1⎤ 0 1⎥⎥ 0 1⎥ ⎥ 1 1⎥ 1 0⎥ ⎥ 1 1⎦⎥

M R2

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎣⎢1

0 0⎤ 0 0⎥⎥ 0 0⎥ ⎥ 0 0⎥ 1 0⎥ ⎥ 1 0⎦⎥

M R1− R 2

⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢1 ⎢0 ⎢ ⎣⎢0

1⎤ 1⎥⎥ 1⎥ ⎥ 1⎥ 0 0⎥ ⎥ 0 1⎦⎥

0 0 0 1

11

Kombinasi relasi |

R2 – R1 = { }

M R1

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢1 ⎢0 ⎢ ⎢⎣1

0 1⎤ 0 1⎥⎥ 0 1⎥ ⎥ 1 1⎥ 1 0⎥ ⎥ 1 1⎥⎦

M R2

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢⎣1

0 0⎤ 0 0⎥⎥ 0 0⎥ ⎥ 0 0⎥ 1 0⎥ ⎥ 1 0⎥⎦

⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 M R 2 − R1 = ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢⎣0

0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0 0⎥ ⎥ 0 0⎥⎦ 0 0 0 0

Kombinasi relasi |

R1 ⊕ R2 = (R1 ∪ R2) –(R1 ∩ R2) = R1 – R2

M R1

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢1 ⎢0 ⎢ ⎣⎢1

0 1⎤ 0 1⎥⎥ 0 1⎥ ⎥ 1 1⎥ 1 0⎥ ⎥ 1 1⎦⎥

M R2

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎣⎢1

0 0⎤ 0 0⎥⎥ 0 0⎥ ⎥ 0 0⎥ 1 0⎥ ⎥ 1 0⎦⎥

M R1⊕ R 2

⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢1 ⎢0 ⎢ ⎢⎣0

1⎤ 1⎥⎥ 1⎥ ⎥ 1⎥ 0 0⎥ ⎥ 0 1⎥⎦

0 0 0 1

12

Komposisi relasi Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C, | Komposisi R dan S, dinotasikan R ο S, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh: | R ο S = {(a,c) | a ∈ A, c ∈ C, dan untuk beberapa b ∈ B, (a,b) ∈ R dan (b,c) ∈ S} |


13



14


Terima kasih

15

Relasi dan Fungsi. Panca Mudjirahardjo, ST.MT. Relasi dan fungsi

Recommend Documents