RELASI DAN FUNGSI A. Relasi 1. Pengertian Relasi Relasi menurut bahasa berarti hubungan. Dalam matematika, relasi atau hubungan menyatakan hubungan antara anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan yang lain. Contoh: a. Terdapat empat siswa menyatakan mata pelajaran kesukaannya sebagai berikut: Ardi menyukai Bahasa Indonesia, Rini dan Indri menyukai Matematika, dan Mirza menyukai IPA. Dari pernyataan di atas terdapat dua himpunan yaitu: A = himpunan siswa = {Ardi, Indri, Mirza, Rini} B = himpunan mata pelajaran = {Bahasa Indonesia, Matematika, IPA} Relasi antara anggota himpunan A ke himpunan B yang mungkin adalah menyukai, menggemari, menyenangi, dsb. b. Diberikan dua himpunan: E = {1, 2, 3, 4, 5} F = {0, 2, 4, 6} 1 dikawankan dengan 2, 4, dan 6 (dikawankan artinya di pasangkan dengan…) 2 dikawankan dengan 4 dan 6 3 dikawankan dengan 4 dan 6 4 dikawankan dengan 6 5 dikawankan dengan 6 Relasi antara anggota himpunan E ke anggota himpunan F yang mungkin adalah kurang dari. Dan sebaliknya, relasi antara anggota himpunan F ke anggota himpunan E yang mungkin adalah lebih dari. Dari dua contoh di atas, himpunan A dan E disebut daerah asal (domain), dan himpunan B dan F disebut daerah kawan (kodomain). Sementara itu menyukai dan kurang dari disebut relasi. Himpunan semua anggota kodomain disebut range atau daerah hasil. 2. Menyatakan Relasi Relasi antara himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan beberapa cara penyajian sebagai berikut: Sebagai contoh, kita akan menggunakan contoh b diatas E = {1, 2, 3, 4, 5} F = {0, 2, 4, 6} 1 dikawankan dengan 2, 4, dan 6 2 dikawankan dengan 4 dan 6 3 dikawankan dengan 4 dan 6 4 dikawankan dengan 6 5 dikawankan dengan 6
1
i. Diagram Panah Himpunan E sebagai domain (daerah asal) diletakkan di sebelah kiri, dan himpunan F sebagai kodomain (kodomain) diletakkan di sebelah kanannya. Relasi antara himpunan E dan F ditunjukkan dengan arah panah. Seperti gambar di bawah ini E 1 2 3 4 5
kurang dari F 0 2 4 6 kodomain
domain
ii. Himpunan Pasangan Berurutan Jika x E dan y F, maka relasi dari E ke F dapat dinyatakan dengan pasangan berurutan (x, y). Dari diagram panah di atas dapat dituliskan himpunan pasangan berurutannya sebagai berikut: {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 4), (2, 6), (3, 4), (3, 6), (4, 6), (5, 6)}. iii. Diagram Cartesius Pada koordinat cartesius daerah asal (domain) diletakkan pada sumbu X (sumbu mendatar) dan daerah kawan (kodomain) diletakkan pada sumbu Y (sumbu tegak). Sedangkan daerah hasilnya merupakan titik (noktah) koordinat pada diagram cartesius. Dari relasi di atas, dapat ditunjukkan diagram cartesiusnya seperti di bawah ini: Y 6 5 4 3 2 1 0
1
2
3
4
5
X
3. Evaluasi Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan cermat! 1) Suatu relasi R dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan : {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5)}. a) Nyatakan relasi itu dalam diagram panah! b) Nyatakan relasi itu dalam koordinat cartesius! c) Relasi apa yang mungkin untuk himpunan pasangan berurutan di atas?
2
B
2) Perhatikan diagram di samping! a) Tulislah himpunan A dan himpunan B dengan mendaftar anggotanya! b) Gambarlah dengan diagram panah relasi dari himpunan A ke himpunan B! c) Tulislah himpunan pasangan berurutan dari himpunan A ke himpunan B!
6 5 4 3 2 1
0 3) Tulislah nama relasi yang mungkin dari diagram di bawah ini!1 A 1 4 9 16
B
A
1
2
A
3 B
omnivora
2
kuda
3
singa
4
tikus
5
sapi
a)
karnivora herbivora
b)
B. Fungsi atau Pemetaan 1. Pengertian Fungsi atau Pemetaan Definisi: Fungsi atau Pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota suatu himpunan dengan tepat satu anggota himpunan yang lain. Perhatikan diagram panah dibawah ini:
3
Cerdas Berfikir! Diketahui dua himpunan A = {a, b, c} dan himpunan B = {1, 2, 3}. Buatlah beberapa kemungkinan fungsi atau pemetaan pada kedua himpunan tersebut, gambarkan dengan diagram panah Kegiatan menyelidiki diagram panah yang menunjukkan fungsi atau bukan. Diskusikan bersama teman sebangkumu. Pada diagram pana di bawah ini, setiap diagram panah menunjukkan suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B.
b
a
c
d
e
f
Relasi manakah yang merupakan fungsi? 2. Menghitung Banyaknya Pemetaan yang mungkin. Untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan, perhatikan uraian berikut. a. Jika A = {1} dan B = {a} maka n(A) = 1 dan n(B) = 1. Satu-satunya pemetaan yang mungkin dari A ke B mempunyai diagram panah seperti tampak pada Gambar di bawah ini:
4
b. Jika A = {1, 2} dan B = {a} maka n(A) = 2 dan n(B) = 1. Pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke B tampak seperti diagram panah pada Gambar di bawah ini:
c. Jika A = {1} dan B = {a, b} maka n(A) = 1 dan n(B) = 2. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada dua, seperti tampak pada diagram panah pada Gambar di bawah ini:
d. Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a} maka n(A) = 3 dan n(B) = 1. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada satu, seperti tampak pada diagram panah pada Gambar di bawah ini:
e. Jika A = {1} dan B {a, b, c} maka n(A) = 1 dan n(B) = 3. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada tiga, seperti tampak pada diagram panah berikut ini.
f. Jika A = {1, 2} dan B = {a, b} maka n(A) = 2 dan n(B) = 2. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada empat, seperti tampak pada diagram panah pada Gambar di bawah ini:
5
g. Jika A = {1, 2, 3} dan B= {a, b} maka n(A) = 3 dan n(B) = 2. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada 8, seperti tampak pada diagram panah pada Gambar di bawah ini:
6
Dengan mengamati uraian tersebut, untuk Menentukan banyaknya pemetaan dari suatu himpunan A ke himpunan B dapat dilihat pada tabel berikut.
Berdasarkan pengamatan pada tabel di atas, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut. Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = a dan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = b maka : i. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah ba, dan ii. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah ab. Contoh soal: Jika A = {bilangan prima kurang dari 5} dan B = {huruf vokal}, hitunglah banyaknya pemetaan a. dari A ke B; b. dari B ke A, tanpa menggambar diagram panahnya. Penyelesaian: a. A = {2, 3}, n(A) = 2 B = {a, e, i, o, u}, n(B) = 5 Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B = ba= 52 = 25 b. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A = ab = 25 = 32 Latihan Mandiri: (selesaikan di buku catatan kalian) 1. Manakah dari relasi di awah ini yang merupakan fungsi? a) Relasi antara siswa dengan kelasnya. b) Relasi antara took roti dengan pembelinya. c) Relasi antara sopir dengan kendaraannya. d) Relasi antara planet dan matahari. e) Relasi antara suami dan istri. 2. Gambarlah diagram panah yang mungkin dari himpunan X ke himpunan Y dari pemetaan berikut: X = {p, q}, Y = {1, 2, 3} 3. Jika A = {x|–2 < x < 2, x B} dan B = {x | x bilangan prima < 8}, tentukan
a) Anggota himpunan A dan B dengan cara mendaftar anggotanya. b) Banyaknya pemetaan dari A ke B. c) Banyaknya pemetaan dari B ke A. 7
